Wzory skróconego mnożenia

Rozpisujemy definicję kwadratu:

$$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$$

Najczęstszy błąd to odpowiedź A — pominięcie środkowego wyrazu $2ab$. Kwadrat sumy to nie suma kwadratów.

Odpowiedź: B. $a^2+2ab+b^2$.

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Odpowiedź: A.

Stosujemy wzór na kwadrat sumy:

$$(x+3)^2=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=x^2+6x+9$$

Odpowiedź: $x^2+6x+9$.

$$(x+3)^2=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=x^2+6x+9$$

Odpowiedź: $x^2+6x+9$.

1. $(x-4)^2=x^2-2\cdot x\cdot4+16=x^2-8x+16$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — pomylenie z różnicą kwadratów; D — wyraz środkowy bez podwojenia.

Kwadrat różnicy — uwaga na potęgowanie całego jednomianu $2x$:

$$(2x-5)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot5+25=4x^2-20x+25$$

Pułapka: $(2x)^2=4x^2$, a nie $2x^2$ — podnosimy do kwadratu także współczynnik.

Odpowiedź: $4x^2-20x+25$.

$$(x-5)^2=x^2-2\cdot x\cdot5+5^2=x^2-10x+25$$

Odpowiedź: $x^2-10x+25$.

1. $(2a)^2+2\cdot2a\cdot3+3^2=4a^2+12a+9$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? B — brak podwojenia; D — $(2a)^2$ policzone jako $2a^2$.

To wzór na różnicę kwadratów:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

$$(x-4)(x+4)=x^2-16$$

Dlaczego znika wyraz środkowy: $-4x$ i $+4x$ się redukują.

Odpowiedź: A. $x^2-16$.

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Odpowiedź: C.

1. Różnica kwadratów: $(\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2=7-3=4$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — dodane zamiast odjętych kwadratów; D — pomylenie z $(\sqrt7-\sqrt3)^2$.

Rozpoznajemy różnicę kwadratów, bo $49=7^2$:

$$x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7)$$

Odpowiedź: $(x-7)(x+7)$.

To różnica kwadratów ($16=4^2$):

$$x^2-16=(x-4)(x+4)$$

Odpowiedź: $(x-4)(x+4)$.

1. $A=2a-5$, $B=2a+5$: $A-B=-10$, $A+B=4a$.
2. $(A-B)(A+B)=-10\cdot4a=-40a$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — zgubione wyrazy $\pm20a$; C — zostały tylko wyrazy wolne ze złym znakiem.

Krok 1 — rozpoznajemy wzór. Wyraz wolny $25=5^2$, a środkowy to $-2\cdot x\cdot5$.

Krok 2 — zwijamy:

$$x^2-10x+25=(x-5)^2$$

Sprawdzenie: $(x-5)^2=x^2-10x+25$ ✔

Odpowiedź: C. $(x-5)^2$.

Krok 1 — rozkładamy $101=100+1$:

$$101^2=(100+1)^2=100^2+2\cdot100\cdot1+1^2$$

Krok 2 — liczymy:

$$=10000+200+1=10201$$

Odpowiedź: $10201$.

1. $x^2-6x+9=(x-3)^2$ — pełny kwadrat.
2. Dla $x=3+\sqrt5$: $(\sqrt5)^2=5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — policzone tylko $x^2$; zwinięcie do kwadratu skraca rachunek do jednej linijki.

Krok 1 — rozbijamy na wygodne składniki:

$$102=100+2$$

Krok 2 — stosujemy kwadrat sumy:

$$102^2=100^2+2\cdot100\cdot2+2^2=10\,000+400+4=10\,404$$

Po co to robić. Wzory skróconego mnożenia zamieniają jedno trudne mnożenie na trzy łatwe dodawania — to ich praktyczne zastosowanie.

Odpowiedź: $10\,404$.

Krok 1 — zauważamy różnicę kwadratów:

$$98\cdot102=(100-2)(100+2)$$

Krok 2 — wzór $a^2-b^2$:

$$=100^2-2^2=10000-4=9996$$

Odpowiedź: $9996$.

1. $(\sqrt5)^2-2\cdot\sqrt5\cdot1+1^2=5-2\sqrt5+1=6-2\sqrt5$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — potraktowane jak różnica kwadratów; C — zgubiony wyraz $2ab$.

Krok 1 — zauważamy symetrię wokół $100$:

$$97=100-3,\qquad 103=100+3$$

Krok 2 — różnica kwadratów:

$$(100-3)(100+3)=100^2-3^2=10\,000-9=9991$$

Odpowiedź: $9991$.

Rozpoznajemy kwadrat sumy: $16=4^2$, $8x=2\cdot x\cdot4$:

$$x^2+8x+16=(x+4)^2$$

Odpowiedź: B. $(x+4)^2$.

1. $x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ — wzór na różnicę sześcianów.
2. Kontrola dla $x=3$: $27-8=19$ oraz $1\cdot(9+6+4)=19$ ✓.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — zły znak w drugim nawiasie; D — to rozkład sumy $x^3+8$.

Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Krok 2 — odejmujemy:

$$\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)=-4ab$$

Uwaga na znak: odejmujemy cały nawias, więc każdy jego wyraz zmienia znak.

Odpowiedź: D. $-4ab$.

$$(2x+3)^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3+3^2=4x^2+12x+9$$

Uwaga: kwadrat dotyczy całego $2x$, więc $(2x)^2=4x^2$.

Odpowiedź: $4x^2+12x+9$.

1. 1. Wzór $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$ — prawda.
2. 2. $(1+\sqrt2)^2+(1-\sqrt2)^2=(3+2\sqrt2)+(3-2\sqrt2)=6$ — liczba wymierna, więc zdanie jest fałszywe.

Odpowiedź: P, F

Krok 1 — zapisujemy oba składniki jako kwadraty:

$$4x^2=(2x)^2,\qquad 9y^2=(3y)^2$$

Krok 2 — stosujemy różnicę kwadratów:

$$4x^2-9y^2=(2x-3y)(2x+3y)$$

Odpowiedź: $(2x-3y)(2x+3y)$.

To różnica kwadratów: $9x^2=(3x)^2$, $25=5^2$:

$$9x^2-25=(3x-5)(3x+5)$$

Odpowiedź: $(3x-5)(3x+5)$.

1. Mnożymy przez sprzężenie $\sqrt5+1$: $\dfrac{4(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}=\dfrac{4(\sqrt5+1)}{5-1}$.
2. $=\sqrt5+1$.

Odpowiedź: $\sqrt5+1$

Krok 1 — szukamy największego wspólnego czynnika. Liczbowo NWD$(6,9)=3$, literowo wspólne jest $x$.

Krok 2 — wyłączamy $3x$:

$$6x^2+9x=3x(2x+3)$$

Dlaczego nie A ani C. Oba są poprawnymi przekształceniami, ale niepełnymi — w nawiasie wciąż da się coś wyłączyć. Szukamy rozkładu do końca.

Odpowiedź: B. $3x(2x+3)$.

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Odpowiedź: D.

1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, więc $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=36-8=28$.
2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=28-8=20$.
3. Nie trzeba wyznaczać $a$ i $b$ — wystarczą wzory skróconego mnożenia.

Odpowiedź: $a^2+b^2=28$, $(a-b)^2=20$

Krok 1 — mnożymy każdy wyraz przez każdy:

$$x\cdot x^2-x\cdot3x+x\cdot1+2x^2-6x+2$$

$$=x^3-3x^2+x+2x^2-6x+2$$

Krok 2 — redukujemy wyrazy podobne:

$$x^3+(-3+2)x^2+(1-6)x+2=x^3-x^2-5x+2$$

Kontrola dla $x=1$: lewa strona $3\cdot(-1)=-3$, prawa $1-1-5+2=-3$ ✔

Odpowiedź: $x^3-x^2-5x+2$.

Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:

$$(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)$$

Krok 2 — redukujemy:

$$=x^2+4x+4-x^2+4x-4=8x$$

Odpowiedź: $8x$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $x$:

$$x^3-4x=x\left(x^2-4\right)$$

Krok 2 — w nawiasie rozpoznajemy różnicę kwadratów:

$$x\left(x^2-2^2\right)=x(x-2)(x+2)$$

Kolejność ma znaczenie. Najpierw wyłączamy wspólny czynnik, dopiero potem szukamy wzorów — inaczej łatwo przeoczyć pełny rozkład.

Odpowiedź: $x(x-2)(x+2)$.

Krok 1 — różnica kwadratów:

$$37^2-27^2=(37-27)(37+27)$$

Krok 2 — liczymy:

$$=10\cdot64=640$$

Odpowiedź: $640$.

Rozwijamy kwadrat sumy i odejmujemy:

$$\left(a^2+2ab+b^2\right)-a^2-b^2=2ab$$

Wniosek praktyczny: to właśnie o ten podwojony iloczyn kwadrat sumy różni się od sumy kwadratów.

Odpowiedź: A. $2ab$.

Kwadrat różnicy: $9=3^2$, $6x=2\cdot x\cdot3$:

$$x^2-6x+9=(x-3)^2$$

Odpowiedź: A. $(x-3)^2$.

Stosujemy wzór na sześcian sumy:

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

$$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$$

Skąd współczynniki $1,3,3,1$: to kolejny wiersz trójkąta Pascala.

Odpowiedź: $x^3+3x^2+3x+1$.

Krok 1 — wzór na kwadrat sumy:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Krok 2 — wyznaczamy $a^2+b^2$:

$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$=7^2-2\cdot10=49-20=29$$

Odpowiedź: $a^2+b^2=29$.

Krok 1 — zwijamy do kwadratu sumy:

$$x^2+6x+9=(x+3)^2$$

Krok 2 — kwadrat jest zerem tylko wtedy, gdy podstawa jest zerem:

$$x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3$$

Warto zauważyć. Dla każdego innego $x$ wyrażenie jest dodatnie — kwadrat nigdy nie jest ujemny.

Odpowiedź: C. $x=-3$.

Krok 1 — wyłączamy $x$: $x^3-x=x(x^2-1)$.

Krok 2 — różnica kwadratów: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

$$x^3-x=x(x-1)(x+1)$$

Odpowiedź: B. $x(x-1)(x+1)$.

Sposób 1 — rozwijamy oba kwadraty:

$$\left(x^2+6x+9\right)-\left(x^2-6x+9\right)=12x$$

Sposób 2 — traktujemy całość jako różnicę kwadratów:

$$\bigl[(x+3)-(x-3)\bigr]\cdot\bigl[(x+3)+(x-3)\bigr]=6\cdot2x=12x$$

Wartość dla $x=7$:

$$12\cdot7=84$$

Sprawdzenie wprost: $10^2-4^2=100-16=84$ ✔

Odpowiedź: wyrażenie równa się $12x$, a dla $x=7$ wynosi $84$.

Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:

$$(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)$$

Krok 2 — redukujemy (składniki $2ab$ się znoszą):

$$=2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)$$

Odpowiedź: $2(a^2+b^2)$.

Krok 1 — wspólny czynnik liczbowy i literowy:

$$2x^3-18x=2x\left(x^2-9\right)$$

Krok 2 — różnica kwadratów w nawiasie:

$$2x\left(x^2-3^2\right)=2x(x-3)(x+3)$$

Krok 3 — sprawdzenie przez wymnożenie:

$$2x\left(x^2-9\right)=2x^3-18x \ ✔$$

Kontrola liczbowa dla $x=2$: lewa strona $16-36=-20$, prawa $4\cdot(-1)\cdot5=-20$ ✔

Odpowiedź: $2x(x-3)(x+3)$.

Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:

$$(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)$$

Krok 2 — usuwamy nawias i redukujemy:

$$=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab \qquad ∎$$

Sprawdzenie dla $a=3$, $b=2$: lewa $5^2-1^2=24$; prawa $4\cdot6=24$ ✔

Krok 1 — punkt wyjścia. Nie znamy $a$ ani $b$ osobno, więc korzystamy ze wzoru:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Krok 2 — przekształcamy wzór:

$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$a^2+b^2=7^2-2\cdot10=49-20=29$$

Sprawdzenie. Liczby o sumie $7$ i iloczynie $10$ to $2$ i $5$, a $4+25=29$ ✔

Odpowiedź: $a^2+b^2=29$.

Krok 1 — oznaczenia. Kolejne liczby to $n$ i $n+1$.

Krok 2 — różnica kwadratów:

$$(n+1)^2-n^2=(n^2+2n+1)-n^2=2n+1$$

Krok 3 — wniosek. $2n+1$ jest z definicji liczbą nieparzystą dla dowolnej całkowitej $n$. $\quad∎$

Sprawdzenie: $5^2-4^2=25-16=9$ (nieparzysta) ✔

Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Chcemy zobaczyć $x^2-6x$ jako początek kwadratu różnicy, a $(x-3)^2=x^2-6x+9$:

$$x^2-6x+11=\left(x^2-6x+9\right)+2$$

Krok 2 — zwijamy:

$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2$$

Krok 3 — szacujemy. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny:

$$(x-3)^2\ge0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)^2+2\ge2>0 \qquad ∎$$

Dodatkowo. Wartość najmniejsza wynosi $2$ i jest osiągana dla $x=3$ — dowód dał nam więcej, niż wymagało polecenie.

Sprawdzenie: dla $x=3$ mamy $9-18+11=2$ ✔, a dla $x=0$ wychodzi $11>0$ ✔

Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Bierzemy $x^2-4x$ i dodajemy oraz odejmujemy $4$ (kwadrat połowy współczynnika przy $x$):

$$x^2-4x+7=(x^2-4x+4)+3=(x-2)^2+3$$

Krok 2 — szacujemy. Ponieważ $(x-2)^2\ge0$ dla każdego $x$:

$$(x-2)^2+3\ge3 \qquad ∎$$

Wniosek. Najmniejszą wartość $3$ wyrażenie osiąga dla $x=2$ (wtedy kwadrat jest zerem).

Rozwiązanie

$x^2+10x+25=(x+5)^2$. Dla $x=\sqrt2-5$: $x+5=\sqrt2$, więc $(x+5)^2=(\sqrt2)^2=2$.

Odpowiedź: A

Oczywiście możemy podstawić \(x=\sqrt{2}-5\) bezpośrednio do naszego wyrażenia (pamiętając oczywiście o tym by później poprawnie wykonać to potęgowanie), ale obliczenia staną się znacznie prostsze, gdy dostrzeżemy, że podane wyrażenie można zwinąć za pomocą wzoru na kwadrat sumy:
$$x^2+10x+25=(x+5)^2$$

I jeśli teraz podstawimy \(x=\sqrt{2}-5\) do uproszczonego wyrażenia, to otrzymamy:
$$(\sqrt{2}-5+5)^2=(\sqrt{2})^2=2$$

Korzystamy ze wzoru $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$:

$(\pi+1)^{2}-(\pi-1)^{2}=\big[(\pi+1)-(\pi-1)\big]\big[(\pi+1)+(\pi-1)\big]=2\cdot 2\pi=4\pi$.

Odpowiedź: C.

W tym zadaniu musimy skorzystać z dwóch wzorów skróconego mnożenia, czyli \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całe wyrażenie możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$(3x+2)^2-(2x-3)^2=9x^2+12x+4-(4x^2-12x+9)= \\
=9x^2+12x+4-4x^2+12x-9=5x^2+24x-5$$

$(3x+2)^{2}=9x^{2}+12x+4$ oraz $(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$.

Różnica: $9x^{2}+12x+4-4x^{2}+12x-9=5x^{2}+24x-5$.

Odpowiedź: C.

Rozwiązanie

Ze wzoru $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $[(2a+b)-(2a-b)][(2a+b)+(2a-b)]=(2b)(4a)=8ab$.

Odpowiedź: B

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2a+b)^2-(2a-b)^2=4a^2+4ab+b^2-(4a^2-4ab+b^2)= \\
=4a^2+4ab+b^2-4a^2+4ab-b^2=8ab$$

Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tymi wzorami, całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$(2a-3)^2-(2a+3)^2=4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9)= \\
=4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a$$