1
MATEMATIX

Polityka cookies

Obowiązuje od: 3 sierpnia 2025 r.
Podmiot prowadzący: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330  ·  REGON: 021 344 565  ·  tel. +48 455 405 228  ·  e-mail: firma@amkbit.pl
Start › Klasy › Klasa 1 LO › Potęga o wykładniku wymiernym

Potęga o wykładniku wymiernym

Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Pierwiastki i potęgi o wykładniku wymiernym

Wykładnik całkowity

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad a^0=1 \ (a\neq0)$$

Ujemny wykładnik daje ułamek, a nie liczbę ujemną: $3^{-2}=\frac19$, a nie $-9$. Dla ułamka w podstawie działa to jak odwrócenie: $\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32$.

Wykładnik wymierny

$$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},\qquad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Przykłady: $16^{\frac12}=4$, $8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=4$, $\left(\frac14\right)^{-\frac12}=4^{\frac12}=2$.

Praktyczna sztuczka: zamień podstawę na potęgę liczby pierwszej. $8^{\frac23}=(2^3)^{\frac23}=2^2=4$ liczy się szybciej niż przez pierwiastek.

Działania na pierwiastkach

$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$

Dodawanie i odejmowanie nie rozdziela się pod pierwiastkiem: $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$, ale $\sqrt{25}=5$.

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Szukamy największego kwadratu ukrytego w liczbie:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2,\qquad \sqrt{18}=3\sqrt2,\qquad \sqrt{32}=4\sqrt2$$

Po sprowadzeniu do tego samego pierwiastka można dodawać: $5\sqrt2+3\sqrt2=8\sqrt2$.

Pierwiastki stopnia nieparzystego

Istnieją także dla liczb ujemnych: $\sqrt[3]{-27}=-3$, bo $(-3)^3=-27$. Pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Pojedynczy pierwiastek — mnożymy przez niego licznik i mianownik:

$$\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$

Suma lub różnica — mnożymy przez sprzężenie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:

$$\frac{4}{\sqrt5-1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{5-1}=\sqrt5+1$$

Na co uważać

Zapis $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie $a$ — dla $a=-3$ mamy $\sqrt{9}=3$. Pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, dlatego równanie $x^2=9$ ma dwa rozwiązania, ale $\sqrt9$ oznacza tylko $3$.

∑Wzory 1

Potęga o wykładniku całkowitym i wymiernym
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad (ab)^n=a^n b^n$$

Co robi: rozszerza pojęcie potęgi na wykładniki ujemne i ułamkowe, dzięki czemu pierwiastki można zapisać jako potęgi i stosować do nich zwykłe prawa działań.

Elementy: $a>0$ dla wykładnika wymiernego, $q\in\mathbb{N}_+$. Wykładnik ujemny oznacza odwrotność, mianownik wykładnika — stopień pierwiastka.

Przykład: $2^{-3}=\frac{1}{8}$; $8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$; $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$.

Pułapka: ujemny wykładnik nie daje ujemnego wyniku — $2^{-3}$ to $\frac{1}{8}$, a nie $-8$. Odwrotność ułamka w potędze ujemnej to szybki skrót: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}$.

🧩Quizy 1

▶Potęgi, pierwiastki i logarytmy8 pyt. średni

✍Zadania 61

Zadanie nr 1

Ile wynosi $3^{-2}$?

A $-9$
B $\frac19$
C $-\frac19$
D $6$
Zadanie nr 2

Oblicz $8^{\frac23}$.

Zadanie nr PP01.1

Liczba $\sqrt{72}-\sqrt{8}$ jest równa

A $\sqrt{64}$
B $4\sqrt2$
C $6\sqrt2$
D $2\sqrt2$
Zadanie nr 3

Oblicz $\log_3 81$.

Zadanie nr PP01.2

Liczba $\left(\dfrac{1}{27}\right)^{-\frac23}$ jest równa

A $-9$
B $\dfrac19$
C $9$
D $-18$
Zadanie nr 4

Ile wynosi $16^{\frac12}$?

A $8$
B $32$
C $4$
D $256$
Zadanie nr PP01.3

Liczba $\left(\dfrac{1}{16}\right)^{5}\cdot 8^{7}$ jest równa

A $2$
B $2^{41}$
C $\dfrac12$
D $4^{2}$
Zadanie nr 5

Oblicz $\log_2 8+\log_2 4$ dwoma sposobami.

Zadanie nr PP01.4

Liczba $\sqrt[3]{-\dfrac{54}{125}}\cdot\sqrt[3]{4}$ jest równa

A $-\dfrac65$
B $\dfrac65$
C $-\dfrac{6}{25}$
D $\dfrac{36}{25}$
Zadanie nr 6

Ile wynosi $\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$?

A $\frac32$
B $-\frac23$
C $\frac23$
D $-\frac32$
Zadanie nr PP01.5

Po usunięciu niewymierności z mianownika liczba $\dfrac{6}{\sqrt3}$ ma postać

A $2\sqrt3$
B $6\sqrt3$
C $\dfrac{\sqrt3}{2}$
D $3\sqrt2$
Zadanie nr 7

Uprość $\sqrt{50}+\sqrt{18}$.

Zadanie nr PP01.6

Liczba $\sqrt{5\cdot\sqrt[3]{5}}$ jest równa

A $5^{\frac23}$
B $5^{\frac43}$
C $5^{\frac16}$
D $5^{\frac56}$
Zadanie nr 8

Oblicz $\log_5 100-\log_5 4$.

Zadanie nr PP01.7

Liczba $\dfrac{2^{30}+2^{31}+2^{32}}{7\cdot 2^{29}}$ jest równa

A $2$
B $2^{64}$
C $\dfrac{2^{64}}{7}$
D $8$
Zadanie nr 9

Ile wynosi $\log_a 1$ dla dowolnej dopuszczalnej podstawy?

A $a$
B $1$
C nie istnieje
D $0$
Zadanie nr PP01.8

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

  1. Liczba $6^{10}\cdot5^{4}$ jest podzielna przez $900$.
  2. Liczba $2^{8}\cdot3^{5}$ jest podzielna przez $36^{3}$.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P 1. P, 2. P
P/F 1. P, 2. F
F/P 1. F, 2. P
F/F 1. F, 2. F
Zadanie nr 10

Usuń niewymierność z mianownika: $\frac{6}{\sqrt3}$.

Zadanie nr PP01.9

Wykaż, że liczba $3^{2026}+3^{2025}+3^{2024}$ jest podzielna przez $13$.

Zadanie nr 11

Ile wynosi $\sqrt[3]{-27}$?

A $3$
B $-3$
C nie istnieje
D $-9$
Zadanie nr PP01.10

Uporządkuj rosnąco liczby $a=\sqrt[3]{3}$, $b=\sqrt{2}$, $c=\sqrt[6]{10}$.

Zadanie nr 12

Oblicz $\log_2 5\cdot\log_5 32$.

Zadanie nr 13

Oblicz $\left(2^3\cdot2^{-5}\right)^2$.

Zadanie nr 14

Ile wynosi $\log_{10} 0{,}01$?

A $2$
B $0{,}01$
C $-2$
D $-0{,}01$
Zadanie nr 15

Uprość $\log_3 27+\log_3\frac19$.

Zadanie nr 16

Które wyrażenie jest równe $\log_a x^3$?

A $3\log_a x$
B $\left(\log_a x\right)^3$
C $\log_a 3x$
D $3+\log_a x$
Zadanie nr 17

Usuń niewymierność z mianownika: $\frac{4}{\sqrt5-1}$.

Zadanie nr 18

Oblicz $\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac12}$.

Zadanie nr 19

Rozwiąż równanie $\log_2 x=5$.

Zadanie nr 20

Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{81}+27^{\frac13}-\log_2 16$.

Zadanie nr 1 · Matura 2026

Liczba $\sqrt{\tfrac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}$ jest równa

A $1$
B $2$
C $3$
D $4$
Zadanie nr 3 · Matura 2026

Liczba $\sqrt{5\sqrt5}$ jest równa

A $5^{1/4}$
B $5^{1/2}$
C $5^{3/4}$
D $5$
Zadanie nr 3 · Matura 2026
Liczba \(\sqrt{5\sqrt{5}}\) jest równa:
A \(5^{\frac{1}{4}}\)
B \(5^{\frac{1}{2}}\)
C \(5^{\frac{3}{4}}\)
D \(5\)
Zadanie nr 2 · Matura 2026

Liczba $\dfrac{3^{-1}\cdot 4^{0,5}}{3^{-2}\cdot 2^{-1}}$ jest równa

A $\dfrac{1}{12}$
B $12$
C $\dfrac{1}{18}$
D $18$
Zadanie nr 2 · Próbny 2024

Liczba $\left(\sqrt[5]{5}\cdot\dfrac{1}{5}\right)^{-5}$ jest równa

A $5^{4}$
B $5^{-4}$
C $5^{0,25}$
D $5^{-0,25}$
Zadanie nr 2 · Próbny 2023
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\sqrt[2]{2\cdot\sqrt[3]{2}}\) jest równa:
A \(2^{\frac{1}{12}}\)
B \(2^{\frac{1}{6}}\)
C \(2^{\frac{2}{3}}\)
D \(2^{\frac{5}{6}}\)
Zadanie nr 1 · Próbny 2023

Liczba $\left(3^{-2,4}\cdot 3^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{2}}$ jest równa

A $\sqrt{3}$
B $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C $\dfrac{1}{3}$
D $0,3$
Zadanie nr 5 · Matura 2022
Liczba \(3^{2+\frac{1}{4}}\) jest równa:
A \(3^2\cdot\sqrt[4]{3}\)
B \(\sqrt[4]{3^2}\)
C \(3^2+\sqrt[4]{3}\)
D \(3^2+\sqrt{3^4}\)
Zadanie nr 2 · Matura 2021
Liczba \(\left(7^{\frac{5}{4}}\cdot7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}\) jest równa:
A \(7^{\frac{5}{3}}\)
B \(7^{1}\)
C \(7^{\frac{3}{2}}\)
D \(7^{\frac{10}{3}}\)
Zadanie nr 4 · Próbny 2021
Dla każdej dodatniej liczby \(b\) wyrażenie \(\left(\sqrt[2]{b}\cdot\sqrt[4]{b}\right)^{\frac{1}{3}}\) jest równe:
A \(b^2\)
B \(b^{0,25}\)
C \(b^{\frac{8}{3}}\)
D \(b^{\frac{4}{3}}\)
Zadanie nr 2 · Matura 2020
Liczbę \(\sqrt[4]{9\cdot\sqrt{3}}\) można zapisać w postaci:
A \(3^{\frac{5}{8}}\)
B \(3^{\frac{11}{4}}\)
C \(3^{\frac{1}{4}}\)
D \(3^{\frac{9}{8}}\)
Zadanie nr 2 · Próbny 2019
Liczba odwrotna do liczby \(\frac{(5^{1,2})^3\cdot\sqrt{5}^{0,8}}{5^3}\) jest równa:
A \(-5\)
B \(5\)
C \(\frac{1}{5}\)
D \(-\frac{1}{5}\)
Zadanie nr 2 · Matura 2018
Liczba \(\sqrt{\sqrt[3]{2}}\) jest równa:
A \(2^{\frac{1}{6}}\)
B \(2^{\frac{1}{5}}\)
C \(2^{\frac{1}{3}}\)
D \(2^{\frac{2}{3}}\)
Zadanie nr 3 · Próbny 2018
Dla każdej dodatniej liczby \(x\) wyrażenie \(\frac{x\cdot x^{1,5}}{x^{-2}}\) jest równe:
A \(x^{-0,75}\)
B \(x^{-0,5}\)
C \(x^{0,5}\)
D \(x^{4,5}\)
Zadanie nr 1 · Próbny 2016
Druga potęga liczby \(\begin{split}\frac{\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}\cdot4^{-\frac{1}{4}}}{0,25}\end{split}\) jest równa:
A \(-2\)
B \(2\)
C \(4\)
D \(-4\)
Zadanie nr 1 · Matura 2016
Dla każdej dodatniej liczby \(a\) iloraz \(\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}\) jest równy:
A \(a^{-3,9}\)
B \(a^{-2}\)
C \(a^{-1,3}\)
D \(a^{1,3}\)
Zadanie nr 3 · Matura 2016
Liczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa:
A \(\sqrt[6]{3}\)
B \(\sqrt[4]{3}\)
C \(\sqrt[3]{3}\)
D \(\sqrt{3}\)
Zadanie nr 5 · Próbny 2016
Iloraz liczby \(8^{10}-4^{14}\) przez liczbę \(6\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[6]{4}\) jest równy:
A \(\frac{1}{3}\)
B \(\frac{1}{6}\)
C \(2^{26}\)
D \(2^{30}\)
Zadanie nr 1 · Matura 2015
Liczba \(\frac{(0,2)^3}{\sqrt[4]{25^{-3}}}\) jest równa:
A \(\sqrt{5^3}\)
B \(\frac{1}{\sqrt{5^3}}\)
C \(\sqrt[3]{5^2}\)
D \(\frac{1}{\sqrt[3]{5^2}}\)
Zadanie nr 2 · Matura 2015
Wartość wyrażenia \(\dfrac{\sqrt[5]{-32}\cdot2^{-1}}{4}\cdot2^2\) jest równa:
A \(-\frac{1}{2}\)
B \(\frac{1}{2}\)
C \(1\)
D \(-1\)
Zadanie nr 3 · Matura 2015
Liczba \(2^{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[3]{2^5}\) jest równa:
A \(2^{\frac{20}{3}}\)
B \(2\)
C \(2^{\frac{4}{5}}\)
D \(2^3\)
Zadanie nr 15 · Próbny 2014
Liczbą odwrotną do liczby \(7^{\frac{2}{3}}\) jest:
A \(7^{\frac{3}{2}}\)
B \(-7^{\frac{3}{2}}\)
C \(7^{-\frac{3}{2}}\)
D \(7^{-\frac{2}{3}}\)
Zadanie nr 16 · Próbny 2014
Liczba przeciwna do liczby \(10^{-\frac{5}{3}}\) to liczba:
A \(10^{-\frac{5}{3}}\)
B \(10^{\frac{5}{3}}\)
C \(-10^{-\frac{3}{5}}\)
D \(-10^{-\frac{5}{3}}\)
Zadanie nr 1 · Matura 2013
Liczba \((\sqrt[3]{16}\cdot4^{-2})^3\) jest równa:
A \(4^4\)
B \(4^{-4}\)
C \(4^{-8}\)
D \(4^{-12}\)
Zadanie nr 3 · Matura 2013
Liczba \(\frac{5^3\cdot25}{\sqrt{5}}\) jest równa:
A \(5^5\sqrt{5}\)
B \(5^4\sqrt{5}\)
C \(5^3\sqrt{5}\)
D \(5^6\sqrt{5}\)
Zadanie nr 1 · Próbny 2012
Wartość liczby \(a=16\sqrt[3]{4}\) jest równa wartości liczby:
A \(2^{\frac{4}{3}}\)
B \(2^{\frac{7}{3}}\)
C \(2^{\frac{5}{3}}\)
D \(2^{\frac{14}{3}}\)
Zadanie nr 2 · Matura 2012
Liczba \(\sqrt[3]{(-8)^{-1}}\cdot16^{\frac{3}{4}}\) jest równa:
A \(-8\)
B \(-4\)
C \(2\)
D \(4\)
Zadanie nr 11 · Próbny 2012
Liczbą przeciwną do liczby \(a=5^{\frac{2}{3}}\) jest:
A \(5^{\frac{3}{2}}\)
B \(-5^{\frac{3}{2}}\)
C \(5^{-\frac{2}{3}}\)
D \(-5^{\frac{2}{3}}\)
Zadanie nr 2 · Próbny 2011
Liczba \(\begin{split}\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}}{\left(\frac{2}{7}\right)^{-1}}\end{split}\) jest równa:
A \(-1\)
B \(\frac{4}{49}\)
C \(-2\frac{1}{4}\)
D \(1\)
Zadanie nr 4 · Matura
Liczba \(3^{\frac{9}{4}}\) jest równa:
A \(3\cdot\sqrt[4]{3}\)
B \(9\cdot\sqrt[4]{3}\)
C \(27\cdot\sqrt[4]{3}\)
D \(3^9\cdot3^{\frac{1}{4}}\)
Zadanie nr 5 · Matura
Która z podanych równości (A–D) jest prawdziwa?
A \((\sqrt{7}+\sqrt{5})^3=\sqrt{7^3}+\sqrt{5^3}\)
B \(\sqrt{\sqrt{144}+\sqrt{16}}=2^{\frac{4}{2}}\)
C \(\left(\sqrt{2\frac{1}{4}}\right)^3=2^{\frac{3}{2}}+\left(\frac{1}{2}\right)^3\)
D \((\sqrt[3]{64})^{\frac{1}{8}}=8^3\)
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas