Warunek prostopadłości prostych

W postaci kierunkowej $y=ax+b$ współczynnikiem kierunkowym jest liczba stojąca przy $x$:

$$a=3$$

Liczba $-5$ to wyraz wolny — mówi, gdzie prosta przecina oś $OY$.

Odpowiedź: B. $a=3$.

Podstawiamy współrzędne punktu do równania:

$$2\cdot2+3=7$$

Lewa strona równa się prawej, więc punkt leży na prostej.

Odpowiedź: tak, punkt $P$ należy do prostej.

1. $-2x+6=0 \Rightarrow x=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — to wyraz wolny (punkt przecięcia z $Oy$), nie miejsce zerowe.

Korzystamy ze wzoru na współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{11-2}{4-1}=\frac93=3$$

Interpretacja: na każdą jednostkę w prawo prosta wznosi się o trzy jednostki.

Odpowiedź: $a=3$.

1. Rosnąca ⇔ $2m-4\gt 0 \Rightarrow m\gt 2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — warunek funkcji malejącej; C — rozwiązane $m-4\gt 0$ bez dzielenia.

Obie mają ten sam współczynnik kierunkowy $a=2$, ale różne wyrazy wolne:

$$a_1=a_2=2,\qquad b_1=1\neq-4=b_2$$

Wniosek: proste są równoległe i rozłączne. Gdyby wyrazy wolne też były równe, proste by się pokrywały.

Odpowiedź: C. równoległe.

1. $a=\dfrac{-3-3}{2-(-1)}=\dfrac{-6}{3}=-2$.
2. $3=-2\cdot(-1)+b \Rightarrow b=1$, więc $y=-2x+1$.
3. Kontrola $B$: $-4+1=-3$ ✓.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — odwrócony iloraz przyrostów; B — przechodzi przez $A$, ale nie przez $B$.

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero:

$$4x-12=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Geometrycznie: prosta przecina oś $OX$ w punkcie $(3,\ 0)$.

Odpowiedź: $x=3$.

1. Równoległa → $a=3$. $5=3\cdot1+b \Rightarrow b=2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to prosta prostopadła przez $P$; C — wpisany $y_0$ zamiast wyliczonego $b$.

Warunek prostopadłości:

$$a_1\cdot a_2=-1$$

$$2\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-\frac12$$

Zapamiętaj sposób: odwracamy ułamek i zmieniamy znak.

Odpowiedź: A. $-\frac12$.

1. $(m-1)\cdot\tfrac12=-1 \Rightarrow m-1=-2 \Rightarrow m=-1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — warunek równoległości $m-1=\tfrac12$; B — zgubiony minus ($m-1=2$).

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{7-3}{2-0}=\frac42=2$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $A$ leży na osi $OY$, więc od razu $b=3$.

Krok 3 — równanie:

$$y=2x+3$$

Sprawdzenie dla $B$: $2\cdot2+3=7$ ✔

Odpowiedź: $y=2x+3$.

1. Wykres przechodzi przez $(0,2)$ i $(4,0)$: $b=2\gt 0$.
2. Funkcja maleje: $a=\dfrac{0-2}{4-0}=-\tfrac12\lt 0$.

Odpowiedź: A

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{1-5}{3-1}=\frac{-4}{2}=-2$$

Krok 2 — wyraz wolny. Podstawiamy pierwszy punkt:

$$5=-2\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=7$$

Krok 3 — równanie:

$$y=-2x+7$$

Sprawdzenie drugim punktem: $-2\cdot3+7=1$ ✔

Odpowiedź: $a=-2$, $b=7$.

1. Miejsce zerowe $f$: $2x-8=0 \Rightarrow x=4$.
2. $g(4)=0$: $4a+3=0 \Rightarrow a=-\tfrac34$.

Odpowiedź: A

O monotoniczności decyduje wyłącznie współczynnik kierunkowy:

$$a<0 \ \Rightarrow\ \text{malejąca},\qquad a>0 \ \Rightarrow\ \text{rosnąca},\qquad a=0 \ \Rightarrow\ \text{stała}$$

Wyraz wolny $b$ przesuwa wykres w pionie, ale nie zmienia jego nachylenia.

Odpowiedź: D. $a<0$.

1. 1. $f(0)=6$, więc wykres przecina $Oy$ w $(0,6)$ — prawda.
2. 2. $a=-3\lt 0$, więc $\operatorname{tg}\alpha\lt 0$ i kąt nachylenia jest rozwarty — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Krok 1 — wyznaczamy $y$:

$$3y=-2x+6 \quad\Rightarrow\quad y=-\frac23x+2$$

Krok 2 — przecięcie z osią $OY$ (podstawiamy $x=0$):

$$(0,\ 2)$$

Krok 3 — przecięcie z osią $OX$ (podstawiamy $y=0$):

$$-\frac23x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \quad\Rightarrow\quad (3,\ 0)$$

Odpowiedź: $y=-\frac23x+2$; punkty $(0,\ 2)$ i $(3,\ 0)$.

1. $\operatorname{tg}\alpha=a=\sqrt3$, a $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$, więc $\alpha=60^\circ$.

Odpowiedź: $60^\circ$

Proste równoległe mają identyczny współczynnik kierunkowy:

$$a=-4$$

Warunek spełnia tylko $y=-4x-7$.

Uwaga: $y=\frac14x$ ma współczynnik $\frac14$ — to prosta prostopadła, bo $-4\cdot\frac14=-1$.

Odpowiedź: B. $y=-4x-7$.

1. Prostopadła: $a=-\tfrac12$. $1=-\tfrac12\cdot4+b \Rightarrow b=3$, więc $l:\ y=-\tfrac12x+3$.
2. Przecięcie: $2x-3=-\tfrac12x+3 \Rightarrow \tfrac52x=6 \Rightarrow x=\tfrac{12}5$.
3. $y=2\cdot\tfrac{12}5-3=\tfrac95$. Punkt $\left(\tfrac{12}5,\tfrac95\right)$.

Odpowiedź: $l:\ y=-\tfrac12x+3$, punkt przecięcia $\left(\tfrac{12}5,\tfrac95\right)$

Krok 1 — współczynnik kierunkowy jest taki sam jak w danej prostej:

$$a=3$$

Krok 2 — wyraz wolny z warunku przechodzenia przez $P$:

$$5=3\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=2$$

Krok 3 — równanie:

$$y=3x+2$$

Odpowiedź: $y=3x+2$.

Krok 1 — porównujemy prawe strony:

$$2x-1=-x+5$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$3x=6 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3 — obliczamy $y$:

$$y=2\cdot2-1=3$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $-2+5=3$ ✔

Odpowiedź: punkt $(2,\ 3)$.

Podstawiamy współrzędne punktu:

$$11=2a+3 \quad\Rightarrow\quad 2a=8 \quad\Rightarrow\quad a=4$$

Sprawdzenie: $4\cdot2+3=11$ ✔

Odpowiedź: C. $a=4$.

Krok 1 — współczynnik z warunku prostopadłości:

$$\frac13\cdot a=-1 \quad\Rightarrow\quad a=-3$$

Krok 2 — wyraz wolny:

$$1=-3\cdot3+b \quad\Rightarrow\quad b=10$$

Krok 3 — równanie:

$$y=-3x+10$$

Odpowiedź: $y=-3x+10$.

Równanie $y=5$ to funkcja stała — współczynnik kierunkowy wynosi zero, więc prosta jest pozioma.

Dla porównania: $x=5$ to prosta pionowa, ale nie jest wykresem żadnej funkcji, bo jednemu argumentowi odpowiadałoby nieskończenie wiele wartości.

Odpowiedź: A. równoległa do osi $OX$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{4-1}{4-(-2)}=\frac{3}{6}=\frac12$$

Krok 2 — wyraz wolny. Podstawiamy punkt $A$:

$$1=\frac12\cdot(-2)+b \quad\Rightarrow\quad 1=-1+b \quad\Rightarrow\quad b=2$$

Krok 3 — równanie prostej:

$$y=\frac12x+2$$

Krok 4 — sprawdzamy punkt $C$:

$$\frac12\cdot0+2=2 \ ✔$$

Punkt $C$ leży na prostej — i to dokładnie w miejscu przecięcia z osią $OY$.

Kontrola punktem $B$: $\frac12\cdot4+2=4$ ✔

Odpowiedź: $y=\frac12x+2$; punkt $C$ należy do prostej.

Przypadek 1 — równoległość. Współczynniki muszą być równe:

$$m-1=2 \quad\Rightarrow\quad m=3$$

Przypadek 2 — prostopadłość. Iloczyn współczynników ma dać $-1$:

$$(m-1)\cdot2=-1 \quad\Rightarrow\quad m-1=-\frac12 \quad\Rightarrow\quad m=\frac12$$

Sprawdzenie równoległości: dla $m=3$ mamy $y=2x+3$ — ten sam współczynnik co $y=2x-5$, ale inny wyraz wolny, więc proste są rozłączne ✔

Odpowiedź: równoległe dla $m=3$, prostopadłe dla $m=\frac12$.

Krok 1 — wzór funkcji:

$$f(x)=3x+8$$

Krok 2 — interpretacja. Współczynnik kierunkowy $a=3$ to cena jednego kilometra, czyli tempo wzrostu kosztu. Wyraz wolny $b=8$ to koszt początkowy — płacimy go nawet przy zerowym przejeździe.

Krok 3 — ile za $50$ zł:

$$3x+8=50 \quad\Rightarrow\quad 3x=42 \quad\Rightarrow\quad x=14$$

Sprawdzenie: $3\cdot14+8=50$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=3x+8$; za $50$ zł przejedziemy $14$ km.

Krok 1 — pomysł na dowód. Trzy punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest ten sam.

Krok 2 — dla pary $A$, $B$:

$$a_{AB}=\frac{6-2}{3-1}=\frac42=2$$

Krok 3 — dla pary $B$, $C$:

$$a_{BC}=\frac{10-6}{5-3}=\frac42=2$$

Krok 4 — wniosek. Oba współczynniki są równe, a proste $AB$ i $BC$ mają wspólny punkt $B$ — muszą się więc pokrywać. $\qquad ∎$

Krok 5 — równanie. Podstawiamy punkt $A$:

$$2=2\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=0 \quad\Rightarrow\quad y=2x$$

Sprawdzenie: $2\cdot3=6$ ✔ oraz $2\cdot5=10$ ✔

Proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej jest równy \(m+1\), natomiast drugiej jest równy \(-2\), zatem:
$$(m+1)\cdot(-2)=-1 \\
-2m-2=-1 \\
-2m=1 \\
m=-\frac{1}{2}$$

Rozwiązanie

Warunek prostopadłości: iloczyn współczynników $=-1$: $(m+1)\cdot(-2)=-1\Rightarrow m+1=\tfrac12\Rightarrow m=-\tfrac12$.

Odpowiedź: A

Krok 1. Ustalenie, czy proste są prostopadłe.
Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). W naszym przypadku współczynniki \(a\) mają wartość \(\frac{2}{3}\) oraz \(-\frac{3}{2}\), a iloczyn tych dwóch liczb jest równy:
$$\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$

To oznacza, że proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe.

Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się prostych.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać miejsce przecięcia się prostych wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
$$\begin{cases} y=\frac{2}{3}x \\ y=-\frac{3}{2}x+13 \end{cases}$$

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13 \\
\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}x=13 \\
\frac{4}{6}x+\frac{9}{6}x=13 \\
\frac{13}{6}x=13 \quad\bigg/\cdot\frac{6}{13} \\
x=6$$

Wiemy już, że \(x=6\) (co swoją drogą wystarczy już do wybrania prawidłowej odpowiedzi). Chcąc poznać jeszcze współrzędną \(y\) punktu przecięcia wystarczy podstawić wyznaczone \(x=6\) do jednego z równań (np. \(y=\frac{2}{3}x\)), zatem:
$$y=\frac{2}{3}\cdot6 \\
y=4$$

To oznacza, że miejscem przecięcia się tych prostych jest punkt o współrzędnych \((6;4)\).

Rozwiązanie

1. Iloczyn współczynników: $\tfrac23\cdot(-\tfrac32)=-1$ — proste są prostopadłe (A).
2. $\tfrac23x=-\tfrac32x+13\Rightarrow\tfrac{13}{6}x=13\Rightarrow x=6,\ y=4$.

Odpowiedź: A oraz 2, czyli prostopadłe, $P=(6,4)$.

Współczynnik prostej $l$ to $\dfrac{3}{2}$, więc prosta prostopadła ma współczynnik $-\dfrac{2}{3}$ (iloczyn $=-1$).

Przez $P=(6,0)$: $0=-\dfrac{2}{3}\cdot 6+b\Rightarrow b=4$. Zatem $k:\ y=-\dfrac{2}{3}x+4$.

Odpowiedź: D.