Start › Klasy › Klasa 1 LO › Warunek prostopadłości prostych

Warunek prostopadłości prostych

Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Równanie prostej i współczynnik kierunkowy

Postać kierunkowa

$$y=ax+b$$

Litera $a$ to współczynnik kierunkowy — mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Litera $b$ to wyraz wolny — wartość $y$ w punkcie przecięcia z osią $OY$.

Monotoniczność

$$a>0 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad a\lt 0 \Rightarrow \text{malejąca},\qquad a=0 \Rightarrow \text{stała}$$

Wyraz wolny nie wpływa na monotoniczność — przesuwa jedynie wykres w pionie.

Prosta przez dwa punkty

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$

Mając $a$, wyznaczamy $b$ przez podstawienie współrzędnych dowolnego z punktów. Drugi punkt służy wtedy do sprawdzenia.

Przykład: dla $A=(1,5)$ i $B=(3,1)$ mamy $a=\frac{1-5}{3-1}=-2$, potem $5=-2+b$, czyli $b=7$ i ostatecznie $y=-2x+7$.

Równoległość i prostopadłość

$$\text{równoległe}:\ a_1=a_2,\qquad \text{prostopadłe}:\ a_1\cdot a_2=-1$$

Warunek prostopadłości wygodnie stosuje się tak: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.

Proste o równych $a$ i równych $b$ pokrywają się; równe $a$ i różne $b$ oznacza proste rozłączne.

Postać ogólna

$$Ax+By+C=0$$

Zamiana na postać kierunkową polega na wyznaczeniu $y$:

$$2x+3y-6=0 \ \Rightarrow\ y=-\tfrac23x+2$$

Postać ogólna obejmuje również proste pionowe ($B=0$), których nie da się zapisać jako $y=ax+b$.

Punkty przecięcia z osiami

Z osią $OY$: podstawiamy $x=0$ i otrzymujemy punkt $(0,\ b)$.

Z osią $OX$: rozwiązujemy $ax+b=0$, czyli szukamy miejsca zerowego $x=-\frac{b}{a}$.

Punkt przecięcia dwóch prostych

Porównujemy prawe strony równań. Dla $y=2x-1$ i $y=-x+5$ dostajemy $3x=6$, czyli $x=2$ i $y=3$. Zawsze warto sprawdzić wynik w drugim równaniu.

Współliniowość trzech punktów

Punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest taki sam. Dla $(1,2)$, $(3,6)$ i $(5,10)$ oba wynoszą $2$, więc punkty są współliniowe, a prosta to $y=2x$.

Zastosowania

Taksówka z opłatą $8$ zł i stawką $3$ zł za kilometr to $f(x)=3x+8$. Współczynnik kierunkowy jest tempem wzrostu kosztu, a wyraz wolny — kosztem stałym. Ten sam schemat opisuje abonamenty, rachunki za prąd czy koszt produkcji.

Na co uważać

Nie myl $a$ z $b$ przy odczycie ze wzoru. Przy prostopadłości pamiętaj o zmianie znaku, nie tylko o odwróceniu ułamka. I sprawdzaj wynik, podstawiając punkt do równania.

∑Wzory 2

Proste równoległe i prostopadłe

$$a_1=a_2\ \ (\parallel),\qquad a_1\cdot a_2=-1\ \ (\perp)$$

Warunki dla prostych $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$.

Przykład: Prosta prostopadła do $y=2x+1$ ma $a=-\frac{1}{2}$.

Współczynnik kierunkowy przez dwa punkty

$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\operatorname{tg}\alpha$$

Nachylenie prostej przez punkty $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$; $\alpha$ — kąt z osią $Ox$.

Przykład: $A(1,2)$, $B(3,8)$: $a=\frac{6}{2}=3$.

🧩Quizy 1

▶Warunek prostopadłości prostych8 pyt. średni

✍Zadania dodatkowe 28

Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.

Zadanie nr PP12.1

Miejscem zerowym funkcji $f(x)=-2x+6$ jest liczba

A $3$

B $-3$

C $6$

D $-6$

Zadanie nr PP12.2

Funkcja liniowa $f(x)=(2m-4)x+1$ jest rosnąca dla każdej liczby $m$ z przedziału

A $(-\infty,2)$

B $(2,\infty)$

C $(4,\infty)$

D $(-\infty,-2)$

Zadanie nr PP12.3

Prosta przechodząca przez punkty $A=(-1,3)$ i $B=(2,-3)$ ma równanie

A $y=2x+5$

B $y=-2x+5$

C $y=-2x+1$

D $y=-\tfrac12x+\tfrac52$

Zadanie nr PP12.4

Prosta równoległa do prostej $y=3x-2$ i przechodząca przez punkt $P=(1,5)$ ma równanie

A $y=-\tfrac13x+\tfrac{16}3$

B $y=3x+5$

C $y=3x-2$

D $y=3x+2$

Zadanie nr PP12.5

Proste $k:\ y=(m-1)x+3$ oraz $l:\ y=\tfrac12x-4$ są prostopadłe, gdy $m$ jest równe

A $-1$

B $3$

C $\tfrac32$

D $-3$

Zadanie nr PP12.6

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej $f(x)=ax+b$. Wynika stąd, że

A $a\gt 0$ i $b\gt 0$

B $a\lt 0$ i $b\gt 0$

C $a\lt 0$ i $b\lt 0$

D $a\gt 0$ i $b\lt 0$

Zadanie nr PP12.7

Funkcje liniowe $f(x)=2x-8$ oraz $g(x)=ax+3$ mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik $a$ jest równy

A $\tfrac34$

B $-\tfrac43$

C $-\tfrac34$

D $\tfrac43$

Zadanie nr PP12.8

Dana jest funkcja $f(x)=-3x+6$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

Wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,6)$.
Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ pod kątem ostrym.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P 1. P, 2. P

P/F 1. P, 2. F

F/P 1. F, 2. P

F/F 1. F, 2. F

Zadanie nr PP12.9

Oblicz miarę kąta, jaki prosta $y=\sqrt3x-2$ tworzy z dodatnią półosią $Ox$.

Zadanie nr PP12.10

Dana jest prosta $k:\ y=2x-3$ oraz punkt $P=(4,1)$. Wyznacz równanie prostej $l$ prostopadłej do prostej $k$ i przechodzącej przez punkt $P$. Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostych $k$ i $l$.

Zadanie nr 1

Współczynnik kierunkowy prostej $y=3x-5$ wynosi:

A $-5$

B $3$

C $5$

D $-3$

Zadanie nr 2

Sprawdź, czy punkt $P=(2,\ 7)$ należy do prostej $y=2x+3$.

Zadanie nr 3

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A=(1,\ 2)$ i $B=(4,\ 11)$.

Zadanie nr 4

Proste $y=2x+1$ i $y=2x-4$ są:

A prostopadłe

B przecinające się

C równoległe

D pokrywające się

Zadanie nr 5

Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=4x-12$.

Zadanie nr 6

Prosta prostopadła do $y=2x+3$ ma współczynnik kierunkowy:

A $-\frac12$

B $2$

C $\frac12$

D $-2$

Zadanie nr 7

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(0,\ 3)$ i $B=(2,\ 7)$.

Zadanie nr 8

Prosta $y=ax+b$ przechodzi przez punkty $(1,\ 5)$ i $(3,\ 1)$. Wyznacz $a$ i $b$.

Zadanie nr 10

Zapisz równanie $2x+3y-6=0$ w postaci kierunkowej i podaj punkty przecięcia z osiami.

Zadanie nr 11

Która prosta jest równoległa do $y=-4x+1$?

A $y=4x+1$

B $y=-4x-7$

C $y=\frac14x$

D $y=x-4$

Zadanie nr 12

Wyznacz równanie prostej równoległej do $y=3x-2$ i przechodzącej przez punkt $P=(1,\ 5)$.

Zadanie nr 13

Wyznacz punkt przecięcia prostych $y=2x-1$ oraz $y=-x+5$.

Zadanie nr 14

Prosta $y=ax+3$ przechodzi przez punkt $(2,\ 11)$. Ile wynosi $a$?

A $3$

B $5$

C $4$

D $7$

Zadanie nr 15

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do $y=\frac13x+4$ i przechodzącej przez punkt $(3,\ 1)$.

Zadanie nr 16

Prosta $y=5$ jest:

A równoległa do osi $OX$

B równoległa do osi $OY$

C nachylona pod kątem $45^\circ$

D przechodząca przez początek układu

Zadanie nr 17

Dane są punkty $A=(-2,\ 1)$ i $B=(4,\ 4)$. Wyznacz równanie prostej $AB$ oraz sprawdź, czy punkt $C=(0,\ 2)$ na niej leży.

Zadanie nr 18

Dla jakiej wartości $m$ proste $y=(m-1)x+3$ oraz $y=2x-5$ są równoległe? A dla jakiej prostopadłe?

Zadanie nr 20

Wykaż, że punkty $A=(1,\ 2)$, $B=(3,\ 6)$ i $C=(5,\ 10)$ leżą na jednej prostej. Podaj jej równanie.

📄Zadania z arkuszy 89

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.

Zadanie nr 23 · Matura 2024

Proste $k:\ y=(m+1)x+7$ oraz $l:\ y=-2x+7$ są prostopadłe, gdy liczba $m$ jest równa

A $-\tfrac12$

B $\tfrac12$

C $-3$

D $1$

Zadanie nr 23 · Matura 2024

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami:
$$k:\; y=(m+1)x+7$$ $$l:\; y=-2x+7$$

Proste $k$ oraz $l$ są prostopadłe, gdy liczba $m$ jest równa:

A $\left(-\frac{1}{2}\right)$

B $\frac{1}{2}$

C $(-3)$

D $1$

Zadanie nr 23 · Matura 2023

Dane są proste $k:\ y=\tfrac23x$ oraz $l:\ y=-\tfrac32x+13$. Rozstrzygnij, czy są prostopadłe, i podaj współrzędne punktu przecięcia $P$ (wybór: A/B oraz 1: $(-6,-4)$, 2: $(6,4)$, 3: $(-6,4)$).

Zadanie nr 23 · Matura 2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach
$$k:\quad y=\frac{2}{3}x$$ $$l:\quad y=-\frac{3}{2}x+13$$

Proste $k$ oraz $l$:

są prostopadłe

są równoległe

i przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych

$(-6,-4)$

$(6,4)$

$(-6,4)$

Zadanie nr 27 · Matura 2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste o równaniach $y=\sqrt{3}x+6$, $y=-\sqrt{3}x+6$ oraz $y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x-2$ przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta $KLM$.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt $KLM$ jest A. równoramienny / B. prostokątny, ponieważ 1. oś $Ox$ przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta / 2. dwie z tych prostych są prostopadłe / 3. oś $Oy$ zawiera dwusieczną tego trójkąta.

A1 A1

A2 A2

A3 A3

B1 B1

B2 B2

B3 B3

Zadanie nr 18 · Próbny 2023

Dana jest prosta $l$ o równaniu $y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{15}{2}$. Prosta $k$ jest prostopadła do $l$ i przechodzi przez punkt $P=(6,0)$. Prosta $k$ ma równanie

A $y=\dfrac{3}{2}x+6$

B $y=-\dfrac{2}{3}x+6$

C $y=\dfrac{3}{2}x-9$

D $y=-\dfrac{2}{3}x+4$

Zadanie nr 13 · Próbny 2023

Dana jest prosta $k$ o równaniu $y=\frac{1}{3}x+4$. Prosta $l$ o równaniu $y=(2m+1)x-2$, gdzie $m$ to pewna liczba rzeczywista, jest prostopadła do prostej $k$.

Liczba $m$ jest równa:

A $-3$

B $-2$

C $1$

D $3$

Zadanie nr 26 · Matura 2023

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-x+1$. Funkcja $g$ jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykres funkcji $g$ przechodzi przez punkt $P=(0,-1)$ i jest prostopadły do wykresu funkcji $f$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzorem funkcji $g$ jest

A $g(x)=x+1$

B $g(x)=-x-1$

C $g(x)=-x+1$

D $g(x)=x-1$

Zadanie nr 23 · Matura 2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach

$$k:\quad y=\frac{2}{3}x$$ $$
l:\quad y=-\frac{3}{2}x+13$$

Proste $k$ oraz $l$:

Matematyka jest prosta

Zadanie nr 34 · Matura 2023

W kwadracie $ABCD$ punkty $A=(-8;-2)$ oraz $C=(0;4)$ są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną $BD$ tego kwadratu.

Matematyka jest prosta

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Co prawda nie jest to konieczne, ale dobrze jest sobie zobrazować całą sytuację za pomocą prostego rysunku. Pamiętając o tym, że przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości, otrzymamy mniej więcej taką oto sytuację:
Matematyka jest prosta

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej $AC$.
Znamy współrzędne punktów $A$ oraz $C$, więc bez problemu możemy wyznaczyć równanie prostej $AC$. W tym celu możemy skorzystać z rozbudowanego wzoru z tablic lub po prostu z metody układu równań (w tym celu do postaci $y=ax+b$ musimy podstawić współrzędne najpierw punktu $A$, potem $C$). Można też postąpić jeszcze nieco sprytniej. Skoro prosta przechodzi przez punkt $C=(0;4)$ to znaczy, że przecina ona oś $OY$ dla $y=4$, co z kolei oznacza, że współczynnik $b=4$. Wiemy już zatem, że nasza prosta wyraża się równaniem $y=ax+4$.

Chcąc poznać brakując współczynnik $a$ wystarczy teraz podstawić do wyznaczonej postaci $y=ax+4$ współrzędne punktu $A$, zatem:
$$-2=-8\cdot a+4$$ $$-6=-8a$$ $$a=\frac{3}{4}$$

Krok 3. Wyznaczenie środka odcinka $AC$.
Musimy wyznaczyć środek odcinka $AC$, ponieważ jest to punkt, przez który będzie przechodzić także poszukiwana prosta $BD$. Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{-8+0}{2};\frac{-2+4}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{-8}{2};\frac{2}{2}\right)$$ $$S=(-4;1)$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej $BD$.
Prosta $BD$ będzie prostą prostopadłą do prostej $AC$, ponieważ przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym. Z własności prostych prostopadłych wiemy, że iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy $-1$. Skoro więc prosta $AC$ miała współczynnik $a=\frac{3}{4}$, to nasza prosta $BD$ będzie miała ten współczynnik $a=-\frac{4}{3}$, bo $\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot\frac{3}{4}=-1$. Skoro tak, to wiemy już, że ta prosta będzie wyrażać się równaniem $y=-\frac{4}{3}x+b$.

Aby wyznaczyć brakujący współczynnik $b$, musimy podstawić do wyznaczonego równania $y=-\frac{4}{3}x+b$ współrzędne jakiegoś punktu, przez który ta prosta przechodzi - w tym przypadku możemy podstawić wyznaczone wcześniej współrzędne punktu $S=(-4;1)$. Skoro tak, to:
$$1=-\frac{4}{3}\cdot(-4)+b$$ $$1=\frac{16}{3}+b$$ $$b=-\frac{13}{3}$$

To oznacza, że poszukiwanym równaniem jest $y=-\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$.

Zadanie nr 21 · Matura 2022

Proste o równaniach $y=\frac{2}{3}x-3$ oraz $y=(2m-1)x+1$ są prostopadłe, gdy:

A $m=-\frac{5}{4}$

B $m=-\frac{1}{4}$

C $m=\frac{5}{6}$

D $m=\frac{5}{4}$

Zadanie nr 22 · Próbny 2022

Odcinek o końcach $A=(1,3)$ i $B=(5,11)$ jest zawarty w prostej o równaniu $y=2x+1$. Symetralna odcinka $AB$ ma równanie:

A $y=-2x-13$

B $y=-2x+5$

C $y=-\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}$

D $y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$

Zadanie nr 22 · Matura 2022

Proste o równaniach $y=-\frac{5}{4}x-2$ oraz $y=\frac{4}{2m-1}x+1$ są prostopadłe. Wynika stąd, że:

A $m=\frac{21}{10}$

B $m=-\frac{11}{10}$

C $m=-2$

D $m=3$

Zadanie nr 23 · Matura 2022

Proste o równaniach $y=-3x+\frac{1}{3}$ oraz $y=\frac{1}{3}x-3$ przecinają się w punkcie $P=(x_{0}, y_{0})$. Wynika stąd, że:

A $x_{0}\gt0$ i $y_{0}\gt0$

B $x_{0}\gt0$ i $y_{0}\lt0$

C $x_{0}\lt0$ i $y_{0}\gt0$

D $x_{0}\lt0$ i $y_{0}\lt0$

Zadanie nr 22 · Matura 2022

Dane są cztery proste $k,l,m,n$ o równaniach:

k: $y=-x+1$

l: $y=\frac{2}{3}x+1$

m: $y=-\frac{3}{2}x+4$

n: $y=-\frac{2}{3}x-1$

Wśród tych prostych prostopadłe są:

A proste $k$ oraz $l$

B proste $k$ oraz $n$

C proste $l$ oraz $m$

D proste $m$ oraz $n$

Zadanie nr 22 · Matura 2021

Prosta $k$ ma równanie $y=-\frac{4}{7}x+24$. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej $k$ jest równy:

A $\frac{7}{4}$

B $\left(-\frac{7}{4}\right)$

C $\left(-\frac{4}{7}\right)$

D $\frac{4}{7}$

Zadanie nr 21 · Próbny 2021

Proste o równaniach $y=3ax-2$ i $y=2x+3a$ są prostopadłe. Wtedy $a$ jest równe:

A $\frac{2}{3}$

B $-\frac{1}{6}$

C $\frac{3}{2}$

D $-5$

Zadanie nr 22 · Próbny 2021

Dany jest trapez $ABCD$, w którym boki $AB$ i $CD$ są równoległe oraz $C=(3,5)$. Wierzchołki $A$ i $B$ tego trapezu leżą na prostej o równaniu 𝑦$y=5x+3$. Wtedy bok $CD$ tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu:

A $y=3x+5$

B $y=-\frac{1}{5}x+3$

C $y=5x-10$

D $y=-\frac{1}{5}x+\frac{28}{5}$

Zadanie nr 11 · Próbny 2021

Przekątna $AC$ rombu $ABCD$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=-\frac{3}{2}x+1$. Punkt $S=(2;-2)$ jest środkiem symetrii tego rombu. Wynika z tego, że przekątna $BD$ tego rombu jest zawarta w prostej o równaniu:

A $y=-\frac{3}{2}x-1$

B $y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}$

C $y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$

D $y=\frac{3}{2}x-5$

Zadanie nr 10 · Próbny 2021

Prostą równoległą do prostej $k: 3x+2y-5=0$, przechodzącą przez punkt $P=(2,-5)$, jest prosta:

A $l: y=-\frac{3}{2}x-2$

B $l: y=\frac{3}{2}x-2$

C $l: y=-\frac{3}{2}x+2$

D $l: y=\frac{3}{2}x+2$

Zadanie nr 22 · Matura 2021

Proste o równaniach $y=-\frac{1}{m-2}x-1$ i $y=\frac{1}{3}x+1$ są równoległe. Wynika stąd, że: