Funkcja liniowa jest stała, gdy jej współczynnik kierunkowy:
Ajest dodatni
Bjest ujemny
Cwynosi zero
Dwynosi $1$
Dla $a=0$ wzór upraszcza się do $f(x)=b$ — wartość jest taka sama dla każdego $x$, więc funkcja jest stała. Wykresem jest prosta pozioma.
Odpowiedź: C. wynosi zero.
Zadanie nr 5
Firma płaci $50$ zł za dzień plus $20$ zł za każdą przepracowaną godzinę. Zapisz wynagrodzenie jako funkcję liczby godzin $x$.
Opłata stała to wyraz wolny, stawka godzinowa to współczynnik kierunkowy:
$$W(x)=20x+50$$
Odpowiedź: $W(x)=20x+50$.
Zadanie nr 6
Dla wynagrodzenia $W(x)=20x+50$ oblicz, ile godzin trzeba przepracować, aby zarobić $210$ zł.
Rozwiązujemy równanie $W(x)=210$:
$$20x+50=210$$
$$20x=160 \quad\Rightarrow\quad x=8$$
Sprawdzenie: $20\cdot8+50=210$ ✔
Odpowiedź: trzeba przepracować $8$ godzin.
Zadanie nr 7
Wykres funkcji liniowej $f(x)=2x-6$ przecina oś OX w punkcie:
A$(3,\,0)$
B$(0,\,-6)$
C$(-3,\,0)$
D$(6,\,0)$
Na osi OX zeruje się $y$, więc rozwiązujemy $2x-6=0$:
$$x=3$$
Punkt to $(3,\,0)$ — to zarazem miejsce zerowe funkcji.
Odpowiedź: A. $(3,\,0)$.
Zadanie nr 8
Zbiornik zawierał $100$ litrów wody i jest opróżniany w tempie $5$ litrów na minutę. Zapisz funkcję objętości wody po $t$ minutach i oblicz, po ilu minutach zbiornik będzie pusty.
Krok 1 — funkcja. Woda ubywa, więc współczynnik jest ujemny:
$$V(t)=100-5t$$
Krok 2 — zbiornik pusty przy $V(t)=0$:
$$100-5t=0 \quad\Rightarrow\quad t=20$$
Odpowiedź: $V(t)=100-5t$; zbiornik będzie pusty po $20$ minutach.
Zadanie nr 9
Które dwie proste są równoległe?
A$y=2x+1$ i $y=3x+1$
B$y=x$ i $y=-x$
C$y=2x$ i $y=\tfrac12 x$
D$y=2x+1$ i $y=2x-4$
Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. W parze D oba wynoszą $2$.
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 10
Dwie firmy kurierskie: pierwsza pobiera $15$ zł plus $2$ zł za kilometr, druga $5$ zł plus $4$ zł za kilometr. Przy jakiej liczbie kilometrów koszt będzie taki sam?
Krok 1 — modele:
$$K_1(x)=2x+15,\qquad K_2(x)=4x+5$$
Krok 2 — przyrównujemy:
$$2x+15=4x+5$$
$$10=2x \quad\Rightarrow\quad x=5$$
Sprawdzenie: $K_1(5)=25$, $K_2(5)=25$ ✔
Interpretacja: do $5$ km tańsza jest druga firma, powyżej — pierwsza.
Odpowiedź: przy $5$ km koszt jest równy ($25$ zł).
Zadanie nr 11
Funkcja liniowa przechodzi przez punkty $(0,\,2)$ i $(1,\,5)$. Jej współczynnik kierunkowy wynosi:
A$2$
B$3$
C$5$
D$\tfrac13$
$$a=\frac{5-2}{1-0}=\frac{3}{1}=3$$
Współczynnik kierunkowy to przyrost wartości przy wzroście argumentu o $1$.
Odpowiedź: B. $3$.
Zadanie nr 12
Temperatura wody spada liniowo. Po $2$ minutach wynosiła $80^\circ$C, po $5$ minutach $50^\circ$C. Wyznacz wzór funkcji temperatury.
Krok 1 — współczynnik kierunkowy (tempo zmian):
$$a=\frac{50-80}{5-2}=\frac{-30}{3}=-10$$
Temperatura spada o $10^\circ$ na minutę.
Krok 2 — wyraz wolny z podstawienia punktu $(2,\,80)$:
$$80=-10\cdot2+b \quad\Rightarrow\quad b=100$$
$$T(t)=-10t+100$$
Interpretacja: $b=100$ to temperatura początkowa (dla $t=0$).
Odpowiedź: $T(t)=-10t+100$.
Zadanie nr 13
Funkcja $f(x)=ax+b$ jest rosnąca i ma dodatni wyraz wolny. Który wykres to opisuje?
Aprosta opadająca, przecina OY poniżej zera
Bprosta pozioma
Cprosta wznosząca, przecina OY powyżej zera
Dprosta wznosząca, przecina OY poniżej zera
Funkcja rosnąca oznacza $a>0$ — prosta wznosi się. Dodatni wyraz wolny $b>0$ oznacza, że przecina oś OY powyżej zera (w punkcie $(0,\,b)$).
Odpowiedź: C.
Zadanie nr 14
Rower kosztuje $1200$ zł. Ala oszczędza $80$ zł tygodniowo i ma już $400$ zł. Po ilu tygodniach uzbiera na rower?
Dwa pociągi jadą po tym samym torze. Odległość pierwszego od stacji: $d_1(t)=60t$, drugiego: $d_2(t)=40t+30$ (w km, $t$ w godzinach). Po jakim czasie pierwszy dogoni drugiego?
Pierwszy dogania drugiego, gdy ich odległości od stacji są równe:
Plan telefoniczny A: $30$ zł miesięcznie bez limitu. Plan B: $10$ zł plus $0{,}20$ zł za minutę. Przy ilu minutach plany kosztują tyle samo i który jest tańszy przy $150$ minutach?
Plan B kosztuje $40$ zł, więc plan A ($30$ zł) jest tańszy.
Wniosek: powyżej $100$ minut opłaca się plan A bez limitu.
Odpowiedź: równowaga przy $100$ minutach; przy $150$ minutach tańszy jest plan A.
Zadanie nr 20
Świeca ma początkowo $24$ cm i skraca się o $3$ cm na godzinę. Zapisz funkcję długości, oblicz długość po $5$ godzinach i wyznacz dziedzinę wynikającą z treści zadania.
Krok 1 — funkcja długości:
$$L(t)=24-3t$$
Krok 2 — długość po $5$ godzinach:
$$L(5)=24-15=9\ \text{cm}$$
Krok 3 — dziedzina. Czas nie może być ujemny, a świeca istnieje, dopóki $L(t)\ge0$:
$$24-3t\ge0 \quad\Rightarrow\quad t\le8$$
Zatem sensowna dziedzina to $t\in\langle 0,\,8\rangle$ — po $8$ godzinach świeca całkowicie się wypali.
Odpowiedź: $L(t)=24-3t$; po $5$ h długość $9$ cm; dziedzina $\langle 0,\,8\rangle$.
Zadanie nr 13 · Matura 2026
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\). Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji \(f\) jest nachylony do osi \(Ox\) układu współrzędnych pod kątem o mierze \(\alpha\) (zobacz rysunek).
Zadanie 13.1. (1pkt) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią.
P
F
Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią.
P
F
Zadanie 13.2. (1pkt) Tangens kąta o mierze \(\alpha\) jest równy:
Zadanie 13.1.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z wykresu widać, że funkcja jest malejąca (wykres opada od lewej do prawej). Oznacza to, że współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny (\(a\lt0\)). Zdanie jest więc fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Współczynnik \(b\) to punkt przecięcia wykresu z osią \(OY\). Z wykresu odczytujemy, że prosta przecina oś \(OY\) w punkcie \((0,-3)\), zatem \(b=-3\), co jest liczbą ujemną. Zdanie jest więc fałszem.
Zadanie 13.2.
Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej.
Z wykresu możemy odczytać dwa punkty o współrzędnych całkowitych, przez które przechodzi prosta: \((-2,0)\) oraz \((0,-3)\). To pozwoli nam wyznaczyć wartość współczynnika kierunkowego \(a\):
$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\
a=\frac{-3-0}{0-(-2)} \\
a=-\frac{3}{2}$$
Krok 2. Związek tangensa z współczynnikiem kierunkowym.
Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi \(OX\), zatem \(tg\alpha=a=-\frac{3}{2}\).
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y).
Liczba \(a\) oraz \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki:
A\(a\gt0\) i \(b\gt0\)
B\(a\gt0\) i \(b\lt0\)
C\(a\lt0\) i \(b\gt0\)
D\(a\lt0\) i \(b\lt0\)
Widzimy, że nasza funkcja jest malejąca, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. To oznacza, że \(a\lt0\).
Dodatkowo widzimy, że wykres funkcji przecina oś \(OY\) w dodatnim miejscu, a to prowadzi nas do wniosku, że współczynnik \(b\) jest dodatni, czyli \(b\gt0\).
To oznacza, że liczby \(a\) oraz \(b\) spełniają warunki \(a\lt0\) i \(b\gt0\).
Zadanie nr 11 · Matura 2022
Punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=5x+b-4\). Wynika stąd, że \(b\) jest równe:
A\((-17)\)
B\((-13)\)
C\(13\)
D\(17\)
Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), wystarczy skorzystać z informacji o tym, że punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu funkcji. Podstawiając współrzędne tego punktu do podanego wzoru, otrzymamy:
$$-2=5\cdot3+b-4 \ ,\
-2=15+b-4 \ ,\
-2=11+b \ ,\
b=-13$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2022
Wykresy funkcji liniowych \(f\) i \(g\), określonych wzorami \(f(x)=ax+b\) i \(g(x)=bx-a\), przecinają się w punkcie \(M=(3,5)\). Zatem:
A\(a=\frac{6}{13}, b=\frac{9}{13}\)
B\(a=5, b=10\)
C\(a=\frac{5}{3}, b=\frac{10}{3}\)
D\(a=1, b=2\)
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać współrzędne miejsc przecięcia się funkcji, musimy rozwiązać układ równań składający się ze wzorów tych funkcji. My już wiemy, że współrzędne tego punktu to \(M=(3,5)\), zatem podstawmy \(x=3\) oraz \(y=5\) do wzorów obydwu funkcji:
\begin{cases} 5=a\cdot3+b \quad , \\ 5=b\cdot3-a \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania możemy teraz zapisać, że:
$$3a+b=3b-a \ ,\
4a=2b \ ,\
a=\frac{1}{2}b$$
Jeżeli teraz podstawimy wyznaczone \(a=\frac{1}{2}b\) do np. równania \(5=3a+b\), to otrzymamy:
$$5=3\cdot\frac{1}{2}b+b \ ,\
5=1,5b+b \ ,\
5=2,5b \ ,\
b=2$$
Wiedząc, że \(b=2\) i że \(a=\frac{1}{2}b\), wyjdzie nam, że:
$$a=\frac{1}{2}\cdot2 \ ,\
a=1$$
To oznacza, że warunki zadania są spełnione dla \(a=1, b=2\).
Zadanie nr 8 · Matura 2020
Punkt \(P=(-3,7)\) leży na wykresie funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=(2m-1)x+5\). Zatem:
A\(m=\frac{1}{6}\)
B\(m=-\frac{1}{6}\)
C\(m=\frac{5}{6}\)
D\(m=-\frac{5}{6}\)
Aby obliczyć wartość parametru \(m\) wystarczy do wzoru funkcji podstawić współrzędne punktu \(P\), zatem:
$$7=(2m-1)\cdot(-3)+5 \ ,\
7=-6m+3+5 \ ,\
7=-6m+8 \ ,\
-1=-6m \ ,\
m=\frac{1}{6}$$
Zadanie nr 11 · Próbny 2020
Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) osiąga wartości dodatnie tylko wtedy, gdy \(x\gt-2\). Punkt przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią \(OY\) to:
A\((0,4)\)
B\((0,-4)\)
C\((4,0)\)
D\((-2,0)\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z informacji o tym, że funkcja osiąga wartości dodatnie tylko wtedy, gdy \(x\) jest większy od \(-2\) wynika, że nasza funkcja musi wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:
To oznacza, że miejscem zerowym (czyli miejscem przecięcia się funkcji z osią iksów) jest punkt o współrzędnych \(A=(-2;0)\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
We wzorze naszej funkcji \(f(x)=2x+b\) brakuje nam współczynnika \(b\). Chcemy poznać wartość tego współczynnika, bowiem jedną z jego własności jest właśnie informowanie nas o miejscu przecięcia się funkcji z osią \(OY\). Aby poznać wartość tego współczynnika, musimy do wzoru funkcji podstawić współrzędne znanego nam punktu - w naszym przypadku będą to współrzędne miejsca zerowego. Podstawiając więc współrzędne \(A=(-2;0)\) otrzymamy:
$$0=2\cdot(-2)+b \ ,\
0=-4+b \ ,\
b=4$$
To oznacza, że pełnym wzorem naszej funkcji będzie \(f(x)=2x+4\).
Krok 3. Wyznaczenie punktu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(OY\).
Z własności współczynnika \(b\) wynika, że skoro \(b=4\), to funkcja przetnie oś \(OY\) dla igreka równego \(4\), czyli w punkcie o współrzędnych \((0;4)\).
Do tej samej informacji dojdziemy, gdy do wzoru podstawimy wartość \(x=0\):
$$f(0)=2\cdot0+4 \ ,\
f(0)=0+4 \ ,\
f(0)=4$$
Skoro dla \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość równą \(y=4\), to znaczy, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0;4)\) i to jest właśnie miejsce przecięcia się z osią \(OY\).
Zadanie nr 11 · Matura 2020
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem \(f(x)=ax+b\).
Współczynniki \(a\) oraz \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają zależność:
A\(a+b\gt0\)
B\(a+b=0\)
C\(a\cdot b\gt0\)
D\(a\cdot b\lt0\)
Krok 1. Analiza wartości współczynnika \(a\).
Widzimy, że nasza funkcja jest malejąca. To oznacza, że współczynnik \(a\) będzie na pewno liczbą ujemną, czyli możemy zapisać, że \(a\lt0\).
Krok 2. Analiza wartości współczynnika \(b\).
Własności współczynnika \(b\) związane są z miejscem przecięcia się funkcji z osią \(OY\). Widzimy, że funkcja przecina oś dla \(y=1\). Stąd też możemy być pewni, że \(b=1\).
Krok 3. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Z proponowanych odpowiedzi tylko ostatni wariant jest prawidłowy, bowiem mnożąc ujemną wartość \(a\) przez \(1\) otrzymamy liczbę mniejszą od zera.
Zadanie nr 12 · Próbny 2020
W symetrii osiowej względem osi \(OY\) obrazem wykresu funkcji liniowej \(f(x)=-\frac{1}{3}(x+1)+\frac{4}{3}\) jest prosta opisana równaniem:
A\(y=\frac{1}{3}x+1\)
B\(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)
C\(y=-\frac{1}{3}x+1\)
D\(y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}\)
Aby poznać wzór funkcji przekształconej względem osi \(OY\) wystarczy we wzorze zmienić znak stojący przed iksem. W tym przypadku dodatkowo będziemy musieli jeszcze uprościć cały zapis, a całość będzie wyglądać następująco:
$$y=-\frac{1}{3}(-x+1)+\frac{4}{3} \ ,\
y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{4}{3} \ ,\
y=\frac{1}{3}x+1$$
Zadanie nr 16 · Matura 2020
Punkt \(A=\left(\frac{1}{3},-1\right)\) należy do wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=3x+b\). Wynika stąd, że:
A\(b=2\)
B\(b=1\)
C\(b=-1\)
D\(b=-2\)
Aby poznać wartość współczynnika \(b\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji, zatem:
$$-1=3\cdot\frac{1}{3}+b \ ,\
-1=1+b \ ,\
b=-2$$
Zadanie nr 19 · Matura 2019
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\). Na wykresie tej funkcji leżą punkty \(A=(0, 4)\) i \(B=(2, 2)\).
Obrazem prostej \(AB\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji \(g\) określonej wzorem:
A\(g(x)=x+4\)
B\(g(x)=x-4\)
C\(g(x)=-x-4\)
D\(g(x)=-x+4\)
Możemy oczywiście wyznaczyć sobie wzór funkcji przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\), a następnie możemy przekształcić wzór tej funkcji, ale przekształcenia wzorów funkcji względem początku układu współrzędnych mogą być problematyczne, dlatego warto postąpić nieco sprytniej, a mianowicie najpierw przekształćmy punkty \(A\) oraz \(B\), a następnie wyznaczmy wzór funkcji, która przechodzi przez punkty \(A'B'\).
Krok 1. Przekształcenie punktów \(A\) oraz \(B\).
Przekształcając punkty względem początku układu współrzędnych musimy zmienić wartości współrzędnej iksowej oraz igrekowej na przeciwną, zatem:
$$A'=(0;-4) \ ,\
B'=(-2;-2)$$
To oznacza, że funkcja \(g(x)\) będzie prostą, która przechodzi przez punkty \(A'\) oraz \(B'\) i my teraz musimy wyznaczyć wzór tej prostej.
Krok 2. Wyznaczenie wzoru funkcji \(g(x)\).
Znając współrzędne dwóch punktów przez które przechodzi prosta możemy bez problemu wyznaczyć wzór tej funkcji. Skorzystamy z metody układu równań, który zbudujemy podstawiając do postaci kierunkowej \(y=ax+b\) współrzędne punktu \(A'\) oraz \(B'\):
$$\begin{cases} -4=0a+b \quad , \\ -2=-2a+b \end{cases}$$
Z pierwszego równania wychodzi nam wprost, że \(b=-4\). Możemy tę wartość podstawić teraz do drugiego równania, obliczając w ten sposób współczynnik \(a\):
$$-2=-2a+(-4) \ ,\
-2a=2 \ ,\
a=-1$$
To oznacza, że nasza funkcja \(g(x)\) wyraża się wzorem \(-1x-4\), czyli po prostu \(g(x)=-x-4\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2018
Do wykresu funkcji liniowej \(f\) należą punkty \((4,0)\) i \((0,2)\) oraz punkt:
A\((12,-2)\)
B\((12,-4)\)
C\((-12,28)\)
D\((-12,-10)\)
Krok 1. Wyznaczenie wzoru funkcji.
Często w takich zadaniach wystarczy dobry rysunek szkicowy. W tym konkretnym przypadku niektóre współrzędne są może zbyt blisko siebie (zwłaszcza z pierwszej i drugiej odpowiedzi), ale na pewno dzięki rysunkowi dałoby się na starcie odrzucić część odpowiedzi. Jednak żeby nie kombinować z rysunkiem, to podejdźmy do tego zadania nieco bardziej matematycznie.
Aby rozwiązać to zadanie musimy najpierw wyznaczyć wzór funkcji. Jak już poznamy wzór funkcji to podstawimy do niego \(x=12\) oraz \(x=-12\) i sprawdzimy kiedy otrzymamy poprawną wartość współrzędnej igrekowej. Sam wzór możemy oczywiście wyznaczyć w tradycyjny sposób (np. budując układ równań), ale tutaj da się poznać ten wzór w nieco sprytniejszy sposób. Widzimy, że funkcja przecina oś igreków dla \(y=2\), bo przechodzi przez punkt \((0;2)\). W związku z tym wiemy już, że funkcja liniowa \(y=ax+b\) ma współczynnik \(b=2\). To oznacza, ze funkcja przybiera postać \(y=ax+2\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\), który poznamy podstawiając do wyznaczonego przed chwilą równania współrzędne punktu \((4;0)\):
$$0=4a+2 \ ,\
4a=-2 \ ,\
a=-\frac{1}{2}$$
To oznacza, że wzorem funkcji jest \(y=-\frac{1}{2}x+2\).
Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=12\) oraz \(x=-12\).
Teraz zgodnie z odpowiedziami musimy sprawdzić wartości tej funkcji dla \(x=12\) oraz \(x=-12\):
Gdy \(x=12\) to:
$$y=-\frac{1}{2}\cdot12+2 \ ,\
y=-6+2 \ ,\
y=-4$$
Gdy \(x=-12\) to:
$$y=-\frac{1}{2}\cdot(-12)+2 \ ,\
y=6+2 \ ,\
y=8$$
W związku z tym wyszło nam, że ta funkcja przechodzi przez punktu o współrzędnych \((12;-4)\) oraz \((-12;8)\), zatem prawidłowa jest odpowiedź druga.
Zadanie nr 9 · Matura 2018
Punkt \((1,\sqrt{3})\) należy do wykresu funkcji \(y=2\sqrt{3}x+b\). Współczynnik \(b\) jest równy:
A\(7\)
B\(3\sqrt{3}\)
C\(-5\)
D\(-\sqrt{3}\)
Aby poznać współczynnik \(b\) wystarczy podstawić współrzędne znanego nam punktu do wzoru funkcji. Podstawiając \(x=1\) oraz \(y=\sqrt{3}\) otrzymamy:
$$y=2\sqrt{3}x+b \ ,\
\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot1+b \ ,\
\sqrt{3}=2\sqrt{3}+b \quad\bigg/-2\sqrt{3} \ ,\
b=-\sqrt{3}$$
Zadanie nr 9 · Próbny 2018
Wykres funkcji liniowej \(f(x)=\frac{8-3x}{2}\) przecina osie układu współrzędnych w punktach \(A\) i \(B\). Pole trójkąta \(ABO\), w którym punkt \(O\) jest początkiem układu współrzędnych, wynosi:
A\(10\frac{2}{3}\)
B\(5\frac{1}{3}\)
C\(21\frac{1}{3}\)
D\(7\frac{1}{2}\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby wiedzieć co będziemy liczyć, to zróbmy sobie prosty rysunek pomocniczy:
Z rysunku wynika, że jak poznamy współrzędne punktóW \(A\) oraz \(B\) to tak naprawdę poznamy długości boków naszego trójkąta, a stąd będzie już prosta droga do obliczenia pola figury.
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Punkt \(A\) będzie miejscem przecięcia się funkcji z osią igreków. Funkcja przecina się z osią igreków dla argumentu \(x=0\), zatem już wiemy, że \(A=(0;y)\). Podstawiając \(x=0\) otrzymamy współrzędną igrekową punktu \(A\), czyli:
$$f(0)=\frac{8-3\cdot0}{2} \ ,\
f(0)=\frac{8-0}{2} \ ,\
f(0)=\frac{8}{2} \ ,\
f(0)=4$$
To oznacza, że funkcja przecina oś igreków w punkcie \(A=(0;4)\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Punkt \(B\) będzie miejscem przecięcia się funkcji z osią iksów. Funkcja przecina się z osią iksów dla wartości \(y=0\), zatem już wiemy, że \(B=(x;0)\). Podstawiając \(y=0\) otrzymamy współrzędną iksową punktu \(B\), czyli:
$$0=\frac{8-3x}{2} \ ,\
0=8-3x \ ,\
3x=8 \ ,\
x=\frac{8}{3}$$
To oznacza, że funkcja przecina oś iksów w punkcie \(B=\left(\frac{8}{3};0\right)\).
Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Po wyznaczeniu współrzędnych punktów \(A\) oraz \(B\) i po spojrzeniu na nasz szkicowych rysunek jasno wynika, że podstawa trójkąta ma długość \(a=\frac{8}{3}\), natomiast wysokość trójkąta to \(h=4\). Pole tego trójkąta będzie więc równe:
$$P=\frac{1}{2}ah \ ,\
P=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot4 \ ,\
P=\frac{32}{6} \ ,\
P=5\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2018
Liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), a punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik \(a\) we wzorze tej funkcji jest równy:
A\(1\)
B\(\frac{3}{2}\)
C\(-\frac{3}{2}\)
D\(-1\)
Krok 1. Ustalenie współrzędnych punktów przez które przechodzi funkcja.
Z zadania wynika, że funkcja przyjmuje miejsce zerowe dla \(x=1\), zatem pierwszym punktem przez który przechodzi wykres tej funkcji będzie punkt \(A=(1,0)\). Drugi punkt jest podany wprost i jest to \(M=(3,-2)\).
Krok 2. Obliczenie współczynnika \(a\).
Kiedy znamy współrzędne dwóch punktów przez które przechodzi dana prosta, to współczynnik kierunkowy możemy obliczyć w następujący sposób:
$$a=\frac{y_{M}-y_{A}}{x_{M}-x_{A}} \ ,\
a=\frac{-2-0}{3-1} \ ,\
a=\frac{-2}{2} \ ,\
a=-1$$
Jeżeli nie pamiętamy o tym, że taki wzór istnieje, to możemy zbudować odpowiedni układ równań z którego wyznaczymy poszukiwany współczynnik \(a\). Do wzoru funkcji \(f(x)=ax+b\) musimy podstawić raz współrzędne punktu \(A\) i drugi raz współrzędne punktu \(M\), otrzymując taką oto sytuację:
$$\begin{cases} 0=1a+b \quad , \\ -2=3a+b \end{cases}$$
Najprościej rozwiążemy ten układ odejmując te równania stronami:
$$2=-2a \ ,\
a=-1$$
Zadanie nr 7 · Matura 2016
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\), przy czym \(f(0)=-2\) i \(f(1)=0\).
Wykres funkcji \(g\) jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem początku układu współrzędnych. Funkcja \(g\) jest określona wzorem:
A\(g(x)=2x+2\)
B\(g(x)=2x-2\)
C\(g(x)=-2x+2\)
D\(g(x)=-2x-2\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Nie jest to krok obowiązkowy, ale z pewnością ułatwi nam wybór prawidłowej odpowiedzi. To co najważniejsze w tym rysunku to fakt, że dzięki niemu widzimy wyraźnie, że funkcja \(g(x)\) przecina oś \(Oy\) w miejscu \(A=(0;2)\). Przyda nam się to do wyznaczenia współczynnika \(b\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\) funkcji \(g(x)\).
Funkcja \(g(x)\) jest funkcją liniową, tak więc możemy zapisać ją w postaci \(g(x)=ax+b\). Aby poznać pełny wzór funkcji musimy obliczyć (albo odczytać z wykresu) wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od współczynnika \(b\), który bardzo szybko odczytamy z miejsca przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) na wysokości dwóch jednostek, to \(b=2\).
W ten oto sposób wiemy już, że prawidłowa jest albo pierwsza, albo trzecia odpowiedź.
Krok 3. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) funkcji \(g(x)\).
Funkcja \(g(x)\) jest funkcją rosnącą. To oznacza, że współczynnik \(a\) musi być dodatni, więc pasowałyby nam tylko dwie pierwsze odpowiedzi. Drugą odpowiedź odrzuciliśmy jednak już wcześniej ze względu na współczynnik \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że nasza funkcja ma następujący wzór: \(g(x)=2x+2\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2015
Wykres funkcji liniowej \(f(x)=3x-2\) odbito symetrycznie względem osi \(Oy\). Otrzymano wykres funkcji:
A\(g(x)=-3x+2\)
B\(g(x)=3x+2\)
C\(g(x)=-3x-2\)
D\(g(x)=3x-2\)
Wykonując symetrię funkcji względem osi igreków zmienia nam się na przeciwny znak współczynnika kierunkowego \(a\). Skoro początkowa funkcja ma \(a=3\), to jej odbicie symetryczne względem osi igreków będzie mieć \(a=-3\). To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja przyjmuje wzór \(g(x)=-3x-2\).
Zadanie nr 9 · Matura 2015
Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) leży punkt \(S=(5,-2)\). Zatem:
A\(m=-1\)
B\(m=0\)
C\(m=1\)
D\(m=2\)
Skoro punkt \(S=(5,-2)\) należy do funkcji, to możemy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i w ten sposób wyliczyć parametr \(m\).
$$-2=(m-1)\cdot5+3 \ ,\
-2=5m-5+3 \ ,\
-2=5m-2 \ ,\
5m=0 \ ,\
m=0$$
Zadanie nr 9 · Matura 2015
Punkt \(M=(\frac{1}{2},3)\) należy do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=(3-2a)x+2\). Wtedy:
A\(a=-\frac{1}{2}\)
B\(a=2\)
C\(a=\frac{1}{2}\)
D\(a=-2\)
Skoro punkt \(M\) należy do wykresu funkcji \(f(x)\), to możemy do jej wzoru podstawić współrzędne tego punktu, wyznaczając w ten sposób wartość niewiadomej \(a\). Otrzymamy wtedy:
$$3=(3-2a)\cdot\frac{1}{2}+2 \ ,\
3=1\frac{1}{2}-a+2 \ ,\
3=3\frac{1}{2}-a \ ,\
-\frac{1}{2}=-a \ ,\
a=\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 11 · Matura 2015
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji liniowej \(f\).
Funkcja liniowa \(g\), której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem poziomej osi układu współrzędnych, jest określona wzorem:
A\(g(x)=-2x-2\)
B\(g(x)=2x-2\)
C\(g(x)=-2x+2\)
D\(g(x)=2x+2\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Poziomą osią układu współrzędnych jest oś iksów. To oznacza, że funkcja \(g\) będzie wyglądać w ten oto sposób:
Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji \(g(x)\).
Nasza funkcja będzie na pewno wyrażona wzorem w postaci \(g(x)=ax+b\). Musimy tylko ustalić jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od ustalenia współczynnika kierunkowego \(a\). Wykres funkcji \(g(x)\) jest prostą rosnącą, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od zera. Z tego wynika, że interesują nas już tylko dwie odpowiedzi: B oraz D. Musimy jeszcze ustalić wartość współczynnika \(b\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu funkcja przecina oś igreków. W naszym przypadku funkcja \(g(x)\) przecina oś igreków dla \(y=-2\), zatem \(b=-2\).
To oznacza, że funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x)=2x-2\).
Zadanie nr 12 · Matura 2015
Wykres funkcji liniowej \(y=2x-3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych:
A\((0,-3)\)
B\((-3,0)\)
C\((0,2)\)
D\((0,3)\)
O miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\) decyduje współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-3\). To oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;-3)\).
Zadanie nr 14 · Próbny 2015
Prosta o równaniu \(y=4x+1\) przecina osie układu współrzędnych w punktach:
A\((1,0)\) i \((0,\frac{1}{4})\)
B\((1,0)\) i \((0,-\frac{1}{4})\)
C\((0,1)\) i \((-\frac{1}{4},0)\)
D\((0,1)\) i \((\frac{1}{4},0)\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsca przecięcia się z osią iksów.
Z osią iksów prosta przetnie się wtedy, kiedy jej wartość będzie równa \(y=0\), zatem:
$$4x+1=0 \ ,\
4x=-1 \ ,\
x=-\frac{1}{4}$$
To oznacza, że prosta przetnie się z osią iksów w punkcie \(\left(-\frac{1}{4},0\right)\).
Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się z osią igreków.
Z osią igreków prosta przetnie się wtedy, kiedy jej argument będzie równy \(x=0\), zatem:
$$y=4\cdot0+1 \ ,\
y=1$$
To oznacza, że prosta przetnie się z osią igreków w punkcie \((0,1)\).
Zadanie nr 18 · Matura 2014
O funkcji liniowej \(f\) wiadomo, że \(f(1)=2\). Do wykresu tej funkcji należy punkt \(P=(-2,3)\). Wzór funkcji \(f\) to:
A\(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\)
B\(f(x)=-\frac{1}{2}x+2\)
C\(f(x)=-3x+7\)
D\(f(x)=-2x+4\)
Krok 1. Obliczenie współczynnika \(a\) funkcji \(f\).
Poszukiwana funkcja ma postać \(y=ax+b\). Na podstawie danych z zadania możemy stworzyć prosty układ równań. W pierwszym równaniu wykorzystamy informację, że \(f(1)=2\), czyli podstawimy \(x=1\) oraz \(y=2\). W drugim równaniu podstawimy współrzędne punktu, czyli \(x=-2\) oraz \(y=3\). Tak oto powstaje nam układ równań:
\begin{cases} 2=1a+b \quad , \\ 3=-2a+b \end{cases}
Powstały układ równań możemy obliczyć dowolną metodą (np. wyznaczając z pierwszego równania \(b=2-a\) i podstawiając tę wartość do drugiego równania). Najprościej jest jednak odjąć obie strony równania, otrzymując:
$$-1=3a \ ,\
a=-\frac{1}{3}$$
W ten oto sposób wiemy już, że poszukiwana funkcja ma postać \(y=-\frac{1}{3}+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), choć już w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie tego zadania, bo już na podstawie tylko i wyłącznie współczynnika \(a\) możemy odrzucić odpowiedzi \(B\), \(C\) oraz \(D\). Obliczmy jednak dla wprawy także i współczynnik \(b\).
Krok 2. Obliczenie współczynnika \(b\).
Korzystając z dowolnego z równań z układu współrzędnych i podstawiając za \(a=-\frac{1}{3}\) otrzymamy:
$$2=1a+b \ ,\
2=-\frac{1}{3}+b \ ,\
b=\frac{7}{3}$$
Poszukiwana funkcja jest opisana wzorem: \(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\).
Zadanie nr 5 · Matura 2013
Punkt \(A=(0,1)\) leży na wykresie funkcji liniowej \(f(x)=(m-2)x+m-3\). Stąd wynika, że:
A\(m=1\)
B\(m=2\)
C\(m=3\)
D\(m=4\)
Skoro wykres funkcji przechodzi przez punkt \(A=(0;1)\) to po podstawieniu \(x=0\) wartość tej funkcji musi być równa \(1\). Stąd też:
$$(m-2)\cdot0+m-3=1 \ ,\
0+m-3=1 \ ,\
m=4$$
Zadanie nr 9 · Matura 2013
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej \(y=ax+b\).
Jakie znaki mają współczynniki \(a\) i \(b\)?
A\(a\lt0\) i \(b\lt0\)
B\(a\lt0\) i \(b\gt0\)
C\(a\gt0\) i \(b\lt0\)
D\(a\gt0\) i \(b\gt0\)
Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja jest malejąca, a to oznacza, że \(a\lt0\).
Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) wskazuje nam w którym miejscu wykres funkcji \(y=ax+b\) przecina się z osią \(Oy\). Przykładowo gdy \(b=-2\), to wykres przecina oś w miejscu \(A=(0,-2)\). Widzimy wyraźnie, że nasza funkcja przecina oś \(Oy\) pod osią \(Ox\), a więc, a więc \(b\lt0\).
Zadanie nr 18 · Matura 2012
Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\gt0\) i \(b\lt0\). Wskaż ten wykres.
A
B
C
D
Współczynnik kierunkowy \(a\gt0\) oznacza, że funkcja jest rosnąca.
Współczynnik \(b\lt0\) oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) pod osią \(Ox\).
Obydwa te warunki spełnia jedynie wykres z odpowiedzi \(C\).
Zadanie nr 5 · Matura 2011
Do wykresu funkcji liniowej \(f\) należą punkty \(A=(1,2)\) i \(B=(-2,5)\). Funkcja \(f\) ma wzór:
A\(f(x)=x+3\)
B\(f(x)=x-3\)
C\(f(x)=-x-3\)
D\(f(x)=-x+3\)
Teoretycznie możemy do wzoru każdej z funkcji podstawić najpierw współrzędne \(A\), później współrzędne punktu \(B\) i sprawdzić w którym przypadku obydwa równania będą poprawne. Możemy jednak samodzielnie wyznaczyć wzór tej funkcji, tworząc pewien układ równań.
Krok 1. Zapisanie układu równań.
Funkcje liniowe są opisane wzorem ogólnym \(y=ax+b\). Stwórzmy więc dwa równania - w pierwszym podstawimy do tego wzoru współrzędne punktu \(A\), w drugim współrzędne punktu \(B\). Otrzymamy w ten sposób:
\begin{cases} 2=1a+b \quad , \\ 5=-2a+b \end{cases}
Krok 2. Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie współczynników \(a\) oraz \(b\).
Odejmując to równanie stronami skrócą nam się współczynniki \(b\), dzięki czemu otrzymamy:
$$2-5=a-(-2a) \ ,\
-3=3a \ ,\
a=-1$$
Podstawiając wartość \(a=-1\) do jednego z równań wyznaczymy wartość współczynnika \(b\):
$$2=-1+b \ ,\
b=3$$
To oznacza, że poszukiwana funkcja ma wzór: \(f(x)=-1x+3\), czyli \(f(x)=-x+3\).
Zadanie nr 9 · Matura 2011
Dane są funkcje liniowe \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=x+4\) określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\).
A
B
C
D
Krok 1. Ustalenie wzoru funkcji \(h(x)\).
Zgodnie z treścią zadania nasza funkcja \(h(x)\) jest iloczynem funkcji \(f(x)\) oraz \(g(x)\), zatem:
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)\cdot(x+4)$$
Powyższy zapis jest już tak naprawdę wzorem naszej funkcji \(h(x)\) w postaci iloczynowej. Możemy też wymnożyć te wyrazy i zapisać wzór w postaci ogólnej, choć nie jest to konieczne:
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)\cdot(x+4)=x^2+2x-8$$
Dzięki postaci ogólnej wiemy już, że funkcja \(h(x)\) jest na pewno parabolą, której ramiona są skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) stojący przed \(x^2\) jest dodatni.
Krok 2. Ustalenie miejsc zerowych funkcji.
Choć w pierwszym kroku zapisaliśmy wzór funkcji \(h(x)\) w postaci ogólnej i śmiało moglibyśmy z niej obliczyć miejsca zerowe za pomocą delty, to jednak łatwiej będzie skorzystać z postaci iloczynowej, czyli ze wzoru \(h(x)=(x-2)(x+4)\). Wystarczy teraz przyrównać wartości w nawiasach do zera, a więc:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0 \ ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-4$$
Krok 3. Wybór właściwego wykresu.
Wiemy, że nasza parabola ma ramiona skierowane ku górze, że jej miejscami zerowymi są \(x=2\) oraz \(x=-4\), a więc bez żadnych wątpliwości jesteśmy w stanie stwierdzić, że poszukiwanym wykresem jest ten z pierwszej odpowiedzi.
Zadanie nr 12 · Matura 2010
Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej \(y=ax+b\) takiej, że \(a\gt0\) i \(b\lt0\)?
A
B
C
D
Skoro \(a\gt0\) to funkcja musi być rosnąca.
Skoro \(b\lt0\) to funkcja musi przecinać oś \(Oy\) w ujemnym punkcie (pod osią \(Ox\)).
Obydwa warunki spełnia jedynie wykres zaprezentowany w trzeciej odpowiedzi.
Zadanie nr 50 · Matura
Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=-x^2+2x+3\). Funkcja liniowa \(g\) określona jest wzorem \(g(x)=-x+5\). Oblicz współrzędne punktów, w których przecinają się wykresy funkcji \(y=f(x)\) oraz funkcji \(y=g(x)\).
Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać współrzędne punktów przecięcia się wykresów, wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases} y=-x^2+2x+3 \quad , \\ y=-x+5 \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$-x^2+2x+3=-x+5 \ ,\
-x^2+3x-2=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=3,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)=9-8=1 \ ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktów przecięcia się wykresów funkcji.
Otrzymaliśmy dwie różne współrzędne \(x\) i jest to sytuacja jak najbardziej poprawna, ponieważ te dwa wykresy przetną się w dwóch miejscach. Obliczmy teraz współrzędne \(y\) dla każdego z punktów. W tym celu podstawmy np. do równania \(y=-x+5\) wyliczone współrzędne \(x\).
Gdy \(x=2\), to:
\(y=-2+5 \ ,\
y=3\)
Gdy \(x=1\), to:
\(y=-1+5 \ ,\
y=4\)
To oznacza, że te wykresy przecinają się w punktach \((2;3)\) oraz \((1;4)\).
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
