Kolejność wykonywania działań z potęgami

Kolejność działań: najpierw potęga, potem mnożenie, na końcu dodawanie.

$$3^2=9,\qquad 2\cdot9=18,\qquad 5+18=23$$

Pułapka: policzenie od lewej dałoby błędny wynik — potęgowanie ma pierwszeństwo.

Odpowiedź: C. $23$.

Potęgowanie to wielokrotne mnożenie:

$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$$

Pułapka: $3\cdot4=12$ to mnożenie, a nie potęgowanie.

Odpowiedź: C. $81$.

Mnożymy pisemnie od prawej, przenosząc nadmiar:

• $4\cdot7=28$ — piszemy $8$, przenosimy $2$
• $3\cdot7=21$, plus $2$ to $23$ — piszemy $3$, przenosimy $2$
• $2\cdot7=14$, plus $2$ to $16$ — piszemy $16$

$$234\cdot7=1638$$

Odpowiedź: $1638$.

Krok 1 — obie potęgi:

$$2^3=8,\qquad 3^2=9$$

Krok 2 — dodawanie:

$$8+9=17$$

Uwaga: $2^3$ i $3^2$ to różne liczby — kolejność podstawy i wykładnika ma znaczenie.

Odpowiedź: $17$.

Potęga $2^5$ to pięciokrotne mnożenie dwójki:

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Uwaga: wykładnik mówi, ile razy mnożymy podstawę przez siebie, a nie przez ile.

Odpowiedź: $32$.

Krok 1 — zaokrąglamy:

$$198\approx200,\qquad 21\approx20$$

Krok 2 — szacunek:

$$200\cdot20=4000$$

Wynik dokładny to $4158$ — szacunek jest bliski i wystarcza, by wychwycić grubą pomyłkę w rachunku.

Odpowiedź: około $4000$.

Krok 1 — działania w nawiasie (najpierw mnożenie):

$$3\cdot6=18,\qquad 4+18=22$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$100-22=78$$

Odpowiedź: B. $78$.

Kolejność: najpierw potęga, potem mnożenie, na końcu dodawanie.

$$2+3\cdot4=2+12=14$$

Pułapki: liczenie od lewej daje $20$, a potraktowanie $3\cdot2$ jako podstawy potęgi — $38$.

Odpowiedź: A. $14$.

Krok 1 — zaokrąglamy:

$$312\approx300,\qquad 489\approx500$$

Krok 2 — szacunkowy wynik:

$$300+500=800$$

Dla porównania dokładny wynik to $801$ — oszacowanie jest bardzo bliskie i wystarcza do szybkiej kontroli.

Odpowiedź: około $800$.

$$10^3=1000,\qquad 10^5=100\,000$$

Reguła: potęga dziesiątki ma tyle zer, ile wynosi wykładnik.

Odpowiedź: $1000$ (trzy zera) oraz $100\,000$ (pięć zer).

Potęga dziesiątki to jedynka z tyloma zerami, ile wynosi wykładnik:

$$10^4=10\,000$$

(cztery zera)

Odpowiedź: A. $10\,000$.

Najpierw nawias, potem potęga:

$$(2+3)^2=5^2=25$$

Uwaga: $2^2+3^2=4+9=13$ to zupełnie inne wyrażenie — potęgowanie sumy nie rozdziela się na składniki.

Odpowiedź: D. $25$.

Dzielimy pisemnie od lewej:

• $8:8=1$
• $4:8=0$ reszty $4$
• $40:8=5$

$$840:8=105$$

Sprawdzenie: $105\cdot8=840$ ✔

Uwaga na zero w środku wyniku — łatwo je pominąć.

Odpowiedź: $105$.

Krok 1 — potęga:

$$3^2=9$$

Krok 2 — mnożenie:

$$2\cdot9=18$$

Krok 3 — odejmowanie:

$$50-18=32$$

Odpowiedź: $32$.

Krok 1 — nawias:

$$15-3=12$$

Krok 2 — potęga:

$$4^2=16$$

Krok 3 — mnożenie, potem dodawanie:

$$12\cdot2=24,\qquad 24+16=40$$

Odpowiedź: $40$.

Krok 1 — szacunek. Zaokrąglamy cenę w górę:

$$7\cdot120=840\ \text{zł}$$

Skoro nawet zawyżony szacunek mieści się w $850$ zł, kwota powinna wystarczyć.

Krok 2 — rachunek dokładny:

$$7\cdot118=826\ \text{zł}$$

Krok 3 — reszta:

$$850-826=24\ \text{zł}$$

Odpowiedź: tak, wystarczy — zostanie $24$ zł.

Kolejność działań od najważniejszego:

1. nawiasy
2. potęgowanie
3. mnożenie i dzielenie
4. dodawanie i odejmowanie

Spośród podanych działań najwyższy priorytet ma potęgowanie.

Odpowiedź: D. potęgowanie.

$$49=7\cdot7=7^2$$

Pozostałe leżą między $36=6^2$ a $64=8^2$, ale nie są kwadratami.

Warto znać pierwsze kwadraty: $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$, $100$.

Odpowiedź: B. $49$.

Krok 1 — liczba dostarczonych butelek:

$$18\cdot12=216$$

Krok 2 — łącznie:

$$1250+216=1466$$

Zapis jednym wyrażeniem: $1250+18\cdot12$ — mnożenie przed dodawaniem, więc nawias niepotrzebny.

Odpowiedź: $1466$ butelek.

Krok 1 — potęgi w nawiasie:

$$16-9=7$$

Krok 2 — mnożenie:

$$7\cdot2=14$$

Odpowiedź: $14$.

Obliczamy każdą potęgę osobno:

$$2^3=8,\qquad 3^2=9$$

Dodajemy:

$$8+9=17$$

Uwaga: $2^3$ i $3^2$ to różne liczby ($8$ i $9$) — mimo że używają tych samych cyfr.

Odpowiedź: B. $17$.

$$5^3=5\cdot5\cdot5=125$$

Uwaga: $25$ to $5^2$, a $243$ to $3^5$.

Odpowiedź: C. $125$.

Krok 1 — dzielenie i mnożenie:

$$72:8=9,\qquad 5\cdot4=20$$

Krok 2 — dodawanie i odejmowanie od lewej:

$$9+20=29,\qquad 29-6=23$$

Odpowiedź: $23$.

Krok 1 — obliczamy potęgi:

$$2^4=16,\qquad 2^2=4$$

Krok 2 — dzielenie:

$$16:4=4$$

Krok 3 — porównanie. Wynik równa się $2^2$.

Zauważ regułę: przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się odejmują: $4-2=2$.

Odpowiedź: $4$, czyli dokładnie $2^2$.

Krok 1 — zaokrąglamy:

$$19\approx20,\qquad 21\approx20$$

Krok 2 — szacunek:

$$20\cdot20=400$$

Dokładny wynik to $399$ — oszacowanie różni się tylko o $1$.

Odpowiedź: około $400$.

Krok 1 — zapis potęgowy:

$$V=a^3=4^3$$

Krok 2 — obliczenie:

$$4\cdot4\cdot4=64\ \text{cm}^3$$

Skąd nazwa: trzecią potęgę nazywamy sześcianem liczby właśnie dlatego, że opisuje objętość sześcianu.

Odpowiedź: $4^3=64$ cm$^3$.

Krok 1 — nawias:

$$3+4=7$$

Krok 2 — potęga:

$$7^2=49$$

Krok 3 — mnożenie:

$$2\cdot49=98$$

Pułapka: potęgujemy dopiero po obliczeniu nawiasu; $(2\cdot7)^2=196$ byłoby błędem.

Odpowiedź: C. $98$.

Zaokrąglamy dzielną:

$$4987\approx5000,\qquad 5000:5=1000$$

Wynik dokładny to $997{,}4$ — szacunek trafiony.

Odpowiedź: A. około $1000$.

Krok 1 — nawias:

$$120+80=200$$

Krok 2 — mnożenie:

$$3\cdot200=600$$

Krok 3 — odejmowanie:

$$1000-600=400$$

Odpowiedź: $400$.

Krok 1 — potęgi w nawiasie:

$$9+16=25$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$100-25=75$$

Odpowiedź: $75$.

Potęga $5^3$ to trzykrotne mnożenie piątki:

$$5^3=5\cdot5\cdot5=125$$

Uwaga: $5^2=25$ (to pole), a $5^3=125$ (to objętość).

Odpowiedź: A. $125$.

Jedynka pomnożona przez siebie dowolną liczbę razy nadal daje jedynkę:

$$1^{100}=1$$

Podobnie: $0^{100}=0$, a każda liczba do potęgi zerowej daje $1$.

Odpowiedź: D. $1$.

Szacowanie: $24\approx25$, $35$ osób, więc około $25\cdot35=875$ zł.

Dokładny wynik:

$$24\cdot35=840\ \text{zł}$$

Wniosek: oszacowanie $875$ zł jest bliskie wynikowi $840$ zł, więc rachunek jest wiarygodny — nie pomyliliśmy się o rząd wielkości.

Odpowiedź: grupa zapłaci $840$ zł.

Krok 1 — wnętrze nawiasu. Najpierw potęga, potem mnożenie:

$$5^2=25,\qquad 3\cdot4=12,\qquad 25-12=13$$

Krok 2 — potęga poza nawiasem:

$$6^2=36$$

Krok 3 — mnożenie i dzielenie:

$$2\cdot13=26,\qquad 36:9=4$$

Krok 4 — dodawanie:

$$26+4=30$$

Odpowiedź: $30$.

Obliczamy każdą potęgę osobno — mają różne podstawy, więc nie łączymy wykładników:

$$3^2=9,\qquad 2^3=8$$

Mnożymy:

$$9\cdot8=72$$

Uwaga: reguła dodawania wykładników działa tylko przy tej samej podstawie — tutaj nie da się jej użyć.

Odpowiedź: $72$.

Krok 1 — szacunek. Zaokrąglamy do wygodnych liczb:

$$20\cdot20=400$$

Krok 2 — rachunek dokładny:

$$19\cdot23=437$$

Krok 3 — różnica:

$$437-400=37$$

Dlaczego szacunek jest zaniżony: jeden czynnik zaokrągliliśmy w górę o $1$, a drugi w dół o $3$ — przewaga zaokrąglenia w dół obniżyła wynik.

Odpowiedź: szacunek $400$, dokładnie $437$ miejsc, różnica $37$.

Krok 1 — pierwsza partia:

$$12\cdot500=6000$$

Krok 2 — druga partia:

$$8\cdot250=2000$$

Krok 3 — razem:

$$6000+2000=8000$$

Zapis jednym wyrażeniem: $12\cdot500+8\cdot250=8000$ — oba mnożenia przed dodawaniem.

Odpowiedź: $8000$ kartek.

Krok 1 — kolejne pola:

$$1,\quad 2,\quad 4,\quad 8,\quad 16,\quad 32,\quad 64,\quad 128$$

Krok 2 — zapis potęgowy. Na polu numer $n$ leży $2^{n-1}$ ziaren:

$$\text{pole }4:\ 2^3=8,\qquad \text{pole }8:\ 2^7=128$$

Dlaczego wykładnik to $n-1$: na pierwszym polu jest $2^0=1$, więc podwajanie zaczyna się dopiero od drugiego pola.

Odpowiedź: $8$ ziaren na czwartym polu i $128$ na ósmym.

Krok 1 — potęgi:

$$2^4=16,\qquad 2^3=8$$

Krok 2 — nawias (potęga w środku już policzona):

$$10-8=2$$

Krok 3 — mnożenie:

$$3\cdot2=6$$

Krok 4 — dodawanie:

$$16+6=22$$

Kolejność: nawias liczymy przed mnożeniem przez $3$, a potęgi jeszcze wcześniej — to zadanie ćwiczy pełną hierarchię działań.

Odpowiedź: $22$.

Pierwsze wyrażenie — potęga potęgi:

$$(2^3)^2=8^2=64$$

Drugie wyrażenie — iloczyn potęg:

$$2^3\cdot2^2=8\cdot4=32$$

Wyniki są różne: $64\neq32$.

Wyjaśnienie różnicy. Przy potędze potęgi wykładniki mnożymy: $2^{3\cdot2}=2^6=64$. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy: $2^{3+2}=2^5=32$.

Zapamiętaj: nawias wokół potęgi zmienia działanie na wykładnikach z dodawania na mnożenie.

Odpowiedź: $64$ i $32$ — wyniki różne.