Własności funkcji liniowej

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$:

$$2x-8=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Odpowiedź: C. Sprawdzenie: $f(4)=8-8=0$. ✔

W modelu liniowym $K(x)=ax+b$ wyraz wolny $b$ to wartość dla $x=0$ — tutaj koszt przy zerze kilometrów, czyli opłata początkowa.

Współczynnik $a=3$ to cena za każdy kilometr.

Odpowiedź: B. opłatę początkową.

O monotoniczności decyduje znak współczynnika kierunkowego $a$.

Tutaj $a=-3<0$, więc funkcja jest malejąca.

Odpowiedź: B. Wyraz wolny $b=7$ nie wpływa na monotoniczność — przesuwa jedynie wykres wzdłuż osi $OY$.

Podstawiamy $x=10$:

$$K(10)=3\cdot10+8=30+8=38$$

Odpowiedź: koszt to $38$ zł.

1. $-2x+6=0 \Rightarrow x=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — to wyraz wolny (punkt przecięcia z $Oy$), nie miejsce zerowe.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-2}{3-1}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — postać kierunkowa przez punkt $A=(1,2)$:

$$y-2=3(x-1) \quad\Rightarrow\quad y=3x-1$$

Odpowiedź: $y=3x-1$.

Sprawdzenie: dla $x=3$ mamy $y=9-1=8$ — punkt $B$ leży na prostej. ✔

O monotoniczności decyduje znak współczynnika kierunkowego:

$$a=-2<0 \quad\Rightarrow\quad \text{funkcja maleje}$$

Odpowiedź: funkcja maleje.

1. Rosnąca ⇔ $2m-4\gt 0 \Rightarrow m\gt 2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — warunek funkcji malejącej; C — rozwiązane $m-4\gt 0$ bez dzielenia.

Na osi $OY$ zachodzi $x=0$:

$$f(0)=5\cdot0-10=-10$$

Odpowiedź: A — punkt $(0,-10)$.

Uwaga: punkt $(2,0)$ to miejsce zerowe, czyli przecięcie z osią $OX$ — łatwo je pomylić.

Dla $a=0$ wzór upraszcza się do $f(x)=b$ — wartość jest taka sama dla każdego $x$, więc funkcja jest stała. Wykresem jest prosta pozioma.

Odpowiedź: C. wynosi zero.

1. $a=\dfrac{-3-3}{2-(-1)}=\dfrac{-6}{3}=-2$.
2. $3=-2\cdot(-1)+b \Rightarrow b=1$, więc $y=-2x+1$.
3. Kontrola $B$: $-4+1=-3$ ✓.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — odwrócony iloraz przyrostów; B — przechodzi przez $A$, ale nie przez $B$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy. Z warunku prostopadłości $a_1a_2=-1$:

$$2\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-\frac{1}{2}$$

Krok 2 — wyraz wolny. Prosta przechodzi przez $(0,3)$, czyli przecina oś $OY$ w $3$, więc $b=3$.

Odpowiedź: $y=-\frac{1}{2}x+3$.

Opłata stała to wyraz wolny, stawka godzinowa to współczynnik kierunkowy:

$$W(x)=20x+50$$

Odpowiedź: $W(x)=20x+50$.

1. Równoległa → $a=3$. $5=3\cdot1+b \Rightarrow b=2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to prosta prostopadła przez $P$; C — wpisany $y_0$ zamiast wyliczonego $b$.

Sprawdzamy kolejno, podstawiając odciętą:

$f(2)=-2+6=4$ — punkt $(2,4)$ pasuje. ✔

$f(6)=-6+6=0\ne6$, $\quad f(0)=6\ne-6$.

Odpowiedź: A.

Rozwiązujemy równanie $W(x)=210$:

$$20x+50=210$$

$$20x=160 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Sprawdzenie: $20\cdot8+50=210$ ✔

Odpowiedź: trzeba przepracować $8$ godzin.

1. $(m-1)\cdot\tfrac12=-1 \Rightarrow m-1=-2 \Rightarrow m=-1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — warunek równoległości $m-1=\tfrac12$; B — zgubiony minus ($m-1=2$).

Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy wynosi zero:

$$m-2=0 \quad\Rightarrow\quad m=2$$

Odpowiedź: $m=2$.

Sprawdzenie: dla $m=2$ mamy $f(x)=5$ — funkcja stała, jej wykresem jest prosta pozioma.

Na osi OX zeruje się $y$, więc rozwiązujemy $2x-6=0$:

$$x=3$$

Punkt to $(3,\,0)$ — to zarazem miejsce zerowe funkcji.

Odpowiedź: A. $(3,\,0)$.

1. Wykres przechodzi przez $(0,2)$ i $(4,0)$: $b=2\gt 0$.
2. Funkcja maleje: $a=\dfrac{0-2}{4-0}=-\tfrac12\lt 0$.

Odpowiedź: A

Funkcja liniowa rośnie, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni:

$$m-2>0 \quad\Rightarrow\quad m>2$$

Odpowiedź: $m\in(2,+\infty)$.

Analogicznie: dla $m<2$ funkcja maleje, a dla $m=2$ jest stała.

Krok 1 — funkcja. Woda ubywa, więc współczynnik jest ujemny:

$$V(t)=100-5t$$

Krok 2 — zbiornik pusty przy $V(t)=0$:

$$100-5t=0 \quad\Rightarrow\quad t=20$$

Odpowiedź: $V(t)=100-5t$; zbiornik będzie pusty po $20$ minutach.

1. Miejsce zerowe $f$: $2x-8=0 \Rightarrow x=4$.
2. $g(4)=0$: $4a+3=0 \Rightarrow a=-\tfrac34$.

Odpowiedź: A

Krok 1. Pierwsze równanie podaje już $y$, więc podstawiamy je do drugiego:

$$3x+(2x-1)=9$$

Krok 2. Rozwiązujemy względem $x$:

$$5x-1=9 \quad\Rightarrow\quad 5x=10 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3. Wracamy po $y$:

$$y=2\cdot2-1=3$$

Odpowiedź: $x=2$, $y=3$.

Sprawdzenie: $3\cdot2+3=9$. ✔

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. W parze D oba wynoszą $2$.

Odpowiedź: D.

1. 1. $f(0)=6$, więc wykres przecina $Oy$ w $(0,6)$ — prawda.
2. 2. $a=-3\lt 0$, więc $\operatorname{tg}\alpha\lt 0$ i kąt nachylenia jest rozwarty — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Porównujemy proporcje współczynników:

$$\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},\qquad \frac{5}{12}\ne\frac{1}{2}$$

Współczynniki przy niewiadomych są proporcjonalne, ale wyrazy wolne już nie — proste są równoległe i rozłączne, więc układ jest sprzeczny.

Odpowiedź: B. Gdyby po prawej stronie było $10$, układ byłby nieoznaczony.

Krok 1 — modele:

$$K_1(x)=2x+15,\qquad K_2(x)=4x+5$$

Krok 2 — przyrównujemy:

$$2x+15=4x+5$$

$$10=2x \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Sprawdzenie: $K_1(5)=25$, $K_2(5)=25$ ✔

Interpretacja: do $5$ km tańsza jest druga firma, powyżej — pierwsza.

Odpowiedź: przy $5$ km koszt jest równy ($25$ zł).

1. $\operatorname{tg}\alpha=a=\sqrt3$, a $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$, więc $\alpha=60^\circ$.

Odpowiedź: $60^\circ$

Szukamy $f(x)=ax+b$. Warunki dają układ:

$$\begin{cases}a+b=3 \\ -2a+b=-3\end{cases}$$

Odejmujemy stronami (metoda przeciwnych współczynników):

$$3a=6 \quad\Rightarrow\quad a=2$$

Z pierwszego równania: $2+b=3$, więc $b=1$.

Odpowiedź: $f(x)=2x+1$.

Sprawdzenie: $f(-2)=-4+1=-3$. ✔

$$a=\frac{5-2}{1-0}=\frac{3}{1}=3$$

Współczynnik kierunkowy to przyrost wartości przy wzroście argumentu o $1$.

Odpowiedź: B. $3$.

1. Prostopadła: $a=-\tfrac12$. $1=-\tfrac12\cdot4+b \Rightarrow b=3$, więc $l:\ y=-\tfrac12x+3$.
2. Przecięcie: $2x-3=-\tfrac12x+3 \Rightarrow \tfrac52x=6 \Rightarrow x=\tfrac{12}5$.
3. $y=2\cdot\tfrac{12}5-3=\tfrac95$. Punkt $\left(\tfrac{12}5,\tfrac95\right)$.

Odpowiedź: $l:\ y=-\tfrac12x+3$, punkt przecięcia $\left(\tfrac{12}5,\tfrac95\right)$

Krok 1 — punkty przecięcia z osiami.

Z osią $OY$ ($x=0$): $y=6$, czyli punkt $(0,6)$.

Z osią $OX$ ($y=0$): $-2x+6=0$, więc $x=3$, czyli punkt $(3,0)$.

Krok 2 — pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych leżących na osiach:

$$P=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6=9$$

Odpowiedź: pole wynosi $9$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy (tempo zmian):

$$a=\frac{50-80}{5-2}=\frac{-30}{3}=-10$$

Temperatura spada o $10^\circ$ na minutę.

Krok 2 — wyraz wolny z podstawienia punktu $(2,\,80)$:

$$80=-10\cdot2+b \quad\Rightarrow\quad b=100$$

$$T(t)=-10t+100$$

Interpretacja: $b=100$ to temperatura początkowa (dla $t=0$).

Odpowiedź: $T(t)=-10t+100$.

Krok 1 — wzór funkcji. Koszt zależy liniowo od liczby kilometrów $x$:

$$k(x)=3x+8$$

Opłata początkowa to wyraz wolny, cena za kilometr — współczynnik kierunkowy.

Krok 2 — rozwiązanie równania:

$$3x+8=38 \quad\Rightarrow\quad 3x=30 \quad\Rightarrow\quad x=10$$

Odpowiedź: $k(x)=3x+8$; przejechano $10$ km.

Funkcja rosnąca oznacza $a>0$ — prosta wznosi się. Dodatni wyraz wolny $b>0$ oznacza, że przecina oś OY powyżej zera (w punkcie $(0,\,b)$).

Odpowiedź: C.

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:

$$m+1=4 \quad\Rightarrow\quad m=3$$

Odpowiedź: $m=3$.

Uwaga: wyrazy wolne ($-3$ i $2$) są różne, więc proste są rozłączne, a nie pokrywające się — to poprawna równoległość.

Krok 1 — model oszczędności:

$$S(t)=80t+400$$

Krok 2 — rozwiązujemy $S(t)=1200$:

$$80t+400=1200 \quad\Rightarrow\quad 80t=800 \quad\Rightarrow\quad t=10$$

Sprawdzenie: $80\cdot10+400=1200$ ✔

Odpowiedź: po $10$ tygodniach.

$$-2x+6=0 \quad\Rightarrow\quad -2x=-6 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Odpowiedź: D. Przy dzieleniu przez liczbę ujemną łatwo pomylić znak — warto sprawdzić: $f(3)=-6+6=0$. ✔

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny:

$$m-3<0 \quad\Rightarrow\quad m<3$$

Odpowiedź: dla $m\in(-\infty,\,3)$.

$$a=\frac{2-0}{4-0}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5$$

Odpowiedź: C.

Uwaga: odwrócenie ułamka dałoby błędne $2$ — w liczniku zawsze różnica rzędnych ($y$), w mianowniku odciętych ($x$).

Warunek prostopadłości: $a_1\cdot a_2=-1$. Dla $a_1=-\tfrac13$:

$$-\tfrac13\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=3$$

Odpowiedź: A. $3$.

Gdy $a\ne0$, prosta nie jest pozioma i „przebiega” przez wszystkie wysokości — funkcja przyjmuje każdą wartość rzeczywistą.

Odpowiedź: B.

Wyjątek: dla $a=0$ funkcja jest stała, a zbiorem wartości jest $\{b\}$ — zbiór jednoelementowy.

Pierwszy dogania drugiego, gdy ich odległości od stacji są równe:

$$60t=40t+30$$

Rozwiązujemy:

$$20t=30 \quad\Rightarrow\quad t=1{,}5\ \text{h}$$

Sprawdzenie: $d_1(1{,}5)=90$ km, $d_2(1{,}5)=60+30=90$ km ✔

Interpretacja: drugi pociąg miał przewagę $30$ km, ale pierwszy jedzie o $20$ km/h szybciej, więc nadrabia $30$ km w $1{,}5$ godziny.

Odpowiedź: po $1{,}5$ godziny.

$$3x-6>0 \quad\Rightarrow\quad 3x>6 \quad\Rightarrow\quad x>2$$

$$x\in(2,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(2,+\infty)$.

Uwaga: dzielimy przez liczbę dodatnią ($3$), więc kierunek nierówności się nie zmienia. Przy dzieleniu przez liczbę ujemną trzeba by go odwrócić.

Krok 1 — wyraz wolny. Wartość dla $x=0$ to $b$, więc $b=-8$.

Krok 2 — wykorzystujemy miejsce zerowe $x=4$ (wtedy $y=0$):

$$0=a\cdot4+(-8) \quad\Rightarrow\quad 4a=8 \quad\Rightarrow\quad a=2$$

$$y=2x-8$$

Sprawdzenie: $f(4)=8-8=0$ ✔, $f(0)=-8$ ✔

Odpowiedź: $y=2x-8$.

Korzystamy z postaci kierunkowej przez punkt:

$$y-y_0=a(x-x_0)$$

$$y-5=-3(x-2)$$

$$y-5=-3x+6 \quad\Rightarrow\quad y=-3x+11$$

Odpowiedź: $y=-3x+11$.

Sprawdzenie: dla $x=2$ mamy $y=-6+11=5$. ✔

Krok 1 — modele:

$$K_A=30,\qquad K_B(x)=0{,}2x+10$$

Krok 2 — punkt równowagi:

$$0{,}2x+10=30 \quad\Rightarrow\quad 0{,}2x=20 \quad\Rightarrow\quad x=100$$

Krok 3 — porównanie przy $150$ minutach:

$$K_B(150)=0{,}2\cdot150+10=40\ \text{zł}$$

Plan B kosztuje $40$ zł, więc plan A ($30$ zł) jest tańszy.

Wniosek: powyżej $100$ minut opłaca się plan A bez limitu.

Odpowiedź: równowaga przy $100$ minutach; przy $150$ minutach tańszy jest plan A.

W punkcie przecięcia obie funkcje mają tę samą wartość, więc porównujemy prawe strony:

$$2x-3=-x+6$$

$$3x=9 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Podstawiamy do dowolnego równania:

$$y=2\cdot3-3=3$$

Odpowiedź: punkt $(3,3)$.

Sprawdzenie w drugim równaniu: $-3+6=3$. ✔

Krok 1 — funkcja długości:

$$L(t)=24-3t$$

Krok 2 — długość po $5$ godzinach:

$$L(5)=24-15=9\ \text{cm}$$

Krok 3 — dziedzina. Czas nie może być ujemny, a świeca istnieje, dopóki $L(t)\ge0$:

$$24-3t\ge0 \quad\Rightarrow\quad t\le8$$

Zatem sensowna dziedzina to $t\in\langle 0,\,8\rangle$ — po $8$ godzinach świeca całkowicie się wypali.

Odpowiedź: $L(t)=24-3t$; po $5$ h długość $9$ cm; dziedzina $\langle 0,\,8\rangle$.

Rozwiązanie

$a=\dfrac{-3-0}{0-(-2)}=-\tfrac32<0$ (F), $b=-3<0$ (F).

Odpowiedź: FF

1. Fałsz. Funkcja jest malejąca, gdy $k+2<0$, czyli $k<-2$. Dla $k$ z przedziału $(-2,2)$ współczynnik $k+2>0$ (funkcja rosnąca), więc stwierdzenie o całym $(-\infty,2)$ jest fałszywe.

2. Prawda. $f(0)=k-3$; dla $k=4$ mamy $f(0)=1$, więc wykres przechodzi przez $(0,1)$.

Odpowiedź: F, P.

Wykres przecina oś $Oy$ w punkcie o rzędnej $f(0)$: $f(0)=m^{2}+6m$.

$m^{2}+6m=-9\Rightarrow m^{2}+6m+9=0\Rightarrow (m+3)^{2}=0\Rightarrow m=-3$.

Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego wtedy, gdy jest funkcją stałą różną od zera, czyli gdy współczynnik kierunkowy jest równy $0$: $3-m=0\Rightarrow m=3$.

Wtedy $f(x)=-4\ne 0$ — brak miejsca zerowego.

Odpowiedź: C.

Rozwiązanie

Malejąca, gdy współczynnik kierunkowy $<0$: $-2k+3<0\Rightarrow k>\tfrac32$.

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

1. Miejsce zerowe $f$: $3x+6=0\Rightarrow x=-2$.
2. $g(-2)=0$: $-2a+7=0\Rightarrow a=\tfrac72$.

Odpowiedź: D

$f(x)=ax+4$ oraz $f(2)=0$, więc $2a+4=0\Rightarrow a=-2$, zatem $f(x)=-2x+4$.

1. Prawda. Współczynnik kierunkowy to $-2$.

2. Fałsz. Trójkąt ma wierzchołki $(0,0),(2,0),(0,4)$, więc pole $=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4$, a nie $8$.

Odpowiedź: P, F.

Rozwiązanie

Wykres malejący $\Rightarrow a<0$. Przecięcie z osią $Oy$ powyżej zera $\Rightarrow b>0$.

Odpowiedź: C

1. Prawda. $-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{2}{3}=0\Rightarrow \dfrac{1}{6}x=\dfrac{2}{3}\Rightarrow x=4$.

2. Fałsz. Wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $\left(0,\,f(0)\right)=\left(0,\dfrac{2}{3}\right)$, a nie $\left(0,-\dfrac{1}{6}\right)$.

Odpowiedź: P, F.