Kąty i ich rodzaje

Kąt ostry jest mniejszy od $90^\circ$. Skoro $45^\circ\lt 90^\circ$, kąt jest ostry.

Zestawienie: ostry $\lt 90^\circ$, prosty $=90^\circ$, rozwarty między $90^\circ$ a $180^\circ$, półpełny $=180^\circ$, pełny $=360^\circ$.

Odpowiedź: B. ostrym.

Obwód to suma długości wszystkich boków. Prostokąt ma dwa boki po $7$ cm i dwa po $5$ cm:

$$O=2\cdot7+2\cdot5=14+10=24\ \text{cm}$$

Krótszy zapis: $O=2(a+b)=2\cdot12=24$ cm.

Odpowiedź: $24$ cm.

W każdym trójkącie, niezależnie od jego kształtu, suma kątów wewnętrznych wynosi $180^\circ$.

Zastosowanie: znając dwa kąty, trzeci zawsze obliczymy odejmowaniem.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Podział ze względu na boki:

• równoboczny — trzy boki równe
• równoramienny — dwa boki równe
• różnoboczny — wszystkie boki różne

Nazwa „prostokątny” dotyczy podziału ze względu na kąty, a nie boki.

Odpowiedź: A. różnobocznym.

Krok 1 — trzeci kąt:

$$180^\circ-30^\circ-90^\circ=60^\circ$$

Krok 2 — rodzaj trójkąta. Jeden z kątów ma $90^\circ$, więc trójkąt jest prostokątny.

Ciekawostka: trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ to połowa trójkąta równobocznego — pojawia się w wielu zadaniach.

Odpowiedź: trzeci kąt ma $60^\circ$; trójkąt jest prostokątny.

Symbol $\perp$ oznacza prostopadłość (przecięcie pod kątem $90^\circ$), a $\parallel$ — równoległość.

Jak zapamiętać: znak $\parallel$ to dwie równoległe kreski, a $\perp$ wygląda jak dwie prostopadłe.

Odpowiedź: D. $\perp$.

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe, a ich suma wynosi $180^\circ$:

$$180^\circ:3=60^\circ$$

Odpowiedź: B. $60^\circ$.

Kąt półpełny to połowa kąta pełnego:

$$\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$$

Jego ramiona tworzą prostą.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Krok 1 — suma ramion. Odejmujemy podstawę od obwodu:

$$32-12=20\ \text{cm}$$

Krok 2 — jedno ramię. Ramiona są równe, więc dzielimy przez $2$:

$$20:2=10\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $10+10+12=32$ cm ✔

Odpowiedź: ramię ma $10$ cm.

Rodzaje kątów:

• ostry — mniej niż $90^\circ$
• prosty — dokładnie $90^\circ$
• rozwarty — między $90^\circ$ a $180^\circ$
• półpełny — $180^\circ$
• pełny — $360^\circ$

Odpowiedź: B. prostym.

Rodzaj: $47^\circ\lt 90^\circ$, więc kąt jest ostry.

Brakuje:

$$90^\circ-47^\circ=43^\circ$$

Odpowiedź: kąt ostry, brakuje $43^\circ$.

Kąty przyległe dopełniają się do kąta półpełnego:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Odpowiedź: $115^\circ$.

Suma kątów trójkąta to $180^\circ$, a w trójkącie równobocznym wszystkie są równe:

$$180^\circ:3=60^\circ$$

Odpowiedź: C. $60^\circ$.

$$180^\circ-40^\circ-75^\circ=65^\circ$$

Odpowiedź: $65^\circ$.

Rodzaj: dwa boki są równe, trzeci inny — to trójkąt równoramienny.

Obwód:

$$O=5+5+8=18\ \text{cm}$$

Odpowiedź: równoramienny, obwód $18$ cm.

Krok 1 — kąt prosty zabiera $90^\circ$:

$$180^\circ-90^\circ=90^\circ \ \text{dla obu kątów ostrych}$$

Krok 2 — drugi kąt:

$$90^\circ-35^\circ=55^\circ$$

Reguła: w trójkącie prostokątnym kąty ostre zawsze sumują się do $90^\circ$.

Odpowiedź: $55^\circ$.

Warunek trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego.

$$2+3=5\lt 9$$

Takie odcinki nie zamkną się w trójkąt — dwa krótsze nie sięgną do siebie.

Sprawdzenie pozostałych: $3+4=7>5$ ✔, $6+6=12>6$ ✔, $7+8=15>10$ ✔

Odpowiedź: D. o bokach $2$, $3$, $9$.

Kąt wierzchołkowy jest zawsze równy danemu:

$$38^\circ$$

Kąt przyległy dopełnia do $180^\circ$:

$$180^\circ-38^\circ=142^\circ$$

Odpowiedź: wierzchołkowy $38^\circ$, przyległy $142^\circ$.

Prostokąt ma cztery kąty i każdy z nich jest prosty:

$$4\cdot90^\circ=360^\circ$$

To zgadza się z sumą kątów każdego czworokąta.

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — suma kątów przy podstawie:

$$180^\circ-50^\circ=130^\circ$$

Krok 2 — kąty przy podstawie są równe:

$$130^\circ:2=65^\circ$$

Sprawdzenie: $50^\circ+65^\circ+65^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: oba pozostałe kąty mają po $65^\circ$.

Kąt pełny to pełny obrót — wskazówka zegara wraca do punktu wyjścia.

$$360^\circ$$

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Krok 1 — jedna godzina na tarczy. Pełny obrót to $360^\circ$, a godzin jest $12$:

$$360^\circ:12=30^\circ$$

Krok 2 — o godzinie $3{:}00$ wskazówki dzielą trzy takie odstępy:

$$3\cdot30^\circ=90^\circ$$

Odpowiedź: $90^\circ$ — kąt prosty.

Ze względu na kąty: jeden kąt ma $90^\circ$, więc trójkąt jest prostokątny.

Ze względu na boki: wszystkie kąty są różne, więc i boki są różne — trójkąt jest różnoboczny.

Odpowiedź: A. prostokątny i różnoboczny.

Krok 1 — liczba części:

$$1+2+3=6\ \text{części}$$

Krok 2 — jedna część:

$$180^\circ:6=30^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$30^\circ,\qquad 60^\circ,\qquad 90^\circ$$

Sprawdzenie: $30+60+90=180$ ✔

Odpowiedź: $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ — trójkąt prostokątny.

Godzina $5{:}00$ — pięć odstępów po $30^\circ$:

$$5\cdot30^\circ=150^\circ$$

Godzina $8{:}00$ — licząc krótszą drogą, to cztery odstępy:

$$4\cdot30^\circ=120^\circ$$

Uwaga: liczymy zawsze mniejszy z dwóch kątów. Od strony ósmej godziny „w drugą stronę” wyszłoby $240^\circ$, ale kąt między wskazówkami podajemy jako ten nieprzekraczający $180^\circ$.

Odpowiedź: $150^\circ$ oraz $120^\circ$.

Krok 1 — suma ramion:

$$32-12=20\ \text{cm}$$

Krok 2 — jedno ramię (oba są równe):

$$20:2=10\ \text{cm}$$

Krok 3 — sprawdzenie warunku trójkąta: $10+10=20>12$ ✔ Taki trójkąt istnieje.

Odpowiedź: ramię ma $10$ cm.

Krok 1 — podział na części. Mniejszy kąt to $1$ część, większy $4$ części, razem $5$ części. Kąty przyległe dają w sumie $180^\circ$:

$$180^\circ:5=36^\circ$$

Krok 2 — miary kątów:

$$36^\circ \qquad\text{oraz}\qquad 4\cdot36^\circ=144^\circ$$

Sprawdzenie: $36^\circ+144^\circ=180^\circ$ ✔ oraz $144:36=4$ ✔

Odpowiedź: $36^\circ$ i $144^\circ$.