Rodzaje kątów, kąty przy prostych równoległych, punkt, prosta, półprosta i odcinek, przystawanie, symetrie i konstrukcje.
15 definicji$$\text{ostry}\lt 90^\circ,\quad \text{prosty}=90^\circ,\quad 90^\circ\lt \text{rozwarty}\lt 180^\circ$$
$$\text{półpełny}=180^\circ,\qquad \text{pełny}=360^\circ$$
Kąt prosty nie jest ani ostry, ani rozwarty — to granica między nimi.
Ze względu na boki: równoboczny, równoramienny, różnoboczny. Ze względu na kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny.
Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi $180^\circ$.
$$P_{\square}=a\cdot b,\qquad Ob_{\square}=2(a+b)$$
$$P_{kw}=a^2,\qquad Ob_{kw}=4a$$
Kwadrat ma $4$ osie symetrii, prostokąt (niebędący kwadratem) — $2$.
$$1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2,\qquad 1\ \text{cm}^2=100\ \text{mm}^2$$
Przy zamianie jednostek pola przelicznik podnosimy do kwadratu.
Przed obliczeniem pola sprowadź wszystkie boki do tej samej jednostki. Pole podajemy w jednostkach kwadratowych, obwód w zwykłych.
$$\text{trójkąt: }180^\circ,\qquad \text{czworokąt: }360^\circ$$
Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty — stąd podwojona suma.
Ze względu na boki: równoboczny (wszystkie kąty po $60^\circ$), równoramienny (kąty przy podstawie równe), różnoboczny. Ze względu na kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny.
W trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do $90^\circ$.
$$l=2\pi r,\qquad P=\pi r^2$$
Okrąg to linia, koło — okrąg wraz z wnętrzem.
Skala $1:100$ oznacza, że $1$ cm na planie to $100$ cm w rzeczywistości. Odcinek $3$ cm odpowiada więc $300$ cm, czyli $3$ m.
Kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem — to nie są rozłączne kategorie. Przy skali zawsze sprawdź, czy pytanie dotyczy planu, czy rzeczywistości, i pilnuj jednostek.
$$L=2\pi r=\pi d \qquad\text{(długość okręgu)}$$
$$P=\pi r^2 \qquad\text{(pole koła)}$$
Nie myl ich. Długość zależy od promienia liniowo, a pole od jego kwadratu. To najczęstsza pomyłka w tym dziale.
Okrąg to sama linia (brzeg), koło to linia wraz z wnętrzem. Długość mierzymy dla okręgu, pole — dla koła.
$$\pi\approx3{,}14\approx\frac{22}{7}$$
To liczba niewymierna — stosunek długości okręgu do jego średnicy, jednakowy dla każdego okręgu.
$$r=\frac{L}{2\pi},\qquad r=\sqrt{\frac{P}{\pi}}$$
Z pola $49\pi$ odczytujemy $r^2=49$, więc $r=7$ — pierwiastkowanie bywa zbędne, gdy wynik podano z $\pi$.
Podwojenie promienia zwiększa długość okręgu dwukrotnie, ale pole czterokrotnie, bo $\pi(2r)^2=4\pi r^2$.
Półkole ma pole $\frac{\pi r^2}{2}$, ćwiartka $\frac{\pi r^2}{4}$. Pierścień to różnica pól dwóch kół współśrodkowych. Koło wpisane w kwadrat ma promień równy połowie boku.
Sprawdzaj, czy dana jest średnica, czy promień. W obliczeniach z bieżnią czy kołem rowerowym „jeden obrót” to długość okręgu.
Punkt oznaczamy wielką literą, np. $A$. Prosta jest nieograniczona w obie strony i nie ma końców.
Półprosta ma początek (jeden koniec) i biegnie nieskończenie w jedną stronę.
Odcinek $AB$ ma dwa końce i określoną długość, którą można zmierzyć linijką.
Dwie proste mogą być równoległe (nie przecinają się) albo przecinać się w jednym punkcie.
Kąty mierzymy w stopniach. Pełny obrót to $360^\circ$, kąt półpełny $180^\circ$, a kąt prosty $90^\circ$.
Do mierzenia używamy kątomierza: środek przykładamy do wierzchołka kąta, a podstawę do jednego z ramion.
Kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$, prosty równo $90^\circ$, a rozwarty od $90^\circ$ do $180^\circ$.
Kąt $45^\circ$ to połowa kąta prostego.
Ostry (mniej niż $90^\circ$), prosty ($90^\circ$), rozwarty (od $90^\circ$ do $180^\circ$), półpełny ($180^\circ$), pełny ($360^\circ$).
Kąty przyległe sumują się do $180^\circ$, a wierzchołkowe są równe.
Kąty odpowiadające oraz naprzemianległe są równe.
W trójkącie kąty sumują się do $180^\circ$, a w czworokącie do $360^\circ$.
Figury przystające mają ten sam kształt i te same wymiary — można je nałożyć na siebie tak, by się pokryły.
Odpowiednie boki i kąty figur przystających są równe.
Przystawanie to szczególny przypadek podobieństwa — w skali $1$.
Dwa kwadraty o boku $5$ są przystające.
Trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne to figury ograniczone odcinkami.
Okrąg to linia, a koło to okrąg wraz z wnętrzem.
Trójkąt $180^\circ$, czworokąt $360^\circ$, a $n$-kąt $(n-2)\cdot180^\circ$.
Prostokąt $a\cdot b$, trójkąt $\frac{1}{2}ah$, koło $\pi r^2$.
Twierdzenie ma założenie („jeżeli") i tezę („to").
To rozumowanie wyprowadzające tezę z założeń.
Powstaje przez zamianę założenia z tezą — nie zawsze prawdziwe.
Jeden przykład wystarczy, aby obalić zdanie ogólne.
Przyległe sumują się do $180^\circ$, wierzchołkowe są równe.
Kąty naprzemianległe i odpowiadające są równe.
Suma kątów wewnętrznych $n$-kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$.
Zaznacz znane kąty i korzystaj z zależności między nimi.
Mogą być równoległe, przecinające się lub skośne.
Prosta może leżeć w płaszczyźnie, być z nią równoległa lub ją przebijać.
Równoległe albo przecinają się wzdłuż prostej.
Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt z jej rzutem; kąt dwuścienny mierzy nachylenie płaszczyzn.
W każdym trójkącie kąty wewnętrzne sumują się do $180^\circ$.
Równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.
Równoboczny — kąty po $60^\circ$; prostokątny — kąty ostre sumują się do $90^\circ$.
Naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.