Czym jest układ równań i jego rozwiązanie, układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne oraz metody rozwiązywania.
11 definicjiTo dwa (lub więcej) równania rozpatrywane jednocześnie. Rozwiązaniem jest para $(x,y)$ spełniająca oba równania naraz.
Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy do drugiego:
$$\begin{cases}y=2x-1\\3x+y=9\end{cases} \Rightarrow 3x+(2x-1)=9 \Rightarrow x=2,\ y=3$$
Wygodna, gdy któraś niewiadoma ma współczynnik $1$.
Mnożymy równania tak, by współczynniki przy jednej niewiadomej były przeciwne, a następnie dodajemy stronami:
$$\begin{cases}2x+y=7\x-y=2\end{cases} \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3,\ y=1$$
$$\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\Rightarrow\text{oznaczony — proste przecinają się}$$
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\Rightarrow\text{nieoznaczony — proste się pokrywają}$$
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\Rightarrow\text{sprzeczny — proste równoległe rozłączne}$$
Schemat: oznacz niewiadome, zapisz dwa warunki jako równania, rozwiąż układ, sprawdź wynik w treści zadania. Klasyczny przykład: suma dwóch liczb wynosi $20$, różnica $4$ — dodanie równań daje $2x=24$.
Przed porównywaniem proporcji uporządkuj oba równania do postaci $ax+by=c$. Porównywanie współczynników z równań zapisanych w różnych postaciach prowadzi do błędnych wniosków o liczbie rozwiązań.
To układy, w których co najmniej jedno równanie jest stopnia drugiego — najczęściej jedno liniowe i jedno kwadratowe (np. prosta i parabola albo prosta i okrąg).
Z równania liniowego wyznaczamy jedną zmienną i wstawiamy do drugiego, otrzymując równanie kwadratowe z jedną niewiadomą. Przykład: $y=x^2$ i $y=x+2$ dają $x^2=x+2$.
Rozwiązania układu to współrzędne punktów wspólnych wykresów. Prosta i parabola mogą mieć $0$, $1$ (styczność) lub $2$ punkty wspólne — decyduje o tym wyróżnik równania powstałego po podstawieniu.
$$ax^4+bx^2+c=0$$
Podstawiamy $t=x^2$, gdzie $t\ge0$. Rozwiązujemy równanie kwadratowe, a potem wracamy do $x$. Ujemne wartości $t$ odrzucamy — nie dają pierwiastków rzeczywistych.
Układy typu $x+y=s$, $xy=p$ rozwiązujemy, traktując $x$ i $y$ jako pierwiastki równania $t^2-st+p=0$. To skrót oparty na wzorach Viète'a.
Przy podstawieniu $t=x^2$ nie zapomnij o warunku $t\ge0$. Sprawdzaj liczbę punktów wspólnych wyróżnikiem — $\Delta=0$ oznacza styczność.
Układ to zbiór równań z tymi samymi niewiadomymi, rozwiązywany wspólnie.
Para $(x,y)$ spełniająca jednocześnie wszystkie równania.
Oznaczony (jedno rozwiązanie), sprzeczny (brak), nieoznaczony (nieskończenie wiele).
Podstawiania, przeciwnych współczynników oraz metoda graficzna.
Każde równanie liniowe $ax+by=c$ przedstawia prostą.
Rozwiązanie układu to współrzędne punktu wspólnego prostych.
Proste przecinają się (oznaczony), są równoległe różne (sprzeczny) albo pokrywają się (nieoznaczony).
Równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne oznaczają układ sprzeczny.
Mnożymy równania tak, aby współczynniki przy jednej zmiennej były przeciwne, a po dodaniu równań zmienna się redukuje.
Dobierz mnożniki, dodaj równania stronami, wyznacz jedną zmienną, potem drugą.
$x+y=5$ i $x-y=1$; po dodaniu $2x=6$, więc $x=3$, $y=2$.
Co najmniej jedno równanie jest stopnia drugiego, np. parabola i prosta.
Podstawiamy jedną zmienną, otrzymując równanie kwadratowe.
Rozwiązania to współrzędne punktów przecięcia wykresów.
Zależy od wyróżnika: $0$, $1$ lub $2$ pary.
Dwie niewiadome opisujemy dwoma równaniami.
Wprowadź oznaczenia, zapisz równania, rozwiąż układ, zinterpretuj wynik.
Podstawianie lub przeciwne współczynniki.
Suma to $15$, różnica $3$: $x+y=15$, $x-y=3$, więc $x=9$, $y=6$.
Dwie wielkości opisujemy dwoma warunkami — powstaje układ równań.
Zadania o wieku, mieszaninach, ruchu, cenach.
Wybieramy metodę podstawiania lub przeciwnych współczynników.
Sprawdzamy, czy wynik pasuje do treści zadania.
Rozwiązanie układu to punkt przecięcia prostych.
Jedno (proste przecinają się), brak (równoległe), nieskończenie wiele (pokrywają się).
Podstawianie, przeciwne współczynniki, metoda graficzna.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.