Czym jest ułamek zwykły i dziesiętny, liczba mieszana, skracanie i rozszerzanie ułamków oraz zasady wykonywania działań na ułamkach.
18 definicjiW ułamku $\frac{a}{b}$ liczba $a$ to licznik (ile części bierzemy), a $b$ to mianownik (na ile części podzielono całość). Mianownik nigdy nie może być zerem.
$$a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$$
Przykład: $2\frac35=\frac{2\cdot5+3}{5}=\frac{13}{5}$.
Dzieląc lub mnożąc licznik i mianownik przez tę samą liczbę, otrzymujemy ułamek równy wyjściowemu:
$$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3},\qquad \frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}$$
Ułamek jest nieskracalny, gdy $\mathrm{NWD}$ licznika i mianownika wynosi $1$.
Ułamki o różnych mianownikach sprowadzamy do wspólnego mianownika i porównujemy liczniki. Przykład: $\frac34=\frac68$, a $\frac68>\frac58$.
Mianownik $10$, $100$, $1000$ zapisujemy przecinkiem:
$$\frac{3}{10}=0{,}3,\qquad \frac{25}{100}=0{,}25=\frac14$$
Skracać wolno tylko przez wspólny dzielnik licznika i mianownika — nie wolno skreślać pojedynczych cyfr. W $\frac{16}{64}$ przypadkowe skreślenie szóstek daje poprawny wynik $\frac14$, ale to zbieg okoliczności, a nie metoda.
Przy jednakowych mianownikach działamy tylko na licznikach:
$$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$$
Przy różnych mianownikach najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika (najwygodniej do $\mathrm{NWW}$):
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$
Warto skracać przed mnożeniem — rachunki są prostsze.
Mnożymy przez odwrotność dzielnika:
$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Przykład: $\frac34:\frac25=\frac34\cdot\frac52=\frac{15}{8}=1\frac78$.
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
Zwrot „$\frac25$ z $45$” oznacza mnożenie: $\frac25\cdot45=18$.
Przy dodawaniu nie sumujemy mianowników — $\frac12+\frac13\ne\frac25$. Liczby mieszane przed mnożeniem i dzieleniem zamieniamy na ułamki niewłaściwe. W wyrażeniach z kilkoma działaniami obowiązuje zwykła kolejność: najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie.
W ułamku $\frac{a}{b}$ liczba $a$ to licznik — mówi, ile części bierzemy. Liczba $b$ to mianownik — mówi, na ile równych części podzielono całość. Mianownik nigdy nie może być zerem.
$$a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$$
Przykład: $3\frac14=\frac{3\cdot4+1}{4}=\frac{13}{4}$.
Dzielimy licznik przez mianownik z resztą. Wynik dzielenia to część całkowita, a reszta staje się nowym licznikiem.
Przykład: $22:7=3$ reszty $1$, więc $\frac{22}{7}=3\frac17$.
$$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$$
Działamy tylko na licznikach — mianownik przepisujemy bez zmian. Przykład: $\frac49+\frac29=\frac69=\frac23$.
Liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek o tym samym mianowniku: $1=\frac{c}{c}$.
Przykład: $1-\frac27=\frac77-\frac27=\frac57$.
Najczęstszy błąd to dodawanie mianowników — $\frac13+\frac13$ to $\frac23$, a nie $\frac26$. Mianownik opisuje rozmiar części i przy dodawaniu takich samych części się nie zmienia. Wynik zawsze podajemy w postaci nieskracalnej.
Ułamek $\frac{a}{b}$ opisuje część całości. Licznik $a$ mówi, ile części bierzemy, a mianownik $b$ — na ile równych części podzielono całość.
$\frac{3}{4}$ to trzy z czterech równych części — tort pokrojony na $4$ kawałki, z których bierzemy $3$.
Mianownik nie może być zerem. Im większy mianownik, tym drobniejsze części.
Ułamek $\frac{b}{b}=1$, na przykład $\frac{4}{4}$ to jedna cała.
Ułamek dziesiętny zapisujemy z przecinkiem, np. $0{,}7$ lub $3{,}25$. Cyfry po przecinku oznaczają części dziesiąte, setne, tysięczne.
$$0{,}7=\frac{7}{10},\qquad 0{,}25=\frac{25}{100}$$
Pierwsza cyfra po przecinku to części dziesiąte, druga — setne. W liczbie $3{,}25$ są $2$ dziesiąte i $5$ setnych.
Ułamki dziesiętne spotykamy w cenach i pomiarach, np. $2{,}50$ zł.
Gdy mianowniki są równe, większy jest ułamek o większym liczniku: $\frac{3}{5}>\frac{2}{5}$.
Gdy liczniki są równe, większy jest ułamek o mniejszym mianowniku, bo części są większe: $\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$.
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a potem porównujemy liczniki.
$\frac{b}{b}=1$. Ułamek mniejszy od $1$ ma licznik mniejszy od mianownika.
Ułamki dziesiętne dodajemy i odejmujemy pisemnie, podpisując przecinek pod przecinkiem. Wtedy jedności stoją pod jednościami, a części dziesiąte pod dziesiątymi.
Gdy liczby mają różną liczbę cyfr po przecinku, dopisujemy zera na końcu, np. $3{,}5=3{,}50$.
$$3{,}50+1{,}25=4{,}75$$
Przecinek w wyniku stawiamy dokładnie pod przecinkami składników.
Porównujemy cyfry na tych samych miejscach, zaczynając od najważniejszego: części całkowite, potem dziesiąte, setne.
Możemy dopisać zera, aby ułamki miały tyle samo cyfr po przecinku: $0{,}5$ i $0{,}50$ to ta sama liczba.
$$0{,}7>0{,}65$$ bo wśród części dziesiątych $7>6$.
Więcej cyfr po przecinku nie oznacza większej liczby: $0{,}5>0{,}45$.
Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, sprowadzamy je najpierw do wspólnego mianownika.
Rozszerzamy ułamki tak, by miały ten sam mianownik, np. $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ oraz $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$
Otrzymany ułamek w razie potrzeby skracamy do postaci nieskracalnej.
Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.
Odwrotność ułamka $\frac{a}{b}$ to $\frac{b}{a}$ — zamieniamy licznik z mianownikiem.
$$\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$$
Odwracamy tylko dzielnik (drugi ułamek), a nie dzielną.
Stosujemy tę samą kolejność co dla liczb naturalnych: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.
$$2{,}5+0{,}5\cdot4=2{,}5+2=4{,}5$$
Działania w nawiasach wykonujemy najpierw: $(1{,}2+0{,}8)\cdot3=2\cdot3=6$.
Pilnuj przecinka i kolejności — mnożenie wykonujemy przed dodawaniem.
Nawiasy, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie — także dla ułamków zwykłych.
Do dodawania i odejmowania sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$
Wynik przedstawiamy w postaci nieskracalnej.
Aby podzielić przez ułamek dziesiętny, przesuwamy przecinek w dzielniku tak, by stał się liczbą całkowitą, i o tyle samo miejsc w dzielnej.
$$4{,}5:0{,}5=45:5=9$$
Dzieląc przez $10$, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo: $3{,}5:10=0{,}35$.
Przecinek przesuwamy o tyle samo miejsc w obu liczbach.
Mnożymy jak liczby naturalne (pomijając przecinki), a w wyniku odliczamy tyle miejsc po przecinku, ile mają łącznie oba czynniki.
$$0{,}3\cdot0{,}2=0{,}06$$ — razem dwa miejsca po przecinku.
Mnożąc przez $10$, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo: $2{,}5\cdot10=25$.
Policz miejsca po przecinku w obu czynnikach i tyle odlicz w wyniku.
Ułamek liczby to jej część. Aby obliczyć $\frac{a}{b}$ z liczby, dzielimy ją przez $b$ i mnożymy przez $a$.
$$\frac{2}{3}\ \text{z}\ 12 = 12:3\cdot2 = 8$$
Obliczenie ułamka liczby to mnożenie: $\frac{2}{3}\cdot12=8$.
Tak liczymy część kwoty, długości czy liczby przedmiotów.
Ułamek zwykły zamieniamy na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.
$$\frac{1}{2}=0{,}5,\qquad \frac{3}{4}=0{,}75,\qquad \frac{1}{5}=0{,}2$$
Czasem wygodnie rozszerzyć ułamek do mianownika $10$ lub $100$: $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0{,}75$.
Niektóre ułamki dają rozwinięcie nieskończone okresowe, np. $\frac{1}{3}=0{,}333\ldots$
Procent zapisujemy jako ułamek o mianowniku $100$: $30\%=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$.
Ułamek zamieniamy na procent, mnożąc przez $100\%$: $\frac{1}{4}=25\%$.
Dzielimy przez $100$: $7\%=0{,}07$.
$$50\%=\frac{1}{2},\qquad 0{,}2=20\%$$
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.