Definicja potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym i wymiernym, własności potęg oraz notacja wykładnicza.
9 definicjiPotęga $a^n$ to skrócony zapis mnożenia liczby $a$ przez siebie $n$ razy. Liczbę $a$ nazywamy podstawą, a $n$ — wykładnikiem.
Przy tej samej podstawie:
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{m\cdot n}$$
Przy tym samym wykładniku:
$$a^n\cdot b^n=(ab)^n,\qquad \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$$
$$a^0=1\ (a\ne0),\qquad a^1=a,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną: $2^{-3}=\frac18$.
Bardzo duże i bardzo małe liczby zapisujemy jako $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a\lt 10$:
$7\,500\,000=7{,}5\cdot10^6$, $\quad 0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$
Wzory na mnożenie i dzielenie działają tylko przy identycznej podstawie — wyrażenia $2^3\cdot3^2$ nie da się zapisać jako jednej potęgi. Nie istnieje też wzór na $a^m+a^n$.
Potęga to skrócony zapis mnożenia jednakowych czynników: $a^n=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a$ ($n$ czynników).
W zapisie $a^n$ liczba $a$ to podstawa, a $n$ to wykładnik. $a^2$ czytamy „a do kwadratu", $a^3$ „a do sześcianu".
$$2^3=2\cdot2\cdot2=8,\qquad 5^2=25$$
Każda liczba do potęgi pierwszej równa się sobie: $a^1=a$.
Najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.
$$2+3\cdot2^2=2+3\cdot4=2+12=14$$
Nawiasy zmieniają kolejność: $(2+3)^2=5^2=25$.
Potęgę obliczamy przed mnożeniem: w $3\cdot2^2$ najpierw $2^2=4$.
$a^n$ to iloczyn $n$ jednakowych czynników $a$. Liczbę $a$ nazywamy podstawą, a $n$ wykładnikiem.
$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81,\qquad 10^3=1000$$
$10^n$ to jedynka z $n$ zerami: $10^2=100$, $10^4=10000$.
$a^2$ nazywamy kwadratem, a $a^3$ sześcianem liczby.
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ — przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ dla $a\neq0$ — odejmujemy wykładniki.
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ — wykładniki mnożymy.
$$2^3\cdot2^2=2^5=32,\qquad (3^2)^2=3^4=81$$
Notacja wykładnicza zapisuje liczbę jako iloczyn liczby z przedziału od $1$ do $10$ oraz potęgi dziesiątki: $a\cdot10^n$.
$3000=3\cdot10^3$, a $0{,}002=2\cdot10^{-3}$.
Jest wygodna dla bardzo dużych i bardzo małych liczb, np. w fizyce i astronomii.
Współczynnik $a$ musi spełniać warunek $1\le a\lt 10$.
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ — podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy.
$(2^3)^2=2^6=64$.
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ oraz $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
Nie myl mnożenia wykładników (potęga potęgi) z ich dodawaniem (iloczyn potęg).
$a^n$ to iloczyn $n$ czynników równych $a$.
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$.
$a^0=1$ dla $a\neq0$.
Duże liczby zapisujemy jako $c\cdot10^k$.
Dla $a>0$ definiujemy potęgi o wykładniku całkowitym, wymiernym i rzeczywistym; $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$.
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
$8^{2/3}=(\sqrt[3]{8})^2=4$.
Podstawa funkcji wykładniczej i logarytmicznej.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.