Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
Warto znać też sześciany:
$$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$$
$$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right),\qquad a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$$
$$(a+b)^2\neq a^2+b^2$$
Brakuje środkowego wyrazu $2ab$. Łatwo to sprawdzić liczbami: $(2+3)^2=25$, ale $4+9=13$.
$$(2x-5)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot5+25=4x^2-20x+25$$
Do kwadratu podnosimy cały jednomian — również liczbę przed literą. Zapis $2x^2$ zamiast $4x^2$ to bardzo częsta pomyłka.
Od lewej do prawej — rozwijamy. Od prawej do lewej — rozkładamy na czynniki:
$$x^2-49=(x-7)(x+7),\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$$
Umiejętność rozpoznania wzoru w gotowym wyrażeniu jest cenniejsza niż samo mnożenie.
Najpierw wyłączamy wspólny czynnik, dopiero potem szukamy wzorów:
$$2x^3-18x=2x\left(x^2-9\right)=2x(x-3)(x+3)$$
Pominięcie pierwszego kroku daje rozkład niepełny. Wyłączamy zawsze największy wspólny czynnik — z $8x^2+12x$ wyłączamy $4x$, a nie samo $4$ czy samo $x$.
$$102^2=(100+2)^2=10\,000+400+4=10\,404$$
$$97\cdot103=(100-3)(100+3)=10\,000-9=9991$$
$$51\cdot49=2500-1=2499$$
Wzory zamieniają jedno trudne mnożenie na kilka łatwych działań.
$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$
Znając $a+b=7$ i $ab=10$, obliczymy $a^2+b^2=49-20=29$ bez wyznaczania samych liczb. To standardowy chwyt w zadaniach z sumą i iloczynem.
$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2$$
Ponieważ $(x-3)^2\ge0$, całe wyrażenie jest zawsze co najmniej równe $2$ — to standardowy sposób dowodzenia, że wyrażenie kwadratowe jest dodatnie, a przy okazji znajdujemy jego wartość najmniejszą.
Nie gub wyrazu $2ab$. Nie zapominaj o nawiasie przy odejmowaniu całego wyrażenia. I zawsze doprowadzaj rozkład do końca.
Jak kwadrat sumy, ale środkowy wyraz ze znakiem minus.
Przykład: $(2x-5)^2=4x^2-20x+25$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Wyrażenie $(x-4)^2$ jest równe
Wyrażenie $(2a+3)^2$ jest równe
Liczba $(\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)$ jest równa
Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wyrażenie $(2a-5)^2-(2a+5)^2$ jest równe
Wartość wyrażenia $x^2-6x+9$ dla $x=3+\sqrt5$ jest równa
Liczba $(\sqrt5-1)^2$ jest równa
Wyrażenie $x^3-8$ można zapisać w postaci
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Usuń niewymierność z mianownika ułamka $\dfrac{4}{\sqrt5-1}$.
Liczby rzeczywiste $a$ i $b$ spełniają warunki $a+b=6$ oraz $ab=4$. Oblicz $a^2+b^2$ oraz $(a-b)^2$.
Oblicz w pamięci $102^2$, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
Oblicz $97\cdot103$ bez mnożenia pisemnego.
Wykonaj mnożenie: $(x+2)(x^2-3x+1)$.
Rozwiń: $(x+1)^3$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.