Funkcja liniowa i jej wykres, współczynnik kierunkowy i wyraz wolny, proste równoległe i prostopadłe.
14 definicjiPrzestrzeń liniowa (wektorowa) nad ciałem $\mathbb{F}$: zbiór $V$ z działaniami $+$ i $\cdot$ spełniającymi 8 aksjomatów (łączność, przemienność, element zerowy, element przeciwny, rozdzielność skalara).
Przykłady: $\mathbb{R}^n$, zbiór wielomianów stopnia $\le n$, macierze $m\times n$, funkcje ciągłe $C[a,b]$.
Podprzestrzeń: podzbiór zamknięty na $+$ i $\cdot$ i zawierający $\mathbf{0}$.
Baza: liniowo niezależny układ generatorów. $\dim V$ = liczba elementów bazy.
Wielomiany $\le 2$: $\dim=3$, baza $\{1, x, x^2\}$. $p(x)=2+3x-x^2 = 2\cdot1+3\cdot x+(-1)\cdot x^2$.
Każda baza przestrzeni skończeniewymiarowej ma tę samą liczbę elementów = $\dim V$.
$$f(x)=ax+b$$
Wykresem jest prosta. Współczynnik $a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ to wyraz wolny — rzędna punktu przecięcia z osią $OY$.
$$ax+b=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{b}{a}\qquad(a\ne0)$$
Z dwóch punktów $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$:
$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad y-y_1=a(x-x_1)$$
$$l_1\parallel l_2 \iff a_1=a_2,\qquad l_1\perp l_2 \iff a_1a_2=-1$$
Interpretacja geometryczna liczby rozwiązań:
Prosta pionowa $x=c$ nie jest funkcją i nie ma współczynnika kierunkowego — nie da się jej zapisać w postaci $y=ax+b$. Warunek prostopadłości zawodzi też dla pary prosta pozioma–pionowa; ten przypadek rozpatruj osobno.
$$y=ax+b$$
Litera $a$ to współczynnik kierunkowy — mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Litera $b$ to wyraz wolny — wartość $y$ w punkcie przecięcia z osią $OY$.
$$a>0 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad a\lt 0 \Rightarrow \text{malejąca},\qquad a=0 \Rightarrow \text{stała}$$
Wyraz wolny nie wpływa na monotoniczność — przesuwa jedynie wykres w pionie.
$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
Mając $a$, wyznaczamy $b$ przez podstawienie współrzędnych dowolnego z punktów. Drugi punkt służy wtedy do sprawdzenia.
Przykład: dla $A=(1,5)$ i $B=(3,1)$ mamy $a=\frac{1-5}{3-1}=-2$, potem $5=-2+b$, czyli $b=7$ i ostatecznie $y=-2x+7$.
$$\text{równoległe}:\ a_1=a_2,\qquad \text{prostopadłe}:\ a_1\cdot a_2=-1$$
Warunek prostopadłości wygodnie stosuje się tak: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.
Proste o równych $a$ i równych $b$ pokrywają się; równe $a$ i różne $b$ oznacza proste rozłączne.
$$Ax+By+C=0$$
Zamiana na postać kierunkową polega na wyznaczeniu $y$:
$$2x+3y-6=0 \ \Rightarrow\ y=-\tfrac23x+2$$
Postać ogólna obejmuje również proste pionowe ($B=0$), których nie da się zapisać jako $y=ax+b$.
Z osią $OY$: podstawiamy $x=0$ i otrzymujemy punkt $(0,\ b)$.
Z osią $OX$: rozwiązujemy $ax+b=0$, czyli szukamy miejsca zerowego $x=-\frac{b}{a}$.
Porównujemy prawe strony równań. Dla $y=2x-1$ i $y=-x+5$ dostajemy $3x=6$, czyli $x=2$ i $y=3$. Zawsze warto sprawdzić wynik w drugim równaniu.
Punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest taki sam. Dla $(1,2)$, $(3,6)$ i $(5,10)$ oba wynoszą $2$, więc punkty są współliniowe, a prosta to $y=2x$.
Taksówka z opłatą $8$ zł i stawką $3$ zł za kilometr to $f(x)=3x+8$. Współczynnik kierunkowy jest tempem wzrostu kosztu, a wyraz wolny — kosztem stałym. Ten sam schemat opisuje abonamenty, rachunki za prąd czy koszt produkcji.
Nie myl $a$ z $b$ przy odczycie ze wzoru. Przy prostopadłości pamiętaj o zmianie znaku, nie tylko o odwróceniu ułamka. I sprawdzaj wynik, podstawiając punkt do równania.
$y=ax+b$ opisuje stałe tempo zmian $a$ oraz wartość początkową $b$.
Koszt = opłata stała + cena za sztukę razy ilość; droga = prędkość razy czas.
$x=-\frac{b}{a}$ — argument, dla którego wielkość osiąga zero.
Dodatnie $a$ oznacza wzrost, ujemne — spadek, a $|a|$ to tempo zmian.
Kierunkowa $y=ax+b$ oraz ogólna $Ax+By+C=0$.
Proste równoległe: $a_1=a_2$. Prostopadłe: $a_1\cdot a_2=-1$.
Z dwóch punktów: $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, a $b$ z podstawienia.
$a>0$ — rosnąca, $a\lt 0$ — malejąca, $a=0$ — stała.
Współczynnik kierunkowy $a=\operatorname{tg}\alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do osi $OX$.
$a>0$ — kąt ostry (prosta rosnąca), $a\lt 0$ — kąt rozwarty (malejąca).
$a=0$, kąt $0^\circ$.
Prosta o $a=1$ nachylona jest pod kątem $45^\circ$.
$y=ax+b$; wykresem jest prosta.
$a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ wyraz wolny (punkt przecięcia z osią $OY$).
$a>0$ rosnąca, $a\lt 0$ malejąca, $a=0$ stała.
$x_0=-\frac{b}{a}$ dla $a\neq0$.
Znak współczynnika $a$ decyduje o monotoniczności: $a>0$ rosnąca, $a\lt 0$ malejąca.
Z osią $OY$ w $(0,b)$, z osią $OX$ w miejscu zerowym $-\frac{b}{a}$.
Mają równe współczynniki kierunkowe.
Spełniają $a_1 a_2=-1$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.