Twierdzenie Talesa
Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 17
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Proste $k\parallel l$. Prosta $m$ przecina $k,l$ w $A,C$, prosta $n$ przecina $k,l$ w $D,B$. Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w $O$; $|OA|=12$, $|OB|=6$, $|OC|=8$. Odcinek $OD$ ma długość
Prosta \(m\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach - odpowiednio \(A\) oraz \(C\).
Prosta \(n\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach - odpowiednio - \(D\) oraz \(B\).
Odcinki \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\).
Ponadto \(|OA|=12\), \(|OB|=6\) oraz \(|OC|=8\) (zobacz rysunek).
Odcinek \(OD\) ma długość:
W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przez punkt \(O\) przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków \(BC\) i \(AD\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(B'\), a prosta równoległa do boku \(AD\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(A'\).
Wykaż, że \(|AA'|=|BB'|\).
Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) tego trójkąta obrano punkty \(D\), \(E\) i \(F\) tak, że \(|AD|=|DE|=|EF|=2|FB|\). Na bokach \(AC\) i \(BC\) obrano – odpowiednio – punkty \(G\) i \(H\) tak, że \(DG\parallel EC\) oraz \(FH\parallel EC\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli pole trójkąta \(FBH\) jest równe \(S\), to pole trójkąta \(ADG\) jest równe \(3S\).
Odcinek \(CE\) ma długość:
Odcinek \(CE\) ma długość:
Długość odcinka \(DE\) jest równa:
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|BC|=a\). Z wierzchołka \(B\) poprowadzono środkową \(BD\) do boku \(AC\). Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BD\). Przez punkty \(A\) i \(S\) poprowadzono prostą, która przecięła bok \(BC\) w punkcie \(P\).
Wykaż, że długość odcinka \(CP\) jest równa \(\frac{2}{3}a\).
Przekątne trapezu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(P\). Prosta równoległa do podstaw trapezu, przechodząca przez punkt \(P\), przecina ramiona \(AD\) i \(BC\) odpowiednio w punktach \(M\) i \(N\).
Wykaż, że \(|MP|=|NP|\).
Długość odcinka \(AD\) jest równa:
📘Teoria 1
Treść
Proste równoległe przecinające ramiona kąta wyznaczają na nich odcinki proporcjonalne.
Zapis
$\frac{OA}{OB}=\frac{OA'}{OB'}$.
Twierdzenie odwrotne
Proporcjonalność odcinków pozwala wnioskować o równoległości prostych.
Zastosowanie
Podział odcinka w danym stosunku, obliczanie długości.
∑Wzory 0
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 22
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Trójkąty $T_1$ i $T_2$ są podobne, przy czym $T_2$ jest trzy razy większy od $T_1$ (skala $3$). Pole trójkąta $T_1$ jest równe $5$. Pole trójkąta $T_2$ jest równe
Obwody dwóch trójkątów podobnych są równe $12$ i $18$. Stosunek pola mniejszego trójkąta do pola większego jest równy
Na jednym ramieniu kąta o wierzchołku $O$ leżą punkty $A$ i $B$ ($A$ między $O$ i $B$), a na drugim punkty $A^\prime$ i $B^\prime$. Proste $AA^\prime$ i $BB^\prime$ są równoległe. $|OA|=4$, $|AB|=6$, $|OA^\prime|=6$. Długość odcinka $A^\prime B^\prime$ jest równa
Proste $k$ i $l$ są równoległe. Punkty $A$ i $D$ leżą na prostej $k$, a punkty $B$ i $C$ — na prostej $l$. Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$, przy czym $|OA|=9$, $|OC|=6$, $|OD|=12$. Długość odcinka $OB$ jest równa
W trójkącie $ABC$ dane są $|AC|=6$, $|BC|=9$ i $|AB|=10$. Dwusieczna kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$. Długość odcinka $AD$ jest równa
W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości $4$ i $9$. Ta wysokość ma długość
Pole trójkąta $ABC$ jest równe $50$. Prosta równoległa do boku $AB$ przecina boki $AC$ i $BC$ odpowiednio w punktach $K$ i $L$, przy czym $|CK|:|KA|=2:3$. Pole trójkąta $KLC$ jest równe
Dane są trójkąty o bokach $3,\ 4,\ 5$ oraz $6,\ 8,\ 10$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
- Te trójkąty są podobne.
- Pole większego trójkąta jest dwa razy większe od pola mniejszego.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości $6$ i $8$, a przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość $25$. Oblicz pole trójkąta $T_2$.
W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Wykaż, że $|AO|\cdot|OD|=|BO|\cdot|OC|$.
W skali podobieństwa $k=2$ bok $3$ odpowiada bokowi
Trójkąty są podobne. Jeśli $\dfrac{3}{6}=\dfrac{x}{8}$, to $x$ jest równy
W skali podobieństwa $k=2$ pole figury zmienia się $k^2$ razy, czyli
Z twierdzenia Talesa $\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{x}$. Wartość $x$ jest równa
Trójkąty są podobne w skali $k=3$. Bok $5$ odpowiada bokowi o długości ile?
Ramiona kąta przecięto dwiema prostymi równoległymi. Na jednym ramieniu powstały odcinki $3$ cm i $6$ cm, a na drugim odcinek $4$ cm i odcinek $x$. Ile wynosi $x$?
W trójkącie $ABC$ poprowadzono odcinek $DE$ równoległy do boku $BC$, gdzie $D$ leży na $AB$, a $E$ na $AC$. Wiadomo, że $AD=4$, $DB=6$ oraz $AE=6$. Oblicz $EC$.
Mapa wykonana jest w skali $1:50\,000$. Działka na mapie ma kształt prostokąta o wymiarach $2$ cm na $3$ cm. Oblicz rzeczywiste pole tej działki w kilometrach kwadratowych.
W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $6$ i $8$ poprowadzono wysokość na przeciwprostokątną. Oblicz długość tej wysokości.
Model samolotu wykonano w skali $1:100$. Ile razy mniejsze jest pole powierzchni modelu od pola powierzchni prawdziwego samolotu?
Na ramionach kąta o wierzchołku $O$ zaznaczono punkty: na jednym $A$ i $B$, na drugim $C$ i $D$, przy czym $AC \parallel BD$. Wiadomo, że $OA=5$, $AB=10$, $OC=7$. Oblicz $CD$.
Prostokąt o wymiarach $4$ cm na $6$ cm powiększono tak, że jego pole wzrosło do $150$ cm$^2$. Oblicz skalę powiększenia i nowe wymiary prostokąta.