Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodach
Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 71
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 7 · Matura 2026
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2+21n$ jest podzielna przez $14$.
Rozwiązanie
$7n^2+21n=7n(n+3)$.
Wśród dwóch liczb $n$ oraz $n+3$ (różniących się o 3) jedna jest parzysta, więc iloczyn $n(n+3)$ jest liczbą parzystą, tzn. $n(n+3)=2k$ dla pewnej liczby całkowitej $k$.
Zatem $7n(n+3)=7\cdot2k=14k$ — liczba podzielna przez $14$. $\blacksquare$
Zadanie nr 3 · Matura 2026
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}.$$
Krok 1. Przeniesienie i grupowanie.
Rozpatrujemy różnicę prawej i lewej strony i grupujemy odpowiednie składniki:
Ponieważ $3k^{2}+4k+3$ jest liczbą całkowitą, więc liczba $3n^{2}+2n+7$ jest podzielna przez $4$, co należało wykazać. $\square$
Zadanie nr 2 · Matura 2025
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b \neq \frac{1}{2}a$, prawdziwa jest nierówność $$(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2$$
Należy wykazać, że dla każdych $a > 0$, $b > 0$, $b \neq \frac{1}{2}a$ zachodzi nierówność:
Należy wykazać, że $(a-2b)^2(a+2b) > 0$. Analizujemy oba czynniki:
Czynnik $(a-2b)^2$: Jest to kwadrat liczby rzeczywistej, więc $(a-2b)^2 \geq 0$. Z założenia $b \neq \frac{1}{2}a$, czyli $2b \neq a$, co oznacza $a - 2b \neq 0$. Zatem:
$$(a-2b)^2 > 0$$
Czynnik $(a+2b)$: Ponieważ $a > 0$ i $b > 0$, mamy:
$$a + 2b > 0$$
Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, zatem:
gdyż $(a-2b)^2 > 0$ (bo $a \neq 2b$, z założenia $b \neq \frac{1}{2}a$) oraz $(a+2b) > 0$ (bo $a>0, b>0$).
Stąd dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takiej, że $b \neq \frac{1}{2}a$, prawdziwa jest nierówność:
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$ liczba $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.
Rozwiązanie
$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=3n^2+6n+5=3(n^2+2n+1)+2=3(n+1)^2+2$. Składnik $3(n+1)^2$ jest podzielny przez $3$, więc reszta z dzielenia całości przez $3$ wynosi $2$. $\blacksquare$
Zadanie nr 3 · Próbny 2024
Wykaż, że liczba $2^{100}+4^{49}+16^{24}$ jest podzielna przez $21$.
Zapisujemy wszystkie składniki jako potęgi liczby $2$: $4^{49}=\left(2^{2}\right)^{49}=2^{98}$ oraz $16^{24}=\left(2^{4}\right)^{24}=2^{96}$.
Zatem \(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{a+2b}\ge\frac{4}{3}\), co należało wykazać. Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(u=v\), czyli dla \(a=b=\frac{1}{2}\). \(\blacksquare\)
Zadanie nr 3 · Matura 2023
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$ liczba $(2n+1)^2-1$ jest podzielna przez $8$.
Rozwiązanie
$(2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1)$. Iloczyn dwóch kolejnych liczb $n(n+1)$ jest parzysty, czyli $n(n+1)=2k$. Zatem $4n(n+1)=8k$ — liczba podzielna przez $8$. $\blacksquare$
Zadanie nr 4 · Matura 2023
Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x+y=4$ i nierówność $x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}$. Wykaż, że $x=2$ oraz $y=2$.
Krok 1. Przeniesienie na jedną stronę i grupowanie.
$$x^{3}-x^{2}y-xy^{2}+y^{3}\le 0.$$
$$x^{2}(x-y)-y^{2}(x-y)\le 0\ \Rightarrow\ (x-y)(x^{2}-y^{2})\le 0.$$
Czynnik $3k^{2}+5k+2$ jest liczbą całkowitą, zatem liczba $3n^{2}+4n+1$ jest podzielna przez $4$. $\square$
Zadanie nr 32 · Matura 2023
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność:
$$x^2+y^2+5\gt2x+4y$$
Krok 1. Przekształcenie podanej nierówności.
Przenosząc wyrazy z prawej strony na lewą oraz dokonując pewnych przekształceń, otrzymamy taką oto postać:
$$x^2+y^2+5\gt2x+4y$$
$$x^2+y^2+5-2x-4y\gt0$$
$$x^2+y^2+1+4-2x-4y\gt0$$
$$x^2-2x+1+y^2-4y+4\gt0$$
Teraz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy "zwinąć" wyrażenie \(x^2-2x+1\) do postaci \((x-1)^2\) oraz wyrażenie \(y^2-4y+4\) do postaci \((y-2)^2\). Otrzymamy zatem taką oto nierówność:
$$(x-1)^2+(y-2)^2\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(x\neq1\), a to oznacza, że wartość \(x-1\) jest różna od zera. Jakakolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje dodatni wynik, stąd też na pewno \((x-1)^2\) jest większe od zera.
Spójrzmy teraz na składnik \((y-2)^2\). Analogicznie moglibyśmy powiedzieć, że to wyrażenie jest na pewno dodatnie lub ewentualnie równe \(0\) (wtedy, gdy \(y=2\)). Możemy więc powiedzieć, że \((y-2)^2\) jest liczbą nieujemną.
Mamy więc sytuację, w której do dodatniej liczby \((x-1)^2\) dodajemy nieujemną liczbę \((y-2)^2\). Suma takich liczb jest na pewno większa od zera, co należało udowodnić.
Zadanie nr 5 · Matura 2023
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej \(a\) prawdziwa jest nierówność
\(a^2+\frac{16}{a}\ge 12\)
Sposób I — sprowadzenie do wspólnego mianownika.
Niech \(a\gt 0\). Nierówność jest równoważna kolejno:
\(a^2+\frac{16}{a}-12\ge 0\)
\(\frac{a^3-12a+16}{a}\ge 0\)
Ponieważ \(a\gt 0\), wystarczy wykazać, że \(a^3-12a+16\ge 0\).
Zauważamy, że \(a=2\) jest pierwiastkiem tego wielomianu (\(8-24+16=0\)). Po podzieleniu przez \((a-2)\):
Dla \(a\gt 0\) mamy \((a-2)^2\ge 0\) oraz \(a+4\gt 0\), więc iloczyn jest nieujemny. Zatem dana nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej \(a\).
Sposób II — nierówność między średnimi.
Zapisujemy lewą stronę jako sumę trzech dodatnich składników:
\(a^2+\frac{16}{a}=a^2+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}\)
Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $2x>y$, spełniona jest nierówność $$7x^3+4x^2y\ge y^3+2xy^2-x^3.$$
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$7x^3+4x^2y-y^3-2xy^2+x^3\ge 0,$$
czyli po redukcji
$$8x^3+4x^2y-2xy^2-y^3\ge 0.$$
Grupujemy wyrazy parami i wyłączamy wspólne czynniki:
Drugi nawias rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów:
$$(2x+y)(2x-y)(2x+y)=(2x+y)^2(2x-y).$$
Czynnik $(2x+y)^2$ jest nieujemny jako kwadrat, a z założenia $2x>y$ wynika $2x-y>0$. Iloczyn liczby nieujemnej i dodatniej jest nieujemny, więc
$$(2x+y)^2(2x-y)\ge 0,$$
co kończy dowód. $\blacksquare$
Zadanie nr 31 · Matura 2022
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \(2a^2-4ab+5b^2\gt0\).
Aby móc wykonać to zadanie, musimy w pewien sprytny sposób przekształcić podaną nierówność, tak aby móc później zwinąć całość lub część zapisu przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Przykładowo, moglibyśmy rozbić \(2a^2\) na \(a^2+a^2\) oraz \(5b^2\) na \(4b^2+b^2\), co sprawi, iż otrzymamy następującą sytuację:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0$$
$$a^2+a^2-4ab+4b^2+b^2\gt0$$
$$a^2-4ab+4b^2+a^2+b^2\gt0$$
$$(a-2b)^2+a^2+b^2\gt0$$
Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny (czyli dodatni lub równy zero). Wartość \((a-2b)^2\) jest więc na pewno nieujemna. Zostaje nam jeszcze \(a^2\), który jest na pewno dodatni (bo \(a\) jest różne od zera) i \(b^2\), który jest także dodatni (bo \(b\) jest także różne od zera). To oznacza, że lewa strona jest na pewno większa od zera, co należało udowodnić.
Ewentualnie moglibyśmy dokonać jeszcze takiego rozbicia:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0$$
$$2(a^2-2ab+b^2)+3b^2\gt0$$
$$2(a-b)^2+3b^2\gt0$$
I tu uzasadnienie jest bardzo podobne - wartość \(2(a-b)^2\) jest na pewno nieujemna, a \(3b^2\) jest na pewno dodatnie, więc lewa strona nierówności jest większa od zera.
Zadanie nr 30 · Matura 2022
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x\neq y\) prawdziwa jest nierówność:
Przekształcając podaną nierówność, otrzymamy taką oto sytuację:
$$\frac{1}{25}x^2+2\cdot\frac{1}{5}x\cdot\frac{4}{5}y+\frac{16}{25}y^2\lt \frac{x^2+4y^2}{5} \quad\bigg/\cdot25$$
$$x^2+8xy+16y^2\lt5x^2+20y^2$$
$$-4x^2+8xy-4y^2\lt0$$
$$-4(x^2-2xy+y^2)\lt0 \quad\bigg/:(-4)$$
$$x^2-2xy+y^2\gt0$$
$$(x-y)^2\gt0$$
Z treści zadania wynika, że \(x\neq y\), a to oznacza, że różnica \(x-y\) jest różna od zera. Jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też \((x-y)^2\) jest na pewno większe od zera, co należało udowodnić.
Zadanie nr 31 · Matura 2022
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(b\neq a\), co prowadzi nas do wniosku, że różnica \(a-b\) jest na pewno różna od zera. Kwadrat dwóch liczb rzeczywistych różnych od zera jest zawsze większy od zera, zatem dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 6 · Matura 2022
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x\neq y\), spełniona jest nierówność
\(x^4+y^4\gt xy\left(x^2+y^2\right)\)
Krok 1. Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę.
Suma ta jest równa zeru tylko wtedy, gdy \(y=0\) i \(x=0\), a więc gdy \(x=y\) — co jest wykluczone. Zatem \(x^2+xy+y^2\gt 0\).
Krok 4. Wniosek.
Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, więc
\((x-y)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\gt 0\)
czyli \(x^4+y^4\gt xy\left(x^2+y^2\right)\). \(\blacksquare\)
Zadanie nr 31 · Matura 2021
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) spełniona jest nierówność \(b(5b-4a)+a^2\ge0\).
Na początek spróbujmy wymnożyć \(b\) przez wartości w nawiasach i uporządkować całe wyrażenie, otrzymując:
$$5b^2-4ab+a^2\ge0$$
$$a^2-4ab+5b^2\ge0$$
Powinniśmy dostrzec, że otrzymany zapis przypomina nieco to, co znamy ze wzorów skróconego mnożenia, ale przeszkadza nam tutaj wartość \(5b^2\). Kluczowym więc manewrem będzie rozpisanie tej liczby jako \(4b^2+b^2\), dzięki czemu otrzymamy:
$$a^2-4ab+4b^2+b^2\ge0$$
Teraz, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) widzimy, że naszą nierówność da się zapisać jako:
$$(a-2b)^2+b^2\ge0$$
Wartość \((a-2b)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, bo jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero. Analogicznie wartość \(b^2\) jest większa lub równa zero. To oznacza, że suma tych dwóch nieujemnych liczb na pewno będzie większa lub równa zero i właśnie to kończy nasze dowodzenie.
Zadanie nr 29 · Próbny 2021
Udowodnij, że dla każdej ujemnej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{x}{9}+\frac{4}{x}\le-\frac{4}{3}\).
Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest większa lub równa \(0\), zatem nasze dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 30 · Matura 2021
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a\), \(b\) i \(c\) takich, że \(a\lt b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}\lt\frac{a+c}{b+c}\)
Kluczem do tego zadania jest pamiętanie o tym, że rozwiązując nierówności musimy być pewni tego przez jaką liczbę mnożymy obie strony nierówności. Gdyby to była liczba ujemna, to trzeba byłoby zmienić znak na przeciwny.
Z treści zadania wiemy, że liczby \(a\), \(b\) oraz \(c\) są dodatnie, więc możemy bez problemu mnożyć obie strony nierówności właśnie przez te liczby. Zaczynając od pomnożenia obydwu stron przez \(b\) otrzymamy;
$$\frac{a}{b}\lt\frac{a+c}{b+c} \quad\bigg/\cdot b$$
$$a\lt\frac{ab+bc}{b+c} \quad\bigg/\cdot(b+c)$$
$$a\cdot(b+c)\lt ab+bc$$
$$ab+ac\lt ab+bc\quad\bigg/-ab$$
$$ac\lt bc$$
I teraz mamy różne możliwości na zakończenie dowodzenia. Przykładowo:
I sposób:
Mając nierówność \(ac\lt bc\) możemy obustronnie odjąć \(bc\) i otrzymać informację, że:
$$ac-bc\lt0$$
$$c(a-b)\lt0$$
Z treści zadania wiemy, że \(a\lt b\), więc wartość \(a-b\) znajdująca się w nawiasie musi być ujemna. Skoro liczba \(c\) jest dodatnia oraz \(a-b\) jest ujemne, to iloczyn tych dwóch liczb musi być mniejszy od zera, co należało właśnie udowodnić.
II sposób:
Mając postać \(ac\lt bc\) możemy wywnioskować, że skoro \(a\lt b\) i wszystkie liczby są dodatnie, to iloczyn \(ac\) musi być mniejszy od \(bc\), co także należało udowodnić.
III sposób:
Mając postać \(ac\lt bc\) możemy podzielić obie strony przez \(c\), otrzymując \(a\lt b\), co jest prawdą zgodnie z treścią zadania.
Zadanie nr 28 · Matura 2020
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a+b)+b^2\gt3ab\).
Wymnażając nawias i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy:
$$a^2+ab+b^2\gt3ab$$
$$a^2-2ab+b^2\gt0$$
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że wartość \(a^2-2ab+b^2\) możemy zwinąć do postaci \((a-b)^2\), zatem zostanie nam nierówność:
$$(a-b)^2\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Skoro \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, to różnica \(a-b\) jest różna od zera. Wiemy zatem, że w nawiasie znalazła nam się liczba różna od zera, którą podnosimy teraz do kwadratu. Jakakolwiek liczba (różna od zera) podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, co kończy nasze dowodzenie.
Zadanie nr 28 · Próbny 2020
Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac{1}{x}\ge4\).
Aby udowodnić prawdziwość tej nierówności musimy przekształcić naszą nierówność. Na początku na pewno chcielibyśmy pomnożyć obie strony przez \(x\), ale przy nierównościach trzeba być ostrożnym, bowiem mnożąc przez liczby ujemne trzeba zmienić znak nierówności. My wiemy, że \(x\) jest dodatni, zatem możemy śmiało wymnażać, bez zmiany znaku:
$$4x+\frac{1}{x}\ge4 \quad\bigg/\cdot x$$
$$4x^2+1\ge4x$$
$$4x^2-4x+1\ge0$$
$$(2x-1)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do potęgi drugiej daje wynik większy lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 29 · Próbny 2020
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) zachodzi nierówność \(x^2+y^2+11\gt2x+6y\).
Na początek spróbujmy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, otrzymując:
$$x^2+y^2+11-2x-6y\gt0$$
$$x^2-2x+y^2-6y+11\gt0$$
Teraz najtrudniejsza część zadania, która nie ma co ukrywać - wymaga od nas sprawnego wykorzystywania wzorów skróconego mnożenia. Musimy zwinąć odpowiednie wyrazy w taki sposób, by otrzymać kwadrat sumy, czyli postać \((a+b)^2\) lub kwadrat różnicy, czyli postać \((a-b)^2\). Trudność tego zadania jest tym większa, że takiego "zwinięcia" będziemy musieli dokonać dwukrotnie, a jakby tego było mało, to dodatkowo będziemy musieli rozbić liczbę \(11\) na sumę \(9+1+1\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$x^2-2x+y^2-6y+11\gt0$$
$$x^2-2x+1+y^2-6y+9+1\gt0$$
$$(x^2-2x+1)+(y^2-6y+9)+1\gt0$$
$$(x-1)^2+(y-3)^2+1\gt0$$
Wiemy, że jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik większy lub równy \(0\), stąd też na pewno \((x-1)^2\) jest większe lub równe \(0\) oraz \((y-3)^2\) jest także większe lub równe \(0\). Dodatkowe \(+1\) sprawia, że wyrażenie po lewej stronie na pewno jest większe od zera i to należało właśnie udowodnić.
Zadanie nr 28 · Matura 2020
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a-2b)+2b^2\gt0\).
Kluczem do sukcesu jest rozbicie wartości \(2b^2\) na \(b^2+b^2\). Otrzymamy wtedy następującą sytuacje:
$$a(a-2b)+2b^2\gt0$$
$$a^2-2ab+b^2+b^2\gt0$$
Wyrażenie \(a^2-2ab+b^2\) możemy "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia do postaci \((a-b)^2\), co sprawi że otrzymamy:
$$(a-b)^2+b^2\gt0$$
Teraz przeanalizujmy co otrzymaliśmy. Wiemy, że \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, zatem \(a-b\) jest na pewno różne od zera. Jakiejkolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też na pewno wartość \((a-b)^2\) jest większa od zera. Analogicznie możemy stwierdzić, że wartość \(b^2\) będzie większa od zera lub równa zero.
Suma \((a-b)^2\) oraz \(b^2\) musi być więc większa od zera, bo do liczby dodatniej dodajemy liczbę większą lub równą zero i właśnie to należało udowodnić.
Zadanie nr 28 · Matura 2020
Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) spełniają warunek \(a\lt4\) i \(b\lt4\), to \(ab+16\gt4a+4b\).
Krok 1. Rozpisanie podanej nierówności.
Pierwszą rzeczą, która nasuwa się przy nierówności \(ab+16\gt4a+4b\), jest przeniesienie wszystkich wyrazów na jedną stronę. Tak też właśnie zróbmy, dzięki czemu otrzymamy:
$$ab-4a-4b+16\gt0$$
Powinniśmy teraz zauważyć, że wartość po lewej stronie nierówności da się rozpisać, wyłączając wspólne czynniki przed nawias:
$$ab-4a-4b+16\gt0$$
$$a(b-4)-4(b-4)\gt0$$
$$(a-4)(b-4)\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(a\lt4\), czyli \(a-4\lt0\). Analogicznie \(b\lt4\), czyli \(b-4\lt0\). Skoro tak, to iloczyn \((a-4)(b-4)\) musi być dodatni, bowiem pomnożenie liczby ujemnej przez ujemną daje wynik większy od zera. To oznacza, że nierówność \((a-4)(b-4)\gt0\) jest jak najbardziej poprawna, co też należało udowodnić.
Zadanie nr 8 · Matura 2019
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$, takich że $x\lt y$, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $a$, prawdziwa jest nierówność $$\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2.$$
Krok 1. Porównanie pierwszego składnika z ułamkiem $\frac{x}{y}$. Pokażemy, że
$$\frac{x+a}{y+a}>\frac{x}{y}.$$
Oba mianowniki są dodatnie ($y>0$, $y+a>0$), więc możemy pomnożyć nierówność na krzyż bez zmiany znaku:
Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Na ramieniu $AC$ tego trójkąta wybrano punkt $M$ ($M\neq A$ i $M\neq C$), a na ramieniu $BC$ wybrano punkt $N$, w taki sposób, że $|AM|=|CN|$. Przez punkty $M$ i $N$ poprowadzono proste prostopadłe do podstawy $AB$ tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty $S$ i $T$. Udowodnij, że $$|ST|=\tfrac{1}{2}|AB|.$$
Oznaczmy $|AC|=|BC|=b$, $|AB|=c$ oraz $\alpha=\angle BAC=\angle ABC$ (kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe).
Krok 1. Rzut punktu $M$ na podstawę. Prosta $MS$ jest prostopadła do $AB$, więc w trójkącie prostokątnym $AMS$:
$$|AS|=|AM|\cdot\cos\alpha.$$
Krok 2. Rzut punktu $N$ na podstawę. Analogicznie, w trójkącie prostokątnym $BNT$ (kąt przy $B$ również wynosi $\alpha$):
$$|BT|=|NB|\cdot\cos\alpha.$$
Krok 3. Suma odcinków $|AM|$ i $|NB|$. Punkt $N$ leży na $BC$, a z założenia $|CN|=|AM|$, więc
Krok 5. Wyznaczenie $b\cos\alpha$. W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona z $C$ pada w środek podstawy, więc w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $AC$:
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(x+\frac{1-x}{x}\ge1\).
Krok 1. Przekształcenie nierówności.
Pierwszą rzeczą jaką chcielibyśmy zrobić to pomnożyć obydwie strony tego równania przez \(x\). Musimy się jednak pochylić nad tym działaniem, bowiem kiedy mnożymy (lub dzielimy) nierówność przez liczbę ujemną to trzeba zmienić znak nierówności. Tutaj akurat tego problemu nie mamy, bo w treści zadania podano, że dowodzenie ma dotyczyć tylko liczb dodatnich. W związku z tym bez obaw możemy obustronnie pomnożyć to wyrażenie przez \(x\):
$$x+\frac{1-x}{x}\ge1 \quad\bigg/\cdot x$$
$$x^2+1-x\ge x$$
$$x^2-2x+1\ge0$$
$$(x-1)^2\ge0$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Każda liczba podniesiona do kwadratu daje nam wynik dodatni lub równy \(0\). Z tego też względu wartość \((x-1)^2\) jest na pewno większa lub równa zero, co kończy nasze dowodzenie.
Zadanie nr 29 · Próbny 2019
Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej ujemnej prawdziwa jest nierówność \(9x+\frac{1}{x}\le-6\).
Skoro \(x\) ma być liczbą ujemną, to możemy pomnożyć obydwie strony tej nierówności przez \(x\), pamiętając jednak o tym, żeby zmienić w takiej sytuacji znak na przeciwny. To w zasadzie jest kluczowa pułapka w tym zadaniu. Na sam koniec otrzymane wyrażenie będziemy musieli "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$9x+\frac{1}{x}\le-6 \quad\bigg/\cdot x$$
$$9x^2+1\ge-6x$$
$$9x^2+6x+1\ge0$$
$$(3x+1)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik większy lub równy \(0\), to dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 29 · Matura 2019
Wykaż, że dla każdej liczby \(a\gt0\) i dla każdej liczby \(b\gt0\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\).
Wiemy, że \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, zatem mnożąc lub dzieląc tę nierówność przez \(a\) oraz \(b\) nie ma obaw, że będziemy mnożyć/dzielić przez liczbę ujemną (co wymuszałoby na nas zmianę znaku nierówności).
Mnożąc to równanie przez \(a\) oraz \(b\) (możemy to dla pewności zrobić powoli, najpierw mnożąc przez \(a\), potem przez \(b\)) otrzymamy:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b} \quad\bigg/\cdot a$$
$$1+\frac{1\cdot a}{b}\ge\frac{4a}{a+b} \quad\bigg/\cdot b$$
$$b+a\ge\frac{4ab}{a+b}$$
$$a+b\ge\frac{4ab}{a+b} \quad\bigg/\cdot(a+b)$$
$$(a+b)\cdot(a+b)\ge4ab$$
$$a^2+2ab+b^2\ge4ab$$
$$a^2-2ab+b^2\ge0$$
$$(a-b)^2\ge0$$
Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu jest większa lub równa zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 28 · Matura 2019
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2-2ab+3b^2\ge0\).
Krok 1. Rozpisanie podanego wyrażenia.
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym możemy rozbić sobie wyrażenie z treści zadania na takie, by jego częściami składowymi był właśnie zapis \(a^2-2ab+b^2\). Całość wyglądałaby następująco:
$$3a^2-2ab+3b^2=a^2-2ab+b^2+2a^2+2b^2=(a-b)^2+2a^2+2b^2$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Przeanalizujmy sobie każdy ze składników powstałej sumy:
\((a-b)^2\) - jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero, bo każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny.
\(2a^2\) - ta liczba też jest na pewno dodatnia lub równa zero, bo \(a^2\) jest na pewno nieujemne, no a liczba nieujemna pomnożona przez \(2\) nadal jest liczbą nieujemną.
\(2b^2\) - podobnie jak \(2a^2\), jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero.
W związku z tym mając dodawanie \((a-b)^2+2a^2+2b^2\) dodajemy do siebie trzy liczby, które są na pewno dodatnie lub równe zero. Stąd też ich suma musi dać wynik większy lub równy \(0\).
Zadanie nr 7 · Matura 2018
Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny oraz $|AC|>|BC|$. Dwusieczna $d_C$ kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $K$. Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_A$ kąta $BAC$, punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_C$ kąta $ACB$, a punkt $N$ jest obrazem punktu $M$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_B$ kąta $ABC$ (zobacz rysunek). Udowodnij, że na czworokącie $KNML$ można opisać okrąg.
Krok 1. Wspólny punkt dwusiecznych. Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie — środku okręgu wpisanego. Oznaczmy go przez $I$. Zatem
$$I\in d_A,\qquad I\in d_B,\qquad I\in d_C.$$
Krok 2. Własność symetrii osiowej. Symetria osiowa jest izometrią, więc zachowuje odległości. W szczególności, jeśli oś symetrii przechodzi przez pewien punkt, to odległość dowolnego punktu od tego punktu nie zmienia się po odbiciu.
Formalnie: jeśli $X^{\prime}$ jest obrazem punktu $X$ w symetrii względem prostej $\ell$ oraz $I\in\ell$, to
$$|IX^{\prime}|=|IX|,$$
bo punkt $I$ jest swoim własnym obrazem (leży na osi), a izometria zachowuje odległość między obrazami.
Krok 3. Zastosowanie do kolejnych odbić. Każda z trzech użytych osi przechodzi przez $I$, więc:
$$|IL|=|IK|\quad(\text{symetria względem }d_A),$$
$$|IM|=|IL|\quad(\text{symetria względem }d_C),$$
$$|IN|=|IM|\quad(\text{symetria względem }d_B).$$
Krok 4. Wniosek. Łącząc powyższe równości:
$$|IK|=|IL|=|IM|=|IN|.$$
Wszystkie cztery punkty $K$, $N$, $M$, $L$ są więc jednakowo oddalone od punktu $I$, czyli leżą na okręgu o środku $I$ i promieniu $|IK|$.
Oznacza to, że na czworokącie $KNML$ można opisać okrąg. $\blacksquare$
Uwaga: założenie $|AC|>|BC|$ gwarantuje jedynie, że punkty układają się tak jak na rysunku (czworokąt nie degeneruje się) — sam dowód opiera się wyłącznie na tym, że osie odbić przechodzą przez środek okręgu wpisanego.
Zadanie nr 8 · Matura 2018
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ i dla każdej liczby całkowitej $m$ liczba $$k^{3}m-km^{3}$$ jest podzielna przez $6$.
Ponieważ $6=2\cdot3$, a liczby $2$ i $3$ są względnie pierwsze, wystarczy pokazać, że iloczyn dzieli się osobno przez $2$ i przez $3$.
Krok 2. Podzielność przez 2. Rozważmy dwa przypadki:
• jeśli co najmniej jedna z liczb $k$, $m$ jest parzysta, to iloczyn $km$ jest parzysty;
• jeśli obie są nieparzyste, to ich różnica $k-m$ jest parzysta.
W obu przypadkach iloczyn $km(k-m)(k+m)$ zawiera czynnik parzysty, więc dzieli się przez $2$.
Krok 3. Podzielność przez 3. Rozważmy reszty z dzielenia przez $3$:
• jeśli $k$ lub $m$ dzieli się przez $3$, to $km$ dzieli się przez $3$;
• jeśli $k$ i $m$ dają tę samą niezerową resztę, to $3\mid k-m$;
• jeśli dają różne niezerowe reszty, czyli $1$ i $2$, to ich suma daje resztę $1+2=3$, więc $3\mid k+m$.
W każdym przypadku iloczyn zawiera czynnik podzielny przez $3$.
Krok 4. Wniosek. Iloczyn $km(k-m)(k+m)$ dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $3$, a te liczby są względnie pierwsze, więc dzieli się przez $6$. $\blacksquare$
Krótsze uzasadnienie: dla każdej liczby całkowitej zachodzi $k^{3}\equiv k\pmod 6$, więc $k^{3}m-km^{3}\equiv km-km=0\pmod 6$.
Zadanie nr 29 · Matura 2018
Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge4\).
Skoro \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, to możemy być pewni że dzieląc lub mnożąc obie strony nierówności przez te niewiadome nie będziemy musieli zmieniać znaku nierówności na przeciwny. W związku z tym możemy zacząć przekształcać naszą nierówność. Najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wartości w nawiasach:
$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4$$
$$1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4$$
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2 \quad\bigg/\cdot b$$
$$a+\frac{b^2}{a}\ge2b \quad\bigg/\cdot a$$
$$a^2+b^2\ge2ab$$
$$a^2-2ab+b^2\ge0$$
$$(a-b)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 28 · Próbny 2018
Udowodnij, że nierówność \((x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2}\) jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.
Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Naszym zadaniem będzie przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę oraz umiejętne skorzystanie z wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$(x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2}$$
$$(x^2-3)^2+x^4-4\frac{1}{2}\ge0$$
$$x^4-6x^2+9+x^4-4\frac{1}{2}\ge0$$
$$2x^4-6x^2+4\frac{1}{2}\ge0 \quad\bigg/\cdot2$$
$$4x^4-12x^2+9\ge0$$
$$(2x^2-3)^2\ge0$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny, to wartość \((2x^2-3)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, zatem faktycznie ta nierówność będzie spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Zadanie nr 27 · Próbny 2018
Wykaż, że jeżeli liczby \(a\) i \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba \(\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2\) jest podzielna przez \(4\).
Krok 1. Rozpisanie liczby z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Korzystając z wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2=$$
$$=\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)-\left(a^2-ab+\frac{1}{4}b^2\right)=$$
$$=a^2+ab+\frac{1}{4}b^2-a^2+ab-\frac{1}{4}b^2=2ab$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Jeżeli liczby \(a\) oraz \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą parzystą. Pomnożenie liczby parzystej przez \(2\) (a pomnożymy ją przez \(2\), bo mamy zapis \(2ab\)) sprawi, że ta liczba na pewno będzie podzielna przez \(4\). W ten sposób dowodzenie można uznać za zakończone.
Zadanie nr 28 · Matura 2018
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b}\).
Krok 1. Ustalenie znaku liczb znajdujących się w mianownikach ułamków.
Za chwilę będziemy wykonywali różne operacje na tej nierówności, będziemy mnożyli i dzielili obustronnie, tak aby pozbyć się ułamków. Przy nierównościach musimy być jednak bardzo ostrożni, bowiem mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną będziemy musieli zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też dobrze jest ustalić sobie jaka wartość kryje się pod \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\).
Z założeń wynika, że liczby \(a\) oraz \(b\) mają być dodatnie. W związku z tym wszystkie wyrażenia znajdujące się w mianownikach (czyli \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\)) także będą dodatnie. To oznacza, że mnożąc i dzieląc obustronnie tę nierówność nie będziemy musieli zmieniać znaku na przeciwny.
Krok 2. Przekształcenie nierówności.
Musimy naszą nierówność przekształcić w taki sposób, by finalnie otrzymać dowód na prawdziwość tej nierówności. Najlepiej będzie zacząć od pozbycia się ułamków, możemy to robić krok po kroku, by niczego nie zgubić:
$$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b} \quad\bigg/\cdot2a$$
$$1+\frac{2a}{2b}\ge\frac{4a}{a+b} \quad\bigg/\cdot2b$$
$$2b+2a\ge\frac{8ab}{a+b} \quad\bigg/\cdot (a+b)$$
$$2b(a+b)+2a(a+b)\ge8ab$$
$$2ab+2b^2+2a^2+2ab\ge8ab$$
$$2a^2+2b^2+4ab\ge8ab$$
$$2a^2+2b^2\ge4ab \quad\bigg/:2$$
$$a^2+b^2\ge2ab$$
$$a^2-2ab+b^2\ge0$$
$$(a-b)^2\ge0$$
Z racji tego iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 8 · Matura 2018
Wykaż, że równanie \(x^8+x^2=2\left(x^4+x-1\right)\) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste \(x=1\).
Krok 1. Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę.
Krok 5. Uzasadnienie dodatniości. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc
$$(xy-2)^{2}\ge 0.$$
Z założenia liczby $x$ i $y$ są różne, czyli $x-y\neq0$, a zatem
$$2(x-y)^{2}>0.$$
Suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodatnia, więc
$$(xy-2)^{2}+2(x-y)^{2}>0,$$
co kończy dowód. $\blacksquare$
Uwaga: założenie $x\neq y$ jest istotne — dla $x=y=\sqrt2$ obie grupy zerują się i nierówność przechodzi w równość.
Zadanie nr 28 · Matura 2017
Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac{1}{x}\ge4\).
Aby udowodnić prawdziwość tej nierówności musimy przekształcić naszą nierówność. Na początku na pewno chcielibyśmy pomnożyć obie strony przez \(x\), ale przy nierównościach trzeba być ostrożnym, bowiem mnożąc przez liczby ujemne trzeba zmienić znak nierówności. My wiemy, że \(x\) jest dodatni, zatem możemy śmiało wymnażać, bez zmiany znaku:
$$4x+\frac{1}{x}\ge4 \quad\bigg/\cdot x$$
$$4x^2+1\ge4x$$
$$4x^2-4x+1\ge0$$
$$(2x-1)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do potęgi drugiej daje wynik większy lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 7 · Matura 2017
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^4+y^4+x^2+y^2\ge2(x^3+y^3)\).
Całość zadania sprowadza się do tego aby wymnożyć wyrazy po prawej stronie, przenieść je na lewą stronę. Następnie kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że powstały zapis można przekształcić, korzystając wzorów skróconego mnożenia:
$$x^4+y^4+x^2+y^2\ge2(x^3+y^3)$$
$$x^4+y^4+x^2+y^2\ge2x^3+2y^3$$
$$x^4+y^4+x^2+y^2-2x^3-2y^3\ge0$$
$$x^4-2x^3+x^2+y^4-2y^3+y^2\ge0$$
$$(x^2-x)^2+(y^2-y)^2\ge0$$
Każda liczba podniesiona do kwadratu będzie dodatnia lub równa zero, a suma dwóch takich liczb da także wartość dodatnią lub równą zero. To oznacza, że nierówność jest prawidłowa, co należało udowodnić.
Zadanie nr 8 · Matura 2016
Wykaż, że dla \(a,b,c,d\gt 0\) prawdziwa jest nierówność
Obie strony nierówności są dodatnie (jako sumy i iloczyny pierwiastków z liczb dodatnich), więc możemy je podnieść do kwadratu — otrzymamy nierówność równoważną:
Zauważmy, że \(\sqrt{abcd}=\sqrt{ad}\cdot\sqrt{bc}\), więc nierówność przyjmuje postać:
\(ad+bc-2\sqrt{ad}\cdot\sqrt{bc}\ge 0\)
Krok 3. Wzór skróconego mnożenia.
\(\left(\sqrt{ad}-\sqrt{bc}\right)^2\ge 0\)
Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich \(a,b,c,d\), a ponieważ wszystkie przejścia były równoważne, dana nierówność również jest prawdziwa.
Uwaga: równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(ad=bc\). \(\blacksquare\)
Zadanie nr 8 · Matura 2015
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $$x^{4}-x^{2}-2x+3>0.$$
Krok 1. Pomysł — rozkład na sumę kwadratów. Spróbujmy zapisać lewą stronę jako sumę kwadratów powiększoną o liczbę dodatnią. Zacznijmy od uzupełnienia $x^{4}$ do pełnego kwadratu:
Uwaga: najmniejszą wartość $1$ wyrażenie osiąga dla $x=1$, bo wtedy oba kwadraty znikają jednocześnie.
Zadanie nr 30 · Matura 2015
Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\).
Na samym początku przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2$$
$$x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0$$
Teraz spróbujmy wyłączyć przed nawias odpowiednio \(x^2\) oraz \(y^2\):
$$x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0$$
$$(x^2-y^2)(x-y)\ge0$$
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\), zatem:
$$(x+y)(x-y)(x-y)\ge0$$
$$(x+y)(x-y)^2\ge0$$
Skoro \(x\) oraz \(y\) są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to wartość w pierwszym nawiasie jest na pewno dodatnia lub równa zero. W drugim nawiasie niezależnie od tego czy liczba w nawiasie jest dodatnia czy ujemna, to po podniesieniu jej do potęgi drugiej wynik będzie dodatni lub równy zero. Mamy więc iloczyn dwóch liczb nieujemnych, a ten jest na pewno większy lub równy zero, co należało udowodnić.
Zadanie nr 30 · Matura 2015
Udowodnij, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3+y^3 \ge x^2y+xy^2\).
Na samym początku przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2$$
$$x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0$$
Teraz spróbujmy wyłączyć przed nawias odpowiednio \(x^2\) oraz \(y^2\):
$$x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0$$
$$(x^2-y^2)(x-y)\ge0$$
Skoro \(x\) oraz \(y\) są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to wartość w pierwszym nawiasie jest na pewno dodatnia. W drugim nawiasie niezależnie od tego czy liczba w nawiasie jest dodatnia czy ujemna, to po podniesieniu jej do potęgi drugiej wynik będzie dodatni. Mamy więc iloczyn dwóch liczb dodatnich, a ten jest na pewno większy od zera, co należało udowodnić.
Zadanie nr 29 · Próbny 2015
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y\) prawdziwa jest nierówność \(x^2-6x+y^2-4y+13\ge0\).
Aby udowodnić, że nasze wyrażenie jest większe lub równe zero musimy doprowadzić zapis do postaci z potęgowaniem, bowiem jakiejkolwiek liczby byśmy nie podnieśli do potęgi, to będzie ona większa lub równa zero. Będziemy więc chcieli "zwinąć" zapis przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Aby tego dokonać musimy zastosować bardzo sprytny zabieg, a mianowicie musimy rozbić liczbę \(13\) na sumę liczb \(9+4\). Całość będzie wyglądać w następujący sposób:
$$x^2-6x+y^2-4y+13$$
$$x^2-6x+9+y^2-4y+4$$
$$(x-3)^2+(y-2)^2$$
\((x-3)^2\) jest większe lub równe zero oraz \((y-2)^2\) jest większe lub równe zero. Suma dwóch liczb większych lub równych zero jest także większa lub równa zero i właśnie to musieliśmy udowodnić.
Zadanie nr 29 · Matura 2015
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(3x^2+5y^2-4xy\ge0\).
W udowodnieniu prawidłowości tej nierówności najbardziej przeszkadza nam wyraz \(-4xy\). Gdyby nie on, to mielibyśmy pewność, że to wyrażenie jest większe od zera, bo suma potęg na pewno jest wartością nieujemną. Spróbujmy więc rozbić ten wielomian w taki sposób, by móc zastosować wzory skróconego mnożenia, które "wciągną" nam ten znak minusa. Tak naprawdę można to zrobić na kilka sposobów, a jednym z nich jest:
$$3x^2+5y^2-4xy\ge0$$
$$2x^2+x^2+4y^2+y^2-4xy\ge0$$
$$x^2-4xy+4y^2+2x^2+y^2\ge0$$
$$(x-2y)^2+2x^2+y^2\ge0$$
Po prawej stronie otrzymaliśmy sumę trzech kwadratów. Każdy ze składników tego dodawania jest na pewno nieujemny, bo dowolna liczba podniesiona da wynik większy lub równy zero. To oznacza, że dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 27 · Matura 2015
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\ge0\).
Do zadania można podejść na kilka sposobów, więc rozważmy sobie dwa najprostsze rozwiązania.
I sposób:
W tej metodzie potraktujemy tę nierówność tak jak każdą inną. To, że znajdują się w niej wartości \(y\) na razie nam nie przeszkadza (potraktujemy je jak zwykłe liczby).
Zastanówmy się teraz jaka jest ta delta. Jakiejkolwiek liczby nie podstawimy pod \(y\) to wartość \(y^2\) będzie dodatnia lub równa zero (gdy \(y=0\)). Pomnożenie tej liczby jeszcze przez \(-16\) sprawi, że wynik zawsze będzie niedodatni (ujemny gdy \(y\neq0\) lub równy zero gdy \(y=0\)). Wniosek z tego taki, że \(Δ\le0\).
Krok 2. Interpretacja otrzymanej delty.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Skoro \(Δ\le0\), to znaczy że ta funkcja ma maksymalnie jedno miejsce zerowe (gdy \(Δ=0\)), a cała reszta wykresu zawsze będzie przebiegać nad osią \(Ox\). To oznacza, że ta funkcja nigdy nie przyjmie wartości ujemnych, co kończy nasz dowód.
II sposób:
Możemy też spróbować przedstawić tę nierówność przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Gdyby udało nam się powiązać niektóre wyrazy w taki sposób, że dałoby się je pokazać w formie pewnej potęgi, to udowodnilibyśmy, że "coś" podniesione do potęgi jest zawsze większe od zera.
Krok 1. Zapisanie nierówności przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Aby móc tego dokonać musimy rozbić \(5y^2\) na sumę \(4y^2+y^2\), zatem:
$$4x^2-8xy+5y^2\ge0$$
$$4x^2-8xy+4y^2+y^2\ge0$$
$$(2x-2y)^2+y^2\ge0$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Kwadrat liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Niezależnie więc co podstawimy pod \(x\) i \(y\) to \((2x-2y)^2\ge0\) oraz \(y^2\ge0\). Suma dwóch liczb nieujemnych także daje liczbę nieujemną, więc dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 26 · Matura 2015
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(4x^2-8xy+5y^2\ge0\).
Do zadania można podejść na kilka sposobów, więc rozważmy sobie dwa najprostsze rozwiązania.
I sposób:
W tej metodzie potraktujemy tę nierówność tak jak każdą inną. To, że znajdują się w niej wartości \(y\) na razie nam nie przeszkadza (potraktujemy je jak zwykłe liczby).
Zastanówmy się teraz jaka jest ta delta. Jakiejkolwiek liczby nie podstawimy pod \(y\) to wartość \(y^2\) będzie dodatnia lub równa zero (gdy \(y=0\)). Pomnożenie tej liczby jeszcze przez \(-16\) sprawi, że wynik zawsze będzie niedodatni (ujemny gdy \(y\neq0\) lub równy zero gdy \(y=0\)). Wniosek z tego taki, że \(Δ\le0\).
Krok 2. Interpretacja otrzymanej delty.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Skoro \(Δ\le0\), to znaczy że ta funkcja ma maksymalnie jedno miejsce zerowe (gdy \(Δ=0\)), a cała reszta wykresu zawsze będzie przebiegać nad osią \(Ox\). To oznacza, że ta funkcja nigdy nie przyjmie wartości ujemnych, co kończy nasz dowód.
II sposób:
Możemy też spróbować przedstawić tę nierówność przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Gdyby udało nam się powiązać niektóre wyrazy w taki sposób, że dałoby się je pokazać w formie pewnej potęgi, to udowodnilibyśmy, że "coś" podniesione do potęgi jest zawsze większe od zera.
Krok 1. Zapisanie nierówności przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Aby móc tego dokonać musimy rozbić \(5y^2\) na sumę \(4y^2+y^2\), zatem:
$$4x^2-8xy+5y^2\ge0$$
$$4x^2-8xy+4y^2+y^2\ge0$$
$$(2x-2y)^2+y^2\ge0$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Kwadrat liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Niezależnie więc co podstawimy pod \(x\) i \(y\) to \((2x-2y)^2\ge0\) oraz \(y^2\ge0\). Suma dwóch liczb nieujemnych także daje liczbę nieujemną, więc dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 4 · Matura 2014
Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność $$(x+1)\frac{x}{y}+(y+1)\frac{y}{x}>2.$$
ponieważ licznik jest kwadratem, a mianownik dodatni. Zatem
$$S_2\ge 2.$$
Krok 4. Oszacowanie $S_1$. Oba składniki są ilorazami liczb dodatnich, więc
$$S_1=\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}>0.$$
Krok 5. Złożenie.
$$L=S_1+S_2>0+2=2,$$
co kończy dowód. $\blacksquare$
Uwaga: nierówność jest ostra dla wszystkich dodatnich $x,y$ — nawet gdy $x=y$ (wtedy $S_2=2$, ale $S_1=2x>0$).
Zadanie nr 6 · Matura 2014
Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $S$. Kąty wewnętrzne $CAB$, $ABC$ i $BCA$ tego trójkąta są równe, odpowiednio, $\alpha$, $2\alpha$ i $4\alpha$. Wykaż, że trójkąt $ABC$ jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych $ASB$, $ASC$ i $BSC$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.
Krok 1. Wyznaczenie $\alpha$. Suma kątów trójkąta wynosi $180^\circ$:
Ciąg jest arytmetyczny o różnicy $-\frac{360^\circ}{7}$. $\blacksquare$
Zadanie nr 27 · Matura 2014
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\).
Przekształćmy to równanie w następujący sposób:
$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}$$
$$\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\le\frac{a^2+b^2}{2} \quad\bigg/\cdot4$$
$$a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2$$
$$0\le a^2-2ab+b^2$$
$$0\le (a-b)^2$$
Z racji tego, że kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero, to dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 30 · Matura 2013
Uzasadnij, że jeżeli \(a\) jest liczbą rzeczywistą różną od zera i \(a+\frac{1}{a}=3\), to \(a^2+\frac{1}{a^2}=7\).
To zadanie najprościej jest podnosząc do kwadratu obie strony pierwszej równości:
$$a+\frac{1}{a}=3 \quad\bigg/^{2}$$
$$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2=3^2$$
$$a^2+2\cdot a\cdot\frac{1}{a}+\left(\frac{1}{a}\right)^2=9$$
$$a^2+2+\frac{1}{a^2}=9$$
$$a^2+\frac{1}{a^2}=7$$
W ten sposób udało nam się udowodnić tezę zawartą w treści zadania.
Zadanie nr 28 · Matura 2013
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,z\) takich, że \(x+y+z=0\), prawdziwa jest nierówność \(xy+yz+zx\le0\).
Możesz skorzystać z tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\).
Krok 1. Przekształcenie tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\).
W zadaniu skorzystamy z tożsamości podanej w treści zadania. Spróbujemy ją przekształcić w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wartość \(xy+yz+zx\). Zatem:
$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$$
$$(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=2xy+2xz+2yz$$
$$xy+xz+yz=\frac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego równania.
Z treści zadania wiemy, że \(x+y+z=0\), stąd też wartość \((x+y+z)^2\) otrzymana w liczniku jest równa \(0\). Zostaje nam więc tak naprawdę:
$$xy+xz+yz=\frac{-x^2-y^2-z^2}{2}$$
Jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną. Skoro więc przed \(x^2\), \(y^2\) oraz \(z^2\) stoją znaki minusa, to na pewno w liczniku mamy wartość niedodatnią, a to z kolei jest dowodem na to, że \(xy+yz+zx\le0\).
Zadanie nr 6 · Matura 2012
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a,b,c,d\) prawdziwa jest nierówność \(ac+bd\le\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}\).
Obie strony nierówności są dodatnie (bo \(a,b,c,d>0\)), więc nierówność jest równoważna nierówności między kwadratami:
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny. Wszystkie przekształcenia były równoważne, zatem nierówność wyjściowa jest prawdziwa. \(\blacksquare\)
Zadanie nr 7 · Matura 2012
Udowodnij, że jeżeli $a+b\ge0$, to prawdziwa jest nierówność $$a^{3}+b^{3}\ge a^{2}b+ab^{2}.$$
Krok 1. Przeniesienie na jedną stronę.
$$a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}\ge0.$$
Krok 2. Grupowanie. Łączymy wyrazy z $a^{2}$ oraz z $b^{2}$:
Krok 3. Dalszy rozkład. Drugi nawias to różnica kwadratów:
$$(a-b)(a-b)(a+b)=(a-b)^{2}(a+b).$$
Krok 4. Uzasadnienie znaku. Czynnik $(a-b)^{2}$ jest nieujemny jako kwadrat liczby rzeczywistej, a $a+b\ge0$ z założenia. Iloczyn dwóch liczb nieujemnych jest nieujemny, więc
$$(a-b)^{2}(a+b)\ge0,$$
co jest równoważne tezie. $\blacksquare$
Kiedy zachodzi równość: gdy $a=b$ albo gdy $a+b=0$ (czyli $b=-a$).
Zadanie nr 1 · Matura 2011
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) liczba \(k^6-2k^4+k^2\) jest podzielna przez 36.
Przekształcamy wyrażenie, wyłączając \(k^2\) przed nawias:
Liczby \(k-1,\ k,\ k+1\) są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi, zatem:
• co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 2,
• dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 3.
Ponieważ \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, iloczyn \(k(k-1)(k+1)\) jest podzielny przez \(6\), czyli \(k(k-1)(k+1)=6t\) dla pewnej liczby całkowitej \(t\).
Stąd
\(k^6-2k^4+k^2=(6t)^2=36t^2\),
a więc badana liczba jest podzielna przez 36 dla każdej liczby całkowitej \(k\). \(\blacksquare\)
Zadanie nr 25 · Matura 2011
Uzasadnij, że jeżeli \(a+b=1\) i \(a^2+b^2=7\), to \(a^4+b^4=31\).
Zadanie wymaga od nas sprawnego posługiwania się wzorami skróconego mnożenia, a kluczem do sukcesu jest tak naprawdę to, aby wpaść na pomysł jak powiązać ze sobą wszystkie informacje z treści zadania.
Krok 1. Rozpisanie wartości \(a^4+b^4\) przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Zgodnie ze wzorem na kwadrat sumy możemy zapisać, że:
$$(a^2+b^2)^2=(a^2)^2+2a^2b^2+(b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2$$
To oznacza, że:
$$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$$
Wartość \(a^2+b^2\) jest równa \(7\), a więc:
$$a^4+b^4=7^2-2a^2b^2$$
$$a^4+b^4=49-2a^2b^2$$
Gdyby teraz udało nam się udowodnić, że \(2a^2b^2\) jest równe \(18\), to otrzymalibyśmy działanie \(49-18\), czyli \(31\), co zakończyłoby dowód.
Krok 2. Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(a+b\) i obliczenie wartości \(2a^2b^2\).
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Z treści zadania wiemy, że \(a+b=1\) oraz że \(a^2+b^2=7\), co po podstawieniu do tego wzoru da nam:
$$1^2=7+2ab$$
$$2ab=-6$$
Jesteśmy już bardzo blisko końcowego rozwiązania, bo skoro \(2ab=-6\), to podnosząc obie strony do potęgi drugiej otrzymamy:
$$4a^2b^2=36 \quad\bigg/:2$$
$$2a^2b^2=18$$
Krok 3. Zakończenie dowodu.
Znamy wartość \(2a^2b^2\), więc podstawiając ją do wzoru z pierwszego kroku otrzymamy:
$$a^4+b^4=49-2a^2b^2$$
$$a^4+b^4=49-18=31$$
Ostatecznie udowodniliśmy, że wartość \(a^4+b^4\) jest faktycznie równa \(31\).
Zadanie nr 9 · Matura 2010
Na bokach \(BC\) i \(CD\) równoległoboku \(ABCD\) zbudowano kwadraty \(CDEF\) i \(BCGH\) (zobacz rysunek). Udowodnij, że \(|AC|=|FG|\).
Porównamy trójkąty \(ABC\) i \(FCG\).
1) Boki. \(CDEF\) jest kwadratem o boku \(CD\), więc \(|CF|=|CD|\); z własności równoległoboku \(|CD|=|AB|\), zatem
3) Wniosek. Trójkąty \(ABC\) i \(FCG\) mają odpowiednio równe dwa boki i kąt między nimi zawarty, więc są przystające (cecha bok–kąt–bok).
W przystających trójkątach odpowiadające sobie boki mają równe długości, zatem \(|AC|=|FG|\). \(\blacksquare\)
Zadanie nr 31 · Matura 2010
Wykaż, że jeżeli \(a\gt0\) i \(b\gt0\) oraz \(\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2}\), to \(a=b\) lub \(a+b=1\).
Krok 1. Uproszczenie równania i pozbycie się pierwiastka.
Aby udowodnić powyższą tezę przekształćmy nasze równanie, zaczynając od pozbycia się z niego pierwiastka:
$$\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2}$$
$$a^2+b=a+b^2$$
$$a^2-b^2-a+b=0$$
Krok 2. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), zatem:
$$(a+b)(a-b)-a+b=0$$
Teraz spróbujmy wziąć w nawias ostatnie dwa wyrazy po lewej stronie, uważając na to że musimy zmienić znak, bo przed nawiasem będzie stał minus:
$$(a+b)(a-b)-(a-b)=0$$
$$(a+b)(a-b)-1(a-b)=0$$
Już jesteśmy bardzo blisko rozwiązania tego zadania. Musimy teraz zamienić to równanie na postać iloczynową, wyłączając przed nawias \((a-b)\), zatem:
$$(a-b)(a+b-1)=0$$
Krok 3. Rozwiązanie równania.
Mając postać iloczynową wiemy, że aby to równanie było równe zero, to:
$$a-b=0 \quad\lor\quad a+b-1=0$$
$$a=b \quad\lor\quad a+b=1$$
Otrzymaliśmy wyniki dokładnie takie jak w treści zadania, co kończy nasz dowód.
Zadanie nr 30 · Próbny 2010
Uzasadnij, że jeśli \((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2\), to \(ad=bc\).
Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów.
Wymnażamy po kolei poszczególne wyrazy po lewej stronie, a po prawej stosujemy wzór skróconego mnożenia.
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2$$
$$a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=(ac)^2+2\cdot ac\cdot bd+(bd)^2$$
$$a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=a^2\cdot c^2+2abcd+b^2\cdot d^2$$
Krok 2. Redukcja wyrazów podobnych i uproszczenie zapisu.
Skracamy obie strony równania przez \(a^2\cdot c^2\) oraz przez \(b^2\cdot d^2\).
$$\require{cancel}
\cancel{a^2\cdot c^2}+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+\cancel{b^2\cdot d^2}=\cancel{a^2\cdot c^2}+2abcd+\cancel{b^2\cdot d^2}$$
$$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2=2abcd$$
Teraz przenosimy wszystkie wartości na lewą stronę:
$$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2-2abcd=0$$
Zapis ten możemy uprościć do postaci:
$$(ad)^2+(bc)^2-2abcd=0$$
Krok 3. Zapisanie powstałego równania z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Musimy dostrzec, że powstały zapis możemy przekształcić korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Widać to zwłaszcza wtedy, kiedy powyższe równanie pokażemy w formie \((ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0\). Zatem:
$$(ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0$$
$$(ad-bc)^2=0$$
Krok 4. Obliczenie wartości powstałego równania.
Pierwiastkując obie strony równania otrzymamy:
$$(ad-bc)^2=0 \quad\bigg/\sqrt{}$$
$$ad-bc=0$$
$$ad=bc$$
Zadanie nr 30 · Matura 2010
Uzasadnij, że jeśli \((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2\), to \(ad=bc\).
Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów.
Wymnażamy po kolei poszczególne wyrazy po lewej stronie, a po prawej stosujemy wzór skróconego mnożenia.
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2$$
$$a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=(ac)^2+2\cdot ac\cdot bd+(bd)^2$$
$$a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=a^2\cdot c^2+2abcd+b^2\cdot d^2$$
Krok 2. Redukcja wyrazów podobnych i uproszczenie zapisu.
Skracamy obie strony równania przez \(a^2\cdot c^2\) oraz przez \(b^2\cdot d^2\).
$$\require{cancel}
\cancel{a^2\cdot c^2}+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+\cancel{b^2\cdot d^2}=\cancel{a^2\cdot c^2}+2abcd+\cancel{b^2\cdot d^2}$$
$$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2=2abcd$$
Teraz przenosimy wszystkie wartości na lewą stronę:
$$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2-2abcd=0$$
Zapis ten możemy uprościć do postaci:
$$(ad)^2+(bc)^2-2abcd=0$$
Krok 3. Zapisanie powstałego równania z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Musimy dostrzec, że powstały zapis możemy przekształcić korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Widać to zwłaszcza wtedy, kiedy powyższe równanie pokażemy w formie \((ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0\). Zatem:
$$(ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0$$
$$(ad-bc)^2=0$$
Krok 4. Obliczenie wartości powstałego równania.
Pierwiastkując obie strony równania otrzymamy:
$$(ad-bc)^2=0 \quad\bigg/\sqrt{}$$
$$ad-bc=0$$
$$ad=bc$$
Zadanie nr 30 · Matura 2010
Wykaż, że jeśli \(a\gt0\), to \(\frac{a^2+1}{a+1}\ge\frac{a+1}{2}\).
Krok 1. Doprowadzenie nierówności wymiernej do postaci ogólnej.
Analizujemy sytuację, w której \(a\gt0\). To bardzo ważna informacja, bo dzięki niej mamy pewność, że chcąc pomnożyć obie strony przez \(a+1\) nie zmieni nam się znak nierówności, bo \(a+1\) jest na pewno dodatnie. Przypomnę, że gdybyśmy pomnożyli nierówność przez wartość ujemną, to zmieniłby nam się jej znak. Tutaj takich obaw nie ma, dlatego możemy wymnożyć obie strony równania przez \(a+1\) oraz przez \(2\). Możemy to zrobić za jednym razem, albo też krok po kroku, aby uniknąć niepotrzebnych pomyłek.
$$\frac{a^2+1}{a+1}\ge\frac{a+1}{2} \quad\bigg/\cdot(a+1)$$
$$a^2+1\ge\frac{(a+1)\cdot(a+1)}{2} \quad\bigg/\cdot2$$
$$2a^2+2\ge(a+1)^2$$
$$2a^2+2\ge a^2+2a+1$$
$$a^2-2a+1\ge0$$
Teraz zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:
Sposób I:
Krok 2a. Przekształcenie nierówności przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że \(a^2-2a+1=(a-1)^2\), a więc otrzymamy:
$$(a-1)^2\ge0$$
Krok 3a. Interpretacja wyniku.
Każda liczba (czy to dodatnia, czy to ujemna) podniesiona do potęgi drugiej da nam wartość większą lub równą zero, więc udowodniliśmy że twierdzenie wskazane w zadaniu jest prawdziwe.
Sposób II:
Krok 2b. Wyznaczenie miejsc zerowych nierówności \(a^2-2a+1\ge0\).
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{0}=0$$
Krok 3b. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola ma ramiona skierowane ku górze, bo współczynnik kierunkowy \(a\) stojący przed wartością \(x^2\) jest dodatni. Wykres będzie więc wyglądał następująco:
Krok 4b. Odczytanie rozwiązania z wykresu i interpretacja wyniku.
Szukamy przedziałów, w których wykres naszej funkcji jest dodatni lub równy zero, czyli kiedy wykres jest nad osią lub na niej. Okazuje się, że każda liczba spełnia warunki naszego zadania, a to oznacza, że udowodniliśmy, że także liczby dodatnie \(a\gt0\) spełniają warunki tej nierówności.
Zadanie nr 8 · Matura 2009
Dwa okręgi o środkach \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy \(3+2\sqrt2\).
Oznaczmy przez \(r\) promień mniejszego okręgu (o środku \(A\)), przez \(R\) promień większego (o środku \(B\)), a przez \(O\) wierzchołek kąta prostego.
1) Położenie środków. Środek okręgu stycznego do obu ramion kąta jest równoodległy od tych ramion, więc leży na dwusiecznej kąta. Oba środki leżą zatem na tej samej dwusiecznej.
2) Odległości od wierzchołka. Rzuty środka na ramiona i wierzchołek \(O\) tworzą kwadrat o boku równym promieniowi, więc
\(|OA|=r\sqrt2\), \(|OB|=R\sqrt2\).
3) Warunek styczności zewnętrznej. \(|AB|=R+r\). Ponieważ \(A\) leży między \(O\) i \(B\) na dwusiecznej:
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Zadanie nr 1
Wyrażenie $(a+b)^2$ jest równe:
A$a^2+b^2$
B$a^2+2ab+b^2$
C$a^2-2ab+b^2$
D$2a+2b$
$$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$$
Najczęstszy błąd w całej algebrze: pominięcie środkowego wyrazu. Sprawdzenie liczbowe dla $a=b=1$: $(1+1)^2=4$, a nie $1+1=2$.
Odpowiedź: B. $a^2+2ab+b^2$.
Zadanie nr 2
Wypisz trzy wzory skróconego mnożenia i podaj przykład liczbowy do trzeciego z nich.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Przykład do trzeciego wzoru: $101^2-99^2=(101-99)(101+99)=2\cdot200=400$. Rachunek w pamięci zamiast dwóch potęgowań.
Odpowiedź: trzy wzory jak wyżej.
Zadanie nr 3
Oblicz $53^2-47^2$ bez podnoszenia do kwadratu.
Korzystamy z różnicy kwadratów:
$$53^2-47^2=(53-47)(53+47)=6\cdot100=600$$
Odpowiedź: $600$.
Zadanie nr 4
Które wyrażenie jest zawsze nieujemne dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$?
A$(x-3)^2$
B$x-3$
C$3-x$
D$x^3$
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny:
$$(x-3)^2\ge0$$
Równość zachodzi dokładnie dla $x=3$.
Pozostałe przyjmują wartości ujemne — np. dla $x=0$ mamy $-3$, $3$ i $0$ odpowiednio.
Ta obserwacja jest podstawą większości dowodów nierówności.
Odpowiedź: A. $(x-3)^2$.
Zadanie nr 5
Rozłóż na czynniki wyrażenie $x^2-25$.
To różnica kwadratów, bo $25=5^2$:
$$x^2-25=(x-5)(x+5)$$
Odpowiedź: $(x-5)(x+5)$.
Zadanie nr 6
Wyrażenie $x^2+6x+9$ można zapisać jako:
A$(x-3)^2$
B$(x+9)^2$
C$(x+3)^2$
D$(x+6)^2$
Rozpoznajemy kwadrat sumy: $9=3^2$, a środkowy wyraz $6x=2\cdot3\cdot x$ ✔
$$x^2+6x+9=(x+3)^2$$
Jak sprawdzać: pierwiastkujemy skrajne wyrazy i sprawdzamy, czy podwojony iloczyn daje środkowy.
Odpowiedź: C. $(x+3)^2$.
Zadanie nr 7
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2+4x+5>0$.
Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Chcemy zobaczyć w wyrażeniu kwadrat sumy, więc rozbijamy $5$ na $4+1$:
$$x^2+4x+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1$$
Krok 2 — szacowanie. Kwadrat jest nieujemny, więc:
$$(x+2)^2+1\ge0+1=1>0 \qquad ∎$$
Wniosek: nierówność zachodzi dla każdego $x$, a najmniejsza wartość wyrażenia wynosi $1$ i jest osiągana dla $x=-2$.
Zadanie nr 8
Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą.
Krok 1 — oznaczenie. Niech liczby to $n$ i $n+1$, gdzie $n$ jest całkowite.
Krok 2 — różnica kwadratów:
$$(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$$
Krok 3 — wniosek. Wyrażenie $2n+1$ to z definicji liczba nieparzysta — podwojona liczba całkowita powiększona o jeden. ∎
Sprawdzenie: $5^2-4^2=25-16=9$ ✔ oraz $8^2-7^2=15$ ✔
Bonus: ten sam rachunek pokazuje, że różnica kwadratów daje sumę tych liczb: $2n+1=n+(n+1)$.
Zadanie nr 9
Dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi:
A$|a+b|=|a|+|b|$
B$|a+b|\ge|a|+|b|$
C$|a+b|=|a|-|b|$
D$|a+b|\le|a|+|b|$
To nierówność trójkąta. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak (albo któraś jest zerem).
Przykład ostrej nierówności: dla $a=3$, $b=-5$ mamy $|-2|=2$, ale $|3|+|-5|=8$, więc $2\lt 8$.
Odpowiedź: D. $|a+b|\le|a|+|b|$.
Zadanie nr 10
Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2+1\ge2x$.
Krok 1 — przenosimy wszystko na jedną stronę:
$$x^2-2x+1\ge0$$
Krok 2 — rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:
$$(x-1)^2\ge0$$
Krok 3 — wniosek. Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc nierówność zachodzi dla każdego $x$. ∎
Kiedy równość: dokładnie dla $x=1$.
Uwaga metodyczna: przenoszenie na jedną stronę i szukanie kwadratu to standardowy schemat dowodzenia nierówności.
Zadanie nr 11
Wyrażenie $(a-b)^2$ jest równe:
A$a^2-b^2$
B$a^2-2ab+b^2$
C$a^2+2ab+b^2$
D$a^2-b^2+2ab$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Uwaga: $a^2-b^2$ to różnica kwadratów, a nie kwadrat różnicy — to dwa zupełnie różne wzory.
Sprawdzenie dla $a=5$, $b=2$: $(5-2)^2=9$, a $25-20+4=9$ ✔ Natomiast $a^2-b^2=21$.
Odpowiedź: B. $a^2-2ab+b^2$.
Zadanie nr 12
Oblicz $102^2$, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
Zapisujemy $102$ jako $100+2$:
$$102^2=(100+2)^2=100^2+2\cdot100\cdot2+2^2$$
$$=10\,000+400+4=10\,404$$
Odpowiedź: $10\,404$.
Zadanie nr 13
Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest zawsze parzysty.
Oznaczenie. Kolejne liczby to $n$ i $n+1$.
Kluczowa obserwacja. Spośród dwóch kolejnych liczb całkowitych zawsze dokładnie jedna jest parzysta — liczby parzyste i nieparzyste występują na przemian.
Rozbicie na przypadki:
jeśli $n=2k$, to iloczyn $2k(n+1)$ ma czynnik $2$
jeśli $n=2k+1$, to $n+1=2k+2=2(k+1)$, więc czynnik $2$ jest w drugiej liczbie
Wniosek. W obu przypadkach iloczyn zawiera czynnik $2$, czyli jest parzysty. ∎
Sprawdzenie: $3\cdot4=12$ ✔, $6\cdot7=42$ ✔
Zadanie nr 14
Wyrażenie $|x|\cdot|y|$ jest równe:
A$|xy|$
B$|x+y|$
C$xy$
D$|x|+|y|$
Wartość bezwzględna jest multiplikatywna — zachowuje się dobrze przy mnożeniu:
$$|x|\cdot|y|=|xy|$$
Dla dodawania tak nie jest — tam mamy tylko nierówność $|x+y|\le|x|+|y|$.
Sprawdzenie dla $x=-2$, $y=3$: $2\cdot3=6$ oraz $|-6|=6$ ✔
Odpowiedź: A. $|xy|$.
Zadanie nr 15
Wykaż, że wyrażenie $x^2-8x+20$ przyjmuje tylko wartości dodatnie, i podaj jego wartość najmniejszą.
Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Połowa współczynnika przy $x$ to $-4$, a $(-4)^2=16$, więc rozbijamy $20=16+4$:
$$x^2-8x+20=(x^2-8x+16)+4=(x-4)^2+4$$
Krok 2 — szacowanie:
$$(x-4)^2+4\ge4>0 \qquad ∎$$
Wniosek: wartość najmniejsza wynosi $4$ i jest osiągana dla $x=4$.
Kontrola wyróżnikiem: $\Delta=64-80=-16\lt 0$ — brak miejsc zerowych przy dodatnim współczynniku wiodącym ✔
Zadanie nr 16
Liczba parzysta zapisana ogólnie to:
A$n+2$
B$2n+1$
C$2n$
D$n^2$
Liczba parzysta to podwojona liczba całkowita:
$$2n,\qquad n\in\mathbb{Z}$$
Nieparzysta to $2n+1$ (odpowiedź B).
Uwaga: $n+2$ nie jest parzyste dla nieparzystego $n$, a $n^2$ jest parzyste tylko wtedy, gdy $n$ jest parzyste.
Odpowiedź: C. $2n$.
Zadanie nr 17
Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych daje przy dzieleniu przez $8$ resztę $2$.
Krok 1 — oznaczenie. Kolejne liczby nieparzyste zapisujemy jako $2n+1$ i $2n+3$, gdzie $n$ jest całkowite.
Krok 4 — wniosek. Pierwszy składnik dzieli się przez $8$, a reszta wynosi $2$. ∎
Sprawdzenie: $3^2+5^2=34$, a $34=8\cdot4+2$ ✔ oraz $7^2+9^2=130=8\cdot16+2$ ✔
Zadanie nr 18
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ zachodzi $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$.
Krok 1 — przekształcamy tezę. Obie strony są dodatnie, więc mnożenie przez $2$ nie zmienia zwrotu:
$$a+b\ge2\sqrt{ab}$$
Krok 2 — przenosimy na jedną stronę:
$$a-2\sqrt{ab}+b\ge0$$
Krok 3 — kluczowa obserwacja. Skoro $a$ i $b$ są dodatnie, możemy zapisać $a=\left(\sqrt{a}\right)^2$ oraz $b=\left(\sqrt{b}\right)^2$. Wtedy lewa strona to kwadrat różnicy:
$$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0 \qquad ∎$$
Kiedy równość: dokładnie gdy $\sqrt{a}=\sqrt{b}$, czyli $a=b$.
Nazwa: to nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną. Sprawdzenie dla $a=2$, $b=8$: średnia arytmetyczna $5$, geometryczna $4$ ✔
Zadanie nr 19
Wykaż, że jeśli $n$ jest liczbą całkowitą, to wyrażenie $n^2+n$ jest zawsze parzyste.
Krok 1 — rozkładamy na czynniki:
$$n^2+n=n(n+1)$$
Krok 2 — rozpoznanie. To iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych.
Krok 3 — argument. Spośród dwóch kolejnych liczb całkowitych zawsze dokładnie jedna jest parzysta, więc iloczyn zawiera czynnik $2$. ∎
Sprawdzenie: dla $n=3$ mamy $12$ ✔; dla $n=4$ mamy $20$ ✔; nawet dla $n=-3$ wychodzi $6$ ✔
Uwaga. Sprawdzenie kilku przypadków to nie dowód — dowodem jest rozumowanie z kroku trzeciego, prawdziwe dla każdego $n$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi $a^2+b^2\ge2ab$, i wyjaśnij, kiedy zachodzi równość. Podaj zastosowanie tej nierówności.
Krok 1 — przenosimy wszystko na lewą stronę:
$$a^2-2ab+b^2\ge0$$
Krok 2 — rozpoznajemy kwadrat różnicy:
$$(a-b)^2\ge0 \qquad ∎$$
Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc nierówność zachodzi zawsze.
Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy $a-b=0$, czyli $a=b$.
Zastosowanie. Podstawiając $a=x$ i $b=\frac1x$ dla $x>0$, dostajemy:
$$x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$$
Podobnie $x+\frac1x\ge2$ dla $x>0$ — najmniejsza wartość wynosi $2$ i jest osiągana dla $x=1$. Ta nierówność bywa potrzebna w zadaniach optymalizacyjnych, gdzie pozwala oszacować wynik bez liczenia pochodnej.
Sprawdzenie: dla $x=2$ mamy $2+0{,}5=2{,}5\ge2$ ✔; dla $x=1$ wychodzi dokładnie $2$ ✔
Zadanie nr PP05.1
Dla każdej liczby całkowitej $k$ liczbą nieparzystą jest
A$2k+1$
B$2k$
C$k+1$
D$4k$
$2k$ jest parzysta, więc $2k+1$ jest nieparzysta dla każdego $k$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? C — dla $k=1$ daje $2$ (parzystą).
Zadanie nr PP05.2
Dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n(n+1)$ jest
Anieparzysta
Bparzysta
Cpodzielna przez $3$
Dkwadratem liczby całkowitej
Wśród dwóch kolejnych liczb całkowitych jedna jest parzysta, więc ich iloczyn jest parzysty.
Odpowiedź:B
Dlaczego nie pozostałe? C — np. $1\cdot2=2$ nie dzieli się przez $3$.
Zadanie nr PP05.3
Liczba $3n+7$, gdzie $n$ jest liczbą naturalną, przy dzieleniu przez $3$ daje resztę
A$0$
B$2$
C$1$
Dzależną od $n$
$3n+7=3n+6+1=3(n+2)+1$, a $n+2$ jest liczbą całkowitą.
Reszta wynosi $1$.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? A — pomylone „$3n$” z całą liczbą; reszty z $7$ nie wolno pominąć.
Zadanie nr PP05.4
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^2+n$ jest parzysta.
Dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $n^2+1$ jest nieparzysta.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
1. $n^2+n=n(n+1)$ — iloczyn kolejnych liczb, zawsze parzysty — prawda.
2. Dla $n=1$: $1^2+1=2$ — liczba parzysta, więc zdanie jest fałszywe (wystarczy jeden kontrprzykład).
Odpowiedź: P, F
Wskazówka: Aby obalić zdanie „dla każdego”, wystarczy jeden kontrprzykład.
Zadanie nr PP05.5
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $(n+3)^2-(n-3)^2$ jest podzielna przez $12$.
Skoro $0\lt ab\le\frac14$, to $\frac2{ab}\ge8$ i całe wyrażenie $\ge9$. $\blacksquare$
Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania:
1 pkt — wykazanie $ab\le\frac14$,
2 pkt — przekształcenie do postaci $1+\frac{2}{ab}$,
3 pkt — wniosek $\ge9$.
Zadanie nr PR02.11
Wyrażenie $(a-b)^2$ jest
Azawsze nieujemne
Bzawsze dodatnie
Czawsze ujemne
Drówne $a^2-b^2$
Kwadrat jest $\ge0$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? B - może być równe $0$.
Zadanie nr PR02.12
Liczba nieparzysta podzielna przez $3$ ma postać ($k$ — liczba całkowita)
A$3k$
B$6k+3$
C$2k+3$
D$6k$
Nieparzyste wielokrotności $3$ to $3\cdot(2k+1)=6k+3$.
Odpowiedź:B
Dlaczego nie pozostałe? A bywa parzysta (np. $6$), C nie musi być podzielna przez $3$ (np. $5$), D jest zawsze parzysta.
Zadanie nr PR02.13
Suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez
A$2$
B$5$
C$3$
D$4$
$n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)$.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? Podzielna przez $3$.
Zadanie nr PR02.14
Nierówność $(x-1)^2\ge0$ jest prawdziwa dla
A$x\ge1$
B$x>1$
C$x=1$
Dkażdego $x$
Kwadrat jest zawsze $\ge0$.
Odpowiedź:D
Dlaczego nie pozostałe? A zawęża niepotrzebnie.
Zadanie nr PR02.15
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$ zachodzi $a^2+b^2\ge2ab$.
$(a-b)^2\ge0$.
$a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab$.
Odpowiedź: nierówność wynika z $(a-b)^2\ge0$
Zadanie nr 6
Oblicz $101^2$, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
Krok 1 — rozkładamy $101=100+1$:
$$101^2=(100+1)^2=100^2+2\cdot100\cdot1+1^2$$
Krok 2 — liczymy:
$$=10000+200+1=10201$$
Odpowiedź: $10201$.
Zadanie nr 7
Oblicz $98\cdot102$ bez mnożenia w słupku.
Krok 1 — zauważamy różnicę kwadratów:
$$98\cdot102=(100-2)(100+2)$$
Krok 2 — wzór $a^2-b^2$:
$$=100^2-2^2=10000-4=9996$$
Odpowiedź: $9996$.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
