Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej — nigdy nie jest ujemna:
$$|a|=\begin{cases} a & \text{dla } a\ge 0 \ -a & \text{dla } a<0 \end{cases}$$
To najważniejsze narzędzie w tym dziale:
$$|a-b| = \text{odległość między liczbami } a \text{ i } b$$
Dlatego $|x-2|$ czytamy jako „odległość liczby $x$ od liczby $2$”, a samo $|x|$ jako „odległość $x$ od zera”.
Równanie $|W(x)|=a$ dla $a>0$ rozbijamy na dwa przypadki:
$$W(x)=a \quad \text{lub} \quad W(x)=-a$$
Przykład: $|x-3|=2$ daje $x-3=2$ lub $x-3=-2$, czyli $x=5$ lub $x=1$. Geometrycznie: szukamy liczb odległych o $2$ od liczby $3$.
Gdy $a<0$, równanie nie ma rozwiązań — odległość nie może być ujemna. Gdy $a=0$, rozwiązanie jest jedno.
$$|x|0)$$
Rozwiązaniem jest przedział — liczby blisko zera. Przykład: $|x|<4$ daje $x\in(-4,\,4)$.
$$|x|\ge a \iff x\le -a \ \text{ lub } \ x\ge a$$
Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów — liczby daleko od zera. Przykład: $|x|\ge3$ daje $x\in(-\infty,\,-3\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.
$$|x-p| To przedział o środku $p$ i promieniu $r$ — bardzo wygodny sposób zapisu otoczenia punktu. Najczęstszy błąd to podanie tylko jednego rozwiązania równania — pamiętaj o obu przypadkach. Drugi to pomylenie kierunku nierówności: „mniejsze” daje jeden przedział w środku, „większe” daje dwa przedziały po bokach. Zawsze warto naszkicować oś liczbową.Własności
Na co uważać
Co robi: ogranicza wartość bezwzględną sumy z góry.
Elementy: równość zachodzi, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak; narzędzie w dowodach.
Wyrażenie $(a+b)^2$ jest równe:
Wypisz trzy wzory skróconego mnożenia i podaj przykład liczbowy do trzeciego z nich.
Oblicz $53^2-47^2$ bez podnoszenia do kwadratu.
Które wyrażenie jest zawsze nieujemne dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$?
Rozłóż na czynniki wyrażenie $x^2-25$.
Wyrażenie $x^2+6x+9$ można zapisać jako:
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2+4x+5>0$.
Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi:
Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2+1\ge2x$.
Wyrażenie $(a-b)^2$ jest równe:
Oblicz $102^2$, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest zawsze parzysty.
Wyrażenie $|x|\cdot|y|$ jest równe:
Wykaż, że wyrażenie $x^2-8x+20$ przyjmuje tylko wartości dodatnie, i podaj jego wartość najmniejszą.
Liczba parzysta zapisana ogólnie to:
Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych daje przy dzieleniu przez $8$ resztę $2$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ zachodzi $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$.
Wykaż, że jeśli $n$ jest liczbą całkowitą, to wyrażenie $n^2+n$ jest zawsze parzyste.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi $a^2+b^2\ge2ab$, i wyjaśnij, kiedy zachodzi równość. Podaj zastosowanie tej nierówności.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.