Monotoniczność funkcji

Obliczenie wartości funkcji polega na wstawieniu liczby w miejsce $x$:

$$f(4)=3\cdot4-5=12-5=7$$

Pułapka: odpowiedź D to wynik po samym pomnożeniu, bez odjęcia $5$.

Odpowiedź: C. $f(4)=7$.

Podstawiamy kolejne argumenty:

$$f(0)=0^2-4=-4$$

$$f(3)=3^2-4=9-4=5$$

$$f(-3)=(-3)^2-4=9-4=5$$

Uwaga na nawias: $(-3)^2=9$, a nie $-9$ — podnosimy do kwadratu całą liczbę ujemną.

Obserwacja: $f(3)=f(-3)$, bo funkcja zależy tylko od $x^2$. Jej wykres jest symetryczny względem osi OY.

Odpowiedź: $f(0)=-4$, $f(3)=5$, $f(-3)=5$.

Tym razem znamy wartość, a szukamy argumentu — układamy równanie $f(x)=9$:

$$2x+1=9$$

Rozwiązujemy:

$$2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Sprawdzenie: $f(4)=2\cdot4+1=9$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Mianownik ułamka nie może być zerem, więc wykluczamy argumenty spełniające:

$$x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Zatem dziedziną jest zbiór:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$

Pułapka ze znakiem: w mianowniku stoi $x-3$, więc wykluczamy $3$, a nie $-3$.

Odpowiedź: B.

Pierwiastek kwadratowy jest określony tylko dla liczb nieujemnych, więc żądamy:

$$x-2\ge 0$$

Rozwiązujemy nierówność:

$$x\ge 2$$

Dziedzina to przedział:

$$D=\langle 2,\,+\infty)$$

Uwaga: nierówność jest nieostra, bo $\sqrt{0}=0$ jest poprawną wartością — liczba $2$ należy do dziedziny.

Odpowiedź: $D=\langle 2,\,+\infty)$.

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero:

$$f(x)=0 \quad\Rightarrow\quad 4x-12=0$$

Rozwiązujemy:

$$4x=12 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Interpretacja geometryczna: wykres przecina oś OX w punkcie $(3,\,0)$.

Odpowiedź: miejsce zerowe to $x=3$.

Funkcja przypisuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość.

W przypadku D jednej liczbie odpowiada nieskończenie wiele liczb większych — na przykład liczbie $2$ odpowiadają $3$, $4$, $5$ i tak dalej. To narusza definicję funkcji.

Pozostałe przypadki są funkcjami: uczeń ma jedną datę urodzenia, liczba jeden kwadrat, a miasto jedną liczbę mieszkańców.

Uwaga: funkcja może przypisać tę samą wartość różnym argumentom — to dozwolone. Zabronione jest tylko dwie wartości dla jednego argumentu.

Odpowiedź: D.

Analiza przebiegu. Idąc od lewej krawędzi dziedziny, wartości rosną aż do $x=1$, a potem zaczynają maleć.

Punkt $x=1$ jest więc szczytem wykresu — na lewo od niego wartości są mniejsze (bo funkcja dopiero rosła), a na prawo również mniejsze (bo zaczęła maleć).

Wniosek: wartość największa jest osiągana dla $x=1$ i wynosi $f(1)$.

Gdzie jest wartość najmniejsza: na jednym z końców dziedziny — trzeba porównać $f(-3)$ z $f(5)$, bo z samej monotoniczności tego nie rozstrzygniemy.

Odpowiedź: wartość największa dla $x=1$.

O monotoniczności funkcji liniowej decyduje współczynnik kierunkowy $a$:

$$a>0 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad a\lt 0 \Rightarrow \text{malejąca},\qquad a=0 \Rightarrow \text{stała}$$

Tutaj $a=-2\lt 0$, więc funkcja maleje w całej dziedzinie.

Sprawdzenie liczbowe: $f(0)=6$, $f(1)=4$, $f(2)=2$ — wartości faktycznie spadają.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — szukamy zależności. Porównujemy argumenty z wartościami:

$$3=3\cdot1,\quad 6=3\cdot2,\quad 9=3\cdot3,\quad 12=3\cdot4$$

Każda wartość jest trzykrotnością argumentu.

Krok 2 — wzór funkcji:

$$f(x)=3x$$

Krok 3 — obliczamy $f(10)$:

$$f(10)=3\cdot10=30$$

Kontrola: wzór musi pasować do wszystkich par z tabeli, nie tylko do pierwszej. Tu pasuje do każdej.

Odpowiedź: $f(x)=3x$ oraz $f(10)=30$.

Punkt należy do wykresu, gdy jego współrzędne spełniają wzór funkcji. Sprawdzamy kolejno:

$$f(2)=2^2-1=3 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (2,\,3) \text{ należy}$$

$$f(1)=1^2-1=0 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (1,\,1) \text{ nie należy}$$

$$f(0)=0^2-1=-1 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (0,\,1) \text{ nie należy}$$

Odpowiedź: B. $(2,\,3)$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Rozwiązujemy $f(x)=0$:

$$x^2-9=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{ lub } \ x=-3$$

Krok 2 — gdzie wartości są ujemne. Parabola ma ramiona skierowane w górę ($a=1>0$), więc leży pod osią OX pomiędzy miejscami zerowymi:

$$f(x)\lt 0 \iff x\in(-3,\,3)$$

Sprawdzenie: $f(0)=-9\lt 0$ — punkt $0$ leży w tym przedziale ✔, a $f(4)=16-9=7>0$ — punkt $4$ leży poza nim ✔

Odpowiedź: miejsca zerowe $x=-3$ i $x=3$; wartości ujemne dla $x\in(-3,\,3)$.

Wykluczamy argumenty zerujące mianownik:

$$x^2-4=0$$

Rozkładamy na czynniki:

$$(x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-2$$

Zatem dziedziną jest:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$$

Uwaga: licznik nie ma tu żadnego znaczenia — dziedzinę ogranicza wyłącznie mianownik. Trzeba też wykluczyć obie liczby, nie tylko jedną.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$.

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny:

$$x^2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^2+2\ge 2$$

Najmniejsza wartość $2$ jest osiągana dla $x=0$, więc należy do zbioru wartości — dlatego przedział jest domknięty od lewej.

Różnica między C a D: odpowiedź D wyklucza liczbę $2$, a przecież $f(0)=2$.

Odpowiedź: C. $ZW=\langle 2,\,+\infty)$.

Punkt $A=(1,\,4)$. Obliczamy wartość funkcji dla $x=1$:

$$f(1)=3\cdot1+1=4$$

Wynik zgadza się z drugą współrzędną punktu, więc $A$ należy do wykresu.

Punkt $B=(-2,\,-5)$. Obliczamy wartość dla $x=-2$:

$$f(-2)=3\cdot(-2)+1=-6+1=-5$$

Również się zgadza, więc $B$ także należy do wykresu.

Wniosek dodatkowy: oba punkty leżą na tej samej prostej — można to wykorzystać do jej narysowania, bo dwa punkty wyznaczają prostą.

Odpowiedź: oba punkty należą do wykresu.

Na osi OY pierwsza współrzędna jest zawsze równa zeru, więc punkt przecięcia ma postać $(0,\,y)$, gdzie $y$ to wartość funkcji dla argumentu $0$:

$$y=f(0)$$

Nie mylić z miejscem zerowym — to punkt przecięcia z osią OX, gdzie $f(x)=0$. Są to dwie różne rzeczy.

Przykład: dla $f(x)=2x+6$ wykres przecina OY w $(0,\,6)$, a OX w $(-3,\,0)$.

Odpowiedź: A.

Obliczamy reszty:

$$7=3\cdot2+1 \quad\Rightarrow\quad f(7)=1$$

$$9=3\cdot3+0 \quad\Rightarrow\quad f(9)=0$$

$$11=3\cdot3+2 \quad\Rightarrow\quad f(11)=2$$

Zbiór wartości. Reszta z dzielenia przez $3$ jest zawsze mniejsza od $3$ i nieujemna, więc możliwe wyniki to:

$$ZW=\{0,\,1,\,2\}$$

Ciekawostka: ta funkcja przypisuje tę samą wartość nieskończenie wielu argumentom (np. $f(3)=f(6)=f(9)=0$) — to całkowicie zgodne z definicją funkcji.

Odpowiedź: $f(7)=1$, $f(9)=0$, $f(11)=2$; $ZW=\{0,\,1,\,2\}$.

Krok 1 — wzór funkcji. Niech $x$ oznacza liczbę godzin:

$$K(x)=15+4x$$

Krok 2 — koszt za $5$ godzin:

$$K(5)=15+4\cdot5=15+20=35\ \text{zł}$$

Krok 3 — na ile godzin wystarczy $51$ zł. Rozwiązujemy równanie $K(x)=51$:

$$15+4x=51 \quad\Rightarrow\quad 4x=36 \quad\Rightarrow\quad x=9$$

Sprawdzenie: $15+4\cdot9=15+36=51$ zł ✔

Uwaga na dziedzinę: liczba godzin nie może być ujemna, więc sensowna dziedzina to $x\ge 0$.

Odpowiedź: $K(x)=15+4x$; za $5$ godzin zapłacimy $35$ zł; $51$ zł wystarczy na $9$ godzin.

Krok 1 — dziedzina. Mianownik nie może być zerem:

$$x-1\neq 0 \quad\Rightarrow\quad x\neq 1,\qquad D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$$

Krok 2 — obliczamy $f(4)$:

$$f(4)=\frac{4+3}{4-1}=\frac{7}{3}$$

Krok 3 — miejsce zerowe. Ułamek jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy licznik jest zerem (przy niezerowym mianowniku):

$$x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3$$

Sprawdzenie dziedziny: $-3\neq 1$, więc argument jest dopuszczalny ✔

Sprawdzenie wartości: $f(-3)=\frac{-3+3}{-3-1}=\frac{0}{-4}=0$ ✔

Częsty błąd: przyrównywanie do zera całego ułamka razem z mianownikiem. Mianownik zeruje dziedzinę, a nie wartość.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$, $f(4)=\frac73$, miejsce zerowe $x=-3$.

1. Wykres zaczyna się w $x=-5$ (kółko pełne) i kończy w $x=6$ (kółko pełne); nad każdym $x$ z tego przedziału jest punkt wykresu.
2. $D=[-5,6]$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to przybliżony zbiór wartości (oś $Oy$), a nie dziedzina.

1. Pierwszy odcinek daje wartości $[-2,2)$ (w $x=-1$ kółko puste).
2. Środkowy odcinek: tylko wartość $3$.
3. Trzeci odcinek: od $2$ (kółko puste) do $-2$ — też $[-2,2)$.
4. Wartość $2$ nie jest osiągana: $ZW=[-2,2)\cup\{3\}$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — pominięta „dziura” między $2$ a $3$; C — puste kółka oznaczają, że $2$ nie jest wartością funkcji.

1. Wykres przecina oś $Ox$ w $x=-3$ (na odcinku $y=x+3$) oraz w $x=4$ (na odcinku $y=-x+4$).

Odpowiedź: C

1. Prosta $y=3$ pokrywa się ze środkowym odcinkiem wykresu dla wszystkich $x\in[-1,2]$.
2. Równanie ma więc nieskończenie wiele rozwiązań.

Odpowiedź: D

1. Na $[0,2]$ funkcja ma wartość $3$; na $(2,5]$ maleje od $2$ do $f(5)=-5+4=-1$.
2. Najmniejsza wartość: $-1$ (dla $x=5$).

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — to najmniejsza wartość na całej dziedzinie, a nie w przedziale $[0,5]$.

1. Na $[-5,-1)$ rośnie, na $[-1,2]$ jest stała, a dla $x\ge2$ jej wartości maleją: $f(2)=3$, potem od $2$ do $-2$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? C — funkcja stała nie jest malejąca; D — na $[-1,2]$ wartości się nie zmieniają.

1. Wykres jest nad osią $Ox$: od $x=-3$ (bez) przez cały środkowy odcinek aż do $x=4$ (bez).
2. Łącznie $x\in(-3,4)$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — pominięty środkowy odcinek $y=3$, który też leży nad osią; B — w miejscach zerowych $f(x)=0$, a nie $\gt 0$.

1. 1. $f(-2)=-2+3=1$, $f(5)=-5+4=-1$, suma $0$ — prawda.
2. 2. $f(x)=2$: na $[-5,-1)$ daje $x=-1$ — poza przedziałem; na $[-1,2]$ wartość to $3$; na $(2,6]$ daje $x=2$ — poza przedziałem. Brak argumentów — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $g(x)=f(x-2)$ — wykres $f$ przesunięty o $2$ jednostki w prawo.
2. Dziedzina: $[-5+2,\ 6+2]=[-3,8]$.
3. Miejsca zerowe przesuwają się o $2$: $-3+2=-1$ oraz $4+2=6$.

Odpowiedź: $D_g=[-3,8]$, miejsca zerowe: $-1$ i $6$

1. a) $2x+6$ na $[-4,-1)$: wartości $[-2,4)$; środek: $4$; $-2x+6$ na $(1,4]$: wartości $[-2,4)$. Razem $[-2,4]$.
2. b) $2x+6=2 \Rightarrow x=-2\in[-4,-1)$ ✓; $-2x+6=2 \Rightarrow x=2\in(1,4]$ ✓; środkowy wzór daje $4\ne2$. Dwa rozwiązania.
3. c) $2x+6\ge0 \Rightarrow x\ge-3$: $[-3,-1)$; środek: cały $[-1,1]$; $-2x+6\ge0 \Rightarrow x\le3$: $(1,3]$. Suma: $[-3,3]$.
4. d) Największa wartość to $4$ — przyjmowana dla każdego $x\in[-1,1]$.

Odpowiedź: a) $[-2,4]$; b) $2$; c) $[-3,3]$; d) $x\in[-1,1]$