Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi — zawsze nieujemna:

$$|-7|=7$$

Odpowiedź: B. $7$.

$$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$$

Najczęstszy błąd w całej algebrze: pominięcie środkowego wyrazu. Sprawdzenie liczbowe dla $a=b=1$: $(1+1)^2=4$, a nie $1+1=2$.

Odpowiedź: B. $a^2+2ab+b^2$.

$$x>7-3 \quad\Rightarrow\quad x>4$$

Odpowiedź: B. $x>4$.

Krok 1 — najpierw działania wewnątrz:

$$|3-8|=|-5|=5$$

Krok 2 — druga wartość:

$$|-2|=2$$

Krok 3 — suma:

$$5+2=7$$

Odpowiedź: $7$.

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Przykład do trzeciego wzoru: $101^2-99^2=(101-99)(101+99)=2\cdot200=400$. Rachunek w pamięci zamiast dwóch potęgowań.

Odpowiedź: trzy wzory jak wyżej.

Dzielimy przez $2$ (dodatnie — znak bez zmian):

$$x<5$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,5)$.

1. Liczby odległe od $3$ o mniej niż $5$: $3-5\lt x\lt 3+5$, czyli $x\in(-2,8)$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to rozwiązanie nierówności „$\gt $”; C — środek $-3$; D — końce powinny być otwarte.

Szukamy liczb odległych od zera o $6$ jednostki — są dwie:

$$x=6 \quad\text{lub}\quad x=-6$$

Częsty błąd: podanie tylko rozwiązania dodatniego.

Odpowiedź: $x\in\{-6,\,6\}$.

Korzystamy z różnicy kwadratów:

$$53^2-47^2=(53-47)(53+47)=6\cdot100=600$$

Odpowiedź: $600$.

Mnożąc/dzieląc obie strony przez liczbę ujemną, ODWRACAMY znak.

Odpowiedź: A. zmienia się na przeciwny.

1. $|x+2|=|x-(-2)|$ — środek $-2$, promień $4$.
2. „$\ge$” → dwa ramiona: $x\le-6$ lub $x\ge2$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? C — środek $+2$ zamiast $-2$; D — nierówność nieostra wymaga domkniętych końców.

Nawias kwadratowy (ostry) domyka koniec — liczba należy do przedziału. Nawias okrągły otwiera — liczba nie należy.

Tutaj $2$ należy, a $7$ nie.

Odpowiedź: C. $2\le x<7$.

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny:

$$(x-3)^2\ge0$$

Równość zachodzi dokładnie dla $x=3$.

Pozostałe przyjmują wartości ujemne — np. dla $x=0$ mamy $-3$, $3$ i $0$ odpowiednio.

Ta obserwacja jest podstawą większości dowodów nierówności.

Odpowiedź: A. $(x-3)^2$.

Dzielimy przez $-3$ i ODWRACAMY znak:

$$x\le-4$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-4\rangle$.

1. $x-4=6$ lub $x-4=-6$, czyli $x=10$ lub $x=-2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — pominięty przypadek ujemny; C — środek $-4$.

Suma — wszystko, co należy do któregokolwiek przedziału. Przedziały zachodzą na siebie, więc łączą się w jeden:

$$A\cup B=(1,\,8\rangle$$

Część wspólna — to, co należy do obu naraz:

$$A\cap B=\langle3,\,5)$$

Odpowiedź: $A\cup B=(1,\,8\rangle$, $A\cap B=\langle3,\,5)$.

To różnica kwadratów, bo $25=5^2$:

$$x^2-25=(x-5)(x+5)$$

Odpowiedź: $(x-5)(x+5)$.

Krok 1 — porządkujemy:

$$3x-x\le7+5 \quad\Rightarrow\quad 2x\le12$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$:

$$x\le6$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,6\rangle$.

1. Środek przedziału: $\dfrac{-3+7}{2}=2$, promień: $\dfrac{7-(-3)}{2}=5$.
2. Końce domknięte → $|x-2|\le5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — zamienione środek i promień; D — opisuje dwa ramiona poza przedziałem.

Szukamy liczb oddalonych od zera o mniej niż $4$ — to odcinek wokół zera:

$$-4

Zapamiętaj: $|x|między, a $|x|>a$ — dwa przedziały na zewnątrz.

Odpowiedź: A. $x\in(-4,\,4)$.

Rozpoznajemy kwadrat sumy: $9=3^2$, a środkowy wyraz $6x=2\cdot3\cdot x$ ✔

$$x^2+6x+9=(x+3)^2$$

Jak sprawdzać: pierwiastkujemy skrajne wyrazy i sprawdzamy, czy podwojony iloczyn daje środkowy.

Odpowiedź: C. $(x+3)^2$.

Wartość bezwzględna to odległość od zera — zawsze nieujemna:

$$|-8|=8$$

Odpowiedź: C. $8$.

1. $2x-1\ge3$ lub $2x-1\le-3$.
2. $x\ge2$ lub $x\le-1$, czyli $x\in(-\infty,-1]\cup[2,\infty)$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — przy $2x-1\le-3$ ktoś podzielił źle; najłatwiej: $|2x-1|=2\left|x-\tfrac12\right|\ge3 \Rightarrow \left|x-\tfrac12\right|\ge\tfrac32$.

Interpretacja: szukamy liczb odległych od $3$ o $5$ jednostek.

Przypadek 1:

$$x-3=5 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Przypadek 2:

$$x-3=-5 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Sprawdzenie: $|8-3|=5$ ✔ oraz $|-2-3|=|-5|=5$ ✔

Odpowiedź: $x\in\{-2,\,8\}$.

Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Chcemy zobaczyć w wyrażeniu kwadrat sumy, więc rozbijamy $5$ na $4+1$:

$$x^2+4x+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1$$

Krok 2 — szacowanie. Kwadrat jest nieujemny, więc:

$$(x+2)^2+1\ge0+1=1>0 \qquad ∎$$

Wniosek: nierówność zachodzi dla każdego $x$, a najmniejsza wartość wyrażenia wynosi $1$ i jest osiągana dla $x=-2$.

Liczby oddalone od zera o $5$ to $5$ i $-5$:

$$x=5 \quad\text{lub}\quad x=-5$$

Odpowiedź: $x\in\{-5,5\}$.

1. Dwa ramiona, końce otwarte → nierówność ostra typu „$\gt $”.
2. Środek: $\dfrac{-4+2}{2}=-1$, promień: $2-(-1)=3$ → $|x+1|\gt 3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — końce na rysunku są niezamalowane, więc nierówność ostra; B — środek $+1$.

Szukamy liczb oddalonych od zera o co najmniej $3$ — to dwa przedziały na zewnątrz:

$$x\le-3 \quad\text{lub}\quad x\ge3$$

$$x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle3,+\infty)$$

Nawiasy domknięte, bo nierówność jest nieostra.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle3,+\infty)$.

Krok 1 — oznaczenie. Niech liczby to $n$ i $n+1$, gdzie $n$ jest całkowite.

Krok 2 — różnica kwadratów:

$$(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$$

Krok 3 — wniosek. Wyrażenie $2n+1$ to z definicji liczba nieparzysta — podwojona liczba całkowita powiększona o jeden. ∎

Sprawdzenie: $5^2-4^2=25-16=9$ ✔ oraz $8^2-7^2=15$ ✔

Bonus: ten sam rachunek pokazuje, że różnica kwadratów daje sumę tych liczb: $2n+1=n+(n+1)$.

Krok 1 — przenosimy $1$:

$$-2x<6$$

Krok 2 — dzielimy przez $-2$ i ODWRACAMY znak:

$$x>-3$$

Odpowiedź: $x\in(-3,+\infty)$.

1. 1. Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc $|x-5|\lt 0$ nie ma rozwiązań — prawda.
2. 2. $|x|\le-1$ nie ma żadnego rozwiązania (moduł nie może być ujemny) — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Krok 1 — sprawdzamy znak wyrażenia. Skoro $\sqrt2\approx1{,}41<2$, to $\sqrt2-2$ jest ujemne.

Krok 2 — dla liczby ujemnej wartość bezwzględna zmienia znak:

$$|\sqrt2-2|=-( \sqrt2-2)=2-\sqrt2\approx0{,}59$$

Zasada: $|a-b|=b-a$, gdy $a

Odpowiedź: D. $2-\sqrt2$.

To nierówność trójkąta. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak (albo któraś jest zerem).

Przykład ostrej nierówności: dla $a=3$, $b=-5$ mamy $|-2|=2$, ale $|3|+|-5|=8$, więc $2<8$.

Odpowiedź: D. $|a+b|\le|a|+|b|$.

$|x|

$$-3

Odpowiedź: D. $-3

1. $|x-1|\lt 3 \iff -2\lt x\lt 4$.
2. Liczby całkowite z przedziału $(-2,4)$: $-1,0,1,2,3$ (jest ich $5$).

Odpowiedź: $-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3$

Zapis z wartością bezwzględną:

$$|x-4|<2$$

Rozwiązanie:

$$-2

$$x\in(2,\,6)$$

Odpowiedź: $|x-4|<2$, czyli $x\in(2,\,6)$.

Krok 1 — przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^2-2x+1\ge0$$

Krok 2 — rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:

$$(x-1)^2\ge0$$

Krok 3 — wniosek. Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc nierówność zachodzi dla każdego $x$. ∎

Kiedy równość: dokładnie dla $x=1$.

Uwaga metodyczna: przenoszenie na jedną stronę i szukanie kwadratu to standardowy schemat dowodzenia nierówności.

$|x|\ge a$ oznacza „co najmniej $a$ od zera” — po obu stronach:

$$x\le-4 \quad\text{lub}\quad x\ge4$$

$$x\in(-\infty,-4\rangle\cup\langle4,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-4\rangle\cup\langle4,+\infty)$.

1. $\sqrt3\approx1{,}73$, więc $\sqrt3-2\lt 0$ i $|\sqrt3-2|=2-\sqrt3$.
2. $\sqrt3-1\gt 0$, więc $|\sqrt3-1|=\sqrt3-1$.
3. Suma: $2-\sqrt3+\sqrt3-1=1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — moduł „zdjęty” bez zmiany znaku przy liczbie ujemnej $\sqrt3-2$.

Szukamy liczb spełniających oba warunki jednocześnie:

$$x<3 \quad\text{oraz}\quad x\ge0$$

$$0\le x<3$$

Zero należy (nawias domknięty z drugiego zbioru), trójka nie należy.

Odpowiedź: B. $\langle0,\,3)$.

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Uwaga: $a^2-b^2$ to różnica kwadratów, a nie kwadrat różnicy — to dwa zupełnie różne wzory.

Sprawdzenie dla $a=5$, $b=2$: $(5-2)^2=9$, a $25-20+4=9$ ✔ Natomiast $a^2-b^2=21$.

Odpowiedź: B. $a^2-2ab+b^2$.

$$|3-7|=|-4|=4$$

Odpowiedź: A. $4$.

1. $|x-4|\lt 3 \iff 1\lt x\lt 7$, czyli $B=(1,7)$.
2. Część wspólna: liczby w obu zbiorach — $(1,5)$ (liczba $5\notin A$).
3. Suma: od $-3$ (włącznie) do $7$ (bez) — $[-3,7)$.

Odpowiedź: $A\cap B=(1,5)$, $A\cup B=[-3,7)$

Krok 1 — rozpisujemy jako podwójną nierówność:

$$-4\le x-1\le4$$

Krok 2 — dodajemy $1$ do wszystkich części:

$$-3\le x\le5$$

$$x\in\langle-3,\,5\rangle$$

Interpretacja: liczby oddalone od $1$ o najwyżej $4$ jednostki.

Odpowiedź: $x\in\langle-3,\,5\rangle$.

Zapisujemy $102$ jako $100+2$:

$$102^2=(100+2)^2=100^2+2\cdot100\cdot2+2^2$$

$$=10\,000+400+4=10\,404$$

Odpowiedź: $10\,404$.

Krok 1 — przenosimy $1$:

$$\frac{x}{2}>2$$

Krok 2 — mnożymy przez $2$ (dodatnie — znak bez zmian):

$$x>4$$

Odpowiedź: $x\in(4,+\infty)$.

Różnica zbiorów to elementy $A$, które nie należą do $B$. Wycinamy z $A$ środkowy fragment:

$$A\setminus B=\langle0,\,3\rangle\cup\langle6,\,10\rangle$$

Uwaga na nawiasy: liczby $3$ i $6$ nie należały do $B$ (nawiasy otwarte), więc zostają w różnicy — dlatego są domknięte.

Odpowiedź: $\langle0,\,3\rangle\cup\langle6,\,10\rangle$.

Oznaczenie. Kolejne liczby to $n$ i $n+1$.

Kluczowa obserwacja. Spośród dwóch kolejnych liczb całkowitych zawsze dokładnie jedna jest parzysta — liczby parzyste i nieparzyste występują na przemian.

Rozbicie na przypadki:

• jeśli $n=2k$, to iloczyn $2k(n+1)$ ma czynnik $2$
• jeśli $n=2k+1$, to $n+1=2k+2=2(k+1)$, więc czynnik $2$ jest w drugiej liczbie

Wniosek. W obu przypadkach iloczyn zawiera czynnik $2$, czyli jest parzysty. ∎

Sprawdzenie: $3\cdot4=12$ ✔, $6\cdot7=42$ ✔

Interpretacja: odległość $x$ od $2$ wynosi $3$:

$$x-2=3 \quad\text{lub}\quad x-2=-3$$

$$x=5 \quad\text{lub}\quad x=-1$$

Odpowiedź: $x\in\{-1,5\}$.

Pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, a $x$ może być ujemne:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Sprawdzenie dla $x=-3$: $\sqrt{9}=3=|-3|$ ✔ Gdyby wynikiem było $x$, dostalibyśmy $-3$ — a pierwiastek nie bywa ujemny.

Odpowiedź: C. $|x|$.

Wartość bezwzględna jest multiplikatywna — zachowuje się dobrze przy mnożeniu:

$$|x|\cdot|y|=|xy|$$

Dla dodawania tak nie jest — tam mamy tylko nierówność $|x+y|\le|x|+|y|$.

Sprawdzenie dla $x=-2$, $y=3$: $2\cdot3=6$ oraz $|-6|=6$ ✔

Odpowiedź: A. $|xy|$.

Największa całkowita mniejsza od $4{,}5$ to $4$.

Odpowiedź: B. $4$.

Przypadek 1:

$$2x-6=10 \quad\Rightarrow\quad 2x=16 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Przypadek 2:

$$2x-6=-10 \quad\Rightarrow\quad 2x=-4 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Sprawdzenie: $|16-6|=10$ ✔ oraz $|-4-6|=|-10|=10$ ✔

Odpowiedź: $x\in\{-2,\,8\}$.

Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Połowa współczynnika przy $x$ to $-4$, a $(-4)^2=16$, więc rozbijamy $20=16+4$:

$$x^2-8x+20=(x^2-8x+16)+4=(x-4)^2+4$$

Krok 2 — szacowanie:

$$(x-4)^2+4\ge4>0 \qquad ∎$$

Wniosek: wartość najmniejsza wynosi $4$ i jest osiągana dla $x=4$.

Kontrola wyróżnikiem: $\Delta=64-80=-16<0$ — brak miejsc zerowych przy dodatnim współczynniku wiodącym ✔

Krok 1 — usuwamy nawiasy:

$$2x-2\ge3x+3$$

Krok 2 — porządkujemy:

$$2x-3x\ge3+2 \quad\Rightarrow\quad -x\ge5$$

Krok 3 — mnożymy przez $-1$ i ODWRACAMY znak:

$$x\le-5$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-5\rangle$.

Wypisujemy: $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$.

Liczba $-2$ nie należy (nawias otwarty), a $3$ należy (nawias domknięty).

Odpowiedź: A. $5$.

Liczba parzysta to podwojona liczba całkowita:

$$2n,\qquad n\in\mathbb{Z}$$

Nieparzysta to $2n+1$ (odpowiedź B).

Uwaga: $n+2$ nie jest parzyste dla nieparzystego $n$, a $n^2$ jest parzyste tylko wtedy, gdy $n$ jest parzyste.

Odpowiedź: C. $2n$.

Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna, więc $|x|=-2$ jest niemożliwe.

Odpowiedź: C. brak rozwiązań.

Krok 1 — dwa przypadki. Nierówność „większe niż” rozpada się na dwie oddzielne:

$$x+2>5 \quad\text{lub}\quad x+2<-5$$

Krok 2 — rozwiązujemy każdą:

$$x>3 \quad\text{lub}\quad x<-7$$

$$x\in(-\infty,-7)\cup(3,+\infty)$$

Interpretacja: liczby oddalone od $-2$ o więcej niż $5$ jednostek.

Sprawdzenie dla $x=4$: $|6|=6>5$ ✔; dla $x=-8$: $|-6|=6>5$ ✔; dla $x=0$: $|2|=2$, czyli nie spełnia — i faktycznie $0$ nie należy do rozwiązania ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-7)\cup(3,+\infty)$.

Krok 1 — oznaczenie. Kolejne liczby nieparzyste zapisujemy jako $2n+1$ i $2n+3$, gdzie $n$ jest całkowite.

Krok 2 — suma kwadratów:

$$(2n+1)^2+(2n+3)^2=\left(4n^2+4n+1\right)+\left(4n^2+12n+9\right)$$

$$=8n^2+16n+10$$

Krok 3 — wyodrębniamy wielokrotność ósemki:

$$8n^2+16n+10=8\left(n^2+2n+1\right)+2=8(n+1)^2+2$$

Krok 4 — wniosek. Pierwszy składnik dzieli się przez $8$, a reszta wynosi $2$. ∎

Sprawdzenie: $3^2+5^2=34$, a $34=8\cdot4+2$ ✔ oraz $7^2+9^2=130=8\cdot16+2$ ✔

Krok 1 — wypisujemy liczby całkowite w przedziale $\langle-2,4)$: $-2,-1,0,1,2,3$.

Krok 2 — liczymy: jest ich $6$.

Uwaga: $-2$ należy (znak $\le$), a $4$ NIE należy (znak $<$).

Odpowiedź: $6$ liczb.

Część wspólna — musi zachodzić $x\le4$ oraz $x\ge-1$:

$$A\cap B=\langle-1,\,4\rangle$$

Suma — przedziały zachodzą na siebie, więc łączą się:

$$A\cup B=(-\infty,\,7)$$

Różnica $B\setminus A$ — elementy $B$, które nie należą do $A$, czyli te większe od $4$:

$$B\setminus A=(4,\,7)$$

Uwaga: $4$ należy do $A$, więc wypada z różnicy — stąd nawias otwarty.

Odpowiedź: $A\cap B=\langle-1,\,4\rangle$, $A\cup B=(-\infty,\,7)$, $B\setminus A=(4,\,7)$.

Krok 1 — przekształcamy tezę. Obie strony są dodatnie, więc mnożenie przez $2$ nie zmienia zwrotu:

$$a+b\ge2\sqrt{ab}$$

Krok 2 — przenosimy na jedną stronę:

$$a-2\sqrt{ab}+b\ge0$$

Krok 3 — kluczowa obserwacja. Skoro $a$ i $b$ są dodatnie, możemy zapisać $a=\left(\sqrt{a}\right)^2$ oraz $b=\left(\sqrt{b}\right)^2$. Wtedy lewa strona to kwadrat różnicy:

$$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0 \qquad ∎$$

Kiedy równość: dokładnie gdy $\sqrt{a}=\sqrt{b}$, czyli $a=b$.

Nazwa: to nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną. Sprawdzenie dla $a=2$, $b=8$: średnia arytmetyczna $5$, geometryczna $4$ ✔

Krok 1 — zapisujemy jako podwójną nierówność:

$$-6<2x-4<6$$

Krok 2 — dodajemy $4$ do wszystkich części:

$$-2<2x<10$$

Krok 3 — dzielimy przez $2$:

$$-1

Odpowiedź: $x\in(-1,5)$.

Interpretacja geometryczna. Szukamy liczby jednakowo oddalonej od $1$ i od $-3$ — czyli środka odcinka o tych końcach:

$$\frac{1+(-3)}{2}=-1$$

Rachunek. Równość wartości bezwzględnych oznacza, że wyrażenia są równe albo przeciwne:

$$x-1=x+3 \quad\Rightarrow\quad -1=3 \ \text{— sprzeczność}$$

$$x-1=-(x+3) \quad\Rightarrow\quad 2x=-2 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$

Sprawdzenie: $|-1-1|=2$ oraz $|-1+3|=2$ ✔

Odpowiedź: $x=-1$.

Krok 1 — rozkładamy na czynniki:

$$n^2+n=n(n+1)$$

Krok 2 — rozpoznanie. To iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych.

Krok 3 — argument. Spośród dwóch kolejnych liczb całkowitych zawsze dokładnie jedna jest parzysta, więc iloczyn zawiera czynnik $2$. ∎

Sprawdzenie: dla $n=3$ mamy $12$ ✔; dla $n=4$ mamy $20$ ✔; nawet dla $n=-3$ wychodzi $6$ ✔

Uwaga. Sprawdzenie kilku przypadków to nie dowód — dowodem jest rozumowanie z kroku trzeciego, prawdziwe dla każdego $n$.

Krok 1 — nierówność. Zarobek za $x$ godzin to $25x$:

$$25x>200$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x>8$$

Krok 3 — najmniejsza pełna liczba godzin większa od $8$ to $9$.

Sprawdzenie: $25\cdot9=225>200$, a $25\cdot8=200$ nie przekracza ✔

Odpowiedź: $9$ godzin.

Krok 1 — obserwacja wyjściowa. Dla każdej liczby zachodzi $-|a|\le a\le|a|$ oraz $-|b|\le b\le|b|$.

Krok 2 — dodajemy nierówności stronami:

$$-(|a|+|b|)\le a+b\le|a|+|b|$$

Krok 3 — wniosek. Liczba $a+b$ leży między $-(|a|+|b|)$ a $|a|+|b|$, a to dokładnie oznacza:

$$|a+b|\le|a|+|b| \qquad ∎$$

Równość zachodzi, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak (albo któraś jest zerem). Przykład: $a=3$, $b=5$ — wtedy $|8|=8$ oraz $3+5=8$ ✔

Nierówność ostra zachodzi przy przeciwnych znakach. Przykład: $a=3$, $b=-5$ — wtedy $|-2|=2$, ale $3+5=8$, więc $2<8$ ✔

Nazwa: to nierówność trójkąta — odpowiednik faktu, że w trójkącie bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych.

Krok 1 — przenosimy wszystko na lewą stronę:

$$a^2-2ab+b^2\ge0$$

Krok 2 — rozpoznajemy kwadrat różnicy:

$$(a-b)^2\ge0 \qquad ∎$$

Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc nierówność zachodzi zawsze.

Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy $a-b=0$, czyli $a=b$.

Zastosowanie. Podstawiając $a=x$ i $b=\frac1x$ dla $x>0$, dostajemy:

$$x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$$

Podobnie $x+\frac1x\ge2$ dla $x>0$ — najmniejsza wartość wynosi $2$ i jest osiągana dla $x=1$. Ta nierówność bywa potrzebna w zadaniach optymalizacyjnych, gdzie pozwala oszacować wynik bez liczenia pochodnej.

Sprawdzenie: dla $x=2$ mamy $2+0{,}5=2{,}5\ge2$ ✔; dla $x=1$ wychodzi dokładnie $2$ ✔

Rozpatrujemy dwa przypadki.

Przypadek 1: $x\ge0$. Wtedy $|x|=x$, więc $|x|\ge x$ (zachodzi równość).

Przypadek 2: $x<0$. Wtedy $|x|=-x>0$, a $x<0$, więc $|x|>0>x$, czyli $|x|>x$.

Wniosek. W obu przypadkach $|x|\ge x$, więc nierówność zachodzi dla każdego $x$. $\quad∎$

Sprawdzenie: $x=-3$: $|-3|=3\ge-3$ ✔; $x=5$: $5\ge5$ ✔

Rozwiązanie

Rozważamy przedziały wyznaczone przez $x=-3$ i $x=2$.

1. $x<-3$: $(2-x)-2(-(x+3))<-2\Rightarrow x+8<-2\Rightarrow x<-10$.
2. $-3\le x<2$: $(2-x)-2(x+3)<-2\Rightarrow -3x-4<-2\Rightarrow x>-\tfrac23$, więc $-\tfrac23
3. $x\ge2$: $(x-2)-2(x+3)<-2\Rightarrow -x-8<-2\Rightarrow x>-6$, więc $x\ge2$.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-10)\cup\left(-\tfrac23,+\infty\right)$.

Rozwiązanie

$|x-1|\ge3\Rightarrow x-1\ge3$ lub $x-1\le-3\Rightarrow x\ge4$ lub $x\le-2$ (końce domknięte).

Odpowiedź: B

Stosując standardowy mechanizm rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną, otrzymamy następującą sytuację:
$$x-1\ge3 \quad\lor\quad x-1\le-3 \\
x\ge4 \quad\lor\quad x\le-2$$

Wyszło nam, że ta nierówność jest spełniana dla \(x\) mniejszego lub równego \(-2\), a także dla \(x\) większego lub równego \(4\), co matematycznie zapisalibyśmy jako \(x\in(-\infty;-2\rangle\cup\langle4;+\infty)\). Taka suma przedziałów znalazła się na drugim rysunku.

$|x+4|=7$ oznacza $x+4=7$ lub $x+4=-7$, czyli $x_{1}=3$, $x_{2}=-11$.

Suma: $3+(-11)=-8$.

Odpowiedź: B.

Rozwiązanie

Środek pominiętego przedziału $(-2,5)$ to $\tfrac{-2+5}{2}=1{,}5$, a jego „promień" to $\tfrac{5-(-2)}{2}=3{,}5$. Zaznaczono część na zewnątrz, więc $|x-1{,}5|\ge3{,}5$.

Odpowiedź: B

Najbezpieczniejszym sposobem byłoby rozwiązywanie każdej z podanych nierówności z wartością bezwzględną. Jeśli jednak mamy trochę wprawy w rozwiązywaniu takich nierówności, to nasz wzrok powinien kierować się przede wszystkim ku odpowiedziom A oraz B. Dlaczego? Wynik będący sumą przedziałów jest charakterystyczny dla nierówności w których występuje znak typu \(\ge\). Gdybyśmy mieli jeden przedział, to wtedy interesowałyby nas w pierwszej kolejności nierówności ze znakiem typu \(\le\). Spróbujmy zatem rozwiązać podane nierówności:

Odp. A.
$$|x-3,5|\ge1,5 \\
x-3,5\ge1,5 \quad\lor\quad x-3,5\le-1,5 \\
x\ge5 \quad\lor\quad x\le2$$

Odp. B.
$$|x-1,5|\ge3,5 \\
x-1,5\ge3,5 \quad\lor\quad x-1,5\le-3,5 \\
x\ge5 \quad\lor\quad x\le-2$$

Odp. C.
$$|x-3,5|\le1,5 \\
x-3,5\le1,5 \quad\land\quad x-3,5\ge-1,5 \\
x\le5 \quad\land\quad x\ge2$$

Odp. D.
$$|x-1,5|\le3,5 \\
x-1,5\le3,5 \quad\land\quad x-1,5\ge-3,5 \\
x\le5 \quad\land\quad x\ge-2$$

Interesujące nas rozwiązanie znalazło się zatem w drugiej nierówności.

Zaznaczono przedział otwarty $(-3,7)$. Jego środek to $\dfrac{-3+7}{2}=2$, a promień (połowa długości) to $\dfrac{7-(-3)}{2}=5$.

Zbiór liczb odległych od $2$ o mniej niż $5$ opisuje nierówność $|x-2|<5$.

Odpowiedź: A.