MATEMATIX

Polityka prywatności

Obowiązuje od: 3 sierpnia 2025 r.
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330  ·  REGON: 021 344 565  ·  tel. +48 455 405 228  ·  e-mail: firma@amkbit.pl
Start › Klasy › Klasa 1 LO › Współczynnik kierunkowy prostej

Współczynnik kierunkowy prostej

Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Równanie prostej i współczynnik kierunkowy

Postać kierunkowa

$$y=ax+b$$

Litera $a$ to współczynnik kierunkowy — mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Litera $b$ to wyraz wolny — wartość $y$ w punkcie przecięcia z osią $OY$.

Monotoniczność

$$a>0 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad a<0 \Rightarrow \text{malejąca},\qquad a=0 \Rightarrow \text{stała}$$

Wyraz wolny nie wpływa na monotoniczność — przesuwa jedynie wykres w pionie.

Prosta przez dwa punkty

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$

Mając $a$, wyznaczamy $b$ przez podstawienie współrzędnych dowolnego z punktów. Drugi punkt służy wtedy do sprawdzenia.

Przykład: dla $A=(1,5)$ i $B=(3,1)$ mamy $a=\frac{1-5}{3-1}=-2$, potem $5=-2+b$, czyli $b=7$ i ostatecznie $y=-2x+7$.

Równoległość i prostopadłość

$$\text{równoległe}:\ a_1=a_2,\qquad \text{prostopadłe}:\ a_1\cdot a_2=-1$$

Warunek prostopadłości wygodnie stosuje się tak: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.

Proste o równych $a$ i równych $b$ pokrywają się; równe $a$ i różne $b$ oznacza proste rozłączne.

Postać ogólna

$$Ax+By+C=0$$

Zamiana na postać kierunkową polega na wyznaczeniu $y$:

$$2x+3y-6=0 \ \Rightarrow\ y=-\tfrac23x+2$$

Postać ogólna obejmuje również proste pionowe ($B=0$), których nie da się zapisać jako $y=ax+b$.

Punkty przecięcia z osiami

Z osią $OY$: podstawiamy $x=0$ i otrzymujemy punkt $(0,\ b)$.

Z osią $OX$: rozwiązujemy $ax+b=0$, czyli szukamy miejsca zerowego $x=-\frac{b}{a}$.

Punkt przecięcia dwóch prostych

Porównujemy prawe strony równań. Dla $y=2x-1$ i $y=-x+5$ dostajemy $3x=6$, czyli $x=2$ i $y=3$. Zawsze warto sprawdzić wynik w drugim równaniu.

Współliniowość trzech punktów

Punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest taki sam. Dla $(1,2)$, $(3,6)$ i $(5,10)$ oba wynoszą $2$, więc punkty są współliniowe, a prosta to $y=2x$.

Zastosowania

Taksówka z opłatą $8$ zł i stawką $3$ zł za kilometr to $f(x)=3x+8$. Współczynnik kierunkowy jest tempem wzrostu kosztu, a wyraz wolny — kosztem stałym. Ten sam schemat opisuje abonamenty, rachunki za prąd czy koszt produkcji.

Na co uważać

Nie myl $a$ z $b$ przy odczycie ze wzoru. Przy prostopadłości pamiętaj o zmianie znaku, nie tylko o odwróceniu ułamka. I sprawdzaj wynik, podstawiając punkt do równania.

∑Wzory 2

Równanie prostej i współczynnik kierunkowy
$$y=ax+b,\qquad a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\operatorname{tg}\alpha,\qquad y-y_1=a(x-x_1)$$

Co robi: opisuje prostą na płaszczyźnie i pozwala wyznaczyć jej równanie z dwóch punktów albo z punktu i nachylenia.

Elementy: $a$ — współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ — wyraz wolny (punkt przecięcia z osią $OY$), $\alpha$ — kąt nachylenia do osi $OX$. Trzeci wzór to postać kierunkowa przez punkt $(x_1,y_1)$.

Przykład: prosta przez $(1,2)$ i $(3,8)$: $a=\frac{8-2}{3-1}=3$, więc $y-2=3(x-1)$, czyli $y=3x-1$.

Pułapka: prosta pionowa $x=c$ nie ma współczynnika kierunkowego (mianownik $x_2-x_1=0$) i nie da się jej zapisać w postaci $y=ax+b$. Zawsze sprawdź, czy punkty nie mają równych odciętych.

Współczynnik kierunkowy i warunki wzajemnego położenia prostych
$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}, \qquad a_1 = a_2 \ (\parallel), \qquad a_1 \cdot a_2 = -1 \ (\perp)$$

Co robi: wyznacza nachylenie prostej przechodzącej przez dwa punkty i rozstrzyga, czy dwie proste są równoległe, czy prostopadłe.

Elementy: $A=(x_A,y_A)$ i $B=(x_B,y_B)$ to punkty prostej, $a$ — współczynnik kierunkowy w postaci $y=ax+b$.

Interpretacja: $a$ mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Dla $a>0$ funkcja rośnie, dla $a<0$ maleje, dla $a=0$ jest stała.

Przykład: dla $A=(1,5)$ i $B=(3,1)$ mamy $a=\frac{1-5}{3-1}=-2$. Podstawiając punkt $A$: $5=-2+b$, czyli $b=7$ i prosta ma równanie $y=-2x+7$.

Prostopadłość w praktyce: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.

Współliniowość: trzy punkty leżą na jednej prostej, gdy $a$ liczone dla różnych par jest takie samo.

Pułapka: przy prostopadłości nie wystarczy odwrócić ułamka — trzeba też zmienić znak. Proste o równych $a$ i równych $b$ nie są równoległe, tylko się pokrywają.

🧩Quizy 1

▶Współczynnik kierunkowy prostej8 pyt. średni

✍Zadania 64

Zadanie nr 1

Współczynnik kierunkowy prostej $y=3x-5$ wynosi:

A $-5$
B $3$
C $5$
D $-3$
Zadanie nr 1

Funkcja liniowa ma postać:

A $y=ax^2+b$
B $y=ax+b$
C $y=\frac{a}{x}$
D $y=a^x$
Zadanie nr 2

Sprawdź, czy punkt $P=(2,\ 7)$ należy do prostej $y=2x+3$.

Zadanie nr 2

Oblicz wartość funkcji $f(x)=2x-3$ dla $x=4$.

Zadanie nr PP12.1

Miejscem zerowym funkcji $f(x)=-2x+6$ jest liczba

A $3$
B $-3$
C $6$
D $-6$
Zadanie nr 3

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A=(1,\ 2)$ i $B=(4,\ 11)$.

Zadanie nr 3

Współczynnik kierunkowy funkcji $y=3x+5$ wynosi:

A $3$
B $5$
C $8$
D $-3$
Zadanie nr PP12.2

Funkcja liniowa $f(x)=(2m-4)x+1$ jest rosnąca dla każdej liczby $m$ z przedziału

A $(2,\infty)$
B $(-\infty,2)$
C $(4,\infty)$
D $(-\infty,-2)$
Zadanie nr 4

Proste $y=2x+1$ i $y=2x-4$ są:

A prostopadłe
B przecinające się
C równoległe
D pokrywające się
Zadanie nr 4

Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=2x-8$.

Zadanie nr PP12.3

Prosta przechodząca przez punkty $A=(-1,3)$ i $B=(2,-3)$ ma równanie

A $y=-2x+1$
B $y=2x+5$
C $y=-2x+5$
D $y=-\tfrac12x+\tfrac52$
Zadanie nr 5

Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=4x-12$.

Zadanie nr 5

Funkcja $y=ax+b$ jest rosnąca, gdy:

A $a<0$
B $a=0$
C $a>0$
D $b>0$
Zadanie nr PP12.4

Prosta równoległa do prostej $y=3x-2$ i przechodząca przez punkt $P=(1,5)$ ma równanie

A $y=3x+2$
B $y=-\tfrac13x+\tfrac{16}3$
C $y=3x+5$
D $y=3x-2$
Zadanie nr 6

Prosta prostopadła do $y=2x+3$ ma współczynnik kierunkowy:

A $-\frac12$
B $2$
C $\frac12$
D $-2$
Zadanie nr 6

Sprawdź, czy punkt $A=(2,7)$ należy do wykresu funkcji $f(x)=3x+1$.

Zadanie nr PP12.5

Proste $k:\ y=(m-1)x+3$ oraz $l:\ y=\tfrac12x-4$ są prostopadłe, gdy $m$ jest równe

A $-1$
B $3$
C $\tfrac32$
D $-3$
Zadanie nr 7

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(0,\ 3)$ i $B=(2,\ 7)$.

Zadanie nr 7

Wyznacz miejsce zerowe i punkt przecięcia z osią $OY$ funkcji $f(x)=-\frac12 x+3$.

Zadanie nr PP12.6

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej $f(x)=ax+b$. Wynika stąd, że

xy−3−2−11234567−2−112340
A $a\lt 0$ i $b\gt 0$
B $a\gt 0$ i $b\gt 0$
C $a\lt 0$ i $b\lt 0$
D $a\gt 0$ i $b\lt 0$
Zadanie nr 8

Prosta $y=ax+b$ przechodzi przez punkty $(1,\ 5)$ i $(3,\ 1)$. Wyznacz $a$ i $b$.

Zadanie nr 8

Funkcja $y=5$ (stała) jest:

A rosnąca
B malejąca
C kwadratowa
D stała (nie rośnie ani nie maleje)
Zadanie nr PP12.7

Funkcje liniowe $f(x)=2x-8$ oraz $g(x)=ax+3$ mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik $a$ jest równy

A $-\tfrac34$
B $\tfrac34$
C $-\tfrac43$
D $\tfrac43$
Zadanie nr 9

Funkcja liniowa $f(x)=ax+b$ jest malejąca, gdy:

A $b<0$
B $a>0$
C $a=0$
D $a<0$
Zadanie nr 9

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $(0,2)$ i $(1,5)$.

Zadanie nr PP12.8

Dana jest funkcja $f(x)=-3x+6$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

  1. Wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,6)$.
  2. Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ pod kątem ostrym.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P 1. P, 2. P
P/F 1. P, 2. F
F/P 1. F, 2. P
F/F 1. F, 2. F
Zadanie nr 10

Zapisz równanie $2x+3y-6=0$ w postaci kierunkowej i podaj punkty przecięcia z osiami.

Zadanie nr 10

Dwie proste są równoległe, gdy mają:

A równe współczynniki kierunkowe
B przeciwne współczynniki
C iloczyn współczynników $-1$
D ten sam wyraz wolny
Zadanie nr PP12.9

Oblicz miarę kąta, jaki prosta $y=\sqrt3x-2$ tworzy z dodatnią półosią $Ox$.

Zadanie nr 11

Która prosta jest równoległa do $y=-4x+1$?

A $y=4x+1$
B $y=-4x-7$
C $y=\frac14x$
D $y=x-4$
Zadanie nr 11

Podaj wzór prostej równoległej do $y=2x+1$ przechodzącej przez punkt $(0,-3)$.

Zadanie nr PP12.10

Dana jest prosta $k:\ y=2x-3$ oraz punkt $P=(4,1)$. Wyznacz równanie prostej $l$ prostopadłej do prostej $k$ i przechodzącej przez punkt $P$. Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostych $k$ i $l$.

Zadanie nr 12

Wyznacz równanie prostej równoległej do $y=3x-2$ i przechodzącej przez punkt $P=(1,\ 5)$.

Zadanie nr 12

Proste $y=2x+1$ i $y=-\frac12 x+4$ są:

A równoległe
B prostopadłe
C pokrywają się
D takie same
Zadanie nr 13

Wyznacz punkt przecięcia prostych $y=2x-1$ oraz $y=-x+5$.

Zadanie nr 13

Wyznacz wzór funkcji liniowej o współczynniku kierunkowym $-2$, której miejscem zerowym jest $x=3$.

Zadanie nr 14

Prosta $y=ax+3$ przechodzi przez punkt $(2,\ 11)$. Ile wynosi $a$?

A $3$
B $5$
C $4$
D $7$
Zadanie nr 14

Wykresem funkcji liniowej jest zawsze:

A parabola
B hiperbola
C prosta
D okrąg
Zadanie nr 15

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do $y=\frac13x+4$ i przechodzącej przez punkt $(3,\ 1)$.

Zadanie nr 15

Wyznacz wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty $(1,3)$ i $(4,12)$.

Zadanie nr 16

Prosta $y=5$ jest:

A równoległa do osi $OX$
B równoległa do osi $OY$
C nachylona pod kątem $45^\circ$
D przechodząca przez początek układu
Zadanie nr 16

Funkcja $f(x)=-3x+7$ jest:

A malejąca
B rosnąca
C stała
D kwadratowa
Zadanie nr 17

Dane są punkty $A=(-2,\ 1)$ i $B=(4,\ 4)$. Wyznacz równanie prostej $AB$ oraz sprawdź, czy punkt $C=(0,\ 2)$ na niej leży.

Zadanie nr 17

Taksówka pobiera $8$ zł opłaty początkowej i $3$ zł za każdy kilometr. Zapisz koszt jako funkcję liczby kilometrów i oblicz koszt przejazdu $12$ km.

Zadanie nr 18

Dla jakiej wartości $m$ proste $y=(m-1)x+3$ oraz $y=2x-5$ są równoległe? A dla jakiej prostopadłe?

Zadanie nr 18

Dla jakiej wartości $m$ funkcja $f(x)=(m-2)x+5$ jest stała?

Zadanie nr 19

Taksówka pobiera $8$ zł opłaty początkowej i $3$ zł za każdy kilometr. Zapisz koszt przejazdu jako funkcję liniową, podaj interpretację obu współczynników i oblicz, ile kilometrów przejedziemy za $50$ zł.

Zadanie nr 19

Proste $y=(2m+1)x+3$ i $y=5x-4$ są równoległe. Wyznacz $m$.

Zadanie nr 20

Wykaż, że punkty $A=(1,\ 2)$, $B=(3,\ 6)$ i $C=(5,\ 10)$ leżą na jednej prostej. Podaj jej równanie.

Zadanie nr 20

Wykaż, że dla dowolnych dwóch różnych punktów $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ o różnych odciętych współczynnik kierunkowy prostej $AB$ wynosi $a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Zadanie nr 13.2 · Matura 2026

Wykres funkcji $f$ z zadania 13 jest nachylony do osi $Ox$ pod kątem $\alpha$. Tangens kąta $\alpha$ jest równy

A $-\tfrac32$
B $-\tfrac23$
C $\tfrac23$
D $\tfrac32$
Zadanie nr 23 · Próbny 2026

Proste $k:(m-1)x+3y+5=0$ oraz $l:6x+y+7=0$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa

A $6$
B $7$
C $18$
D $19$
Zadanie nr 24 · Matura 2026

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami $k:\ y=(m-3)x+(m+4)$ oraz $l:\ y=-5x+1$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa

A $(-5)$
B $(-3)$
C $(-2)$
D $1$
Zadanie nr 23 · Matura 2025

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami $k:\ y=(m-2)x+5$ oraz $l:\ y=-4x+(m+3)$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa

A $(-4)$
B $(-2)$
C $2$
D $5$
Zadanie nr 22 · Próbny 2024

Dana jest prosta $k$ o równaniu $y=-7x+3$. Prosta $l$ jest równoległa do $k$ i przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,6)$. Punkt $(1,p)$ należy do prostej $l$. Liczba $p$ jest równa

A $(-4)$
B $(-1)$
C $\dfrac{5}{7}$
D $7$
Zadanie nr 19 · Próbny 2023

Dane są proste $k:\ y=-\dfrac{1}{2}x-7$ oraz $l:\ y=(2m-1)x+13$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy

A $m=-\dfrac{1}{2}$
B $m=\dfrac{1}{4}$
C $m=\dfrac{3}{2}$
D $m=2$
Zadanie nr 21 · Próbny 2022
Przez punkty \(A=(-2,5)\) i \(B=(4,9)\) poprowadzono prostą. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:
A \(a=\frac{2}{3}\)
B \(a=-\frac{2}{3}\)
C \(a=\frac{3}{2}\)
D \(a=-\frac{3}{2}\)
Zadanie nr 12 · Próbny 2021
Prosta o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez punkty \(P=(-3;3)\) i \(Q=(4;-2)\). Współczynnik \(b\) w równaniu tej prostej jest równy:
A \(-\frac{5}{7}\)
B \(\frac{5}{6}\)
C \(\frac{6}{5}\)
D \(\frac{6}{7}\)
Zadanie nr 21 · Matura 2021
W układzie współrzędnych dane są dwa punkty \(A=(1,-2)\) oraz \(B=(3,1)\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy:
A \(\left(-\frac{3}{2}\right)\)
B \(\left(-\frac{2}{3}\right)\)
C \(\frac{2}{3}\)
D \(\frac{3}{2}\)
Zadanie nr 4 · Próbny 2017
Prosta \(l\) przechodzi przez punkty \(A=(6,-7), B=(-10,3)\). Prosta \(k\) jest symetralną odcinka \(AB\). Współczynnik kierunkowy prostej \(k\) jest równy:
A \(-\frac{8}{5}\)
B \(\frac{8}{5}\)
C \(\frac{5}{8}\)
D \(-\frac{5}{8}\)
Zadanie nr 10 · Matura 2015
Na rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu \(y=ax+b\).



Matematyka jest prosta



Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:
A \(a=-\frac{3}{2}\)
B \(a=-\frac{2}{3}\)
C \(a=-\frac{2}{5}\)
D \(a=-\frac{3}{5}\)
Zadanie nr 20 · Matura 2015
Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty \(A=(-4,3)\) oraz \(B=(8,7)\), jest równy:
A \(a=3\)
B \(a=-1\)
C \(a=\frac{5}{6}\)
D \(a=\frac{1}{3}\)
Zadanie nr 15 · Próbny 2012
Dane są punkty \(A=(6,1)\) i \(B=(3,3)\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy:
A \(-\frac{2}{3}\)
B \(-\frac{3}{2}\)
C \(\frac{3}{2}\)
D \(\frac{2}{3}\)
Zadanie nr 15 · Matura 2011
Dane są punkty \(A=(-2,2)\) i \(B=(4,-2)\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy:
A \(a=-\frac{2}{3}\)
B \(a=-\frac{3}{2}\)
C \(a=\frac{3}{2}\)
D \(a=\frac{2}{3}\)
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas