Skala logarytmiczna

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. $13$ jest pierwsza, $9=3^2$ i $15=3\cdot5$ są złożone, a $1$ nie jest pierwsza.

Odpowiedź: C. $13$.

Dzielimy przez kolejne liczby pierwsze:

$$60=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5$$

Odpowiedź: $2^2\cdot3\cdot5$.

Rozkłady: $24=2^3\cdot3$, $36=2^2\cdot3^2$.

NWD — najniższe potęgi wspólnych czynników: $2^2\cdot3=12$.

NWW — najwyższe potęgi: $2^3\cdot3^2=72$.

Sprawdzenie: $12\cdot72=864=24\cdot36$ ✔

Odpowiedź: NWD$=12$, NWW$=72$.

$$10^3=1000 \quad\Rightarrow\quad \log_{10}1000=3$$

Logarytm dziesiętny mówi, ile zer ma potęga dziesiątki.

Odpowiedź: A. $3$.

W skali logarytmicznej odległość odpowiada różnicy logarytmów:

$$\log_{10}1000-\log_{10}10=3-1=2$$

Interpretacja: $1000$ jest o dwie „dekady" dalej niż $10$ — mnożenie przez $10$ przesuwa o jedną jednostkę skali.

Odpowiedź: $2$ jednostki.

Dzielniki $12$: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$ — sześć.

Ze wzoru: $12=2^2\cdot3$, liczba dzielników to $(2+1)(1+1)=6$.

Odpowiedź: D. $6$.

Krok 1 — rozkład:

$$72=2^3\cdot3^2$$

Krok 2 — wzór na liczbę dzielników. Do każdego wykładnika dodajemy $1$ i mnożymy:

$$(3+1)(2+1)=4\cdot3=12$$

Dlaczego wzór działa: każdy dzielnik ma postać $2^a\cdot3^b$, gdzie $a\in\{0,1,2,3\}$ i $b\in\{0,1,2\}$ — stąd $4\cdot3$ kombinacji.

Odpowiedź: $12$ dzielników.

Krok 1 — zapisujemy jako potęgę dziesiątki:

$$0{,}001=10^{-3}$$

Krok 2 — logarytm:

$$\log_{10}10^{-3}=-3$$

Uwaga: logarytm liczby mniejszej od $1$ (ale dodatniej) jest ujemny.

Odpowiedź: $-3$.

$$\log_2 1024=\log_2 2^{10}=10$$

Odpowiedź: B. $10$.

Zasada skali logarytmicznej. Wzrost magnitudy o $1$ oznacza $10$-krotny wzrost amplitudy.

Krok 1 — różnica magnitud:

$$8-5=3$$

Krok 2 — mnożnik amplitudy:

$$10^3=1000$$

Interpretacja. Trzęsienie o magnitudzie $8$ ma amplitudę $1000$ razy większą niż o magnitudzie $5$ — to potęga skali logarytmicznej: małe liczby opisują ogromne różnice.

Odpowiedź: $1000$ razy.

Liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych dzielników poza $1$.

$$\text{NWD}(8,9)=1$$

Pozostałe pary mają wspólny dzielnik: $6,9\to3$; $4,8\to4$; $10,15\to5$.

Odpowiedź: A. $8$ i $9$.

Sposób 1 — osobno:

$$2+1=3$$

Sposób 2 — logarytm iloczynu:

$$\log_{10}(100\cdot10)=\log_{10}1000=3$$

Odpowiedź: $3$.

Krok 1 — szukamy NWW. Liczby $2$, $3$, $5$ są parami względnie pierwsze:

$$\text{NWW}=2\cdot3\cdot5=30$$

Krok 2 — sprawdzenie. $30$ dzieli się przez $2$ ($30:2=15$), przez $3$ ($30:3=10$) i przez $5$ ($30:5=6$) ✔

Odpowiedź: $30$.

Logarytm z jedynki zawsze wynosi zero, bo $10^0=1$:

$$\log_{10}1=0$$

Odpowiedź: C. $0$.

Wypisujemy liczby pierwsze po kolei:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19$$

Jest ich osiem.

Uwaga: $2$ to jedyna parzysta liczba pierwsza; $1$ nie jest pierwsza.

Odpowiedź: $8$ liczb.

Na skali logarytmicznej odległość odpowiada logarytmowi, a logarytm zamienia mnożenie na dodawanie. Dlatego równe odstępy oznaczają mnożenie przez stały czynnik (równe ilorazy).

Przykład: $1,\ 10,\ 100,\ 1000$ są równoodległe — każda kolejna to poprzednia razy $10$.

Odpowiedź: B. równym ilorazom.

Krok 1 — liczba wszystkich dzielników:

$$(4+1)(2+1)(1+1)=5\cdot3\cdot2=30$$

Krok 2 — dzielniki nieparzyste. To te bez czynnika $2$, czyli postaci $3^b\cdot5^c$:

$$(2+1)(1+1)=3\cdot2=6$$

Krok 3 — dzielniki parzyste to reszta:

$$30-6=24$$

Metoda. Dzielnik jest parzysty, gdy zawiera co najmniej jedną dwójkę — łatwiej policzyć nieparzyste (bez dwójek) i odjąć.

Odpowiedź: $30$ dzielników, w tym $24$ parzyste.

Krok 1 — podstawiamy do wzoru:

$$\text{pH}=-\log_{10}10^{-4}$$

Krok 2 — obliczamy logarytm:

$$\log_{10}10^{-4}=-4$$

Krok 3 — z minusem z przodu:

$$\text{pH}=-(-4)=4$$

Interpretacja. pH to praktyczne zastosowanie skali logarytmicznej w chemii — stężenie zmieniające się o rzędy wielkości opisujemy liczbami z zakresu $0$–$14$.

Odpowiedź: pH $=4$ (roztwór kwaśny).

Krok 1 — obserwacja. Wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych $n$ i $n+1$ jedna jest parzysta, a druga nieparzysta.

Krok 2 — rozumowanie. Iloczyn zawierający czynnik parzysty jest parzysty, bo dzieli się przez $2$.

Krok 3 — formalnie. Jeśli $n$ jest parzyste, to $n=2k$ i $n(n+1)=2k(n+1)$ — podzielne przez $2$. Jeśli $n$ nieparzyste, to $n+1$ parzyste, $n+1=2m$ i $n(n+1)=2mn$ — też podzielne przez $2$. $\qquad ∎$

Sprawdzenie: $7\cdot8=56$ (parzyste), $4\cdot5=20$ (parzyste) ✔

Krok 1 — zapis liczby trzycyfrowej. Liczba o cyfrach $a$, $b$, $c$ to:

$$N=100a+10b+c$$

Krok 2 — rozbijamy na część podzielną przez $9$ i sumę cyfr:

$$N=(99a+9b)+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)$$

Krok 3 — wnioskowanie. Składnik $9(11a+b)$ zawsze dzieli się przez $9$. Zatem $N$ dzieli się przez $9$ dokładnie wtedy, gdy dzieli się przez $9$ pozostała część, czyli suma cyfr $a+b+c$. $\qquad ∎$

Uogólnienie. To samo rozumowanie działa dla dowolnej liczby cyfr — bo $10^k$ zawsze daje resztę $1$ przy dzieleniu przez $9$. Stąd znana cecha podzielności przez $9$.

Sprawdzenie: $531$ dzieli się przez $9$, a $5+3+1=9$ też ✔