Definicja wielomianu, stopień i współczynniki, pierwiastek i jego krotność, twierdzenie Bézouta i dzielenie wielomianów.
12 definicjiWielomian stopnia $n$: $W(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$, gdzie $a_n\ne0$. Liczbę $a_n$ nazywamy współczynnikiem wiodącym, a $a_0$ — wyrazem wolnym.
$$W(x)=(x-a)Q(x)+W(a)$$
Reszta z dzielenia przez dwumian $(x-a)$ równa się wartości wielomianu w punkcie $a$. Stąd kluczowy wniosek:
$$(x-a)\mid W(x) \iff W(a)=0$$
Uwaga na znak: dla dzielnika $(x+2)$ podstawiamy $a=-2$.
Jeśli współczynniki są całkowite, każdy pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ (ułamek nieskracalny) spełnia: $p$ dzieli wyraz wolny, $q$ dzieli współczynnik wiodący. Gdy $a_n=1$, pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą wyraz wolny.
Metody: wyłączanie przed nawias, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, dzielenie przez znaleziony dwumian (schemat Hornera).
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
Rozkładamy na czynniki, zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy krzywą od prawej góry (gdy współczynnik wiodący jest dodatni). Przy pierwiastku o krotności nieparzystej krzywa przechodzi przez oś, przy parzystej — odbija się.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wskazuje tylko kandydatów — każdego trzeba sprawdzić podstawieniem. Nie gwarantuje też, że pierwiastki wymierne w ogóle istnieją (wielomian $x^3-2$ nie ma żadnego).
Zaznaczamy pierwiastki na osi. Krzywą prowadzimy od prawej strony z góry, jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni. Przy każdym pierwiastku jednokrotnym krzywa przechodzi przez oś, przy dwukrotnym (ogólnie: parzystej krotności) tylko jej dotyka i wraca.
Dlatego $W(x)=(x-1)^2(x+4)$ zmienia znak wyłącznie w $x=-4$.
$(x-1)(x-2)(x-3)\lt 0$. Pierwiastki $1$, $2$, $3$; znaki od prawej: $+,-,+,-$. Odpowiedź: $x\in(-\infty,1)\cup(2,3)$.
Ułamek ma taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika, więc:
$$\frac{L(x)}{M(x)}>0 \iff L(x)\cdot M(x)>0 \quad\text{przy } M(x)\neq0$$
To pozwala korzystać z tej samej krzywej znaków co przy wielomianach.
Nie mnożymy nierówności przez mianownik z niewiadomą — nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
$$\frac{x+2}{x-1}\ge1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x+2-(x-1)}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad x>1$$
Stąd $\frac{x}{x-3}\ge0$ daje $x\in(-\infty,0\rangle\cup(3,+\infty)$ — zero domknięte, trójka nie.
Z $x^3\ge4x$ nie wolno skracać przez $x$ (gubimy rozwiązania i mylimy znak). Poprawnie:
$$x^3-4x\ge0 \iff x(x-2)(x+2)\ge0 \iff x\in\langle-2,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$$
Podstaw jedną liczbę z każdego wyznaczonego przedziału do wyjściowej nierówności. To zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje niemal każdy błąd znaku.
Trzy klasyczne błędy: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą, pominięcie warunku na dziedzinę oraz mechaniczne naprzemienne wpisywanie znaków bez sprawdzenia krotności pierwiastków.
Rozkład na czynniki zamienia równanie wielomianowe na iloczyn, który jest zerem tylko wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik. To najskuteczniejsza metoda rozwiązywania równań wyższych stopni.
Przykład pełnego rozkładu: $2x^3-8x=2x(x^2-4)=2x(x-2)(x+2)$.
$$x^3-3x^2+2x-6=x^2(x-3)+2(x-3)=(x-3)(x^2+2)$$
Grupujemy wyrazy tak, by po wyłączeniu powstał ten sam nawias.
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
W drugim czynniku różnicy sześcianów wszystkie znaki są dodatnie.
Suma kwadratów $x^2+a^2$ (dla $a\neq0$) nie ma pierwiastków rzeczywistych — nie rozkłada się na czynniki liniowe.
W $(x-1)^2(x+3)$ pierwiastek $1$ jest podwójny, $-3$ pojedynczy — dwie różne wartości, ale trzy czynniki liniowe.
Zawsze doprowadzaj rozkład do końca. Pominięcie wyłączenia wspólnego czynnika daje rozkład niepełny.
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ jest równa $W(a)$:
$$R=W(a)$$
Pozwala policzyć resztę bez wykonywania dzielenia — wystarczy podstawić jedną liczbę.
$$W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)$$
Liczba $a$ jest pierwiastkiem dokładnie wtedy, gdy $(x-a)$ jest czynnikiem wielomianu. To most między pierwiastkami a rozkładem na czynniki.
Pierwiastek $a=3$ odpowiada czynnikowi $(x-3)$, a dzielnik $(x+2)$ oznacza $a=-2$. Łatwo pomylić znak.
$$\deg(\text{iloraz})=\deg(\text{dzielna})-\deg(\text{dzielnik})$$
Reszta ma stopień mniejszy od dzielnika. Przy dzieleniu przez dwumian reszta jest więc stałą.
Uzupełniamy brakujące potęgi zerami, dzielimy najwyższe wyrazy, odejmujemy i powtarzamy. Przykład: $(x^3-1):(x-1)=x^2+x+1$.
Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego. To zawęża listę kandydatów do sprawdzenia.
Dwa wielomiany są równe, gdy mają identyczne współczynniki przy tych samych potęgach. Stąd metoda współczynników nieoznaczonych.
Przy dzieleniu pisemnym nie gub brakujących potęg. Sprawdzaj znak przy przechodzeniu od pierwiastka do czynnika.
Wyrażenie postaci $a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$. Stopień to najwyższy wykładnik zmiennej o niezerowym współczynniku.
Redukujemy wyrazy podobne — o tej samej potędze $x$.
Zmieniamy znaki wszystkich wyrazów odjemnika, a potem dodajemy.
Nie przekracza większego ze stopni; może się obniżyć, gdy skasują się wyrazy najwyższego stopnia.
Każdy wyraz pierwszego wielomianu mnożymy przez każdy wyraz drugiego, a następnie redukujemy wyrazy podobne.
Równy sumie stopni czynników.
$(a\pm b)^2$, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $(a\pm b)^3$, $a^3\pm b^3$.
$(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$.
To najwyższy wykładnik zmiennej o niezerowym współczynniku.
Współczynnik przy najwyższej potędze; wyraz wolny to $a_0$.
$W(0)$ równa się wyrazowi wolnemu.
Dwa wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy tych samych potęgach.
Każda liczba to suma dwóch nad nią; brzegi to jedynki.
Wiersz $n$ zawiera $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$.
Wiersze dają współczynniki rozwinięcia $(a+b)^n$.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ — współczynniki $1,2,1$.
Rozwiązujemy przez rozkład na czynniki i twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (dzielniki wyrazu wolnego).
$x_0$ jest pierwiastkiem $\iff (x-x_0)$ dzieli wielomian.
Sprowadzamy do iloczynu czynników niższych stopni.
Pozwala rozwiązać równanie trzeciego stopnia postaci $x^3+px+q=0$.
To pierwiastki wielomianu; w nich wykres przecina lub dotyka osi $OX$.
Krotność nieparzysta — przecięcie osi; parzysta — dotknięcie.
Zależy od stopnia i znaku współczynnika wiodącego.
Ustalamy pierwiastki, ich krotności i kierunek ramion.
Wielomiany opisują objętości, pola i zależności w zadaniach.
Rozwiązujemy je, rozkładając na czynniki.
Ekstrema wyznaczamy, badając wielomian i jego wykres.
Objętość pudełka jako funkcja długości boku prowadzi do wielomianu trzeciego stopnia.
Dodawanie, mnożenie i dzielenie wielomianów (z resztą).
Reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-a)$ równa się $W(a)$.
Szukamy ich wśród dzielników wyrazu wolnego.
Postać iloczynowa ułatwia rozwiązywanie równań wielomianowych.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.