Równania równoważne

$$5x=23-3=20 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Sprawdzenie: $5\cdot4+3=23$ ✔

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — niewiadome na lewo, liczby na prawo:

$$7x-2x=18+12$$

Krok 2 — redukujemy:

$$5x=30 \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Sprawdzenie: lewa $42-12=30$, prawa $12+18=30$ ✔

Odpowiedź: $x=6$.

Sposób 1 — dzielimy obie strony przez $3$:

$$x-2=5 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Sposób 2 — opuszczamy nawias:

$$3x-6=15 \quad\Rightarrow\quad 3x=21 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Odpowiedź: $x=7$.

Odejmujemy $2x$ od obu stron:

$$5=9$$

To zdanie fałszywe niezależnie od $x$, więc równanie nie ma rozwiązań — jest sprzeczne.

Dla porównania: gdyby wyszło $5=5$, równanie byłoby tożsamościowe i spełniałaby je każda liczba.

Odpowiedź: C. sprzeczne.

Mnożymy obie strony przez $4$:

$$x=24$$

Sprawdzenie: $\frac{24}{4}=6$ ✔

Odpowiedź: $x=24$.

Opuszczamy nawias po lewej stronie:

$$4x+4=4x+4$$

Obie strony są identyczne, więc równość zachodzi dla dowolnego $x$.

Odpowiedź: A. jest tożsamościowe — spełnia je każda liczba.

Krok 1 — zapisujemy równanie. Niech szukana liczba to $x$:

$$3x+7=31$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$3x=24 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Sprawdzenie: $8\cdot3+7=31$ ✔

Odpowiedź: liczba $8$.

Krok 1 — przekształcamy wzór. Dzielimy obie strony przez $a$:

$$b=\frac{P}{a}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$b=\frac{84}{12}=7\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $b=\frac{P}{a}$, w tym przypadku $7$ cm.

Mnożenie przez zero zamienia każde równanie w $0=0$ — traci się wtedy całą informację i pojawiają się rozwiązania, których pierwotne równanie nie miało.

Zasada: wolno mnożyć i dzielić obie strony tylko przez liczbę różną od zera.

Odpowiedź: D. pomnożenie obu stron przez $0$.

Krok 1 — oznaczenie. Niech szukana liczba lat to $x$. Za $x$ lat ojciec będzie miał $38+x$, a syn $10+x$.

Krok 2 — równanie:

$$38+x=2(10+x)$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$38+x=20+2x \quad\Rightarrow\quad 18=x$$

Sprawdzenie: za $18$ lat ojciec będzie miał $56$, syn $28$, a $56=2\cdot28$ ✔

Odpowiedź: za $18$ lat.

Dzielimy obie strony przez $-3$:

$$x=\frac{21}{-3}=-7$$

Sprawdzenie: $-3\cdot(-7)=21$ ✔

Odpowiedź: B. $-7$.

Krok 1 — oznaczenia. Krótszy bok to $x$, dłuższy $x+5$.

Krok 2 — równanie:

$$2\left(x+(x+5)\right)=46$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$2(2x+5)=46 \quad\Rightarrow\quad 4x+10=46 \quad\Rightarrow\quad x=9$$

Krok 4 — wymiary: $9$ cm i $14$ cm.

Sprawdzenie obwodu: $2(9+14)=46$ cm ✔

Odpowiedź: $9$ cm na $14$ cm.

Krok 1 — przekształcenie:

$$t=\frac{s}{v}$$

Krok 2 — podstawienie:

$$t=\frac{270}{90}=3\ \text{godziny}$$

Odpowiedź: $t=\frac{s}{v}$, czas wynosi $3$ godziny.

Oznaczmy liczby jako $x$, $x+1$, $x+2$:

$$3x+3=54 \quad\Rightarrow\quad 3x=51 \quad\Rightarrow\quad x=17$$

Sprawdzenie: $17+18+19=54$ ✔

Odpowiedź: A. $17$.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $3$:

$$2x-1=15$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$2x=16 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Sprawdzenie: $\frac{2\cdot8-1}{3}=\frac{15}{3}=5$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

Krok 1 — cena jednego biletu:

$$92:4=23\ \text{zł}$$

Krok 2 — siedem biletów:

$$7\cdot23=161\ \text{zł}$$

Odpowiedź: C. $161$ zł.

Krok 1 — oznaczenia. Chłopców jest $x$, dziewcząt $x+6$.

Krok 2 — równanie:

$$x+(x+6)=30$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$2x+6=30 \quad\Rightarrow\quad 2x=24 \quad\Rightarrow\quad x=12$$

Krok 4 — odpowiedź na pytanie z treści: chłopców $12$, dziewcząt $12+6=18$.

Sprawdzenie: $12+18=30$ ✔ oraz $18-12=6$ ✔

Odpowiedź: $12$ chłopców i $18$ dziewcząt.

Krok 1 — przewaga rowerzysty. Przez $2$ godziny przejechał:

$$18\cdot2=36\ \text{km}$$

Krok 2 — równanie. Niech $t$ to czas jazdy motocyklisty. W chwili spotkania obaj przebyli tę samą drogę od miasta A:

$$54t=36+18t$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$36t=36 \quad\Rightarrow\quad t=1$$

Sprawdzenie: motocyklista przejedzie $54$ km, a rowerzysta $36+18=54$ km ✔

Odpowiedź: po $1$ godzinie jazdy motocyklisty.

Krok 1 — równanie. Niech szukana liczba to $x$:

$$x+\frac{x}{2}=45$$

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $2$, żeby pozbyć się ułamka:

$$2x+x=90 \quad\Rightarrow\quad 3x=90 \quad\Rightarrow\quad x=30$$

Sprawdzenie: $30+15=45$ ✔

Odpowiedź: $30$.

Krok 1 — wydajności. Zamiast myśleć o czasie, patrzymy, jaką część zbiornika każda rura napełnia w ciągu godziny:

$$\text{pierwsza: } \frac16,\qquad \text{druga: } \frac13$$

Krok 2 — wydajność wspólna:

$$\frac16+\frac13=\frac16+\frac26=\frac36=\frac12$$

Krok 3 — czas. Skoro razem napełniają pół zbiornika na godzinę, cały zajmie im:

$$t=2\ \text{godziny}$$

Uwaga: nie wolno uśredniać czasów — średnia z $6$ i $3$ dałaby $4{,}5$ godziny, czyli wynik dłuższy niż praca samej drugiej rury. To oczywisty nonsens: dołożenie rury nie może spowolnić napełniania.

Odpowiedź: $2$ godziny.

$$x=12-5=7$$

Odpowiedź: B. $7$.

Dzielimy obie strony przez $3$:

$$x=\frac{21}{3}=7$$

Odpowiedź: $x=7$.

Krok 1 — przenosimy $-4$ na prawą stronę:

$$2x=14$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$:

$$x=7$$

Odpowiedź: $x=7$.

Równania równoważne mają identyczny zbiór rozwiązań (przekształcamy równanie w równoważne, dodając/mnożąc obie strony).

Odpowiedź: C.

Krok 1 — niewiadome na lewo, liczby na prawo:

$$5x-2x=9+3$$

Krok 2 — redukujemy:

$$3x=12 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Sprawdzenie: $5\cdot4-3=17$, $2\cdot4+9=17$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Mnożymy obie strony przez $3$:

$$x=6\cdot3=18$$

Odpowiedź: $x=18$.

Po odjęciu $x$: $0=1$ — fałsz. Równanie nie ma rozwiązań (sprzeczne).

Odpowiedź: A. sprzeczne.

Krok 1 — usuwamy nawias:

$$2x+6=16$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$2x=10 \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Odpowiedź: $x=5$.

Krok 1 — usuwamy nawiasy:

$$3x-6=2x+2$$

Krok 2 — porządkujemy:

$$3x-2x=2+6 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Sprawdzenie: $3\cdot6=18$, $2\cdot9=18$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

Prawa strona: $2(x+2)=2x+4$ — identyczna z lewą. Równość zachodzi dla każdego $x$.

Odpowiedź: D. tożsamościowe.

Krok 1 — mnożymy przez $2$:

$$x+1=10$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x=9$$

Odpowiedź: $x=9$.

Krok 1 — zapisujemy równanie:

$$x+\frac{x}{2}=18$$

Krok 2 — mnożymy przez $2$:

$$2x+x=36 \quad\Rightarrow\quad 3x=36 \quad\Rightarrow\quad x=12$$

Sprawdzenie: $12+6=18$ ✔

Odpowiedź: $12$.

Krok 1 — przenosimy:

$$-2x=4-10 \quad\Rightarrow\quad -2x=-6$$

Krok 2 — dzielimy przez $-2$:

$$x=3$$

Odpowiedź: $x=3$.

Mnożymy przez $5$: $2x=20$, potem $x=10$.

Odpowiedź: B. pomnożyć obie strony przez $5$.

Krok 1 — oznaczenia. Szerokość $x$, długość $x+3$.

Krok 2 — równanie z obwodu:

$$2(x+(x+3))=30 \quad\Rightarrow\quad 2(2x+3)=30$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$4x+6=30 \quad\Rightarrow\quad 4x=24 \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Krok 4 — wymiary: szerokość $6$ cm, długość $9$ cm.

Sprawdzenie: $2(6+9)=30$ ✔

Odpowiedź: $6$ cm × $9$ cm.

Mnożymy obie strony przez $-1$:

$$x=-7$$

Odpowiedź: A. $-7$.

Krok 1 — oznaczenia. Za $x$ lat: ojciec $40+x$, syn $10+x$.

Krok 2 — warunek „dwa razy starszy”:

$$40+x=2(10+x)$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$40+x=20+2x \quad\Rightarrow\quad 20=x$$

Sprawdzenie: za $20$ lat ojciec $60$, syn $30$; $60=2\cdot30$ ✔

Odpowiedź: za $20$ lat.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $6$ (wspólny mianownik):

$$6\cdot\frac{x}{2}+6\cdot\frac{x}{3}=6\cdot5$$

$$3x+2x=30$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$5x=30 \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Sprawdzenie: $3+2=5$ ✔

Odpowiedź: $x=6$.

Krok 1 — oznaczenia. Drugi kosz $x$, pierwszy $2x$.

Krok 2 — równanie:

$$2x+x=60 \quad\Rightarrow\quad 3x=60 \quad\Rightarrow\quad x=20$$

Krok 3 — kosze. Drugi $20$, pierwszy $2\cdot20=40$.

Sprawdzenie: $40+20=60$ ✔

Odpowiedź: $40$ i $20$ jabłek.

Krok 1 — upraszczamy lewą stronę. Dzielimy licznik przez $2$:

$$\frac{2x+6}{2}=\frac{2x}{2}+\frac{6}{2}=x+3$$

Krok 2 — porównujemy ze stroną prawą. Otrzymaliśmy $x+3=x+3$ — równość prawdziwa niezależnie od $x$. $\quad∎$

Wniosek. Po odjęciu $x+3$ od obu stron dostajemy $0=0$, co potwierdza, że każde $x$ jest rozwiązaniem (równanie tożsamościowe).

Mnożymy każdy składnik w nawiasie przez $3$:

$$3\cdot2x-3\cdot4=6x-12$$

Odpowiedź: $6x-12$.

Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika:

$$-2\cdot3x+(-2)\cdot(-5)=-6x+10$$

Najczęstszy błąd: pozostawienie $-10$ zamiast $+10$ — minus razy minus daje plus.

Odpowiedź: C. $-6x+10$.

$$4x=16 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Sprawdzenie: $4\cdot4-6=10$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Po rozwinięciu lewej strony w A: $2x+2=2x+2$ — obie strony identyczne, więc równanie jest tożsamościowe.

B jest sprzeczne ($1=2$), C i D mają po jednym rozwiązaniu.

Odpowiedź: A.

Podstawiamy $x=3$:

$$2\cdot3^2-3\cdot3=2\cdot9-9=18-9=9$$

Uwaga na kolejność: najpierw potęga $3^2=9$, potem mnożenie.

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — niewiadome na lewo, liczby na prawo:

$$5x-2x=9+3 \quad\Rightarrow\quad 3x=12$$

Krok 2 — dzielimy:

$$x=4$$

Sprawdzenie: lewa $5\cdot4-3=17$, prawa $2\cdot4+9=17$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

W D po odjęciu $x$ zostaje $4=9$ — fałsz, więc równanie nie ma rozwiązań (sprzeczne).

Pozostałe mają rozwiązania: A $x=0$, B $x=3$, C $x=0$.

Odpowiedź: D.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:

$$2x+6+3x-3$$

Krok 2 — redukujemy:

$$5x+3$$

Odpowiedź: $5x+3$.

Najpierw zwiększamy o $5$: $(x+5)$, potem całość mnożymy przez $2$:

$$2(x+5)$$

Uwaga na nawias: bez niego ($2x+5$) pomnożylibyśmy przez $2$ tylko $x$, a nie całą sumę.

Odpowiedź: B. $2(x+5)$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:

$$3x-6=2x+2$$

Krok 2 — grupujemy:

$$3x-2x=2+6 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Sprawdzenie: lewa $3\cdot6=18$, prawa $2\cdot9=18$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

Krok 1 — opuszczamy nawias (uwaga na minus):

$$5x-2x+6+4$$

Krok 2 — redukujemy:

$$3x+10$$

Najczęstszy błąd: $5x-2x-6$ — minus dotyczy całego nawiasu, więc $-2\cdot(-3)=+6$.

Odpowiedź: $3x+10$.

Obie strony są identyczne, więc równanie spełnia każda liczba — jest tożsamościowe.

Po odjęciu $2x$ zostaje $3=3$ — zawsze prawda.

Odpowiedź: C. nieskończenie wiele.

Krok 1 — odejmujemy $3$:

$$\frac{x}{2}=4$$

Krok 2 — mnożymy przez $2$:

$$x=8$$

Sprawdzenie: $\frac82+3=4+3=7$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

Krok 1 — równanie. Niech liczba to $x$:

$$3x+5=26$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$3x=21 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Sprawdzenie: trzykrotność $7$ to $21$, o $5$ więcej to $26$ ✔

Odpowiedź: szukana liczba to $7$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:

$$6x-2-3x-6=5$$

Krok 2 — redukujemy lewą stronę:

$$3x-8=5$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$3x=13 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{13}{3}$$

Sprawdzenie: $3\cdot\frac{13}{3}-8=13-8=5$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{13}{3}=4\frac13$.

Krok 1 — równanie z obwodu:

$$x+(x+3)+(2x-1)=22$$

Krok 2 — redukujemy:

$$4x+2=22 \quad\Rightarrow\quad 4x=20 \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Krok 3 — boki:

$$x=5,\qquad x+3=8,\qquad 2x-1=9$$

Sprawdzenie obwodu: $5+8+9=22$ ✔, a nierówność trójkąta ($5+8>9$) też spełniona ✔

Odpowiedź: boki mają $5$, $8$ i $9$.

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy obie strony są identyczne.

Krok 1 — porównujemy. Wyrazy wolne są równe ($4=4$), więc wystarczy zrównać współczynniki przy $x$:

$$m=2$$

Sprawdzenie: dla $m=2$ równanie to $2x+4=2x+4$ — tożsamość ✔

Uwaga: dla każdego innego $m$ równanie miałoby dokładnie jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: $m=2$.