Układy równań — zadania tekstowe (2)

Krok 1. Stworzenie układu równań.
Oznaczmy sobie nasz poszukiwany ułamek jako \(\frac{x}{y}\). Na podstawie treści zadania możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
\frac{x+\frac{1}{2}x}{y+\frac{1}{2}x}=\frac{4}{7} \           ,\
\frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{2}
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Układ możemy próbować rozwiązać na wiele sposobów, ale chyba najprościej będzie zacząć od mnożenia na krzyż w pierwszym i drugim równaniu.
\begin{cases}
7\cdot(x+\frac{1}{2}x)=4\cdot(y+\frac{1}{2}x) \           ,\
2\cdot(x+1)=1\cdot(y+1)
\end{cases}\begin{cases}
7x+\frac{7}{2}x=4y+2x \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
2x+2=y+1
\end{cases}\begin{cases}
14x+7x=8y+4x \           ,\
2x+1=y \quad\bigg/\cdot(-8)
\end{cases}\begin{cases}
17x=8y \           ,\
-16x-8=-8y
\end{cases}

Dzięki sprytnemu pomnożeniu obu stron przez \(-8\) możemy teraz dodać do siebie obie strony równania i pozbyć się w ten sposób niewiadomej \(y\). Oczywiście można też byłoby zastosować tutaj metodę podstawiania i podstawić \(y=2x+1\) z drugiego równania do równania pierwszego. Finalnie uzyskamy ten sam efekt:
$$x-8=0 \           ,\
x=8$$

Krok 3. Obliczenie wartości mianownika poszukiwanego ułamka.
Znamy już wartość licznika (\(x=8\)), więc podstawmy go pod dowolnie wybrane równanie z układu równań i obliczmy w ten sposób niewiadomą \(y\):
$$17x=8y \           ,\
17\cdot8=8y \           ,\
y=17$$

To oznacza, że poszukiwanym ułamkiem jest \(\frac{8}{17}\).

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Pierwszy samochód przejechał: \(474-300=174\) (kilometrów)
Drugi samochód przejechał: \(300\) (kilometrów)
Czas jazdy pierwszego samochodu: \(t_{1}=\frac{174}{v_{1}}\) (godzin)
Czas jazdy drugiego samochodu: \(t_{2}=\frac{300}{v_{2}}\) (godzin)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Aby rozwiązać to zadanie musimy teraz powiązać ze sobą odpowiednie informacje i zapisać je w formie układu równań.

Do stworzenia pierwszego równania skorzystamy z informacji na temat prędkości obydwu pojazdów, bo choć nie znamy ich dokładnych wartości, to wiemy że:
$$v_{1}=v_{2}-17$$

Drugie równanie ułożymy wiedząc, że pierwszy samochód wyruszył godzinę później, zatem:
$$t_{1}+1=t_{2} \           ,\
\frac{174}{v_{1}}+1=\frac{300}{v_{2}} \quad\bigg/\cdot v_{1}v_{2} \           ,\
174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1}$$

Z tych dwóch informacji możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
v_{1}=v_{2}-17 \           ,\
174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1}
\end{cases}

Skoro \(v_{1}=v_{2}-17\), to podstawiając to do drugiego równania otrzymamy:
$$174v_{2}+(v_{2}-17)v_{2}=300(v_{2}-17) \           ,\
174v_{2}+{v_{2}}^{2}-17v_{2}=300v_{2}-5100 \           ,\
{v_{2}}^{2}-143v_{2}+5100=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-143,\;c=5100\)
$$Δ=b^2-4ac=(-143)^2-4\cdot1\cdot5100=20449-20440=49 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$v_{2}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-143)-7}{2\cdot1}=\frac{143-7}{2}=\frac{136}{2}=68 \           ,\
\text{lub}\           ,\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-143)+7}{2\cdot1}=\frac{143+7}{2}=\frac{150}{2}=75$$

Krok 4. Obliczenie wszystkich możliwości uzyskiwanych prędkości.
Jeśli \(v_{2}=68\), to \(v_{1}=68-17=51\)
Jeśli \(v_{2}=75\), to \(v_{1}=75-17=58\)

Żadnej z tych odpowiedzi nie możemy odrzucić, zatem obydwie możliwości są prawidłowe i takie też jest rozwiązanie naszego zadania.

Skoro wartość licznika ma być powiększona o \(6\), a mianownika o \(15\) i całość daje w dalszym ciągu postać \(\frac{m}{n}\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{m+6}{n+15}=\frac{m}{n}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$(m+6)\cdot n=(n+15)\cdot m \           ,\
mn+6n=mn+15m \           ,\
6n=15m \           ,\
6=\frac{15m}{n} \           ,\
\frac{m}{n}=\frac{6}{15}$$

Obliczyliśmy wartość naszego ułamka, ale to jeszcze nie koniec. Z treści zadania wynika, że nasz ułamek jest nieskracalny, więc otrzymaną postać \(\frac{6}{15}\) musimy jeszcze skrócić, czyli:
$$\frac{m}{n}=\frac{2}{5}$$

Szukanymi liczbami będą więc \(m=2\) oraz \(n=5\).

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Zaczniemy od wprowadzenia oznaczeń dotyczących cyfr dziesiątek i jedności:
\(x\) - cyfra dziesiątek
\(y\) - cyfra jedności

Z treści wynika, że suma tych dwóch cyfr jest równa \(14\), zatem:
$$x+y=14$$

Spróbujmy teraz zapisać równanie opisujące naszą liczbę, bazując na oznaczeniach \(x\) oraz \(y\). Wbrew pozorom nie możemy zapisać, że \(a=xy\) lub \(a=x+y\). Tego typu liczby zapisujemy jako:
$$a=10\cdot x+y$$

Powyższy zapis jest standardowy w tego typu zadaniach, więc warto o nim pamiętać. Jeśli nie jest on zbyt zrozumiały (zwłaszcza to mnożenie przez \(10\)), to wystarczy sobie wyobrazić, że przykładowo dla \(x=5\) oraz \(y=8\) otrzymamy liczbę \(a=5\cdot10+8=58\).

Dodatkowo z treści zadania wiemy, że przy zamianie cyfr (czyli gdy będziemy mieli liczbę \(10y+x\)) powstanie liczba o \(18\) mniejsza, zatem:
$$10y+x=10x+y-18$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Bazując na równaniach zapisanych w poprzednim kroku, możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
x+y=14 \           ,\
10y+x=10x+y-18
\end{cases}

Najprościej będzie skorzystać z metody podstawiania. Wyznaczmy więc wartość \(x\) z pierwszego równania i przy okazji uporządkujmy to drugie równanie:
\begin{cases}
x=14-y \           ,\
-9x+9y=-18 \quad\bigg/:(-9)
\end{cases}

\begin{cases}
x=14-y \           ,\
x-y=2
\end{cases}

Teraz podstawiając pierwsze równanie do drugiego, otrzymamy:
$$14-y-y=2 \           ,\
-2y=-12 \           ,\
y=6$$

Znamy już wartość jednej z cyfr, więc musimy jeszcze obliczyć drugą. W tym celu wystarczy podstawić obliczone \(y=6\) do jednego z równań np. \(x=14-y\), otrzymując:
$$x=14-6 \           ,\
x=8$$

To oznacza, że nasza liczba \(a\) jest równa:
$$a=8\cdot10+6 \           ,\
a=80+6 \           ,\
a=86$$

To zadanie można rozwiązać układając odpowiednie równania, ale można też podejść do tematu nieco sprytniej. Wiemy, że na trzy skoki lisa przypadają dwa skoki psa. Rozpisując to, otrzymamy następującą sytuację:
· Skok lisa ma \(1m\), więc trzy skoki dają dystans \(3\cdot1m=3m\).
· Skok psa ma \(2m\), więc dwa skoki dają dystans \(2\cdot2m=4m\).

Można więc przyjąć, że w trakcie jednego cyklu, pies dogoni lisa na \(1m\). Do dogonienia ma on dystans \(30m\), więc będzie potrzebował \(30\) cykli. Skoro więc każdy cykl psa to trasa o długości \(4m\), to cały dystans będzie równy \(30\cdot4m=120m\).