Szkicowanie wykresu funkcji (1)

Obliczenie wartości funkcji polega na wstawieniu liczby w miejsce $x$:

$$f(4)=3\cdot4-5=12-5=7$$

Pułapka: odpowiedź D to wynik po samym pomnożeniu, bez odjęcia $5$.

Odpowiedź: C. $f(4)=7$.

Dodanie liczby na zewnątrz funkcji zmienia wartości, czyli przesuwa wykres pionowo.

$$f(x)+q \ \to\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż osi } OY$$

Odpowiedź: B. o $3$ w górę.

Podstawiamy kolejne argumenty:

$$f(0)=0^2-4=-4$$

$$f(3)=3^2-4=9-4=5$$

$$f(-3)=(-3)^2-4=9-4=5$$

Uwaga na nawias: $(-3)^2=9$, a nie $-9$ — podnosimy do kwadratu całą liczbę ujemną.

Obserwacja: $f(3)=f(-3)$, bo funkcja zależy tylko od $x^2$. Jej wykres jest symetryczny względem osi OY.

Odpowiedź: $f(0)=-4$, $f(3)=5$, $f(-3)=5$.

Liczba wewnątrz nawiasu przesuwa wykres poziomo.

$$f(x-p) \ \to\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż osi } OX$$

Tutaj $p=4$, więc wykres przesuwa się o $4$ jednostki w prawo.

Uwaga na znak: minus w nawiasie oznacza przesunięcie w prawo — to często myli. Sprawdzian: dla $f(x)=x^2$ wierzchołek $f(x-4)=(x-4)^2$ leży w $x=4$.

Odpowiedź: przez przesunięcie o $4$ w prawo.

Tym razem znamy wartość, a szukamy argumentu — układamy równanie $f(x)=9$:

$$2x+1=9$$

Rozwiązujemy:

$$2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Sprawdzenie: $f(4)=2\cdot4+1=9$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Argument się nie zmienił, a wartość wzrosła o $3$:

$$g(x)=f(x)+3$$

Sprawdzenie: $g(2)=f(2)+3=5+3=8$ ✔

Odpowiedź: $g(x)=f(x)+3$.

Mianownik ułamka nie może być zerem, więc wykluczamy argumenty spełniające:

$$x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Zatem dziedziną jest zbiór:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$

Pułapka ze znakiem: w mianowniku stoi $x-3$, więc wykluczamy $3$, a nie $-3$.

Odpowiedź: B.

Zmiana znaku wartości odbija wykres w poziomej osi:

$$(x,\,y)\ \to\ (x,\,-y)$$

Dla porównania: $g(x)=f(-x)$ zmienia znak argumentu i daje symetrię względem osi $OY$.

Odpowiedź: A. osi $OX$.

Pierwiastek kwadratowy jest określony tylko dla liczb nieujemnych, więc żądamy:

$$x-2\ge 0$$

Rozwiązujemy nierówność:

$$x\ge 2$$

Dziedzina to przedział:

$$D=\langle 2,\,+\infty)$$

Uwaga: nierówność jest nieostra, bo $\sqrt{0}=0$ jest poprawną wartością — liczba $2$ należy do dziedziny.

Odpowiedź: $D=\langle 2,\,+\infty)$.

Wzór:

$$g(x)=x^2+2$$

Wierzchołek. Był w $(0,\,0)$, więc po przesunięciu o $2$ w górę jest w:

$$(0,\,2)$$

Odpowiedź: $g(x)=x^2+2$, wierzchołek $(0,\,2)$.

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero:

$$f(x)=0 \quad\Rightarrow\quad 4x-12=0$$

Rozwiązujemy:

$$4x=12 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Interpretacja geometryczna: wykres przecina oś OX w punkcie $(3,\,0)$.

Odpowiedź: miejsce zerowe to $x=3$.

Zapis $f(x+5)$ to $f(x-(-5))$, więc $p=-5$ — przesunięcie w lewo.

Sprawdzian intuicyjny: funkcja osiąga tę samą wartość o $5$ jednostek wcześniej, bo do argumentu dodano $5$.

Odpowiedź: D. o $5$ w lewo.

Funkcja przypisuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość.

W przypadku D jednej liczbie odpowiada nieskończenie wiele liczb większych — na przykład liczbie $2$ odpowiadają $3$, $4$, $5$ i tak dalej. To narusza definicję funkcji.

Pozostałe przypadki są funkcjami: uczeń ma jedną datę urodzenia, liczba jeden kwadrat, a miasto jedną liczbę mieszkańców.

Uwaga: funkcja może przypisać tę samą wartość różnym argumentom — to dozwolone. Zabronione jest tylko dwie wartości dla jednego argumentu.

Odpowiedź: D.

Krok 1 — przesunięcie poziome (do nawiasu wstawiamy $x-3$):

$$(x-3)^2$$

Krok 2 — przesunięcie pionowe (odejmujemy $1$ na zewnątrz):

$$g(x)=(x-3)^2-1$$

Krok 3 — wierzchołek:

$$W=(3,\,-1)$$

Reguła ogólna: $f(x)=a(x-p)^2+q$ ma wierzchołek $(p,\,q)$.

Odpowiedź: $g(x)=(x-3)^2-1$, wierzchołek $(3,\,-1)$.

Analiza przebiegu. Idąc od lewej krawędzi dziedziny, wartości rosną aż do $x=1$, a potem zaczynają maleć.

Punkt $x=1$ jest więc szczytem wykresu — na lewo od niego wartości są mniejsze (bo funkcja dopiero rosła), a na prawo również mniejsze (bo zaczęła maleć).

Wniosek: wartość największa jest osiągana dla $x=1$ i wynosi $f(1)$.

Gdzie jest wartość najmniejsza: na jednym z końców dziedziny — trzeba porównać $f(-3)$ z $f(5)$, bo z samej monotoniczności tego nie rozstrzygniemy.

Odpowiedź: wartość największa dla $x=1$.

Symetria względem $OX$ — zmienia znak rzędnej:

$$(4,\,7)$$

Symetria względem $OY$ — zmienia znak odciętej:

$$(-4,-7)$$

Odpowiedź: $(4,\,7)$ oraz $(-4,-7)$.

O monotoniczności funkcji liniowej decyduje współczynnik kierunkowy $a$:

$$a>0 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad a<0 \Rightarrow \text{malejąca},\qquad a=0 \Rightarrow \text{stała}$$

Tutaj $a=-2<0$, więc funkcja maleje w całej dziedzinie.

Sprawdzenie liczbowe: $f(0)=6$, $f(1)=4$, $f(2)=2$ — wartości faktycznie spadają.

Odpowiedź: A.

Zapisujemy jako $\left(x-(-2)\right)^2$, więc $p=-2$ i $q=0$:

$$W=(-2,\,0)$$

Sprawdzenie: $g(-2)=0$, a dla każdego innego $x$ wartość jest dodatnia — to faktycznie minimum ✔

Odpowiedź: C. $(-2,\,0)$.

Krok 1 — szukamy zależności. Porównujemy argumenty z wartościami:

$$3=3\cdot1,\quad 6=3\cdot2,\quad 9=3\cdot3,\quad 12=3\cdot4$$

Każda wartość jest trzykrotnością argumentu.

Krok 2 — wzór funkcji:

$$f(x)=3x$$

Krok 3 — obliczamy $f(10)$:

$$f(10)=3\cdot10=30$$

Kontrola: wzór musi pasować do wszystkich par z tabeli, nie tylko do pierwszej. Tu pasuje do każdej.

Odpowiedź: $f(x)=3x$ oraz $f(10)=30$.

Krok 1 — wzór:

$$g(x)=\frac{1}{x-2}$$

Krok 2 — asymptoty. Funkcja $\frac1x$ miała asymptoty $x=0$ i $y=0$. Przesunięcie poziome przesuwa tylko asymptotę pionową:

$$x=2,\qquad y=0$$

Kontrola: dziedziną jest $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ — zgadza się z położeniem asymptoty pionowej ✔

Odpowiedź: $g(x)=\frac{1}{x-2}$, asymptoty $x=2$ i $y=0$.

Punkt należy do wykresu, gdy jego współrzędne spełniają wzór funkcji. Sprawdzamy kolejno:

$$f(2)=2^2-1=3 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (2,\,3) \text{ należy}$$

$$f(1)=1^2-1=0 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (1,\,1) \text{ nie należy}$$

$$f(0)=0^2-1=-1 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (0,\,1) \text{ nie należy}$$

Odpowiedź: B. $(2,\,3)$.

Zmiana znaku argumentu odbija wykres w osi pionowej:

$$(x,\,y)\ \to\ (-x,\,y)$$

Ciekawostka: dla funkcji parzystej (np. $x^2$) taka symetria niczego nie zmienia — wykres pokrywa się sam ze sobą.

Odpowiedź: B. osi $OY$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Rozwiązujemy $f(x)=0$:

$$x^2-9=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{ lub } \ x=-3$$

Krok 2 — gdzie wartości są ujemne. Parabola ma ramiona skierowane w górę ($a=1>0$), więc leży pod osią OX pomiędzy miejscami zerowymi:

$$f(x)<0 \iff x\in(-3,\,3)$$

Sprawdzenie: $f(0)=-9<0$ — punkt $0$ leży w tym przedziale ✔, a $f(4)=16-9=7>0$ — punkt $4$ leży poza nim ✔

Odpowiedź: miejsca zerowe $x=-3$ i $x=3$; wartości ujemne dla $x\in(-3,\,3)$.

Przekształcenia: przesunięcie o $1$ w prawo i o $4$ w górę.

Wierzchołek: $(1,\,4)$.

Zbiór wartości. Ramiona idą w górę, więc najmniejsza wartość to $4$:

$$ZW=\langle4,+\infty)$$

Odpowiedź: przesunięcie $(1,\,4)$; $ZW=\langle4,+\infty)$.

Wykluczamy argumenty zerujące mianownik:

$$x^2-4=0$$

Rozkładamy na czynniki:

$$(x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-2$$

Zatem dziedziną jest:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$$

Uwaga: licznik nie ma tu żadnego znaczenia — dziedzinę ogranicza wyłącznie mianownik. Trzeba też wykluczyć obie liczby, nie tylko jedną.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$.

Do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora:

$$(5-3,\ 1+2)=(2,\,3)$$

Uwaga: we wzorze funkcji przesunięcie o wektor $[p,\,q]$ zapisujemy jako $g(x)=f(x-p)+q$, czyli tutaj $g(x)=f(x+3)+2$.

Odpowiedź: $(2,\,3)$.

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny:

$$x^2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^2+2\ge 2$$

Najmniejsza wartość $2$ jest osiągana dla $x=0$, więc należy do zbioru wartości — dlatego przedział jest domknięty od lewej.

Różnica między C a D: odpowiedź D wyklucza liczbę $2$, a przecież $f(0)=2$.

Odpowiedź: C. $ZW=\langle 2,\,+\infty)$.

Minus przed całą funkcją odbija wykres względem osi $OX$ — parabola „przewraca się".

Konsekwencja: wierzchołek $(0,\,0)$ pozostaje w tym samym miejscu, ale z minimum staje się maksimum.

Odpowiedź: A. skierowane w dół.

Punkt $A=(1,\,4)$. Obliczamy wartość funkcji dla $x=1$:

$$f(1)=3\cdot1+1=4$$

Wynik zgadza się z drugą współrzędną punktu, więc $A$ należy do wykresu.

Punkt $B=(-2,\,-5)$. Obliczamy wartość dla $x=-2$:

$$f(-2)=3\cdot(-2)+1=-6+1=-5$$

Również się zgadza, więc $B$ także należy do wykresu.

Wniosek dodatkowy: oba punkty leżą na tej samej prostej — można to wykorzystać do jej narysowania, bo dwa punkty wyznaczają prostą.

Odpowiedź: oba punkty należą do wykresu.

Krok 1 — przesunięcie w lewo (do środka dodajemy $2$):

$$|x+2|$$

Krok 2 — przesunięcie w dół:

$$g(x)=|x+2|-3$$

Krok 3 — wierzchołek. Wykres $|x|$ miał wierzchołek w $(0,\,0)$:

$$W=(-2,-3)$$

Sprawdzenie: $g(-2)=0-3=-3$ ✔

Odpowiedź: $g(x)=|x+2|-3$, wierzchołek $(-2,-3)$.

Na osi OY pierwsza współrzędna jest zawsze równa zeru, więc punkt przecięcia ma postać $(0,\,y)$, gdzie $y$ to wartość funkcji dla argumentu $0$:

$$y=f(0)$$

Nie mylić z miejscem zerowym — to punkt przecięcia z osią OX, gdzie $f(x)=0$. Są to dwie różne rzeczy.

Przykład: dla $f(x)=2x+6$ wykres przecina OY w $(0,\,6)$, a OX w $(-3,\,0)$.

Odpowiedź: A.

Przesunięcie poziome zmienia tylko argumenty — wartości pozostają te same, więc zbiór wartości się nie zmienia.

Pozostałe: przesunięcia pionowe przesuwają cały zbiór wartości, a symetria względem $OX$ go odbija (np. $\langle0,\infty)$ przechodzi na $(-\infty,\,0\rangle$).

Odpowiedź: D. przesunięcie o $4$ w prawo.

Obliczamy reszty:

$$7=3\cdot2+1 \quad\Rightarrow\quad f(7)=1$$

$$9=3\cdot3+0 \quad\Rightarrow\quad f(9)=0$$

$$11=3\cdot3+2 \quad\Rightarrow\quad f(11)=2$$

Zbiór wartości. Reszta z dzielenia przez $3$ jest zawsze mniejsza od $3$ i nieujemna, więc możliwe wyniki to:

$$ZW=\{0,\,1,\,2\}$$

Ciekawostka: ta funkcja przypisuje tę samą wartość nieskończenie wielu argumentom (np. $f(3)=f(6)=f(9)=0$) — to całkowicie zgodne z definicją funkcji.

Odpowiedź: $f(7)=1$, $f(9)=0$, $f(11)=2$; $ZW=\{0,\,1,\,2\}$.

Krok 1 — symetria względem $OX$:

$$-x^2$$

Krok 2 — przesunięcie o $5$ w górę:

$$g(x)=-x^2+5$$

Krok 3 — wierzchołek:

$$W=(0,\,5)$$

Krok 4 — zbiór wartości. Ramiona w dół, więc $5$ jest wartością największą:

$$ZW=(-\infty,\,5\rangle$$

Uwaga na kolejność. Gdybyśmy najpierw przesunęli o $5$ w górę, a potem odbili, dostalibyśmy $-\left(x^2+5\right)=-x^2-5$ — zupełnie inny wynik. Kolejność przekształceń ma znaczenie.

Odpowiedź: $g(x)=-x^2+5$, $W=(0,\,5)$, $ZW=(-\infty,\,5\rangle$.

Krok 1 — wzór funkcji. Niech $x$ oznacza liczbę godzin:

$$K(x)=15+4x$$

Krok 2 — koszt za $5$ godzin:

$$K(5)=15+4\cdot5=15+20=35\ \text{zł}$$

Krok 3 — na ile godzin wystarczy $51$ zł. Rozwiązujemy równanie $K(x)=51$:

$$15+4x=51 \quad\Rightarrow\quad 4x=36 \quad\Rightarrow\quad x=9$$

Sprawdzenie: $15+4\cdot9=15+36=51$ zł ✔

Uwaga na dziedzinę: liczba godzin nie może być ujemna, więc sensowna dziedzina to $x\ge 0$.

Odpowiedź: $K(x)=15+4x$; za $5$ godzin zapłacimy $35$ zł; $51$ zł wystarczy na $9$ godzin.

Funkcja $g$. Przesunięcie o $2$ w prawo przesuwa też miejsce zerowe:

$$x=3+2=5$$

Sprawdzenie: $g(5)=f(5-2)=f(3)=0$ ✔

Funkcja $h$. Przesunięcie pionowe podnosi cały wykres o $1$. W punkcie $x=3$ wartość wynosi teraz $0+1=1$, a nie zero.

Wniosek: nie da się określić miejsc zerowych $h$ bez znajomości całego wykresu $f$ — mogą istnieć gdzie indziej albo wcale, jeśli cały wykres $f$ leży nad prostą $y=-1$.

Odpowiedź: $g$ ma miejsce zerowe w $x=5$; dla $h$ nie można tego ustalić z podanych danych.

Krok 1 — miejsca zerowe. Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik:

$$x-2=0 \ \text{ lub } \ x+5=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-5$$

Postać iloczynowa jest tu bardzo wygodna — miejsca zerowe odczytujemy niemal wprost, pamiętając o zmianie znaku.

Krok 2 — przecięcie z osią OY. Podstawiamy $x=0$:

$$f(0)=(0-2)(0+5)=(-2)\cdot5=-10$$

Punkt przecięcia to $(0,\,-10)$.

Odpowiedź: miejsca zerowe $x=2$ i $x=-5$; wykres przecina oś OY w punkcie $(0,\,-10)$.

Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Połowa współczynnika przy $x$ to $-3$, a $(-3)^2=9$, więc rozbijamy $11=9+2$:

$$x^2-6x+11=\left(x^2-6x+9\right)+2=(x-3)^2+2$$

Krok 2 — odczyt przekształceń. Z postaci $(x-3)^2+2$ wynika:

• przesunięcie o $3$ w prawo
• przesunięcie o $2$ w górę

Krok 3 — wierzchołek: $W=(3,\,2)$.

Sprawdzenie: $f(3)=9-18+11=2$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=(x-3)^2+2$; przesunięcie o wektor $[3,\,2]$.

Krok 1 — dziedzina. Mianownik nie może być zerem:

$$x-1\neq 0 \quad\Rightarrow\quad x\neq 1,\qquad D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$$

Krok 2 — obliczamy $f(4)$:

$$f(4)=\frac{4+3}{4-1}=\frac{7}{3}$$

Krok 3 — miejsce zerowe. Ułamek jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy licznik jest zerem (przy niezerowym mianowniku):

$$x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3$$

Sprawdzenie dziedziny: $-3\neq 1$, więc argument jest dopuszczalny ✔

Sprawdzenie wartości: $f(-3)=\frac{-3+3}{-3-1}=\frac{0}{-4}=0$ ✔

Częsty błąd: przyrównywanie do zera całego ułamka razem z mianownikiem. Mianownik zeruje dziedzinę, a nie wartość.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$, $f(4)=\frac73$, miejsce zerowe $x=-3$.

Funkcja $g$. Wyrażenie $x-3$ musi należeć do dziedziny $f$:

$$-2\le x-3\le6$$

Dodajemy $3$ do wszystkich części:

$$1\le x\le9 \quad\Rightarrow\quad D_g=\langle1,\,9\rangle$$

Interpretacja: przesunięcie wykresu o $3$ w prawo przesuwa też dziedzinę o $3$ w prawo ✔

Funkcja $h$. Teraz $-x$ musi należeć do dziedziny $f$:

$$-2\le -x\le6$$

Mnożymy przez $-1$ i odwracamy nierówności:

$$2\ge x\ge-6 \quad\Rightarrow\quad D_h=\langle-6,\,2\rangle$$

Interpretacja: symetria względem osi $OY$ odbija dziedzinę — przedział $\langle-2,\,6\rangle$ przechodzi na $\langle-6,\,2\rangle$ ✔

Odpowiedź: $D_g=\langle1,\,9\rangle$, $D_h=\langle-6,\,2\rangle$.