Obowiązuje od: 3 sierpnia 2025 r. Podmiot prowadzący: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565 ·
tel. +48 455 405 228 ·
e-mail: firma@amkbit.pl
§ 1. Czym są pliki cookies
Pliki cookies („ciasteczka") to niewielkie dane informatyczne, głównie pliki tekstowe, zapisywane w urządzeniu końcowym Użytkownika i odczytywane przy korzystaniu z Serwisu. Zazwyczaj zawierają nazwę strony, czas przechowywania oraz unikalny identyfikator.
Podmiotem, który zapisuje i odczytuje pliki cookies na Twoim urządzeniu, jest AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX) jako administrator Serwisu. W przypadku cookies stron trzecich — robią to również ich dostawcy (szczegóły w § 9).
Dostosowanie treści i optymalizacja działania — rozpoznanie urządzenia i właściwe wyświetlenie strony oraz interfejsu tablicy interaktywnej zgodnie z preferencjami Użytkownika.
Tworzenie statystyk — zrozumienie sposobu korzystania z Serwisu i tablicy w celu ulepszania struktury i zawartości.
Utrzymanie sesji — po zalogowaniu, aby nie trzeba było ponownie wpisywać danych na każdej podstronie/sesji.
Bezpieczeństwo — wykrywanie nadużyć, ochrona przed atakami i zapewnienie integralności usług czasu rzeczywistego (np. WebRTC).
Marketing/personalizacja — za Twoją zgodą, wyświetlanie treści lepiej dopasowanych do zainteresowań.
Stosujemy cookies „sesyjne” (tymczasowe) — działają do czasu wylogowania, opuszczenia strony lub zamknięcia przeglądarki — oraz „stałe”, które pozostają do upływu wskazanego terminu lub do ich usunięcia przez Użytkownika.
Niezbędne — umożliwiają korzystanie z kluczowych usług (uwierzytelnianie, utrzymanie sesji, podstawowa konfiguracja tablicy). Bez nich Serwis może nie działać poprawnie.
Bezpieczeństwo — pomagają wykrywać nadużycia w uwierzytelnianiu i chronić usługi czasu rzeczywistego.
Wydajnościowe/statystyczne — zbierają informacje o sposobie korzystania z Serwisu dla celów analitycznych.
Funkcjonalne — zapamiętują wybrane ustawienia i personalizację interfejsu (np. język, układ narzędzi, preferencje audio/wideo).
Reklamowe/personalizacyjne — dostarczają treści reklamowych lepiej dopasowanych do zainteresowań Użytkownika (tylko za zgodą).
Zgodą na instalowanie cookies (poza niezbędnymi) możesz zarządzać w banerze cookies wyświetlanym przy pierwszej wizycie oraz w ustawieniach przeglądarki. Zgodę możesz w każdej chwili wycofać lub zmienić — nie wpływa to na zgodność z prawem wcześniejszego wykorzystania cookies.
Większość przeglądarek domyślnie zezwala na cookies. Możesz zablokować ich zapisywanie lub ustawić powiadomienia o każdym zapisie. Instrukcje dla popularnych przeglądarek:
Ograniczenie stosowania cookies może spowodować nieprawidłowe działanie niektórych funkcji Serwisu — zwłaszcza logowania, utrzymania sesji i elementów tablicy interaktywnej (np. zapamiętanie ustawień urządzeń audio/wideo).
W Serwisie mogą pojawiać się cookies podmiotów trzecich (np. dostawcy analityki, usług czasu rzeczywistego, płatności, komunikacji). Podmioty te mogą uzyskiwać dostęp do swoich cookies zgodnie z własnymi politykami. W przypadku wykorzystania reklam on-line — odpowiednie pliki mogą być używane do personalizacji treści (wyłącznie za zgodą).
Polityka cookies może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (np. zmiany prawa, technologii, zakresu usług). O zmianach poinformujemy w Serwisie z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie.
Kontakt w sprawach cookies: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów, tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📘Teoria 1
Odczytywanie własności funkcji z wykresu
Co da się odczytać
Wykres jest pełnym opisem funkcji — wystarczy wiedzieć, gdzie patrzeć.
Dziedzina i zbiór wartości
Dziedzina — rzut wykresu na oś $OX$: dla jakich argumentów wykres istnieje
Zbiór wartości — rzut na oś $OY$: jakie wartości funkcja przyjmuje
Kółko puste oznacza, że punkt nie należy do wykresu, pełne — że należy.
Miejsca zerowe
To argumenty, dla których $f(x)=0$ — punkty przecięcia wykresu z osią $OX$. Odczytujemy ich pierwsze współrzędne.
Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0,\,f(0))$ — to nie jest miejsce zerowe.
Znak funkcji
Funkcja jest dodatnia tam, gdzie wykres leży nad osią $OX$, a ujemna tam, gdzie leży pod nią. Odpowiedź podajemy jako przedziały argumentów.
Monotoniczność
rosnąca — im dalej w prawo, tym wyżej: większy argument daje większą wartość
malejąca — im dalej w prawo, tym niżej
stała — wykres poziomy
Monotoniczność zawsze podajemy w przedziałach, nigdy jako sumę przedziałów.
Wartość największa i najmniejsza
Odczytujemy je z osi $OY$ — jako wartości, nie argumenty. Dla $f(x)=-x^2+4$ największa wartość to $4$, osiągana dla $x=0$.
Argumenty spełniające warunek
„Dla jakich $x$ zachodzi $f(x)=2$?” — prowadzimy poziomą prostą $y=2$ i odczytujemy pierwsze współrzędne punktów przecięcia. Rozwiązań może być kilka.
Czy to w ogóle funkcja
Test pionowej prostej: jeśli jakakolwiek prosta pionowa przecina wykres więcej niż raz, to nie jest wykres funkcji — jednemu argumentowi odpowiadałyby dwie wartości.
Parzystość
Wykres symetryczny względem osi $OY$ — funkcja parzysta ($f(-x)=f(x)$). Symetryczny względem początku układu — nieparzysta ($f(-x)=-f(x)$).
Na co uważać
Najczęstsze pomyłki to mylenie argumentu z wartością (miejsce zerowe to $x$, a wartość największa to $y$) oraz podawanie monotoniczności jako sumy przedziałów — funkcja $f(x)=\frac1x$ maleje w $(-\infty,0)$ i osobno w $(0,+\infty)$, ale nie na sumie tych zbiorów.
∑Wzory 1
Monotoniczność funkcji — definicja
$$x_1f(x_2)\ (\text{malejąca})$$
Co robi: ściśle definiuje, co znaczy, że funkcja rośnie lub maleje w danym przedziale.
Elementy: $x_1,x_2$ — dowolne argumenty z rozważanego przedziału. Funkcja niemalejąca dopuszcza równość ($f(x_1)\le f(x_2)$), stała ma zawsze tę samą wartość.
Przykład: $f(x)=2x+1$ jest rosnąca w całym $\mathbb{R}$; $f(x)=x^2$ maleje na $(-\infty,0\rangle$ i rośnie na $\langle0,+\infty)$.
Pułapka: monotoniczność zawsze podajemy w przedziałach. Powiedzenie, że $f(x)=x^2$ jest rosnąca, jest fałszywe — jest taka dopiero od zera w prawo.
Obliczenie wartości funkcji polega na wstawieniu liczby w miejsce $x$:
$$f(4)=3\cdot4-5=12-5=7$$
Pułapka: odpowiedź D to wynik po samym pomnożeniu, bez odjęcia $5$.
Odpowiedź: C. $f(4)=7$.
Zadanie nr 2
Dla funkcji $f(x)=x^2-4$ oblicz $f(0)$, $f(3)$ oraz $f(-3)$.
Podstawiamy kolejne argumenty:
$$f(0)=0^2-4=-4$$
$$f(3)=3^2-4=9-4=5$$
$$f(-3)=(-3)^2-4=9-4=5$$
Uwaga na nawias: $(-3)^2=9$, a nie $-9$ — podnosimy do kwadratu całą liczbę ujemną.
Obserwacja: $f(3)=f(-3)$, bo funkcja zależy tylko od $x^2$. Jej wykres jest symetryczny względem osi OY.
Odpowiedź: $f(0)=-4$, $f(3)=5$, $f(-3)=5$.
Zadanie nr PP11.1
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ (zadania PP11.1–PP11.9 dotyczą tej funkcji). Dziedziną funkcji $f$ jest
A$[-5,6]$
B$[-2,3]$
C$(-5,6)$
D$[-5,6)$
Wykres zaczyna się w $x=-5$ (kółko pełne) i kończy w $x=6$ (kółko pełne); nad każdym $x$ z tego przedziału jest punkt wykresu.
$D=[-5,6]$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? B — to przybliżony zbiór wartości (oś $Oy$), a nie dziedzina.
Zadanie nr 3
Dla funkcji $f(x)=2x+1$ wyznacz argument, dla którego wartość funkcji wynosi $9$.
Tym razem znamy wartość, a szukamy argumentu — układamy równanie $f(x)=9$:
$$2x+1=9$$
Rozwiązujemy:
$$2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Sprawdzenie: $f(4)=2\cdot4+1=9$ ✔
Odpowiedź: $x=4$.
Zadanie nr PP11.2
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest
A$[-2,2)\cup\{3\}$
B$[-2,3]$
C$[-2,2]\cup\{3\}$
D$(-2,3]$
Pierwszy odcinek daje wartości $[-2,2)$ (w $x=-1$ kółko puste).
Środkowy odcinek: tylko wartość $3$.
Trzeci odcinek: od $2$ (kółko puste) do $-2$ — też $[-2,2)$.
Wartość $2$ nie jest osiągana: $ZW=[-2,2)\cup\{3\}$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? B — pominięta „dziura” między $2$ a $3$; C — puste kółka oznaczają, że $2$ nie jest wartością funkcji.
Zadanie nr 4
Jaka jest dziedzina funkcji $f(x)=\frac{5}{x-3}$?
Awszystkie liczby rzeczywiste
Bwszystkie liczby rzeczywiste oprócz $3$
Cwszystkie liczby rzeczywiste oprócz $0$
Dwszystkie liczby rzeczywiste oprócz $-3$
Mianownik ułamka nie może być zerem, więc wykluczamy argumenty spełniające:
$$x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$
Zatem dziedziną jest zbiór:
$$D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$
Pułapka ze znakiem: w mianowniku stoi $x-3$, więc wykluczamy $3$, a nie $-3$.
Odpowiedź: B.
Zadanie nr PP11.3
Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby
A$-3$ i $4$
B$-3$ i $2$
Ctylko $-3$
D$3$ i $-4$
Wykres przecina oś $Ox$ w $x=-3$ (na odcinku $y=x+3$) oraz w $x=4$ (na odcinku $y=-x+4$).
Odpowiedź:A
Zadanie nr 5
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\sqrt{x-2}$.
Pierwiastek kwadratowy jest określony tylko dla liczb nieujemnych, więc żądamy:
$$x-2\ge 0$$
Rozwiązujemy nierówność:
$$x\ge 2$$
Dziedzina to przedział:
$$D=\langle 2,\,+\infty)$$
Uwaga: nierówność jest nieostra, bo $\sqrt{0}=0$ jest poprawną wartością — liczba $2$ należy do dziedziny.
Odpowiedź: $D=\langle 2,\,+\infty)$.
Zadanie nr PP11.4
Równanie $f(x)=3$
Ama nieskończenie wiele rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dnie ma rozwiązań
Prosta $y=3$ pokrywa się ze środkowym odcinkiem wykresu dla wszystkich $x\in[-1,2]$.
Równanie ma więc nieskończenie wiele rozwiązań.
Odpowiedź:A
Zadanie nr 6
Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=4x-12$.
Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero:
$$f(x)=0 \quad\Rightarrow\quad 4x-12=0$$
Rozwiązujemy:
$$4x=12 \quad\Rightarrow\quad x=3$$
Interpretacja geometryczna: wykres przecina oś OX w punkcie $(3,\,0)$.
Odpowiedź: miejsce zerowe to $x=3$.
Zadanie nr PP11.5
Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $[0,5]$ jest równa
A$-1$
B$3$
C$-2$
D$0$
Na $[0,2]$ funkcja ma wartość $3$; na $(2,5]$ maleje od $2$ do $f(5)=-5+4=-1$.
Najmniejsza wartość: $-1$ (dla $x=5$).
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? C — to najmniejsza wartość na całej dziedzinie, a nie w przedziale $[0,5]$.
Zadanie nr 7
Który z podanych przyporządkowań nie jest funkcją?
Akażdemu uczniowi przypisano jego datę urodzenia
Bkażdej liczbie przypisano jej kwadrat
Ckażdemu miastu przypisano liczbę mieszkańców
Dkażdej liczbie przypisano liczby od niej większe
Funkcja przypisuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość.
W przypadku D jednej liczbie odpowiada nieskończenie wiele liczb większych — na przykład liczbie $2$ odpowiadają $3$, $4$, $5$ i tak dalej. To narusza definicję funkcji.
Pozostałe przypadki są funkcjami: uczeń ma jedną datę urodzenia, liczba jeden kwadrat, a miasto jedną liczbę mieszkańców.
Uwaga: funkcja może przypisać tę samą wartość różnym argumentom — to dozwolone. Zabronione jest tylko dwie wartości dla jednego argumentu.
Odpowiedź: D.
Zadanie nr PP11.6
Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale
A$[2,6]$
B$[-5,-1)$
C$[-1,2]$
D$[-1,6]$
Na $[-5,-1)$ rośnie, na $[-1,2]$ jest stała, a dla $x\ge2$ jej wartości maleją: $f(2)=3$, potem od $2$ do $-2$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? C — funkcja stała nie jest malejąca; D — na $[-1,2]$ wartości się nie zmieniają.
Zadanie nr 8
Funkcja $f$ ma dziedzinę $\langle -3,\,5\rangle$. Na wykresie funkcja rośnie na przedziale $\langle -3,\,1\rangle$, a maleje na $\langle 1,\,5\rangle$. Podaj argument, dla którego funkcja osiąga wartość największą, i uzasadnij.
Analiza przebiegu. Idąc od lewej krawędzi dziedziny, wartości rosną aż do $x=1$, a potem zaczynają maleć.
Punkt $x=1$ jest więc szczytem wykresu — na lewo od niego wartości są mniejsze (bo funkcja dopiero rosła), a na prawo również mniejsze (bo zaczęła maleć).
Wniosek: wartość największa jest osiągana dla $x=1$ i wynosi $f(1)$.
Gdzie jest wartość najmniejsza: na jednym z końców dziedziny — trzeba porównać $f(-3)$ z $f(5)$, bo z samej monotoniczności tego nie rozstrzygniemy.
Odpowiedź: wartość największa dla $x=1$.
Zadanie nr PP11.7
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\gt 0$ jest
A$(-3,4)$
B$(-3,-1)\cup(2,4)$
C$[-3,4]$
D$(-5,6)$
Wykres jest nad osią $Ox$: od $x=-3$ (bez) przez cały środkowy odcinek aż do $x=4$ (bez).
Łącznie $x\in(-3,4)$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? B — pominięty środkowy odcinek $y=3$, który też leży nad osią; C — w miejscach zerowych $f(x)=0$, a nie $\gt 0$.
Zadanie nr 9
Funkcja $f(x)=-2x+6$ jest:
Amalejąca w całej dziedzinie
Brosnąca w całej dziedzinie
Cstała
Drosnąca, a potem malejąca
O monotoniczności funkcji liniowej decyduje współczynnik kierunkowy $a$:
2. $f(x)=2$: na $[-5,-1)$ daje $x=-1$ — poza przedziałem; na $[-1,2]$ wartość to $3$; na $(2,6]$ daje $x=2$ — poza przedziałem. Brak argumentów — fałsz.
Odpowiedź: P, F
Zadanie nr 10
Funkcja dana jest tabelką: $f(1)=3$, $f(2)=6$, $f(3)=9$, $f(4)=12$. Podaj wzór tej funkcji i oblicz $f(10)$.
Krok 1 — szukamy zależności. Porównujemy argumenty z wartościami:
$$f(1)=1^2-1=0 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (1,\,1) \text{ nie należy}$$
$$f(0)=0^2-1=-1 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (0,\,1) \text{ nie należy}$$
Odpowiedź: B. $(2,\,3)$.
Zadanie nr PP11.10
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\begin{cases}2x+6 & \text{dla } x\in[-4,-1)\\ 4 & \text{dla } x\in[-1,1]\\ -2x+6 & \text{dla } x\in(1,4]\end{cases}$ a) Podaj zbiór wartości funkcji $f$. b) Podaj liczbę rozwiązań równania $f(x)=2$. c) Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności $f(x)\ge0$. d) Podaj wszystkie argumenty, dla których $f$ przyjmuje wartość największą.
a) $2x+6$ na $[-4,-1)$: wartości $[-2,4)$; środek: $4$; $-2x+6$ na $(1,4]$: wartości $[-2,4)$. Razem $[-2,4]$.
b) $2x+6=2 \Rightarrow x=-2\in[-4,-1)$ ✓; $-2x+6=2 \Rightarrow x=2\in(1,4]$ ✓; środkowy wzór daje $4\ne2$. Dwa rozwiązania.
c) $2x+6\ge0 \Rightarrow x\ge-3$: $[-3,-1)$; środek: cały $[-1,1]$; $-2x+6\ge0 \Rightarrow x\le3$: $(1,3]$. Suma: $[-3,3]$.
d) Największa wartość to $4$ — przyjmowana dla każdego $x\in[-1,1]$.
Odpowiedź: a) $[-2,4]$; b) $2$; c) $[-3,3]$; d) $x\in[-1,1]$
Schemat punktowania:
po 1 pkt za każdą z części a), b), c), d).
Zadanie nr 12
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=x^2-9$ oraz podaj, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Krok 2 — gdzie wartości są ujemne. Parabola ma ramiona skierowane w górę ($a=1>0$), więc leży pod osią OX pomiędzy miejscami zerowymi:
$$f(x)<0 \iff x\in(-3,\,3)$$
Sprawdzenie: $f(0)=-9<0$ — punkt $0$ leży w tym przedziale ✔, a $f(4)=16-9=7>0$ — punkt $4$ leży poza nim ✔
Odpowiedź: miejsca zerowe $x=-3$ i $x=3$; wartości ujemne dla $x\in(-3,\,3)$.
Zadanie nr 13
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$.
Wykluczamy argumenty zerujące mianownik:
$$x^2-4=0$$
Rozkładamy na czynniki:
$$(x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-2$$
Zatem dziedziną jest:
$$D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$$
Uwaga: licznik nie ma tu żadnego znaczenia — dziedzinę ogranicza wyłącznie mianownik. Trzeba też wykluczyć obie liczby, nie tylko jedną.
Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$.
Zadanie nr 14
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=x^2+2$ jest:
A$\mathbb{R}$
B$\langle 0,\,+\infty)$
C$\langle 2,\,+\infty)$
D$(2,\,+\infty)$
Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny:
$$x^2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^2+2\ge 2$$
Najmniejsza wartość $2$ jest osiągana dla $x=0$, więc należy do zbioru wartości — dlatego przedział jest domknięty od lewej.
Różnica między C a D: odpowiedź D wyklucza liczbę $2$, a przecież $f(0)=2$.
Odpowiedź: C. $ZW=\langle 2,\,+\infty)$.
Zadanie nr 15
Sprawdź, czy punkty $A=(1,\,4)$ i $B=(-2,\,-5)$ należą do wykresu funkcji $f(x)=3x+1$.
Punkt $A=(1,\,4)$. Obliczamy wartość funkcji dla $x=1$:
$$f(1)=3\cdot1+1=4$$
Wynik zgadza się z drugą współrzędną punktu, więc $A$ należy do wykresu.
Punkt $B=(-2,\,-5)$. Obliczamy wartość dla $x=-2$:
$$f(-2)=3\cdot(-2)+1=-6+1=-5$$
Również się zgadza, więc $B$ także należy do wykresu.
Wniosek dodatkowy: oba punkty leżą na tej samej prostej — można to wykorzystać do jej narysowania, bo dwa punkty wyznaczają prostą.
Odpowiedź: oba punkty należą do wykresu.
Zadanie nr 16
Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie o współrzędnych:
A$(0,\,f(0))$
B$(f(0),\,0)$
C$(0,\,0)$ zawsze
Dw miejscu zerowym funkcji
Na osi OY pierwsza współrzędna jest zawsze równa zeru, więc punkt przecięcia ma postać $(0,\,y)$, gdzie $y$ to wartość funkcji dla argumentu $0$:
$$y=f(0)$$
Nie mylić z miejscem zerowym — to punkt przecięcia z osią OX, gdzie $f(x)=0$. Są to dwie różne rzeczy.
Przykład: dla $f(x)=2x+6$ wykres przecina OY w $(0,\,6)$, a OX w $(-3,\,0)$.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 17
Funkcja $f$ przyporządkowuje liczbie naturalnej resztę z dzielenia tej liczby przez $3$. Oblicz $f(7)$, $f(9)$ i $f(11)$ oraz podaj zbiór wartości tej funkcji.
Obliczamy reszty:
$$7=3\cdot2+1 \quad\Rightarrow\quad f(7)=1$$
$$9=3\cdot3+0 \quad\Rightarrow\quad f(9)=0$$
$$11=3\cdot3+2 \quad\Rightarrow\quad f(11)=2$$
Zbiór wartości. Reszta z dzielenia przez $3$ jest zawsze mniejsza od $3$ i nieujemna, więc możliwe wyniki to:
$$ZW=\{0,\,1,\,2\}$$
Ciekawostka: ta funkcja przypisuje tę samą wartość nieskończenie wielu argumentom (np. $f(3)=f(6)=f(9)=0$) — to całkowicie zgodne z definicją funkcji.
Koszt wynajmu roweru to $15$ zł opłaty stałej plus $4$ zł za każdą godzinę. Zapisz koszt jako funkcję liczby godzin, oblicz koszt wynajmu na $5$ godzin i sprawdź, na ile godzin wystarczy $51$ zł.
Krok 1 — wzór funkcji. Niech $x$ oznacza liczbę godzin:
$$K(x)=15+4x$$
Krok 2 — koszt za $5$ godzin:
$$K(5)=15+4\cdot5=15+20=35\ \text{zł}$$
Krok 3 — na ile godzin wystarczy $51$ zł. Rozwiązujemy równanie $K(x)=51$:
Uwaga na dziedzinę: liczba godzin nie może być ujemna, więc sensowna dziedzina to $x\ge 0$.
Odpowiedź: $K(x)=15+4x$; za $5$ godzin zapłacimy $35$ zł; $51$ zł wystarczy na $9$ godzin.
Zadanie nr 19
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=(x-2)(x+5)$ i podaj współrzędne punktu przecięcia jej wykresu z osią OY.
Krok 1 — miejsca zerowe. Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik:
$$x-2=0 \ \text{ lub } \ x+5=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-5$$
Postać iloczynowa jest tu bardzo wygodna — miejsca zerowe odczytujemy niemal wprost, pamiętając o zmianie znaku.
Krok 2 — przecięcie z osią OY. Podstawiamy $x=0$:
$$f(0)=(0-2)(0+5)=(-2)\cdot5=-10$$
Punkt przecięcia to $(0,\,-10)$.
Odpowiedź: miejsca zerowe $x=2$ i $x=-5$; wykres przecina oś OY w punkcie $(0,\,-10)$.
Zadanie nr 20
Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{x+3}{x-1}$. Wyznacz jej dziedzinę, oblicz $f(4)$ i sprawdź, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość $0$.
Częsty błąd: przyrównywanie do zera całego ułamka razem z mianownikiem. Mianownik zeruje dziedzinę, a nie wartość.
Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$, $f(4)=\frac73$, miejsce zerowe $x=-3$.
Zadanie nr 19 · Matura 2023
Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok. Ta funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\in\langle-5,8\rangle\).
Zadanie 1.
Zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór rozwiązań nierówności: \(f(x)\gt2\)
$$...................$$
Zadanie 2.
Zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej maksymalny przedział lub maksymalne przedziały, w których funkcja \(f\) jest malejąca.
Zadanie 3.
Największa wartość funkcji \(f\) jest równa liczbie \(...............\) , a najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa liczbie \(...............\) .
Zadanie 1.
Z wykresu musimy odczytać, kiedy nasza funkcja przyjmuje wartości większe od \(2\). Widzimy, że tak się stanie dla dwóch przedziałów: od \(x=-5\) aż do \(x=-1\) oraz od \(x=7\) do \(x=8\). Zwróćmy uwagę jeszcze na krańce przedziałów - przy argumencie \(x=-5\) oraz \(x=8\) mamy zamalowane kropki, więc nawiasy muszą być domknięte. Matematyczny zapis wyglądałby więc następująco:
$$x\in\langle-5;-1)\cup(7;8\rangle$$
Zadanie 2.
Spoglądamy na wykres funkcji i szukamy fragmentu, w którym funkcja "kieruje się w dół". Widzimy, że mamy tylko jeden taki przedział, funkcja maleje od \(x=-3\) aż do \(x=3\). Zapisując przedziały monotoniczności (czyli gdzie funkcja maleje/rośnie/jest stała) używamy zwyczajowo nawiasów domkniętych, stąd też:
$$x\in\langle-3;3\rangle$$
Zadanie 3.
Spoglądamy na naszą funkcję i sprawdzamy, jakie są największe i najmniejsze wartości przez nią przyjmowane. Widzimy, że największą przyjmowaną wartością jest \(y=6\), natomiast najmniejszą będzie \(y=-6\).
Zadanie nr 9 · Matura 2022
Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m-5)x+22\) jest rosnąca dla:
A\(m\gt\frac{2}{5}\)
B\(m\gt2,5\)
C\(m\gt0\)
D\(m\gt2\)
Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik \(a\) (czyli liczba znajdująca się przed iksem) jest większy od zera. W naszym przypadku \(a=2m-5\), więc funkcja będzie rosnąca dla:
$$2m-5\gt0 \ ,\
2m\gt5 \ ,\
m\gt2,5$$
Zadanie nr 11 · Matura 2022
Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x-2)(x+1)\). Funkcja \(f\) jest rosnąca w zbiorze:
A\((-\infty; \frac{1}{2}\rangle\)
B\((-1;2)\)
C\((0;\frac{5}{2})\)
D\(\langle\frac{5}{2};+\infty)\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Funkcja jest zapisana w postaci iloczynowej, więc wyznaczenie miejsc zerowych będzie bardzo proste, ponieważ wystarczy sprawdzić, kiedy \(-2(x-2)(x+1)=0\). Musimy więc rozwiązać równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, a dokonamy tego przyrównując wartości w nawiasach do zera. Zatem:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+1=0 \ ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-1$$
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Podana funkcja ma ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-2\). To oznacza, że funkcja będzie rosnąć od minus nieskończoności aż do wierzchołka, co dobrze wyjaśni poniższy rysunek:
Musimy zatem wyznaczyć współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli, a w tym celu posłużymy się jedną z własności parabol - wierzchołek znajduje się dokładnie między miejscami zerowymi, zatem:
$$p=\frac{2+(-1)}{2} \ ,\
p=\frac{1}{2}$$
To oznacza, że funkcja jest rosnąca w zbiorze \((-\infty; \frac{1}{2}\rangle\).
Zadanie nr 12 · Matura 2022
Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x-1)^2+3\) jest rosnąca w przedziale:
A\((-\infty,1\rangle\)
B\(\langle-2,+\infty)\)
C\((-\infty,3\rangle\)
D\(\langle1,+\infty)\)
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja kwadratowa zapisana jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Z takiej postaci możemy wprost odczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\), czyli: \(p=1\) oraz \(q=3\).
Krok 2. Wyznaczenie przedziału w którym funkcja jest rosnąca.
Współczynnik \(a\) tej funkcji jest ujemny, więc ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Sytuacja z treści zadania wygląda więc następująco:
Funkcja kwadratowa zawsze jest rosnąca od wierzchołka lub do wierzchołka (w zależności od ułożenia ramion paraboli). Z rysunku jasno wynika, że w takim razie funkcja jest rosnąca w przedziale \((-\infty,1\rangle\).
Zadanie nr 9 · Próbny 2021
Funkcja liniowa \(f(x)=(m-\sqrt{2})x+11\) jest rosnąca dla:
A\(m\ge\sqrt{2}\)
B\(m\le\sqrt{2}\)
C\(m\lt\sqrt{2}\)
D\(m\gt\sqrt{2}\)
Funkcja liniowa jest rosnąca wtedy, gdy współczynnik \(a\) jest dodatni. W tym przypadku \(a=m-\sqrt{2}\), zatem:
$$m-\sqrt{2}\gt0 \ ,\
m\gt\sqrt{2}$$
Zadanie nr 12 · Matura 2021
Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x+1)(x-3)\) jest malejąca w przedziale:
A\(\langle1,+\infty)\)
B\((-\infty,1\rangle\)
C\((-\infty,-8\rangle\)
D\(\langle-8,+\infty)\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej.
Funkcja zapisana jest w postaci iloczynowej, zatem bez problemu możemy wyznaczyć jej miejsca zerowe. W tym celu wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-3=0 \ ,\
x=-1 \quad\lor\quad x=3$$
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Funkcja ma współczynnik kierunkowy \(a=-2\) (czyli ujemny), zatem nasza parabola będzie wyglądać następująco:
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że funkcja maleje od wierzchołka aż do nieskończoności, zatem musimy poznać współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli.
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Z własności parabol wynika, że współrzędna \(p\) jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych funkcji kwadratowej (ponieważ wierzchołek znajduje się w jednakowej odległości od obydwu miejsc przecięcia się paraboli z osią \(OX\)). Skoro tak, to:
$$p=\frac{-1+3}{2} \ ,\
p=\frac{2}{2} \ ,\
p=1$$
Krok 4. Ustalenie przedziału, w którym funkcja jest rosnąca.
Zgodnie z tym co sobie powiedzieliśmy, skoro \(p=1\), to funkcja maleje w przedziale \(\langle1,+\infty)\).
Zadanie nr 6 · Matura 2019
Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=(m\sqrt{5}-1)x+3\). Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby \(m\) spełniającej warunek:
A\(m\gt\frac{1}{\sqrt{5}}\)
B\(m\gt1-\sqrt{5}\)
C\(m\lt\sqrt{5}-1\)
D\(m\lt\frac{1}{\sqrt{5}}\)
Jeżeli funkcja liniowa jest rosnąca to znaczy, że jej współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od zera. W przypadku naszej funkcji współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy \(m\sqrt{5}-1\), zatem powstaje nam prosta nierówność:
$$m\sqrt{5}-1\gt0 \ ,\
m\sqrt{5}\gt1 \ ,\
m\gt\frac{1}{\sqrt{5}}$$
Teoretycznie powinniśmy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, ale wtedy nie dopasujemy się do proponowanych odpowiedzi. Musimy więc zostawić ten zapis w takiej postaci, czyli tym samym prawidłową będzie odpowiedź A.
Zadanie nr 8 · Próbny 2019
Funkcja liniowa \(f(x)=(m^2-3)x+2\) jest rosnąca wtedy, gdy:
A\(m\in(-\sqrt{3},\sqrt{3})\)
B\(m\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty)\)
C\(m\in\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}\)
D\(m\in(\sqrt{3},\infty)\)
Krok 1. Zapisanie nierówności.
Aby funkcja liniowa była rosnąca, to współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od \(0\). W naszym przypadku współczynnik \(a\) jest równy \(m^2-3\), zatem musimy rozwiązać nierówność:
$$m^2-3\gt0$$
Krok 2. Rozwiązanie nierówności.
Naszym zadaniem jest teraz rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej. Tradycyjnie na początku musimy obliczyć miejsca zerowe wielomianu, przyrównując wartość \(m^2-3\) do zera. Możemy to zrobić metodą delty (pamiętając, że w tej sytuacji współczynnik \(b=0\)), ale w tym konkretnym przypadku możemy te miejsca zerowe wyznaczyć znacznie szybciej:
$$m^2-3=0 \ ,\
m^2=3 \ ,\
m=\sqrt{3} \quad\lor\quad m=-\sqrt{3}$$
Mając miejsca zerowe możemy przystąpić do rysowania paraboli. Zaznaczamy na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę, która ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a\) jest dodatni).
Interesują nas wartości większe od zera, czyli wszystko to, co znalazło się nad osią iksów. Z rysunku jasno wynika, że rozwiązaniem naszej nierówności (a tym samym całego zadania) jest przedział \(m\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty)\).
Zadanie nr 13 · Próbny 2019
Funkcja, której wykres przedstawiono na rysunku jest rosnąca:
Atylko w przedziale \((-\infty,0)\)
Btylko w przedziale \((0;+\infty)\)
Cw \(R\setminus\{0\}\)
Dw każdym z przedziałów \((-\infty,0)\) i \((0,+\infty)\)
Na rysunku mamy przedstawioną jedną z form wykresu funkcji typu \(f(x)=\frac{a}{x}\) (tak zwana proporcjonalność odwrotna). Ten wykres nazywamy hiperbolą. Na rysunku widzimy wyraźnie, że funkcja jest rosnąca zarówno w swoim pierwszym fragmencie, jak i drugim. To oznacza, że funkcja jest rosnąca zarówno w przedziale \((-\infty,0)\) jak i \((0,+\infty)\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2018
Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji \(f\). Maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca, to:
A\(\langle-2;0\rangle\)
B\(\langle-2;2\rangle\)
C\(\langle-3;2\rangle\)
D\(\langle-3;0\rangle\)
Przedział argumentów dla których funkcja jest rosnąca odczytujemy z osi iksów. Widzimy wyraźnie, że funkcja rośnie od argumentu \(x=-3\) aż do argumentu \(x=0\), zatem przedziałem w którym ta funkcja rośnie będzie \(\langle-3;0\rangle\).
Zadanie nr 33 · Matura 2018
Ze zbioru \(A=\{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}\) losujemy liczbę \(a\), natomiast ze zbioru \(B=\{-1, 0, 1, 2\}\) losujemy liczbę \(b\). Te liczby są odpowiednio współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja \(f\) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Z pierwszego zbioru możemy wylosować jedną z sześciu liczb. Z drugiego zbioru możemy wylosować jedną z czterech liczb. W związku zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć:
$$|Ω|=6\cdot4=24$$
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Musimy teraz ustalić jaka para liczb będzie tworzyć zdarzenie sprzyjające, zatem musimy ustalić które liczby ze zbioru \(A\) oraz \(B\) pasują nam do warunków zadania. Aby funkcja była rosnąca, to współczynnik kierunkowy \(a\) musi być dodatni. To oznacza, że z pierwszego zbioru interesują nas tylko liczby \(1,2,3\).
Teraz musimy ustalić jakie liczby interesują nas ze zbioru \(B\), a wpływ na to mieć będzie informacja mówiąca o tym, iż funkcja ma mieć dodatnie miejsca zerowe. Co to oznacza, że miejsca zerowe są dodatnie? Jeżeli funkcja przecina oś iksów dla np. \(x=-2\), to znaczy że miejsce zerowe jest ujemne (taki przypadek nas nie interesuje). Jeżeli funkcja przecina oś iksów dla np. \(x=3\) to wtedy miejsce zerowe jest dodatnie. Jak więc ustalić kiedy funkcja osiąga dodatnie miejsce zerowe?
Aby funkcja liniowa (która jest rosnąca) miała dodatnie miejsce zerowe dodatnie, to musi przecinać oś igreków w ujemnej wartości (czyli pod osią iksów), nie ma innej możliwości. O miejscu przecięcia się z osią igreków informuje nas współczynnik \(b\) i już po tej prostej analizie wiemy, że musi on być ujemny. To by oznaczało, że ze zbioru \(B\) interesowałaby nas jedynie wartość \(-1\).
Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy tej własności, to możemy podejść do zagadnienia z innej strony. Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji (jakiekolwiek) to musimy przyrównać wzór funkcji do zera. Zatem:
$$ax+b=0 \ ,\
ax=-b \ ,\
x=\frac{-b}{a}$$
My musimy mieć to miejsce zerowe większe od zera, czyli interesuje nas sytuacja w której:
$$\frac{-b}{a}\gt0$$
Skoro w naszym przypadku \(a\) jest dodatnie, to aby wyrażenie \(\frac{-b}{a}\) było większe od zera, to w liczniku musimy mieć także liczbę dodatnią. To oznacza, że \(b\) musi być liczbą ujemną. Z podanych liczb w zbiorze \(B\) tylko liczba \(-1\) spełnia ten warunek.
Skoro więc ze zbioru \(A\) interesują nas liczby \(1,2,3\), a ze zbioru \(B\) interesuje nas jedynie \(-1\), to zdarzeniami sprzyjającymi będą:
$$(1;-1), (2;-1), (3;-1)$$
Są to więc tylko trzy pary liczb, zatem \(|A|=3\).
Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) jest malejąca i ma ujemne miejsce zerowe. Dla takiej funkcji prawdziwa jest nierówność:
A\(a+b\gt0\)
B\(a+b\lt0\)
C\(ab=0\)
D\(ab\lt0\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie omawianą sytuację:
Krok 2. Odczytanie wartości współczynników \(a\) oraz \(b\)
Funkcja jest malejąca, zatem współczynnik \(a\) jest liczbą ujemną, czyli \(a\lt0\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o miejscu przecięcia się wykresu z osią igreków. Widzimy wyraźnie, że funkcja przecina oś igreków w ujemnej wartości, czyli \(b\lt0\).
Krok 3. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Wiemy już, że zarówno \(a\) jak i \(b\) są liczbami ujemnymi. Przeanalizujmy teraz każdą z odpowiedzi:
Odp. A. \(a+b\gt0\) - to nie może być prawda, bo suma dwóch liczb ujemnych na pewno będzie mniejsza od zera.
Odp. B. \(a+b\lt0\) - to prawda, bo suma dwóch liczb ujemnych na pewno będzie mniejsza od zera.
Odp. C. \(ab=0\) - to nie jest prawda, bo iloczyn dwóch liczb ujemnych da wynik dodatni.
Odp. D. \(ab\lt0\) - to nie jest prawda, bo iloczyn dwóch liczb ujemnych da wynik dodatni.
Zadanie nr 6 · Matura 2016
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=(x-1)(x-9)\). Wynika stąd, że funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale:
A\(\langle5;+\infty)\)
B\((-\infty;5\rangle\)
C\((-\infty;-5\rangle\)
D\(\langle-5;+\infty)\)
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Wzór funkcji jest podany w postaci iloczynowej, tak więc miejsca zerowe wyznaczymy przyrównując wartość każdego z nawiasów do zera.
$$(x-1)(x-9)=0 \ ,\
x-1=0 \quad\lor\quad x-9=0 \ ,\
x=1 \quad\lor\quad x=9$$
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli.
Aby móc określić w jakim przedziale ta funkcja jest rosnąca musimy poznać współrzędną iksową wierzchołka paraboli. I właśnie do uzyskania tej informacji przydadzą nam się miejsca zerowe, które obliczyliśmy w pierwszym kroku, bowiem wierzchołek paraboli będzie pomiędzy po środku między jednym i drugim miejscem zerowym. Zatem:
$$x_{W}=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5$$
Krok 3. Wyznaczenie przedziału dla którego funkcja \(f\) jest rosnąca:
Dla przejrzystości zadania zróbmy sobie jeszcze na rysunek szkicowy.
Ramiona paraboli są skierowane do góry, bo przed wartościami \(x\) nie było minusów. Funkcja będzie więc rosnąć od wierzchołka (po to właśnie obliczaliśmy jego współrzędną \(x_{W}\)) aż do nieskończoności. Poszukiwanym przedziałem jest więc \(\langle5;+\infty)\).
Zadanie nr 10 · Matura 2016
Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x+5)(x-11)\). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca:
A\((-\infty;3\rangle\)
B\((-\infty;5\rangle\)
C\((-\infty;11\rangle\)
D\(\langle6;+\infty)\)
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych funkcji.
Z postaci iloczynowej w bardzo łatwy sposób jesteśmy w stanie określić miejsca zerowe tej funkcji, przyrównując \(-2(x+5)(x-11)\) do zera:
$$-2(x+5)(x-11)=0 \ ,\
x+5=0 \quad\lor\quad x-11=0 \ ,\
x_{1}=-5 \quad\lor\quad x_{2}=11$$
Nasza funkcja zapisana w postaci ogólnej miałaby ujemny współczynnik \(a=-2\) stąd też jej ramiona będą skierowane do dołu. Aby określić przedział w którym funkcja będzie rosnąca potrzebujemy znać jeszcze współrzędną \(x\) wierzchołka tej paraboli. Obliczymy ją w następujący sposób:
$$x_{W}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-5+11}{2}=\frac{6}{2}=3$$
To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale \((-\infty;3\rangle\).
Zadanie nr 26 · Próbny 2016
Ustalono, że w pewnym jeziorze populacja zagrożonego gatunku ryb maleje każdego roku o \(30\%\), a na początku badań wynosiła \(50\) tys. sztuk. Podaj wzór funkcji wyrażającej liczebność tej populacji po upływie \(t\) lat i oblicz, ile ryb zagrożonego gatunku było w jeziorze po trzech latach od chwili rozpoczęcia badań.
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji.
Przeanalizujmy sobie całą sytuację:
Po upływie roku populacja wyniesie: \(p_{1}=50000\cdot0,7\)
Po upływie dwóch lat populacja wyniesie: \(p_{2}=50000\cdot0,7\cdot0,7=50000\cdot(0,7)^2\)
Po upływie trzech lat populacja wyniesie: \(p_{3}=50000\cdot0,7\cdot0,7\cdot0,7=50000\cdot(0,7)^3\)
I tutaj możemy dostrzec już pewną prawidłowość, dzięki której będziemy w stanie zapisać, że po upływie \(t\) lat populacja wyniesie: \(p_{t}=50000\cdot(0,7)^t\)
Krok 2. Obliczenie ilości ryb po trzech latach.
Korzystając z uzyskanego wzoru lub z fragmentu naszej analizy możemy zapisać, że po upływie trzech lat liczba ryb wyniesie:
$$p_{3}=50000\cdot(0,7)^3 \ ,\
p_{3}=50000\cdot0,343 \ ,\
p_{3}=17150$$
Zadanie nr 7 · Próbny 2015
Maksymalny przedział otwarty, w którym funkcja \(f(x)=-4x^2+16x-23\) jest rosnąca, to:
A\((-\infty,2)\)
B\((-\infty,-2)\)
C\((-\infty,-7)\)
D\((7,+\infty)\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy naszkicować wykres paraboli. Na pewno ramiona paraboli będą skierowane do dołu, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny. Całość będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:
Z rysunku wynika dość wyraźnie, że nasza funkcja będzie rosnąć od minus nieskończoności aż dotrze do wierzchołka. To właśnie w wierzchołku się potem odbije i zacznie maleć. Wniosek z tego taki, że musimy obliczyć współrzędną iksową naszego wierzchołka (potocznie zapisywaną jako \(p\)).
W naszym przypadku współczynniki wynoszą odpowiednio: \(a=-4, b=16, c=-23\), zatem:
$$p=\frac{-16}{2\cdot(-4)} \ ,\
p=\frac{-16}{-8} \ ,\
p=2$$
Krok 3. Zapisanie przedziału.
Wiemy już, że współrzędna iksowa wierzchołka jest równa \(p=2\), zatem funkcja ta rośnie w przedziale \(x\in(-\infty, 2)\).
Zadanie nr 9 · Próbny 2015
Wskaż oś liczbową, na której przedstawiono zbiór wszystkich wartości \(p\), dla których funkcja liniowa \(f(x)=(8-p^2)x+p\) jest rosnąca.
A
B
C
D
Krok 1. Zapisanie nierówności.
Funkcja liniowa w postaci \(y=ax+b\) jest rosnąca wtedy, gdy współczynnik kierunkowy \(a\) jest większy od zera. W naszym przypadku \(a=8-p^2\), zatem musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$8-p^2\gt0$$
Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu.
Powstała nam nierówność kwadratowa, którą precyzyjniej moglibyśmy jeszcze zapisać jako \(-p^2+8\gt0\). Aby rozwiązać taką nierówność, to jak to zwykle bywa, musimy zacząć od wyznaczenia miejsc zerowych, czyli sprawdzenia kiedy \(8-p^2=0\), zatem:
$$-p^2+8=0 \ ,\
p^2=8 \ ,\
p=\sqrt{8} \quad\lor\quad p=-\sqrt{8}$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczając na osi liczbowej wartości wyznaczone przed chwilą możemy przystąpić do rysowania paraboli. Jej ramiona będą skierowane do dołu (bo przed \(p^2\) pojawił się minus), zatem całość będzie wyglądać następująco:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Z rysunku wynika, że wartości większe od zera są przyjmowane dla \(p\in(-\sqrt{8};\sqrt{8})\). To z kolei oznacza, że właśnie dla takich wartości naszego \(p\) funkcja liniowa będzie rosnąca. Omawiany przedział został zaprezentowany w trzeciej odpowiedzi.
Zadanie nr 12 · Matura 2015
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale:
A\(\langle-1;1\rangle\)
B\(\langle-1;5\rangle\)
C\(\langle5;6\rangle\)
D\(\langle6;8\rangle\)
Funkcja jest rosnąca tylko i wyłącznie w przedziale \(\langle5;6\rangle\).
Zadanie nr 31 · Próbny 2015
Dana jest funkcja określona wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\). Wartość największa funkcji jest równa \(10\). Funkcja jest rosnąca jedynie w przedziale \((-\infty,2\rangle\), a do jej wykresu należy punkt \(A=(4,-2)\). Wyznacz wartości współczynników \(a,b,c\).
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Z treści zadania możemy odczytać bardzo ważną informację, a mianowicie współrzędne wierzchołka paraboli. Zastanówmy się co to znaczy, że funkcja rośnie w przedziale \((-\infty,2\rangle\) i że osiąga największą wartość równą \(10\). To by oznaczało, że nasza funkcja wygląda mniej więcej w ten sposób:
Wynika z tego, że funkcja ma wierzchołek w punkcie \(W=(2,10)\).
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli możemy zapisać ją w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q \ ,\
f(x)=a(x-2)^2+10$$
Krok 3. Podstawienie współrzędnych punktu \(A\) oraz wyznaczenie współczynnika \(a\).
Do wyznaczonej przed chwilą postaci kanonicznej możemy podstawić współrzędne znanego nam punktu \(A\), co pozwoli wyznaczyć nam już jeden ze współczynników:
$$f(x)=a(x-2)^2+10 \ ,\
-2=a(4-2)^2+10 \ ,\
-2=a\cdot2^2+10 \ ,\
-2=4a+10 \ ,\
4a=-12 \ ,\
a=-3$$
Krok 4. Wyznaczenie współczynników \(b\) oraz \(c\).
Znając współczynnik kierunkowy \(a=-3\) wiemy już, że w postaci kanonicznej nasza funkcja przyjmuje wzór:
$$f(x)=-3(x-2)^2+10$$
Jeżeli wykonamy teraz potęgowanie, to doprowadzimy funkcję do postaci ogólnej, co z kolei pozwoli nam odczytać wartości wszystkich współczynników:
$$f(x)=-3(x-2)^2+10 \ ,\
f(x)=-3(x^2-4x+4)+10 \ ,\
f(x)=-3x^2+12x-12+10 \ ,\
f(x)=-3x^2+12x-2$$
To oznacza, że interesująca nas funkcja ma współczynniki:
$$a=-3,\;b=12,\;c=-2$$
Zadanie nr 6 · Matura 2014
Funkcja liniowa \(f(x)=(m^2-4)x+2\) jest malejąca, gdy:
A\(m\in\{-2;2\}\)
B\(m\in(-2;2)\)
C\(m\in(-\infty;-2)\)
D\(m\in(2;+\infty)\)
Krok 1. Ustalenie kiedy funkcja będzie malejąca.
Funkcja jest malejąca wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest mniejszy od zera (czyli \(a\lt0\)). W tym przypadku współczynnik \(a\) został zapisany z parametrem, więc aby nasza funkcja była malejąca, to \(m^2-4\) musi być mniejsze od zera.
Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności.
Aby dowiedzieć się kiedy funkcja jest malejąca musimy rozwiązać nierówność \(m^2-4\lt0\). Możemy ją oczywiście obliczyć za pomocą delty lub zapisując ją w postaci iloczynowej, ale tak naprawdę jest to prosta nierówność, którą śmiało możemy rozwiązać w pamięci. Rozwiązaniem tej nierówności jest oczywiście przedział \(m\in(-2;2)\). Jeśli jednak nie umiemy tego wyliczyć w pamięci, to możemy rozwiązać to jak każdą inną nierówność w trzech prostych krokach:
1. Najpierw szukamy miejsc zerowych, więc przyrównujemy \(m^2-4\) do zera:
$$m^2-4=0 \ ,\
(m-2)(m+2)=0 \ ,\
m=2 \quad\lor\quad m=-2$$
2. Następnie rysujemy szkic paraboli. Ramiona paraboli będą skierowane ku górze, bo przed \(m^2\) nie stoi znak minusa:
3. Teraz odczytujemy dla jakich wartości funkcja przyjmuje wartości ujemne (czyli dla jakich argumentów wykres funkcji znalazł się pod osią \(Ox\)), a jest to przedział \(m\in(-2;2)\).
Zadanie nr 12 · Matura 2014
Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że:
A\(a\gt0\) i \(b\gt0\)
B\(a\lt0\) i \(b\lt0\)
C\(a\lt0\) i \(b\gt0\)
D\(a\gt0\) i \(b\lt0\)
Skoro funkcja liniowa ma być rosnąca, to na pewno \(a\gt0\).
Wiemy też, że funkcja ta ma dodatnie miejsce zerowe, musi więc wyglądać mniej więcej w taki sposób:
Widzimy wyraźnie, że skoro funkcja ma dodatnie miejsce zerowe i jest jednocześnie rosnąca, to na pewno przecina oś \(Oy\) w wartości ujemnej, czyli pod osią \(Ox\). To oznacza, że współczynnik \(b\lt0\).
Prawidłowa jest zatem odpowiedź \(a\gt0\) i \(b\lt0\).
Zadanie nr 19 · Próbny 2014
Funkcja \(f(x)=\left(3-\frac{1}{3}m\right)x+3m-1\) jest malejąca dla:
A\(m\in(9,+\infty)\)
B\(m\in(1,+\infty)\)
C\(m\in(-\infty,1)\)
D\(m\in(-\infty,9)\)
Funkcja liniowa będzie malejąca wtedy, gdy współczynnik kierunkowy \(a\) będzie mniejszy od zera. W związku z tym musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$3-\frac{1}{3}m\lt0 \ ,\
3\lt\frac{1}{3}m \ ,\
m\gt9$$
To oznacza, że ta funkcja jest malejąca dla \(m\in(9,+\infty)\).
Zadanie nr 17 · Próbny 2012
Funkcja \(f(x)=2x^2-4x+5\) jest malejąca w przedziale:
A\((2,+\infty)\)
B\((-\infty,2)\)
C\((-\infty,1)\)
D\((1,+\infty)\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy naszkicować całą sytuację. Na pewno wykres tej funkcji będzie parabolą i to taką, która ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik kierunkowy jest dodatni). Całość będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:
Z rysunku wynika dość wyraźnie, że nasza funkcja będzie malała od minus nieskończoności aż do naszego wierzchołka. To właśnie w wierzchołku się potem odbije i zacznie rosnąć do plus nieskończoności. Wniosek z tego taki, że musimy obliczyć współrzędną iksową naszego wierzchołka (potocznie zapisywaną jako \(p\)).
W naszym przypadku współczynniki wynoszą odpowiednio: \(a=2,\;b=-4,\;c=5\), zatem:
$$p=\frac{-(-4)}{2\cdot2} \ ,\
p=\frac{4}{4} \ ,\
p=1$$
Krok 3. Zapisanie przedziału.
Wiemy już, że współrzędna iksowa wierzchołka jest równa \(p=1\), zatem funkcja ta maleje w przedziale \(x\in(-\infty,1)\).
Zadanie nr 4 · Matura 2011
Funkcja liniowa \(f(x)=(m-2)x-11\) jest rosnąca dla:
A\(m\gt2\)
B\(m\gt0\)
C\(m\lt13\)
D\(m\lt11\)
Aby funkcja była rosnąca, to jej współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od zera. W naszym przypadku \(a=m-2\), zatem funkcja będzie rosnąca dla:
$$m-2\gt0 \ ,\
m\gt2$$
Zadanie nr 9 · Próbny 2011
Funkcja liniowa \(f(x)=(m+2)x+2m\) jest rosnąca, gdy:
A\(m\lt-2\)
B\(m\lt2\)
C\(m\gt-2\)
D\(m\gt-4\)
Funkcja liniowa jest rosnąca gdy jej współczynnik kierunkowy \(a\) (czyli liczba przed iksem) jest dodatni. W związku z tym funkcja ta będzie rosnąć gdy:
$$m+2\gt0 \ ,\
m\gt-2$$
Zadanie nr 10 · Próbny 2011
Rysunek przedstawia wykres funkcji \(y=f(x)\).
Funkcja jest malejąca w przedziale:
A\(\langle0,4\rangle\)
B\(\langle1,6\rangle\)
C\(\langle0,6\rangle\)
D\(\langle-2,4\rangle\)
Szukamy miejsc w których funkcja jest malejąca, czyli miejsc gdzie wykres funkcji skierowany jest do dołu. Przedział ten odczytujemy z osi iksów i widzimy że funkcja zaczyna maleć od argumentu \(x=1\) aż do argumentu \(x=6\). W związku z tym poszukiwanym przez nas przedziałem jest przedział \(x\in\langle1,6\rangle\).
Zadanie nr 26 · Matura 2011
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) zbiór wartości funkcji \(f\),
b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja \(f\) jest malejąca.
Krok 1. Ustalenie zbioru wartości funkcji \(f\).
Odczytujemy jakie wartości na osi igreków przyjmuje nasza funkcja i widzimy wyraźnie, że wszystkie wartości funkcji mieszczą się w przedziale \(\langle-2;3\rangle\).
Krok 2. Ustalenie miejsc w których funkcja \(f\) jest malejąca.
Teraz szukamy na osi iksów takich argumentów, dla których ta funkcja jest malejąca. Jest tylko jeden taki przedział (więc siłą rzeczy będzie on maksymalnej długości), a tym przedziałem jest \(\langle-2;2\rangle\).
Zadanie nr 10 · Matura 2010
Wskaż \(m\), dla którego funkcja liniowa \(f(x)=(m-1)x+6\) jest rosnąca:
A\(m=-1\)
B\(m=0\)
C\(m=1\)
D\(m=2\)
Aby funkcja określona wzorem \(y=ax+b\) była rosnąca to współczynnik \(a\) musi być większy od zera. W naszym przykładzie \(a=m-1\), zatem aby funkcja była rosnąca to:
$$m-1\gt0 \ ,\
m\gt1$$
Spośród czterech odpowiedzi większa od jedynki jest jedynie czwarta odpowiedź, czyli \(m=2\).
Zadanie nr 12 · Próbny 2010
Wskaż \(m\), dla którego funkcja liniowa określona wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) jest stała.
A\(m=1\)
B\(m=2\)
C\(m=3\)
D\(m=-1\)
Funkcję liniową wyrażamy wzorem w postaci \(f(x)=ax+b\). Aby funkcja liniowa była stała, to współczynnik \(a\) musi być równy \(0\). W naszym przypadku \(a=m-1\), stąd też aby funkcja była stała, to \(m-1\) musi być równe \(0\). Zatem:
$$m-1=0 \ ,\
m=1$$
Zadanie nr 12 · Matura 2010
Wskaż \(m\), dla którego funkcja liniowa określona wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) jest stała.
A\(m=1\)
B\(m=2\)
C\(m=3\)
D\(m=-1\)
Funkcję liniową wyrażamy wzorem w postaci \(f(x)=ax+b\). Aby funkcja liniowa była stała, to współczynnik \(a\) musi być równy \(0\). W naszym przypadku \(a=m-1\), stąd też aby funkcja była stała, to \(m-1\) musi być równe \(0\). Zatem:
$$m-1=0 \ ,\
m=1$$
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
