Warunek prostopadłości prostych
Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 89
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Proste $k:\ y=(m+1)x+7$ oraz $l:\ y=-2x+7$ są prostopadłe, gdy liczba $m$ jest równa
$$k:\; y=(m+1)x+7$$ $$l:\; y=-2x+7$$
Proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe, gdy liczba \(m\) jest równa:
Dane są proste $k:\ y=\tfrac23x$ oraz $l:\ y=-\tfrac32x+13$. Rozstrzygnij, czy są prostopadłe, i podaj współrzędne punktu przecięcia $P$ (wybór: A/B oraz 1: $(-6,-4)$, 2: $(6,4)$, 3: $(-6,4)$).
$$k:\quad y=\frac{2}{3}x$$ $$l:\quad y=-\frac{3}{2}x+13$$
Proste \(k\) oraz \(l\):
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste o równaniach \(y=\sqrt{3}x+6\), \(y=-\sqrt{3}x+6\) oraz \(y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x-2\) przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta \(KLM\).
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Trójkąt \(KLM\) jest A. równoramienny / B. prostokątny, ponieważ 1. oś \(Ox\) przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta / 2. dwie z tych prostych są prostopadłe / 3. oś \(Oy\) zawiera dwusieczną tego trójkąta.
Dana jest prosta $l$ o równaniu $y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{15}{2}$. Prosta $k$ jest prostopadła do $l$ i przechodzi przez punkt $P=(6,0)$. Prosta $k$ ma równanie
Liczba \(m\) jest równa:
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x+1\). Funkcja \(g\) jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P=(0,-1)\) i jest prostopadły do wykresu funkcji \(f\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wzorem funkcji \(g\) jest
$$k:\quad y=\frac{2}{3}x$$ $$
l:\quad y=-\frac{3}{2}x+13$$
Proste \(k\) oraz \(l\):
k: \(y=-x+1\)
l: \(y=\frac{2}{3}x+1\)
m: \(y=-\frac{3}{2}x+4\)
n: \(y=-\frac{2}{3}x-1\)
Wśród tych prostych prostopadłe są:
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Pole równoległoboku \(R\) jest równe \(8\).
Pole trójkąta \(S\) jest równe \(4\).
Pole równoległoboku \(R\) jest równe \(8\).
Pole trójkąta \(S\) jest równe \(4\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Suma miar kątów \(α\) i \(β\) wynosi \(180°\).
Kąt \(α\) ma miarę \(3\) razy mniejszą niż kąt \(β\).
Suma miar kątów \(α\) i \(β\) wynosi \(180°\).
Kąt \(α\) ma miarę \(3\) razy mniejszą niż kąt \(β\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Kąt \(BAC\) ma miarę \(45°\).
Kąty trójkąta \(DBE\) i kąty trójkąta \(ABC\) mają równe miary.
Kąt \(BAC\) ma miarę \(45°\).
Kąty trójkąta \(DBE\) i kąty trójkąta \(ABC\) mają równe miary.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F - jeśli jest fałszywe. Kąt ostry \(NKL\) ma miarę \(64°\).
Trapez \(KLMN\) jest trapezem równoramiennym.
Kąt ostry \(NKL\) ma miarę \(64°\).
Trapez \(KLMN\) jest trapezem równoramiennym.
W ten sposób przygotowano formę, którą wypełniono masą gipsową, i tak otrzymano gipsowy odlew w kształcie prostopadłościanu, pokazany na rysunku \(II\).
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Objętość drewna, z którego zbudowano formę, jest równa \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\): Objętość gipsowego odlewu jest równa \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\):
Ostrosłup, który ma sześć krawędzi, jest czworościanem.
Każdy graniastosłup prosty, który ma sześć ścian, jest prostopadłościanem.
Ostrosłup, który ma sześć krawędzi, jest czworościanem.
Zatem:
Punkty \(A=(-7,-2)\) i \(B=(4,-7)\) są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego \(ABC\), a wysokość opuszczona z wierzchołka \(A\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(2x+19y+52=0\).
Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).
$$k:\;y=\frac{1}{2}x+5$$ $$
l:\;y=2x+5$$ $$
m:\;y=-2x+3$$ $$
n:\;y=2x+5$$
Prostopadłe są proste:
Punkty \(B=(0,10)\) i \(O=(0,0)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \(OAB\), w którym \(|\sphericalangle OAB|=90^\circ\). Przyprostokątna \(OA\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=\tfrac12x\). Oblicz współrzędne punktu \(A\) i długość przyprostokątnej \(OA\).
Zadanie 1.
Jedną z prostych równoległych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu:
A. \(y=3x+2\)
B. \(y=-3x+2\)
C. \(y=\frac{1}{3}x+1\)
D. \(y=-\frac{1}{3}x+1\)
Zadanie 2.
Jedną z prostych prostopadłych do prostej \(k\) jest prosta o równaniu:
E. \(y=\frac{1}{3}x+2\)
F. \(y=-\frac{1}{3}x+2\)
G. \(y=3x+1\)
H. \(y=-3x+1\)
📘Teoria 1
Postać kierunkowa
$$y=ax+b$$
Litera $a$ to współczynnik kierunkowy — mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Litera $b$ to wyraz wolny — wartość $y$ w punkcie przecięcia z osią $OY$.
Monotoniczność
$$a>0 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad a\lt 0 \Rightarrow \text{malejąca},\qquad a=0 \Rightarrow \text{stała}$$
Wyraz wolny nie wpływa na monotoniczność — przesuwa jedynie wykres w pionie.
Prosta przez dwa punkty
$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
Mając $a$, wyznaczamy $b$ przez podstawienie współrzędnych dowolnego z punktów. Drugi punkt służy wtedy do sprawdzenia.
Przykład: dla $A=(1,5)$ i $B=(3,1)$ mamy $a=\frac{1-5}{3-1}=-2$, potem $5=-2+b$, czyli $b=7$ i ostatecznie $y=-2x+7$.
Równoległość i prostopadłość
$$\text{równoległe}:\ a_1=a_2,\qquad \text{prostopadłe}:\ a_1\cdot a_2=-1$$
Warunek prostopadłości wygodnie stosuje się tak: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.
Proste o równych $a$ i równych $b$ pokrywają się; równe $a$ i różne $b$ oznacza proste rozłączne.
Postać ogólna
$$Ax+By+C=0$$
Zamiana na postać kierunkową polega na wyznaczeniu $y$:
$$2x+3y-6=0 \ \Rightarrow\ y=-\tfrac23x+2$$
Postać ogólna obejmuje również proste pionowe ($B=0$), których nie da się zapisać jako $y=ax+b$.
Punkty przecięcia z osiami
Z osią $OY$: podstawiamy $x=0$ i otrzymujemy punkt $(0,\ b)$.
Z osią $OX$: rozwiązujemy $ax+b=0$, czyli szukamy miejsca zerowego $x=-\frac{b}{a}$.
Punkt przecięcia dwóch prostych
Porównujemy prawe strony równań. Dla $y=2x-1$ i $y=-x+5$ dostajemy $3x=6$, czyli $x=2$ i $y=3$. Zawsze warto sprawdzić wynik w drugim równaniu.
Współliniowość trzech punktów
Punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest taki sam. Dla $(1,2)$, $(3,6)$ i $(5,10)$ oba wynoszą $2$, więc punkty są współliniowe, a prosta to $y=2x$.
Zastosowania
Taksówka z opłatą $8$ zł i stawką $3$ zł za kilometr to $f(x)=3x+8$. Współczynnik kierunkowy jest tempem wzrostu kosztu, a wyraz wolny — kosztem stałym. Ten sam schemat opisuje abonamenty, rachunki za prąd czy koszt produkcji.
Na co uważać
Nie myl $a$ z $b$ przy odczycie ze wzoru. Przy prostopadłości pamiętaj o zmianie znaku, nie tylko o odwróceniu ułamka. I sprawdzaj wynik, podstawiając punkt do równania.
∑Wzory 2
Warunki dla prostych $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$.
Przykład: Prosta prostopadła do $y=2x+1$ ma $a=-\frac{1}{2}$.
Nachylenie prostej przez punkty $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$; $\alpha$ — kąt z osią $Ox$.
Przykład: $A(1,2)$, $B(3,8)$: $a=\frac{6}{2}=3$.
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 28
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Miejscem zerowym funkcji $f(x)=-2x+6$ jest liczba
Funkcja liniowa $f(x)=(2m-4)x+1$ jest rosnąca dla każdej liczby $m$ z przedziału
Prosta przechodząca przez punkty $A=(-1,3)$ i $B=(2,-3)$ ma równanie
Prosta równoległa do prostej $y=3x-2$ i przechodząca przez punkt $P=(1,5)$ ma równanie
Proste $k:\ y=(m-1)x+3$ oraz $l:\ y=\tfrac12x-4$ są prostopadłe, gdy $m$ jest równe
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej $f(x)=ax+b$. Wynika stąd, że
Funkcje liniowe $f(x)=2x-8$ oraz $g(x)=ax+3$ mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik $a$ jest równy
Dana jest funkcja $f(x)=-3x+6$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
- Wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,6)$.
- Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ pod kątem ostrym.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Oblicz miarę kąta, jaki prosta $y=\sqrt3x-2$ tworzy z dodatnią półosią $Ox$.
Dana jest prosta $k:\ y=2x-3$ oraz punkt $P=(4,1)$. Wyznacz równanie prostej $l$ prostopadłej do prostej $k$ i przechodzącej przez punkt $P$. Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostych $k$ i $l$.
Współczynnik kierunkowy prostej $y=3x-5$ wynosi:
Sprawdź, czy punkt $P=(2,\ 7)$ należy do prostej $y=2x+3$.
Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A=(1,\ 2)$ i $B=(4,\ 11)$.
Proste $y=2x+1$ i $y=2x-4$ są:
Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=4x-12$.
Prosta prostopadła do $y=2x+3$ ma współczynnik kierunkowy:
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(0,\ 3)$ i $B=(2,\ 7)$.
Prosta $y=ax+b$ przechodzi przez punkty $(1,\ 5)$ i $(3,\ 1)$. Wyznacz $a$ i $b$.
Zapisz równanie $2x+3y-6=0$ w postaci kierunkowej i podaj punkty przecięcia z osiami.
Która prosta jest równoległa do $y=-4x+1$?
Wyznacz równanie prostej równoległej do $y=3x-2$ i przechodzącej przez punkt $P=(1,\ 5)$.
Wyznacz punkt przecięcia prostych $y=2x-1$ oraz $y=-x+5$.
Prosta $y=ax+3$ przechodzi przez punkt $(2,\ 11)$. Ile wynosi $a$?
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do $y=\frac13x+4$ i przechodzącej przez punkt $(3,\ 1)$.
Prosta $y=5$ jest:
Dane są punkty $A=(-2,\ 1)$ i $B=(4,\ 4)$. Wyznacz równanie prostej $AB$ oraz sprawdź, czy punkt $C=(0,\ 2)$ na niej leży.
Dla jakiej wartości $m$ proste $y=(m-1)x+3$ oraz $y=2x-5$ są równoległe? A dla jakiej prostopadłe?
Wykaż, że punkty $A=(1,\ 2)$, $B=(3,\ 6)$ i $C=(5,\ 10)$ leżą na jednej prostej. Podaj jej równanie.
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.