Porównywanie ułamków dziesiętnych

Mianownik $10$ oznacza jedno miejsce po przecinku:

$$\frac{7}{10}=0{,}7$$

Reguła: mianownik $10$ to jedno miejsce, $100$ — dwa, $1000$ — trzy.

Odpowiedź: B. $0{,}7$.

Dzielimy licznik i mianownik przez tę samą liczbę — tutaj przez $3$:

$$\frac{6:3}{9:3}=\frac23$$

Zapamiętaj: skracanie nie zmienia wartości ułamka, tylko jego zapis.

Odpowiedź: C. $\frac23$.

Mianownik $10$ oznacza jedną cyfrę po przecinku:

$$\frac{7}{10}=0{,}7$$

Podobnie: mianownik $100$ daje dwie cyfry ($\frac{7}{100}=0{,}07$), a $1000$ — trzy.

Odpowiedź: B. $0{,}7$.

Mianownik $100$ oznacza dwa miejsca po przecinku:

$$\frac{23}{100}=0{,}23$$

Odpowiedź: $0{,}23$.

Krok 1 — przez ile mnożymy mianownik:

$$20:5=4$$

Krok 2 — mnożymy licznik i mianownik przez $4$:

$$\frac{3\cdot4}{5\cdot4}=\frac{12}{20}$$

Odpowiedź: $\frac{12}{20}$.

Krok 1 — wyrównujemy liczbę miejsc po przecinku:

$$2{,}8=2{,}80$$

Krok 2 — dodajemy, pisząc przecinek pod przecinkiem:

$$3{,}45+2{,}80=6{,}25$$

Odpowiedź: $6{,}25$.

Dodajemy pisemnie, wyrównując przecinki:

$$2{,}3+1{,}5=3{,}8$$

Odpowiedź: $3{,}8$.

Mianowniki są równe, więc porównujemy liczniki:

$$5>3 \quad\Rightarrow\quad \frac57>\frac37$$

Dlaczego tak: obie całości podzielono na tyle samo części, a w drugim ułamku bierzemy ich więcej.

Odpowiedź: $\frac57$.

Metr ma $100$ centymetrów:

$$2{,}5\cdot100=250\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $250$ cm.

Uzupełniamy zerami do tej samej liczby miejsc:

$$0{,}50 \quad \text{i} \quad 0{,}45$$

Teraz porównujemy jak liczby całkowite: $50>45$, więc $0{,}5>0{,}45$.

Częsty błąd: uznanie $0{,}45$ za większą, „bo ma więcej cyfr”. Liczba cyfr nie decyduje o wielkości.

Odpowiedź: C. $0{,}5$.

Liczniki są równe, więc decyduje mianownik — ale odwrotnie niż przy licznikach.

Im większy mianownik, tym na więcej części dzielimy całość, więc każda część jest mniejsza:

$$\frac14>\frac16$$

Obrazowo: ćwiartka tortu to więcej niż jedna szósta tego samego tortu.

Odpowiedź: A. $\frac14$.

Wyrównujemy zapis do trzech miejsc po przecinku:

$$0{,}900;\quad 0{,}850;\quad 0{,}089;\quad 0{,}099$$

Największa jest $0{,}900$.

Uwaga: liczba cyfr po przecinku nie decyduje o wielkości — $0{,}9$ jest większe od $0{,}85$, choć ma mniej cyfr.

Odpowiedź: A. $0{,}9$.

Odejmujemy pisemnie, wyrównując przecinki:

$$5{,}8-2{,}3=3{,}5$$

Odpowiedź: $3{,}5$.

Krok 1 — szukamy największego wspólnego dzielnika. Dla $12$ i $18$ jest to $6$.

Krok 2 — dzielimy:

$$\frac{12:6}{18:6}=\frac23$$

Sprawdzenie: $2$ i $3$ nie mają już wspólnego dzielnika większego od $1$ — ułamek jest nieskracalny.

Odpowiedź: $\frac23$.

Zapisujemy $10$ jako $10{,}00$ i odejmujemy pisemnie:

$$10{,}00-4{,}37=5{,}63$$

Sprawdzenie: $5{,}63+4{,}37=10$ ✔

Odpowiedź: $5{,}63$.

Druga cyfra po przecinku to setne, ale cała część ułamkowa $0{,}47$ to $\frac{47}{100}$, czyli $47$ setnych.

Rozbicie: $0{,}47=4$ dziesiąte $+7$ setnych $=47$ setnych.

Odpowiedź: A. $47$.

Ułamek równa się połowie, gdy licznik jest dwa razy mniejszy od mianownika:

$$\frac{5}{10}=\frac{5:5}{10:5}=\frac12$$

Pozostałe: $\frac46=\frac23$, a $\frac25$ i $\frac35$ nie skracają się do połowy.

Odpowiedź: D. $\frac{5}{10}$.

Kilogram ma $1000$ gramów:

$$1{,}25\cdot1000=1250\ \text{g}$$

Odpowiedź: D. $1250$ g.

Jedno miejsce po przecinku oznacza mianownik $10$:

$$3{,}6=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}=3\frac35$$

Odpowiedź: $\frac{36}{10}=3\frac35$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejsza liczba dzieląca się przez $3$ i $4$ to $12$.

Krok 2 — rozszerzamy oba ułamki:

$$\frac23=\frac{8}{12},\qquad \frac34=\frac{9}{12}$$

Krok 3 — porównujemy liczniki:

$$9>8 \quad\Rightarrow\quad \frac34>\frac23$$

Odpowiedź: $\frac34$ jest większy.

Liczba zer w mianowniku wyznacza liczbę miejsc po przecinku:

$$\frac{3}{100}=0{,}03$$

$$\frac{45}{100}=0{,}45$$

$$\frac{7}{1000}=0{,}007$$

Uwaga: w pierwszym i trzecim przypadku trzeba dopisać zera przed cyfrą znaczącą.

Odpowiedź: $0{,}03$; $0{,}45$; $0{,}007$.

Uzupełniamy zerem, aby liczby miały tyle samo miejsc:

$$4{,}25+3{,}80$$

Dodajemy:

$$4{,}25+3{,}80=8{,}05$$

Częsty błąd: potraktowanie $3{,}8$ jako $3{,}08$. Zero dopisujemy na końcu, bo $3{,}8=3{,}80$.

Odpowiedź: $8{,}05$.

Krok 1 — wyrównujemy liczbę miejsc po przecinku. Dopisanie zera na końcu nie zmienia wartości:

$$0{,}7=0{,}70$$

Krok 2 — porównujemy:

$$0{,}70>0{,}65$$

Częsty błąd: uznanie $0{,}65$ za większe, bo „ma więcej cyfr”. Liczba cyfr po przecinku nie decyduje o wielkości.

Odpowiedź: $0{,}7$ jest większy.

Krok 1 — w metrach:

$$3\cdot1000+250=3250\ \text{m}$$

Krok 2 — w kilometrach:

$$3250:1000=3{,}25\ \text{km}$$

Odpowiedź: $3250$ m, czyli $3{,}25$ km.

Uzupełniamy zerami: $0{,}30$; $0{,}25$; $0{,}50$.

Porównujemy: $25<30<50$, więc:

$$0{,}25<0{,}3<0{,}5$$

Odpowiedź: D.

Największy wspólny dzielnik $8$ i $12$ to $4$:

$$\frac{8:4}{12:4}=\frac23$$

Uwaga: $\frac46$ jest równe $\frac23$, ale nie jest jeszcze skrócone do końca.

Odpowiedź: B. $\frac23$.

$$0{,}4+0{,}6=1{,}0=1$$

Uwaga: cztery dziesiąte plus sześć dziesiątych daje dziesięć dziesiątych, czyli całość — nie $0{,}10$.

Odpowiedź: C. $1$.

Dodajemy ceny:

$$4{,}50+6{,}30=10{,}80\ \text{zł}$$

Odpowiedź: trzeba zapłacić $10{,}80$ zł.

Wszystkie mają licznik $1$, więc decyduje mianownik — im większy, tym ułamek mniejszy.

Porządkujemy mianowniki malejąco: $8$, $5$, $3$, $2$.

$$\frac18<\frac15<\frac13<\frac12$$

Odpowiedź: $\frac18$, $\frac15$, $\frac13$, $\frac12$.

Krok 1 — razem:

$$4{,}80+3{,}50=8{,}30\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$10-8{,}30=1{,}70\ \text{zł}$$

Odpowiedź: zapłaciła $8{,}30$ zł, reszty $1{,}70$ zł.

Rozszerzamy ułamek do mianownika $100$:

$$\frac14=\frac{25}{100}=0{,}25$$

Warto zapamiętać: $\frac12=0{,}5$, $\frac14=0{,}25$, $\frac34=0{,}75$.

Odpowiedź: B. $0{,}25$.

Ułamek niewłaściwy ma licznik większy lub równy mianownikowi — jego wartość jest co najmniej $1$.

$$7>4 \quad\Rightarrow\quad \frac74 \ \text{jest niewłaściwy}$$

$$\frac74=1\frac34$$

Odpowiedź: C. $\frac74$.

Centymetr ma $10$ milimetrów:

$$4{,}7\cdot10=47\ \text{mm}$$

Odpowiedź: B. $47$ mm.

Uzupełniamy zerami:

$$10{,}0-3{,}7=6{,}3$$

Sprawdzenie: $6{,}3+3{,}7=10{,}0$ ✔

Odpowiedź: $6{,}3$.

Krok 1 — wspólny mianownik: $12$.

Krok 2 — rozszerzamy:

$$\frac13=\frac{4}{12},\qquad \frac14=\frac{3}{12}$$

Krok 3 — porównanie:

$$\frac{4}{12}>\frac{3}{12} \quad\Rightarrow\quad \frac13>\frac14$$

Odpowiedź: $\frac13$ jest większy.

Krok 1 — wyrównujemy do dwóch miejsc po przecinku:

$$0{,}50;\quad 0{,}45;\quad 0{,}54;\quad 0{,}05$$

Krok 2 — porównujemy jak liczby całkowite (setne części):

$$5<45<50<54$$

Krok 3 — wracamy do zapisu wyjściowego:

$$0{,}05<0{,}45<0{,}5<0{,}54$$

Odpowiedź: $0{,}05$; $0{,}45$; $0{,}5$; $0{,}54$.

$1$ cm to $0{,}01$ m, więc $45$ cm $=0{,}45$ m:

$$3\ \text{m}\ 45\ \text{cm}=3{,}45\ \text{m}$$

Odpowiedź: $3{,}45$ m.

Krok 1 — wspólny mianownik. Sprowadzamy do ósemek:

$$\frac14=\frac{2}{8}$$

Krok 2 — porównanie:

$$\frac38>\frac28$$

Odpowiedź: więcej zjadła Ania.

Krok 1 — na gramy:

$$0{,}75\cdot1000=750\ \text{g}$$

Krok 2 — na dekagramy ($1$ dag $=10$ g):

$$750:10=75\ \text{dag}$$

Skrót: $1$ kg $=100$ dag, więc $0{,}75\cdot100=75$ dag ✔

Odpowiedź: $75$ dag.

Szukamy liczby większej od $0{,}2$ i mniejszej od $0{,}3$.

$$0{,}2<0{,}25<0{,}3 \ ✔$$

Pozostałe leżą poza tym przedziałem.

Odpowiedź: A. $0{,}25$.

Największy wspólny dzielnik $15$ i $25$ to $5$:

$$\frac{15:5}{25:5}=\frac35$$

Odpowiedź: A. $\frac35$.

Krok 1 — dwie cyfry po przecinku dają mianownik $100$:

$$0{,}25=\frac{25}{100}$$

Krok 2 — skracamy przez $25$:

$$\frac{25:25}{100:25}=\frac14$$

Odpowiedź: A. $\frac14$.

Krok 1 — koszt zakupów:

$$3{,}50+2{,}80=6{,}30\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$20-6{,}30=13{,}70\ \text{zł}$$

Odpowiedź: Ali zostało $13{,}70$ zł.

Ułamek o mianowniku $10$ zapisujemy z jedną cyfrą po przecinku:

$$\frac{7}{10}=0{,}7$$

Liczba $0{,}25$ ma dwie cyfry po przecinku, więc mianownik to $100$:

$$0{,}25=\frac{25}{100}=\frac{25:25}{100:25}=\frac14$$

Odpowiedź: $0{,}7$ oraz $\frac14$.

Krok 1 — wyrównujemy:

$$7{,}20-3{,}85$$

Krok 2 — odejmujemy pisemnie z pożyczaniem:

$$7{,}20-3{,}85=3{,}35$$

Sprawdzenie: $3{,}35+3{,}85=7{,}20$ ✔

Odpowiedź: $3{,}35$.

Liczba $2{,}8$ to $2$ całości i $8$ dziesiątych. W całości mieszczą się $20$ dziesiątych, więc razem:

$$2{,}8=\frac{28}{10}=28 \text{ dziesiątych}$$

Odpowiedź: C. $28$.

Ułamek jest nieskracalny, gdy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$.

Liczby $7$ i $9$ takiego dzielnika nie mają.

Pozostałe skracają się: $\frac68=\frac34$, $\frac{9}{12}=\frac34$, $\frac{10}{15}=\frac23$.

Odpowiedź: D. $\frac79$.

Dzielimy przez $1000$:

$$2500:1000=2{,}5\ \text{kg}$$

Kontrola sensu: kilogram to więcej niż gram, więc liczba kilogramów musi być mniejsza od liczby gramów ✔

Odpowiedź: D. $2{,}5$ kg.

Uzupełniamy zerami do dwóch miejsc:

$$1{,}25+2{,}50+0{,}75$$

Dodajemy po kolei:

$$1{,}25+2{,}50=3{,}75,\qquad 3{,}75+0{,}75=4{,}50$$

Odpowiedź: $4{,}5$.

Krok 1 — przez ile rozszerzamy:

$$35:5=7$$

Krok 2 — tym samym mnożymy licznik:

$$4\cdot7=28$$

$$\frac45=\frac{28}{35}$$

Dlaczego to działa: mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę to w istocie mnożenie ułamka przez $1$ zapisane jako $\frac77$ — wartość się nie zmienia.

Sprawdzenie skracaniem: $\frac{28}{35}$ podzielone przez $7$ daje z powrotem $\frac45$ ✔

Odpowiedź: licznik $28$.

Krok 1 — wszystko w centymetrach:

$$2{,}4\ \text{m}=240\ \text{cm},\qquad 1{,}2\ \text{m}=120\ \text{cm}$$

Krok 2 — odcięta długość:

$$85+120=205\ \text{cm}$$

Krok 3 — reszta:

$$240-205=35\ \text{cm}$$

Kluczowa uwaga: przed dodawaniem trzeba sprowadzić wszystkie wielkości do tej samej jednostki. Dodanie „$85+1{,}2$” byłoby bez sensu.

Odpowiedź: zostało $35$ cm.

„Trzy setne” to $0{,}03$ — trzeba pamiętać o zerze na miejscu dziesiątych:

$$2\ \text{całe}\ 3\ \text{setne}=2{,}03$$

Częsty błąd: zapis $2{,}3$ oznaczałby $2$ całe i $3$ dziesiąte — to co innego niż setne.

Odpowiedź: $2{,}03$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Szukamy liczby dzielącej się przez $3$, $6$, $2$ i $4$ — to $12$.

Krok 2 — rozszerzamy wszystkie:

$$\frac23=\frac{8}{12},\quad \frac56=\frac{10}{12},\quad \frac12=\frac{6}{12},\quad \frac34=\frac{9}{12}$$

Krok 3 — porządkujemy liczniki:

$$6<8<9<10$$

Krok 4 — wracamy do postaci wyjściowej:

$$\frac12<\frac23<\frac34<\frac56$$

Odpowiedź: $\frac12$, $\frac23$, $\frac34$, $\frac56$.

Krok 1 — masa jednej paczki w gramach:

$$1000+350=1350\ \text{g}$$

Krok 2 — trzy paczki:

$$3\cdot1350=4050\ \text{g}$$

Krok 3 — na kilogramy:

$$4050:1000=4{,}05\ \text{kg}$$

Uwaga na zapis: $4{,}05$ kg to $4$ kg i $50$ g — zero po przecinku jest istotne. Zapis $4{,}5$ oznaczałby $4$ kg $500$ g.

Odpowiedź: $4{,}05$ kg.

Krok 1 — dystans biegu:

$$3\cdot0{,}4=1{,}2\ \text{km}$$

Krok 2 — dodajemy marsz:

$$1{,}2+0{,}75=1{,}95\ \text{km}$$

Odpowiedź: Kasia pokonała łącznie $1{,}95$ km.

Krok 1 — liczba dziewcząt. Dzielimy klasę na $5$ części po $6$ osób:

$$30:5=6,\qquad 3\cdot6=18\ \text{dziewcząt}$$

Krok 2 — liczba chłopców:

$$30-18=12$$

Krok 3 — jaką część stanowią:

$$\frac{12}{30}=\frac{12:6}{30:6}=\frac25$$

Kontrola: $\frac35+\frac25=\frac55=1$ ✔ — obie grupy dają całość.

Odpowiedź: $12$ chłopców, czyli $\frac25$ klasy.

Krok 1 — długość odciętych kawałków:

$$3\cdot1{,}15=3{,}45\ \text{m}$$

Krok 2 — reszta:

$$5-3{,}45=1{,}55\ \text{m}$$

Krok 3 — zamiana na metry i centymetry:

$$1{,}55\ \text{m}=1\ \text{m}\ 55\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $3{,}45+1{,}55=5$ m ✔

Odpowiedź: $1{,}55$ m, czyli $1$ m i $55$ cm.

Krok 1 — suma opadów. Uzupełniamy zerami do dwóch miejsc:

$$2{,}40+0{,}80+3{,}25=6{,}45\ \text{mm}$$

Krok 2 — różnica między trzecim a drugim dniem:

$$3{,}25-0{,}80=2{,}45\ \text{mm}$$

Odpowiedź: łącznie $6{,}45$ mm; trzeciego dnia o $2{,}45$ mm więcej niż drugiego.

Krok 1 — wspólny mianownik:

$$\frac14=\frac{2}{8},\qquad \frac12=\frac{4}{8}$$

Krok 2 — środek. Między licznikami $2$ i $4$ leży $3$:

$$\frac{3}{8}$$

Krok 3 — sprawdzenie. Ułamek $\frac38$ jest nieskracalny ($3$ i $8$ nie mają wspólnego dzielnika) oraz spełnia:

$$\frac28<\frac38<\frac48 \ ✔$$

Inna droga. Środek to średnia obu liczb:

$$\left(\frac14+\frac12\right):2=\frac34:2=\frac38 \ ✔$$

Odpowiedź: $\frac38$.

Krok 1 — szacunek. Zaokrąglamy cenę do $3{,}50$ zł:

$$2\cdot3{,}50=7\ \text{zł}$$

Krok 2 — rachunek dokładny:

$$2\cdot3{,}49=6{,}98\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie:

$$7-6{,}98=0{,}02\ \text{zł}$$

Wniosek. Szacunek zawyżył wynik o $2$ grosze — bo cenę zaokrągliliśmy w górę o $1$ grosz, a kupujemy dwa kilogramy. Do sprawdzenia, czy wystarczy nam pieniędzy, taki szacunek w zupełności wystarcza.

Odpowiedź: zapłacimy $6{,}98$ zł; szacunek dawał $7$ zł.