Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników

Współczynniki przy $y$ są przeciwne, więc najszybciej dodać równania stronami:

$$(x+y)+(x-y)=7+1 \quad\Rightarrow\quad 2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Podstawiamy $x=4$ do pierwszego równania:

$$4+y=7 \quad\Rightarrow\quad y=3$$

Sprawdzenie w obu równaniach: $4+3=7$ ✔ oraz $4-3=1$ ✔

Odpowiedź: B. $x=4$, $y=3$.

Rozwiązanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi to para $(x,y)$ spełniająca oba równania.

Odpowiedź: C. para liczb $(x,y)$.

Krok 1. Pierwsze równanie już podaje $y$, więc wstawiamy je do drugiego:

$$3x+(2x-1)=9$$

Krok 2 — redukujemy wyrazy podobne:

$$5x-1=9 \quad\Rightarrow\quad 5x=10 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3 — wracamy po $y$:

$$y=2\cdot2-1=3$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $3\cdot2+3=9$ ✔

Odpowiedź: $x=2$, $y=3$.

Pierwsze równanie: $2+3=5$ ✔

Drugie równanie: $2-3=-1$ ✔

Oba spełnione.

Odpowiedź: tak, $(2,3)$ jest rozwiązaniem.

Krok 1. Przy $y$ stoją już współczynniki przeciwne ($+3$ i $-3$), więc dodajemy równania stronami:

$$6x=18 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 2 — podstawiamy do pierwszego równania:

$$2\cdot3+3y=12 \quad\Rightarrow\quad 3y=6 \quad\Rightarrow\quad y=2$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $4\cdot3-3\cdot2=12-6=6$ ✔

Odpowiedź: $x=3$, $y=2$.

Krok 1 — podstawiamy $y=2x$ do drugiego równania:

$$x+2x=9 \quad\Rightarrow\quad 3x=9 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 2 — wyznaczamy $y$:

$$y=2\cdot3=6$$

Odpowiedź: $(x,y)=(3,6)$.

Drugie równanie to pierwsze pomnożone przez $2$ — obie proste to ta sama prosta.

$$2x+2y=8 \quad\Longleftrightarrow\quad x+y=4$$

Każdy punkt tej prostej spełnia oba równania, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele. Taki układ nazywamy nieoznaczonym.

Jak to rozpoznać rachunkowo: po odjęciu równań otrzymamy tożsamość $0=0$.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — dodajemy równania stronami (znika $y$):

$$2x=14 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Krok 2 — wyznaczamy $y$ z pierwszego równania:

$$7+y=10 \quad\Rightarrow\quad y=3$$

Odpowiedź: $(x,y)=(7,3)$.

Ta sama suma $x+y$ nie może być jednocześnie równa $3$ i $5$.

Odejmując równania stronami, otrzymujemy sprzeczność:

$$0=2$$

Geometrycznie: obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy, ale różne wyrazy wolne — są równoległe i różne, więc nie mają punktu wspólnego. Taki układ nazywamy sprzecznym.

Odpowiedź: A.

Układ bez rozwiązań to układ sprzeczny (proste równoległe). Układ z jednym rozwiązaniem — oznaczony, z nieskończenie wieloma — nieoznaczony.

Odpowiedź: A. sprzecznym.

Krok 1 — dobieramy mnożnik. Aby współczynniki przy $y$ były przeciwne, mnożymy pierwsze równanie przez $2$:

$$6x+4y=32$$

Krok 2 — dodajemy do drugiego równania:

$$(6x+4y)+(5x-4y)=32+(-10) \quad\Rightarrow\quad 11x=22 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3 — wyznaczamy $y$:

$$3\cdot2+2y=16 \quad\Rightarrow\quad 2y=10 \quad\Rightarrow\quad y=5$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $5\cdot2-4\cdot5=10-20=-10$ ✔

Odpowiedź: $x=2$, $y=5$.

Krok 1 — dodajemy równania (znika $y$):

$$3x=9 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 2 — z drugiego równania:

$$3-y=2 \quad\Rightarrow\quad y=1$$

Sprawdzenie: $2\cdot3+1=7$ ✔

Odpowiedź: $(3,1)$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ będzie większą, a $y$ mniejszą liczbą.

$$\begin{cases} x+y=30 \\ x-y=8 \end{cases}$$

Krok 2 — dodajemy równania stronami:

$$2x=38 \quad\Rightarrow\quad x=19$$

Krok 3 — wyznaczamy drugą liczbę:

$$19+y=30 \quad\Rightarrow\quad y=11$$

Sprawdzenie: $19+11=30$ ✔ oraz $19-11=8$ ✔

Odpowiedź: liczby to $19$ i $11$.

Krok 1 — podstawiamy $x=y+1$:

$$2(y+1)+3y=12 \quad\Rightarrow\quad 2y+2+3y=12$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$5y=10 \quad\Rightarrow\quad y=2$$

Krok 3 — wyznaczamy $x$:

$$x=2+1=3$$

Odpowiedź: $(3,2)$.

W punkcie przecięcia obie proste mają tę samą wartość $y$, więc przyrównujemy prawe strony:

$$2x+1=-x+7$$

Porządkujemy równanie:

$$3x=6 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Obliczamy $y$:

$$y=2\cdot2+1=5$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $-2+7=5$ ✔

Odpowiedź: D. $(2,\,5)$.

Każde równanie to prosta; rozwiązanie układu to punkt ich przecięcia.

Odpowiedź: D. punkt przecięcia prostych.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $z$ to cena zeszytu, a $d$ cena długopisu:

$$\begin{cases} 3z+2d=18 \\ 2z+5d=23 \end{cases}$$

Krok 2 — mnożymy tak, aby wyeliminować $z$. Pierwsze przez $2$, drugie przez $3$:

$$\begin{cases} 6z+4d=36 \\ 6z+15d=69 \end{cases}$$

Krok 3 — odejmujemy stronami (znika $z$):

$$11d=33 \quad\Rightarrow\quad d=3$$

Krok 4 — cena zeszytu. Podstawiamy $d=3$ do pierwszego równania:

$$3z+2\cdot3=18 \quad\Rightarrow\quad 3z=12 \quad\Rightarrow\quad z=4$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $2\cdot4+5\cdot3=8+15=23$ ✔

Odpowiedź: zeszyt kosztuje $4$ zł, a długopis $3$ zł.

Krok 1 — odejmujemy równania stronami (znika $2y$):

$$(3x+2y)-(x+2y)=16-8 \quad\Rightarrow\quad 2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Krok 2 — z drugiego równania:

$$4+2y=8 \quad\Rightarrow\quad 2y=4 \quad\Rightarrow\quad y=2$$

Odpowiedź: $(4,2)$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $ch$ to liczba chłopców, a $dz$ liczba dziewcząt:

$$\begin{cases} ch+dz=28 \\ dz=ch+4 \end{cases}$$

Krok 2 — podstawiamy drugie równanie do pierwszego:

$$ch+(ch+4)=28 \quad\Rightarrow\quad 2ch+4=28 \quad\Rightarrow\quad 2ch=24 \quad\Rightarrow\quad ch=12$$

Krok 3 — liczba dziewcząt:

$$dz=12+4=16$$

Sprawdzenie: $12+16=28$ ✔, a różnica $16-12=4$ ✔

Kontrola sensu: obie liczby są całkowite i dodatnie, więc wynik ma sens.

Odpowiedź: $12$ chłopców i $16$ dziewcząt.

Krok 1 — druga równość podzielona przez $2$:

$$x+y=7{,}5$$

Krok 2 — porównujemy z pierwszym. Mamy jednocześnie $x+y=6$ i $x+y=7{,}5$ — to niemożliwe.

Wniosek. Układ jest sprzeczny (proste równoległe) — brak rozwiązań.

Odpowiedź: układ sprzeczny.

Aby oba równania opisywały tę samą prostą, drugie musi być pierwszym pomnożonym przez tę samą liczbę.

Lewa strona drugiego równania to lewa strona pierwszego pomnożona przez $2$:

$$2x+2y=2(x+y)$$

Zatem prawa strona też musi być pomnożona przez $2$:

$$m=2\cdot5=10$$

Dla porównania: przy każdym innym $m$ proste są równoległe i różne, więc układ jest sprzeczny.

Odpowiedź: B. $m=10$.

Układ oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie (proste przecinają się w jednym punkcie).

Odpowiedź: B. dokładnie jedno.

Krok 1 — pozbywamy się ułamków. Mnożymy pierwsze równanie przez $6$ (wspólny mianownik):

$$3x+2y=24$$

Krok 2 — z drugiego równania wyznaczamy $x$:

$$x=y+2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$3(y+2)+2y=24 \quad\Rightarrow\quad 3y+6+2y=24 \quad\Rightarrow\quad 5y=18 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{18}{5}$$

Krok 4 — wyznaczamy $x$:

$$x=\frac{18}{5}+2=\frac{28}{5}$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $\frac{28}{5}-\frac{18}{5}=\frac{10}{5}=2$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{28}{5}=5{,}6$, $y=\frac{18}{5}=3{,}6$.

Krok 1 — druga równość podzielona przez $2$:

$$2x-y=3$$

Krok 2 — to identyczne z pierwszym równaniem. Oba opisują tę samą prostą.

Wniosek. Układ nieoznaczony — nieskończenie wiele rozwiązań (wszystkie pary spełniające $y=2x-3$).

Odpowiedź: nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozwiązaniem układu jest punkt wspólny prostych. Brak rozwiązań oznacza brak punktu wspólnego, a to zdarza się tylko dla prostych równoległych i różnych.

Pełne zestawienie:

• jedno rozwiązanie — proste przecinają się (układ oznaczony)
• brak rozwiązań — proste równoległe różne (układ sprzeczny)
• nieskończenie wiele — proste pokrywają się (układ nieoznaczony)

Odpowiedź: A.

Krok 1 — dodajemy równania (znika $2y$):

$$8x=16 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 2 — z pierwszego równania:

$$5\cdot2+2y=1 \quad\Rightarrow\quad 2y=-9 \quad\Rightarrow\quad y=-4{,}5$$

Odpowiedź: $(2,\ -4{,}5)$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $v$ to prędkość własna motorówki, a $p$ prędkość prądu.

Z prądem prędkości się dodają, pod prąd — odejmują:

$$\begin{cases} (v+p)\cdot2=30 \\ (v-p)\cdot3=30 \end{cases}$$

Krok 2 — upraszczamy oba równania:

$$\begin{cases} v+p=15 \\ v-p=10 \end{cases}$$

Krok 3 — dodajemy stronami:

$$2v=25 \quad\Rightarrow\quad v=12{,}5$$

Krok 4 — prędkość prądu:

$$12{,}5+p=15 \quad\Rightarrow\quad p=2{,}5$$

Sprawdzenie: z prądem $15$ km/h przez $2$ h to $30$ km ✔, pod prąd $10$ km/h przez $3$ h to $30$ km ✔

Odpowiedź: prędkość własna $12{,}5$ km/h, prędkość prądu $2{,}5$ km/h.

Dobieramy współczynniki tak, by przy jednej niewiadomej były przeciwne — wtedy po dodaniu równań ta niewiadoma się redukuje.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — podstawiamy oba punkty do wzoru prostej:

$$\begin{cases} 5=a+b \\ 11=3a+b \end{cases}$$

Krok 2 — odejmujemy pierwsze od drugiego (znika $b$):

$$6=2a \quad\Rightarrow\quad a=3$$

Krok 3 — wyznaczamy $b$:

$$5=3+b \quad\Rightarrow\quad b=2$$

Sprawdzenie dla punktu $B$: $3\cdot3+2=11$ ✔

Odpowiedź: $a=3$, $b=2$, czyli prosta ma równanie $y=3x+2$.

Krok 1 — mnożymy, by wyrównać współczynniki przy $x$. Pierwsze $\times2$, drugie $\times3$:

$$\begin{cases}6x+4y=24 \\ 6x+15y=39\end{cases}$$

Krok 2 — odejmujemy stronami (znika $x$):

$$11y=15... $$

Dokładnie: $39-24=15$, $15y-4y=11y$, więc $11y=15$? Sprawdźmy ponownie mnożenie.

Poprawnie: $6x+15y-(6x+4y)=39-24$, czyli $11y=15$, $y=\frac{15}{11}$ — mało „ładne”, więc rozwiążmy inaczej dla kontroli.

Kontrola metodą wyznaczników. $W=3\cdot5-2\cdot2=11$, $W_x=12\cdot5-2\cdot13=34$, $W_y=3\cdot13-12\cdot2=15$. Zatem $x=\frac{34}{11}$, $y=\frac{15}{11}$.

Odpowiedź: $\left(\frac{34}{11},\ \frac{15}{11}\right)$.

Metoda 1 — rozwiązanie układu. Z pierwszego równania $y=2x-1$. Podstawiamy:

$$x+2(2x-1)=8 \quad\Rightarrow\quad 5x-2=8 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Stąd $y=2\cdot2-1=3$.

Metoda 2 — sprawdzenie odpowiedzi. Dla $x=2$, $y=3$: $2\cdot2-3=1$ ✔ oraz $2+2\cdot3=8$ ✔

Uwaga: para musi spełniać oba równania. Odpowiedź A spełnia pierwsze ($2-1=1$), ale nie drugie ($1+2=3\neq8$).

Odpowiedź: C. $x=2$, $y=3$.

Układ $\begin{cases}x+y=20 \\ x-y=6\end{cases}$. Dodając: $2x=26$, $x=13$.

Odpowiedź: A. $13$.

Krok 1 — układamy układ:

$$\begin{cases} 4x+3y=97 \\ 2x+5y=87 \end{cases}$$

Krok 2 — mnożymy drugie równanie przez $2$, aby zrównać współczynniki przy $x$:

$$4x+10y=174$$

Krok 3 — odejmujemy od niego pierwsze równanie (znika $x$):

$$(4x+10y)-(4x+3y)=174-97 \quad\Rightarrow\quad 7y=77 \quad\Rightarrow\quad y=11$$

Krok 4 — cena biletu normalnego:

$$4x+3\cdot11=97 \quad\Rightarrow\quad 4x=97-33=64 \quad\Rightarrow\quad x=16$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $2\cdot16+5\cdot11=32+55=87$ ✔

Odpowiedź: bilet normalny kosztuje $16$ zł, a ulgowy $11$ zł.

Krok 1 — oznaczenia. $b$ — cena bułki, $s$ — cena soku:

$$\begin{cases}3b+2s=16 \\ 2b+s=9\end{cases}$$

Krok 2 — z drugiego równania $s=9-2b$, podstawiamy:

$$3b+2(9-2b)=16 \quad\Rightarrow\quad 3b+18-4b=16 \quad\Rightarrow\quad -b=-2$$

$$b=2$$

Krok 3 — wyznaczamy $s$:

$$s=9-2\cdot2=5$$

Sprawdzenie: $3\cdot2+2\cdot5=16$ ✔

Odpowiedź: bułka $2$ zł, sok $5$ zł.

Krok 1 — przekształcamy drugie równanie do postaci kierunkowej:

$$2y=x+6 \quad\Rightarrow\quad y=\frac12 x+3$$

Krok 2 — porównujemy z pierwszym równaniem. Oba opisują dokładnie tę samą prostą.

Wniosek: układ ma nieskończenie wiele rozwiązań — jest nieoznaczony. Rozwiązaniem jest każda para postaci:

$$\left(x,\ \tfrac12 x+3\right) \qquad \text{dla dowolnego } x\in\mathbb{R}$$

Interpretacja geometryczna: proste się pokrywają, więc mają nieskończenie wiele punktów wspólnych.

Odpowiedź: nieskończenie wiele rozwiązań; proste pokrywają się.

Krok 1 — oznaczenia. $d$ — cyfra dziesiątek, $j$ — cyfra jedności:

$$\begin{cases}d=j+2 \\ d+j=12\end{cases}$$

Krok 2 — podstawiamy $d=j+2$:

$$(j+2)+j=12 \quad\Rightarrow\quad 2j=10 \quad\Rightarrow\quad j=5$$

Krok 3 — wyznaczamy $d$:

$$d=5+2=7$$

Krok 4 — liczba. Cyfra dziesiątek $7$, jedności $5$ — liczba $75$.

Sprawdzenie: $7+5=12$, $7-5=2$ ✔

Odpowiedź: $75$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $a$ to dłuższy, a $b$ krótszy bok:

$$\begin{cases} 2a+2b=34 \\ a=b+5 \end{cases}$$

Krok 2 — upraszczamy pierwsze równanie (dzielimy przez $2$):

$$a+b=17$$

Krok 3 — podstawiamy $a=b+5$:

$$(b+5)+b=17 \quad\Rightarrow\quad 2b=12 \quad\Rightarrow\quad b=6$$

Krok 4 — drugi bok:

$$a=6+5=11$$

Krok 5 — pole:

$$P=11\cdot6=66$$

Sprawdzenie obwodu: $2\cdot11+2\cdot6=22+12=34$ cm ✔

Odpowiedź: boki $11$ cm i $6$ cm, pole $66$ cm$^2$.

Krok 1 — warunek nieoznaczoności. Drugie równanie musi być wielokrotnością pierwszego. Pierwsze $\times2$ daje $2x+2y=8$.

Krok 2 — porównujemy z $2x+my=8$. Aby oba równania były identyczne, musi być:

$$m=2$$

Krok 3 — sprawdzenie. Dla $m=2$ drugie równanie to dokładnie podwojone pierwsze — nieskończenie wiele rozwiązań.

Odpowiedź: $m=2$.

Krok 1 — bilans objętości:

$$x+y=12$$

Krok 2 — bilans zawartości owoców. Liczymy „czyste owoce” w każdym składniku:

$$0{,}2x+0{,}5y=0{,}3\cdot12=3{,}6$$

Krok 3 — z pierwszego równania $y=12-x$, podstawiamy:

$$0{,}2x+0{,}5(12-x)=3{,}6$$

$$0{,}2x+6-0{,}5x=3{,}6 \quad\Rightarrow\quad -0{,}3x=-2{,}4 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Krok 4 — druga objętość:

$$y=12-8=4$$

Sprawdzenie zawartości: $0{,}2\cdot8+0{,}5\cdot4=1{,}6+2=3{,}6$ litra owoców, czyli $\frac{3{,}6}{12}=30\%$ ✔

Kontrola sensu: wynik $30\%$ leży między $20\%$ a $50\%$, bliżej dolnej wartości — i rzeczywiście słabszego soku wzięliśmy więcej.

Odpowiedź: $8$ litrów soku $20\%$ i $4$ litry soku $50\%$.

Krok 1 — dodajemy równania stronami:

$$2x=s+r \quad\Rightarrow\quad x=\frac{s+r}{2}$$

Krok 2 — odejmujemy równania stronami:

$$2y=s-r \quad\Rightarrow\quad y=\frac{s-r}{2}$$

Krok 3 — wniosek. Dla dowolnych $s,r$ wzory dają jednoznaczne wartości $x$ i $y$, więc rozwiązanie zawsze istnieje i jest jedno. $\quad∎$

Zastosowanie. To gotowy przepis na zadania typu „suma i różnica”: $x=\frac{\text{suma}+\text{różnica}}{2}$. Sprawdzenie dla $s=20$, $r=6$: $x=13$, $y=7$ — zgodnie z zad. 16 ✔