Działania łączne na ułamkach zwykłych

Wspólny mianownik to $6$:

$$\frac13=\frac26,\qquad \frac26+\frac16=\frac36=\frac12$$

Odpowiedź: C. $\frac12$.

Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik:

$$\frac{2\cdot3}{3\cdot5}=\frac{6}{15}=\frac25$$

Sprytniej: trójki można skrócić przed mnożeniem — wtedy od razu wychodzi $\frac25$.

Odpowiedź: B. $\frac25$.

Przy jednakowych mianownikach dodajemy liczniki:

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Odpowiedź: B. $\frac{1}{2}$.

Wspólny mianownik dla $3$ i $4$ to $12$:

$$\frac23=\frac{8}{12},\qquad \frac14=\frac{3}{12}$$

$$\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$$

Odpowiedź: $\frac{11}{12}$.

Sposób 1 — przez jedną część:

$$20:4=5,\qquad 3\cdot5=15$$

Sposób 2 — mnożenie:

$$\frac34\cdot20=\frac{60}{4}=15$$

Zapamiętaj: słowo „z" w takich zadaniach oznacza mnożenie.

Odpowiedź: $15$.

Krok 1 — wspólny mianownik $6$:

$$\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{1}{3}=\frac{2}{6}$$

Krok 2 — dodajemy:

$$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$

Odpowiedź: $\frac{5}{6}$.

Wspólny mianownik dla $4$ i $6$ to $12$:

$$\frac34=\frac{9}{12},\qquad \frac16=\frac{2}{12}$$

$$\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}$$

Odpowiedź: $\frac{7}{12}$.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność dzielnika:

$$\frac45\cdot\frac32=\frac{12}{10}=\frac65=1\frac15$$

Odpowiedź: $\frac65$, czyli $1\frac15$.

Krok 1 — wspólny mianownik $4$: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$.

Krok 2 — odejmujemy:

$$\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{4}$.

Ułamki mnożymy licznik przez licznik, mianownik przez mianownik:

$$\frac25\cdot\frac37=\frac{2\cdot3}{5\cdot7}=\frac{6}{35}$$

Uwaga: przy mnożeniu nie szukamy wspólnego mianownika — to błąd przenoszony z dodawania.

Odpowiedź: B. $\frac{6}{35}$.

$$\frac{1\cdot1}{2\cdot3}=\frac16$$

Obrazowo: połowa z jednej trzeciej tortu to jedna szósta tortu — iloczyn ułamków właściwych jest zawsze mniejszy od każdego z nich.

Odpowiedź: C. $\frac16$.

Mnożymy licznik przez licznik, mianownik przez mianownik:

$$\frac{2\cdot3}{3\cdot5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$

Odpowiedź: A. $\frac{2}{5}$.

Skracamy przed mnożeniem: $4$ z $8$ (przez $4$) i $3$ z $9$ (przez $3$):

$$\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$

Sprawdzenie bez skracania: $\frac{12}{72}=\frac16$ ✔

Odpowiedź: $\frac16$.

Liczbę całkowitą zapisujemy jako ułamek o mianowniku $1$:

$$\frac27\cdot\frac{14}{1}=\frac{28}{7}=4$$

Szybciej: $14:7=2$, a $2\cdot2=4$.

Odpowiedź: $4$.

Dzielenie = mnożenie przez odwrotność:

$$\frac{3}{4}:\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1\tfrac12$$

Odpowiedź: $\frac{3}{2}=1\frac12$.

Dzielenie to mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka:

$$\frac35:\frac27=\frac35\cdot\frac72=\frac{21}{10}=2\frac{1}{10}$$

Odpowiedź: D. $\frac{21}{10}$.

Odwrotność powstaje przez zamianę licznika z mianownikiem:

$$\frac38 \ \to\ \frac83$$

Sprawdzenie: iloczyn liczby i jej odwrotności zawsze wynosi $1$ — tutaj $\frac38\cdot\frac83=\frac{24}{24}=1$ ✔

Odpowiedź: A. $\frac83$.

Odwrotność powstaje przez zamianę licznika z mianownikiem:

$$\frac{7}{2}$$

Odpowiedź: C. $\frac{7}{2}$.

Mnożymy przez odwrotność:

$$\frac56:\frac{5}{12}=\frac56\cdot\frac{12}{5}$$

Skracamy piątki i $12$ z $6$:

$$\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{1}=2$$

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — skracamy na krzyż. Piątkę z $10$ oraz trójkę z $6$:

$$\frac{\cancel{5}^{\,1}}{\cancel{6}^{\,2}}\cdot\frac{\cancel{3}^{\,1}}{\cancel{10}^{\,2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}$$

Krok 2 — mnożymy:

$$\frac14$$

Kontrola bez skracania: $\frac{15}{60}=\frac14$ ✔ — skracanie wcześniej oszczędza pracy.

Odpowiedź: $\frac14$.

Krok 1 — wspólny mianownik $12$:

$$\frac{5}{6}=\frac{10}{12},\qquad \frac{1}{4}=\frac{3}{12}$$

Krok 2 — odejmujemy:

$$\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$

Odpowiedź: $\frac{7}{12}$.

Wspólny mianownik dla $2$, $3$ i $4$ to $12$:

$$\frac12=\frac{6}{12},\qquad \frac23=\frac{8}{12},\qquad \frac14=\frac{3}{12}$$

$$\frac{6}{12}+\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$$

Odpowiedź: $\frac{11}{12}$.

Rachunek:

$$6\cdot\frac32=\frac{18}{2}=9$$

Dlaczego wynik rośnie. Pytamy, ile razy $\frac23$ mieści się w $6$. Skoro $\frac23$ jest mniejsze od $1$, zmieści się więcej niż $6$ razy.

Reguła: dzielenie przez ułamek mniejszy od jedynki zawsze powiększa wynik.

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — mnożymy:

$$\frac{4\cdot3}{9\cdot8}=\frac{12}{72}$$

Krok 2 — skracamy (dzielimy przez $12$):

$$\frac{12}{72}=\frac{1}{6}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{6}$.

„Ułamek z liczby” to mnożenie:

$$\frac34\cdot20=\frac{60}{4}=15$$

Szybciej: $20:4=5$, potem $5\cdot3=15$.

Odpowiedź: A. $15$.

Słowo „z" oznacza mnożenie:

$$\frac14\cdot\frac12=\frac18$$

Obrazowo: ćwiartka połowy tortu to jedna ósma całego tortu.

Odpowiedź: D. $\frac18$.

$$2\tfrac13=\frac{2\cdot3+1}{3}=\frac{7}{3}$$

Odpowiedź: D. $\frac{7}{3}$.

Krok 1 — zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:

$$2\frac12=\frac52$$

Krok 2 — mnożymy, skracając:

$$\frac52\cdot\frac45=\frac{1}{1}\cdot\frac{4}{2}=\frac42=2$$

Uwaga: liczbę mieszaną trzeba najpierw zamienić — nie mnożymy osobno całości i ułamka.

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:

$$2\frac12=\frac{2\cdot2+1}{2}=\frac52$$

Krok 2 — mnożymy ze skracaniem:

$$\frac52\cdot\frac45=\frac{20}{10}=2$$

Uwaga: liczby mieszanej nie wolno mnożyć „częściami" — najpierw zamiana na ułamek niewłaściwy.

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — dodajemy części całkowite: $1+2=3$.

Krok 2 — dodajemy ułamki (wspólny mianownik $4$):

$$\frac12+\frac14=\frac24+\frac14=\frac34$$

Krok 3 — łączymy: $3\frac34$.

Odpowiedź: $3\frac34$.

Sprowadzamy do wspólnego mianownika $40$:

$$\frac12=\frac{20}{40},\quad \frac25=\frac{16}{40},\quad \frac34=\frac{30}{40},\quad \frac58=\frac{25}{40}$$

Największy licznik ma $\frac{30}{40}=\frac34$.

Odpowiedź: C. $\frac34$.

Dzielimy przez $3$, czyli mnożymy przez $\frac13$:

$$\frac35\cdot\frac13=\frac{3}{15}=\frac15$$

Uwaga: $\frac{3}{15}$ jest liczbowo poprawne, ale nieskrócone.

Odpowiedź: B. $\frac15$.

$$\frac{5}{8}\cdot8=\frac{5\cdot8}{8}=5$$

Odpowiedź: B. $5$.

Kolejność: najpierw mnożenie, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenie (skracamy $9$ z $3$ i $2$ z $10$):

$$\frac23\cdot\frac{9}{10}=\frac{3}{5}$$

Krok 2 — dodawanie:

$$\frac35+\frac15=\frac45$$

Odpowiedź: $\frac45$.

Krok 1 — liczba dziewcząt:

$$\frac37\cdot28=\frac{84}{7}=12$$

Krok 2 — liczba chłopców:

$$28-12=16$$

Kontrola: chłopcy to $\frac47$ klasy, a $\frac47\cdot28=16$ ✔

Odpowiedź: $16$ chłopców.

Dzielenie przez liczbę = mnożenie przez jej odwrotność $\frac14$:

$$\frac{2}{3}:4=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{6}$.

Odejmujemy na wspólnym mianowniku $6$:

$$\frac56-\frac13=\frac56-\frac26=\frac36=\frac12$$

Odpowiedź: zostało $\frac12$ metra wstążki.

Mnożymy przez odwrotność:

$$\frac78\cdot\frac47=\frac{28}{56}=\frac12$$

Sprytniej ze skracaniem: siódemki się skracają, a $\frac48=\frac12$.

Odpowiedź: $\frac12$.

„Ułamek z liczby” = mnożenie:

$$\frac{3}{5}\cdot20=\frac{3\cdot20}{5}=\frac{60}{5}=12$$

Odpowiedź: $12$.

Wspólny mianownik to $8$:

$$\frac12=\frac48,\qquad \frac78-\frac48=\frac38$$

Odpowiedź: B. $\frac38$.

$$\frac{2\cdot3}{3\cdot2}=\frac66=1$$

To odwrotności — ich iloczyn zawsze wynosi $1$.

Odpowiedź: A. $1$.

Sprowadzamy do mianownika $15$: $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$, $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$. Ponieważ $10>9$:

$$\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$$

Odpowiedź: A. $\frac{2}{3}$.

Krok 1 — nawias (wspólny mianownik $6$):

$$\frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac56$$

Krok 2 — dzielenie:

$$\frac56:\frac56=\frac56\cdot\frac65=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — najpierw mnożenie (ma pierwszeństwo):

$$\frac13\cdot\frac34=\frac{3}{12}=\frac14$$

Krok 2 — dodawanie ze wspólnym mianownikiem:

$$\frac12+\frac14=\frac24+\frac14=\frac34$$

Pułapka: liczenie od lewej dałoby $\frac56\cdot\frac34=\frac58$ — wynik błędny.

Odpowiedź: $\frac34$.

Krok 1 — najpierw mnożenie:

$$\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

Krok 2 — dodawanie (wspólny mianownik $4$):

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $\frac{3}{4}$.

Odwrotność ułamka powstaje przez zamianę licznika z mianownikiem:

$$\frac37 \ \longrightarrow \ \frac73$$

Sprawdzenie: iloczyn liczby i jej odwrotności to $1$: $\frac37\cdot\frac73=1$ ✔

Nie mylić z liczbą przeciwną ($-\frac37$) — to co innego.

Odpowiedź: D. $\frac73$.

Pytanie „ile razy mieści się" to dzielenie:

$$2:\frac14=2\cdot4=8$$

Sprawdzenie: osiem ćwiartek to dwie całości ✔

Odpowiedź: C. $8$ razy.

Ułamek o równym liczniku i mianowniku równa się $1$.

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1 — ile przeczytał (wspólny mianownik $15$):

$$\frac25+\frac13=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}$$

Krok 2 — ile zostało:

$$1-\frac{11}{15}=\frac{15}{15}-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}$$

Odpowiedź: przeczytał $\frac{11}{15}$, zostało $\frac{4}{15}$.

Krok 1 — zużyta mąka:

$$\frac23\cdot\frac34=\frac{6}{12}=\frac12\ \text{kg}$$

Krok 2 — reszta:

$$\frac34-\frac12=\frac34-\frac24=\frac14\ \text{kg}$$

Kontrola: zostało $\frac13$ z $\frac34$, czyli $\frac13\cdot\frac34=\frac14$ ✔

Odpowiedź: zużyto $\frac12$ kg, zostało $\frac14$ kg.

Krok 1 — ile zjedli razem (mianownik $12$):

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12}$$

Krok 2 — reszta (całość to $\frac{12}{12}$):

$$1-\frac{7}{12}=\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$$

Odpowiedź: zostało $\frac{5}{12}$ pizzy.

Krok 1 — całości: $1+2=3$.

Krok 2 — ułamki (wspólny mianownik $6$):

$$\frac12+\frac23=\frac36+\frac46=\frac76=1\frac16$$

Krok 3 — łączymy. Część ułamkowa wyszła większa od $1$, więc dodajemy całość:

$$3+1\frac16=4\frac16$$

Odpowiedź: $4\frac16$.

Krok 1 — rozpoznanie. Pytamy, ile razy $\frac{3}{20}$ mieści się w $\frac{9}{10}$ — to dzielenie.

Krok 2 — mnożymy przez odwrotność:

$$\frac{9}{10}:\frac{3}{20}=\frac{9}{10}\cdot\frac{20}{3}=\frac{180}{30}=6$$

Sprawdzenie: $6\cdot\frac{3}{20}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$ ✔

Odpowiedź: $6$ kawałków.

Krok 1 — zamieniamy liczbę mieszaną na niewłaściwą:

$$2\tfrac13=\frac{7}{3}$$

Krok 2 — mnożymy:

$$\frac{7}{3}\cdot\frac{3}{7}=\frac{21}{21}=1$$

Uwaga. Mnożymy liczby mieszane ZAWSZE po zamianie na ułamki niewłaściwe — nigdy „całości razy całości”.

Odpowiedź: $1$.

Mnożymy ilość na porcję przez liczbę porcji:

$$\frac34\cdot3=\frac{9}{4}=2\frac14$$

Interpretacja: potrzeba $2\frac14$ szklanki, czyli dwie pełne szklanki i jeszcze ćwiartka.

Odpowiedź: $\frac94=2\frac14$ szklanki.

Krok 1 — pole to iloczyn boków:

$$P=\frac45\cdot\frac58$$

Krok 2 — skracamy przed mnożeniem. Piątki skracają się nawzajem, a $4$ z $8$ daje $\frac12$:

$$P=\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}=\frac12\ \text{km}^2$$

Kontrola bez skracania: $\frac{20}{40}=\frac12$ ✔

Odpowiedź: $\frac12$ km$^2$.

Dzielimy $\frac{3}{4}$ przez $3$:

$$\frac{3}{4}:3=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

Odpowiedź: po $\frac{1}{4}$ litra w każdej szklance.

Kolejność: najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenie (skracamy trójki):

$$\frac23\cdot\frac34=\frac{2}{4}=\frac12$$

Krok 2 — dzielenie (mnożymy przez odwrotność):

$$\frac56:\frac53=\frac56\cdot\frac35=\frac{3}{6}=\frac12$$

Krok 3 — dodawanie:

$$\frac12+\frac12=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — pojemność całkowita. Skoro $\frac25$ pojemności to $60$ litrów, to jedna piąta wynosi:

$$60:2=30\ \text{litrów}$$

Krok 2 — całość to pięć takich części:

$$5\cdot30=150\ \text{litrów}$$

Krok 3 — brakuje:

$$150-60=90\ \text{litrów}$$

Kontrola. Brakuje $\frac35$ pojemności, a $\frac35\cdot150=90$ ✔

Uwaga na kierunek działania: mając część i szukając całości, dzielimy przez ułamek: $60:\frac25=60\cdot\frac52=150$ ✔

Odpowiedź: zbiornik mieści $150$ litrów, brakuje $90$ litrów.

Krok 1 — wspólny mianownik $6$:

$$\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{1}{3}=\frac{2}{6},\qquad \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$$

Krok 2 — dodajemy liczniki:

$$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{6}{6}=1 \qquad ∎$$

Wniosek. Trzy ułamki sumują się do całości. To klasyczny „podział jedności” ($3+2+1=6$ szóstych).