Start › Klasy › Klasa 1 LO › Rozwiązywanie nierówności

Rozwiązywanie nierówności

Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

∑Wzory 1

Nierówności liniowe — kierunek znaku

$$a0 \Rightarrow acbc$$

Co robi: określa, kiedy przy przekształcaniu nierówności zachowujemy kierunek znaku, a kiedy trzeba go odwrócić.

Elementy: dodawanie i odejmowanie nigdy nie zmienia kierunku. Mnożenie i dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności.

Przykład: $3x-6>0 \Rightarrow 3x>6 \Rightarrow x>2$, czyli $x\in(2,+\infty)$. Ale $-2x>6 \Rightarrow x<-3$ — dzieliliśmy przez $-2$, więc znak się odwrócił.

Zapis rozwiązania: nierówność ostra daje przedział otwarty, nieostra ($\le$) — domknięty, np. $x\ge2$ to $\langle 2,+\infty)$.

Pułapka: odwrócenie znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną to najczęstszy błąd w tym temacie. Zawsze sprawdź wynik, podstawiając jedną liczbę z otrzymanego przedziału.

📘Teoria 1

Rozwiązywanie nierówności (klasa 1 LO)

Nierówności liniowe

Przekształcamy jak równania, ale przy mnożeniu przez liczbę ujemną odwracamy znak.

Zbiór rozwiązań

Zapisujemy jako przedział, np. $x>3$ to $(3,+\infty)$.

Układy nierówności

Rozwiązaniem jest część wspólna zbiorów.

Na osi

Kółko otwarte dla nierówności ostrej, domknięte dla nieostrej.

🧩Quizy 1

▶Rozwiązywanie nierówności8 pyt. średni

✍Zadania 80

Zadanie nr 1

Rozwiązaniem równania $3x-7=8$ jest:

A $x=5$

B $x=\frac13$

C $x=15$

D $x=-5$

Krok 1 — przenosimy wyraz wolny:
$$3x=15$$
Krok 2 — dzielimy przez $3$:
$$x=5$$
Sprawdzenie: $3\cdot5-7=8$ ✔
Odpowiedź: A. $x=5$.

Zadanie nr 1

Rozwiązaniem nierówności $x+3>7$ jest:

A $x>10$

B $x>4$

C $x<4$

D $x>3$

$$x>7-3 \quad\Rightarrow\quad x>4$$
Odpowiedź: B. $x>4$.

Zadanie nr 2

Rozwiąż równanie $2(x+3)=4x-2$.

Krok 1 — opuszczamy nawias:
$$2x+6=4x-2$$
Krok 2 — grupujemy niewiadome po jednej stronie:
$$6+2=4x-2x \quad\Rightarrow\quad 8=2x$$
Krok 3 — dzielimy:
$$x=4$$
Sprawdzenie: $2\cdot7=14$ oraz $16-2=14$ ✔
Odpowiedź: $x=4$.

Zadanie nr 2

Rozwiąż nierówność $2x<10$.

Dzielimy przez $2$ (dodatnie — znak bez zmian):
$$x<5$$
Odpowiedź: $x\in(-\infty,5)$.

Zadanie nr PP08.1

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $2x-3\gt 5$ jest przedział

A $(4,\infty)$

B $(-\infty,4)$

C $(1,\infty)$

D $[4,\infty)$

$2x\gt 8 \Rightarrow x\gt 4$.
Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? D — nierówność ostra, więc $4$ nie należy do zbioru.

Zadanie nr 3

Rozwiąż nierówność $2x-5<7$ i zapisz wynik w postaci przedziału.

Krok 1 — dodajemy $5$ stronami:
$$2x<12$$
Krok 2 — dzielimy przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc znak nierówności zostaje bez zmian:
$$x<6$$
Krok 3 — zapis przedziałowy:
$$x\in(-\infty,\ 6)$$
Odpowiedź: $x\in(-\infty,\ 6)$.

Zadanie nr 3

Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną znak nierówności:

A zmienia się na przeciwny

B pozostaje bez zmian

C znika

D zmienia się na $=$

Mnożąc/dzieląc obie strony przez liczbę ujemną, ODWRACAMY znak.
Odpowiedź: A. zmienia się na przeciwny.

Zadanie nr PP08.2

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-3x\le12$ jest przedział

A $[-4,\infty)$

B $(-\infty,-4]$

C $(-\infty,4]$

D $[4,\infty)$

Dzielimy przez $-3$ i odwracamy znak: $x\ge-4$.
Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? B — nie odwrócono znaku nierówności.

Zadanie nr 4

Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę ujemną:

A zachowujemy znak nierówności

B odwracamy znak nierówności

C otrzymujemy nierówność sprzeczną

D nie wolno tego robić

Mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną odwraca kierunek nierówności:
$$-2x<6 \quad\Longleftrightarrow\quad x>-3$$
Dlaczego tak: na osi liczbowej mnożenie przez liczbę ujemną odbija punkty symetrycznie względem zera, więc porządek się odwraca. Zachodzi $2<5$, ale $-2>-5$.
Odpowiedź: B. odwracamy znak.

Zadanie nr 4

Rozwiąż nierówność $-3x\ge12$.

Dzielimy przez $-3$ i ODWRACAMY znak:
$$x\le-4$$
Odpowiedź: $x\in(-\infty,-4\rangle$.

Zadanie nr PP08.3

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-2(x+1)\le\dfrac{3-x}{2}$ jest przedział

A $\left[-\dfrac73,\infty\right)$

B $\left(-\infty,-\dfrac73\right]$

C $\left[\dfrac73,\infty\right)$

D $[-1,\infty)$

Mnożymy przez $2$: $-4(x+1)\le3-x \Rightarrow -4x-4\le3-x$.
$-3x\le7 \Rightarrow x\ge-\dfrac73$.
Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? B — zapomniana zmiana znaku przy dzieleniu przez $-3$.

Zadanie nr 5

Rozwiąż nierówność $-3x\ge12$.

Dzielimy przez $-3$ i odwracamy znak:
$$x\le-4$$
$$x\in(-\infty,\ -4\rangle$$
Sprawdzenie: dla $x=-5$ mamy $-3\cdot(-5)=15\ge12$ ✔, a dla $x=0$ dostajemy $0\ge12$ — fałsz ✔
Odpowiedź: $x\le-4$.

Zadanie nr 5

Rozwiąż nierówność $3x-5\le x+7$.

Krok 1 — porządkujemy:
$$3x-x\le7+5 \quad\Rightarrow\quad 2x\le12$$
Krok 2 — dzielimy przez $2$:
$$x\le6$$
Odpowiedź: $x\in(-\infty,6\rangle$.

Zadanie nr PP08.4

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $x^2\lt 9$ jest

A $(-3,3)$

B $(-\infty,-3)\cup(3,\infty)$

C $(-\infty,3)$

D $(-9,9)$

$x^2-9\lt 0 \iff (x-3)(x+3)\lt 0$ — parabola w górę, ujemna między $-3$ a $3$.
Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? C — z $x^2\lt 9$ „wyciągnięto pierwiastek” jak z równania: $x\lt 3$.

Zadanie nr 6

Równanie $2x+4=2(x+2)$ ma:

A dokładnie jedno rozwiązanie

B brak rozwiązań

C nieskończenie wiele rozwiązań

D dokładnie dwa rozwiązania

Krok 1 — opuszczamy nawias po prawej:
$$2x+4=2x+4$$
Krok 2 — odejmujemy $2x$ stronami:
$$4=4$$
Otrzymaliśmy zdanie zawsze prawdziwe, więc równanie spełnia każda liczba rzeczywista. Takie równanie nazywamy tożsamościowym.
Odpowiedź: C. nieskończenie wiele.

Zadanie nr 6

Ile wynosi $|-8|$?

A $-8$

B $0$

C $8$

D $16$

Wartość bezwzględna to odległość od zera — zawsze nieujemna:
$$|-8|=8$$
Odpowiedź: C. $8$.

Zadanie nr PP08.5

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $x^2-4x\ge0$ jest

A $(-\infty,0]\cup[4,\infty)$

B $[0,4]$

C $[4,\infty)$

D $(-\infty,0)\cup(4,\infty)$

$x(x-4)\ge0$; miejsca zerowe $0$ i $4$, ramiona w górę.
Nieujemne na zewnątrz (z końcami): $(-\infty,0]\cup[4,\infty)$.
Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? C — obie strony podzielone przez $x$ (niewiadomy znak!); D — zgubione końce przy znaku $\ge$.

Zadanie nr 7

Rozwiąż równanie $\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{4}=2$.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez wspólny mianownik $12$:
$$4x-3x=24$$
Krok 2 — redukujemy:
$$x=24$$
Sprawdzenie: $\frac{24}{3}-\frac{24}{4}=8-6=2$ ✔
Wskazówka: mnożenie przez NWW mianowników od razu usuwa wszystkie ułamki — to najszybsza droga w takich równaniach.
Odpowiedź: $x=24$.

Zadanie nr 7

Rozwiąż równanie $|x|=5$.

Liczby oddalone od zera o $5$ to $5$ i $-5$:
$$x=5 \quad\text{lub}\quad x=-5$$
Odpowiedź: $x\in\{-5,5\}$.

Zadanie nr PP08.6

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $x^2+2x+5\gt 0$ jest

A $\mathbb{R}$

B $\varnothing$

C $(-1,\infty)$

D $(-\infty,-1)$

$\Delta=4-20=-16\lt 0$ i $a=1\gt 0$, więc trójmian jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej.
Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? B — „brak miejsc zerowych” to nie „brak rozwiązań nierówności”.

Zadanie nr 8

Rozwiąż nierówność $\dfrac{x-1}{2}\ge\dfrac{x+3}{5}$.

Krok 1 — mnożymy przez $10$. Liczba jest dodatnia, więc znak zostaje:
$$5(x-1)\ge2(x+3)$$
Krok 2 — opuszczamy nawiasy:
$$5x-5\ge2x+6$$
Krok 3 — grupujemy:
$$3x\ge11 \quad\Rightarrow\quad x\ge\frac{11}{3}$$
$$x\in\left\langle\tfrac{11}{3},\ +\infty\right)$$
Sprawdzenie dla $x=4$: $\frac32\ge\frac75$, czyli $1{,}5\ge1{,}4$ ✔
Odpowiedź: $x\ge\frac{11}{3}$.

Zadanie nr 8

Rozwiąż nierówność $-2x+1<7$.

Krok 1 — przenosimy $1$:
$$-2x<6$$
Krok 2 — dzielimy przez $-2$ i ODWRACAMY znak:
$$x>-3$$
Odpowiedź: $x\in(-3,+\infty)$.

Zadanie nr PP08.7

Funkcja kwadratowa $f$ ma miejsca zerowe $0$ i $4$, a jej wykres jest parabolą o wierzchołku $(2,-4)$. Zapisz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\le0$.

Wierzchołek leży pod osią $Ox$, a parabola przecina oś w $0$ i $4$ — ramiona skierowane w górę.
Wartości niedodatnie przyjmuje między miejscami zerowymi, z nimi: $x\in[0,4]$.
Odpowiedź: $[0,4]$

Zadanie nr 9

Równanie $3x+1=3x-5$ ma:

A rozwiązanie $x=0$

B brak rozwiązań

C nieskończenie wiele rozwiązań

D rozwiązanie $x=-2$

Odejmujemy $3x$ stronami:
$$1=-5$$
Otrzymaliśmy zdanie fałszywe, więc żadna liczba nie spełnia równania. Takie równanie nazywamy sprzecznym.
Jak rozpoznać od razu: po obu stronach stoi ten sam wyraz z niewiadomą, ale różne wyrazy wolne.
Odpowiedź: B. brak rozwiązań.

Zadanie nr 9

Nierówność $|x|<3$ jest równoważna:

A $x<3$

B $x>-3$

C $x<-3$ lub $x>3$

D $-3

$|x|
$$-3
Odpowiedź: D. $-3

Zadanie nr PP08.8

Rozwiąż nierówność $2(x^2-1)\lt 3x$.

$2x^2-2\lt 3x \Rightarrow 2x^2-3x-2\lt 0$.
$\Delta=9+16=25$, $x_1=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac12$, $x_2=\dfrac{3+5}{4}=2$.
Ramiona w górę, więc wartości ujemne między miejscami zerowymi: $x\in\left(-\dfrac12,2\right)$.
Odpowiedź: $x\in\left(-\dfrac12,\,2\right)$
Schemat punktowania:
1 pkt — miejsca zerowe $-\tfrac12$ i $2$,
2 pkt — zbiór rozwiązań $\left(-\tfrac12,2\right)$.

Zadanie nr 10

Zapisz w postaci przedziału zbiór liczb spełniających jednocześnie $x>-2$ oraz $x\le5$.

Krok 1 — łączymy warunki:
$$-2
Krok 2 — zapis przedziałowy. Nawias okrągły przy $-2$ (nierówność ostra) i kątowy przy $5$ (nieostra):
$$x\in(-2,\ 5\rangle$$
Kontrola krańcami: liczba $5$ należy do zbioru, bo $5\le5$ ✔ Liczba $-2$ nie należy, bo $-2>-2$ jest fałszem ✔
Odpowiedź: $(-2,\ 5\rangle$.

Zadanie nr 10

Rozwiąż nierówność $|x|\ge4$.

$|x|\ge a$ oznacza „co najmniej $a$ od zera” — po obu stronach:
$$x\le-4 \quad\text{lub}\quad x\ge4$$
$$x\in(-\infty,-4\rangle\cup\langle4,+\infty)$$
Odpowiedź: $x\in(-\infty,-4\rangle\cup\langle4,+\infty)$.

Zadanie nr PP08.9

Rozwiąż nierówność $3x^2+5x\ge x+4$.

$3x^2+4x-4\ge0$.
$\Delta=16+48=64$, $x_1=\dfrac{-4-8}{6}=-2$, $x_2=\dfrac{-4+8}{6}=\dfrac23$.
Ramiona w górę → nieujemne na zewnątrz: $x\in(-\infty,-2]\cup\left[\dfrac23,\infty\right)$.
Odpowiedź: $x\in(-\infty,-2]\cup\left[\dfrac23,\infty\right)$
Schemat punktowania:
1 pkt — miejsca zerowe $-2$ i $\tfrac23$,
2 pkt — poprawna odpowiedź.

Zadanie nr 11

Rozwiązanie nierówności $x\le3$ zapisujemy jako:

A $(-\infty,\ 3)$

B $(-\infty,\ 3\rangle$

C $\langle3,\ +\infty)$

D $(3,\ +\infty)$

Nierówność jest nieostra, więc liczba $3$ należy do zbioru rozwiązań — po jej stronie stawiamy nawias kątowy.
Przy nieskończoności zawsze nawias okrągły, bo $-\infty$ nie jest liczbą i nie może należeć do zbioru.
Odpowiedź: B. $(-\infty,\ 3\rangle$.

Zadanie nr 11

Ile wynosi $|3-7|$?

A $4$

B $-4$

C $10$

D $0$

$$|3-7|=|-4|=4$$
Odpowiedź: A. $4$.

Zadanie nr PP08.10

Rozwiąż nierówność $(x-2)(x+1)\le2(x+1)$.

Przenosimy: $(x-2)(x+1)-2(x+1)\le0 \Rightarrow (x+1)(x-4)\le0$.
Miejsca zerowe $-1$ i $4$, ramiona w górę.
$x\in[-1,4]$.
Odpowiedź: $x\in[-1,4]$
Wskazówka: Podzielenie przez $(x+1)$ dałoby $x\le4$ — błędny zbiór, bo nie znamy znaku $x+1$.
Schemat punktowania:
1 pkt — postać $(x+1)(x-4)\le0$ lub miejsca zerowe $-1$ i $4$,
2 pkt — zbiór $[-1,4]$.

Zadanie nr 12

Rozwiąż układ nierówności: $x-1>0$ oraz $2x<10$.

Krok 1 — pierwsza nierówność:
$$x>1$$
Krok 2 — druga nierówność:
$$x<5$$
Krok 3 — część wspólna. Szukamy liczb spełniających oba warunki naraz:
$$1
Uwaga: przy układzie nierówności bierzemy przecięcie zbiorów, nie sumę. Gdyby zadanie mówiło „lub”, wynik byłby inny.
Odpowiedź: $x\in(1,\ 5)$.

Zadanie nr 12

Rozwiąż nierówność $\frac{x}{2}+1>3$.

Krok 1 — przenosimy $1$:
$$\frac{x}{2}>2$$
Krok 2 — mnożymy przez $2$ (dodatnie — znak bez zmian):
$$x>4$$
Odpowiedź: $x\in(4,+\infty)$.

Zadanie nr 13

Suma trzech kolejnych liczb całkowitych wynosi $78$. Znajdź te liczby.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $n$ będzie pierwszą z nich:
$$n,\qquad n+1,\qquad n+2$$
Krok 2 — równanie:
$$n+(n+1)+(n+2)=78 \quad\Rightarrow\quad 3n+3=78$$
Krok 3 — rozwiązujemy:
$$3n=75 \quad\Rightarrow\quad n=25$$
Krok 4 — liczby: $25$, $26$, $27$.
Sprawdzenie: $25+26+27=78$ ✔
Skrót: suma trzech kolejnych liczb to potrojona liczba środkowa, więc od razu $78:3=26$ — a stąd sąsiedzi $25$ i $27$.
Odpowiedź: $25$, $26$, $27$.

Zadanie nr 13

Rozwiąż równanie $|x-2|=3$.

Interpretacja: odległość $x$ od $2$ wynosi $3$:
$$x-2=3 \quad\text{lub}\quad x-2=-3$$
$$x=5 \quad\text{lub}\quad x=-1$$
Odpowiedź: $x\in\{-1,5\}$.

Zadanie nr 14

Równanie $|x|=5$ spełniają liczby:

A tylko $5$

B tylko $-5$

C $5$ oraz $-5$

D żadna

Wartość bezwzględna to odległość od zera, a w odległości $5$ od zera leżą dwa punkty:
$$x=5 \quad\text{lub}\quad x=-5$$
Uwaga: równanie $|x|=-5$ nie ma rozwiązań, bo odległość nigdy nie jest ujemna.
Odpowiedź: C. $5$ oraz $-5$.

Zadanie nr 14

Największą liczbą całkowitą spełniającą $x<4{,}5$ jest:

A $5$

B $4$

C $4{,}5$

D $3$

Największa całkowita mniejsza od $4{,}5$ to $4$.
Odpowiedź: B. $4$.

Zadanie nr 15

Rozwiąż równanie $5(x-2)-3(x+1)=1$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:
$$5x-10-3x-3=1$$
Krok 2 — redukujemy lewą stronę:
$$2x-13=1$$
Krok 3 — rozwiązujemy:
$$2x=14 \quad\Rightarrow\quad x=7$$
Sprawdzenie: $5\cdot5-3\cdot8=25-24=1$ ✔
Uwaga na drugi nawias: mnożymy przez $-3$, więc $-3\cdot(+1)=-3$.
Odpowiedź: $x=7$.

Zadanie nr 15

Rozwiąż nierówność $2(x-1)\ge3(x+1)$.

Krok 1 — usuwamy nawiasy:
$$2x-2\ge3x+3$$
Krok 2 — porządkujemy:
$$2x-3x\ge3+2 \quad\Rightarrow\quad -x\ge5$$
Krok 3 — mnożymy przez $-1$ i ODWRACAMY znak:
$$x\le-5$$
Odpowiedź: $x\in(-\infty,-5\rangle$.

Zadanie nr 16

Nierówność $2x>6$ jest równoważna nierówności:

A $x>3$

B $x<3$

C $x>12$

D $x>4$

Dzielimy obie strony przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc znak zostaje:
$$x>3$$
Odpowiedź: A. $x>3$.

Zadanie nr 16

Równanie $|x|=-2$ ma:

A jedno rozwiązanie

B dwa rozwiązania

C brak rozwiązań

D nieskończenie wiele

Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna, więc $|x|=-2$ jest niemożliwe.
Odpowiedź: C. brak rozwiązań.

Zadanie nr 17

Ojciec ma $42$ lata, a syn $12$. Za ile lat ojciec będzie dwa razy starszy od syna?

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ będzie szukaną liczbą lat. Za $x$ lat ojciec będzie miał $42+x$, a syn $12+x$.
Krok 2 — równanie:
$$42+x=2(12+x)$$
Krok 3 — rozwiązujemy:
$$42+x=24+2x \quad\Rightarrow\quad 18=x$$
Krok 4 — sprawdzenie. Za $18$ lat ojciec będzie miał $60$ lat, a syn $30$ — i rzeczywiście $60=2\cdot30$ ✔
Uwaga metodyczna. Do obu wieków dodajemy tę samą liczbę lat. Częsty błąd to dodanie $x$ tylko po jednej stronie.
Odpowiedź: za $18$ lat.

Zadanie nr 17

Ile liczb całkowitych spełnia nierówność $-2\le x<4$?

Krok 1 — wypisujemy liczby całkowite w przedziale $\langle-2,4)$: $-2,-1,0,1,2,3$.
Krok 2 — liczymy: jest ich $6$.
Uwaga: $-2$ należy (znak $\le$), a $4$ NIE należy (znak $<$).
Odpowiedź: $6$ liczb.

Zadanie nr 18

Rozwiąż nierówność podwójną $-3<2x+1\le7$.

Krok 1 — odejmujemy $1$ od wszystkich trzech części:
$$-4<2x\le6$$
Krok 2 — dzielimy wszystko przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc oba znaki zostają:
$$-2
Krok 3 — zapis przedziałowy:
$$x\in(-2,\ 3\rangle$$
Kontrola krańcami. Dla $x=3$: $2\cdot3+1=7$, a warunek dopuszcza równość ✔ Dla $x=-2$: $2\cdot(-2)+1=-3$, ale lewa nierówność jest ostra, więc $-2$ nie należy ✔
Ważne. Każdą operację wykonujemy na wszystkich trzech częściach naraz — nierówność podwójna to skrót zapisu dwóch warunków.
Odpowiedź: $x\in(-2,\ 3\rangle$.

Zadanie nr 18

Rozwiąż nierówność $|2x-4|<6$.

Krok 1 — zapisujemy jako podwójną nierówność:
$$-6<2x-4<6$$
Krok 2 — dodajemy $4$ do wszystkich części:
$$-2<2x<10$$
Krok 3 — dzielimy przez $2$:
$$-1
Odpowiedź: $x\in(-1,5)$.

Zadanie nr 19

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $mx=6$ ma dokładnie jedno rozwiązanie, a dla jakich nie ma żadnego?

Przypadek 1: $m\neq0$. Możemy podzielić obie strony przez $m$:
$$x=\frac{6}{m}$$
Otrzymujemy dokładnie jedno rozwiązanie.
Przypadek 2: $m=0$. Równanie przyjmuje postać:
$$0\cdot x=6 \quad\Rightarrow\quad 0=6$$
To zdanie fałszywe dla każdego $x$, więc równanie jest sprzeczne.
Klucz do zadania. Nie wolno dzielić przez $m$ bez zastrzeżenia, że $m\neq0$ — właśnie przypadek $m=0$ jest tu interesujący. To standardowy schemat w zadaniach z parametrem.
Odpowiedź: jedno rozwiązanie dla $m\neq0$, brak rozwiązań dla $m=0$.

Zadanie nr 19

Za ile najmniej pełnych godzin pracy przy stawce $25$ zł/h zarobek przekroczy $200$ zł?

Krok 1 — nierówność. Zarobek za $x$ godzin to $25x$:
$$25x>200$$
Krok 2 — rozwiązujemy:
$$x>8$$
Krok 3 — najmniejsza pełna liczba godzin większa od $8$ to $9$.
Sprawdzenie: $25\cdot9=225>200$, a $25\cdot8=200$ nie przekracza ✔
Odpowiedź: $9$ godzin.

Zadanie nr 20

Wykaż, że równanie $x^2+2x+5=0$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Sposób 1 — uzupełnienie do kwadratu. Zauważamy, że $(x+1)^2=x^2+2x+1$, więc:
$$x^2+2x+5=\left(x^2+2x+1\right)+4=(x+1)^2+4$$
Szacowanie. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny:
$$(x+1)^2\ge0 \quad\Rightarrow\quad (x+1)^2+4\ge4>0$$
Lewa strona jest zawsze dodatnia, więc nigdy nie może się zerować. $\qquad ∎$
Sposób 2 — wyróżnik. Dla $a=1$, $b=2$, $c=5$:
$$\Delta=b^2-4ac=4-20=-16<0$$
Ujemny wyróżnik oznacza brak pierwiastków rzeczywistych.
Sprawdzenie: pierwszy sposób daje więcej informacji — mówi, że najmniejsza wartość wyrażenia wynosi $4$ i jest osiągana dla $x=-1$. Podstawiając: $1-2+5=4$ ✔

Zadanie nr 20

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $|x|\ge x$.

Rozpatrujemy dwa przypadki.
Przypadek 1: $x\ge0$. Wtedy $|x|=x$, więc $|x|\ge x$ (zachodzi równość).
Przypadek 2: $x<0$. Wtedy $|x|=-x>0$, a $x<0$, więc $|x|>0>x$, czyli $|x|>x$.
Wniosek. W obu przypadkach $|x|\ge x$, więc nierówność zachodzi dla każdego $x$. $\quad∎$
Sprawdzenie: $x=-3$: $|-3|=3\ge-3$ ✔; $x=5$: $5\ge5$ ✔

Zadanie nr 6 · Matura 2026

Dana jest nierówność $\dfrac{7+2x}{5}\ge\dfrac{4}{15}$. Najmniejszą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

A $(-4)$

B $(-3)$

C $(-2)$

D $(-1)$

Mnożymy obie strony przez $15$: $3(7+2x)\ge 4$, czyli $21+6x\ge 4$.
$6x\ge -17\Rightarrow x\ge -\dfrac{17}{6}\approx -2{,}83$.
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą warunek $x\ge -2{,}83$ jest $-2$.
Odpowiedź: C.

Zadanie nr 6 · Matura 2025

Dana jest nierówność
$$3-2(1-2x)\ge2x-17$$

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?

Rozpisując naszą nierówność, otrzymamy:
$$3-2(1-2x)\ge2x-17 \\
3-(2-4x)\ge2x-17 \\
3-2+4x\ge2x-17 \\
4x+1\ge2x-17 \\
2x\ge-18 \\
x\ge-9$$

Zbiór rozwiązań tej nierówności znalazł się na rysunku z ostatniej odpowiedzi.

Zadanie nr 6 · Matura 2025

Dana jest nierówność $3-2(1-2x)\ge 2x-17$.

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?

A zbiór $(-\infty,\,3\rangle$ (domknięty w $3$)

B zbiór $\langle 3,\,+\infty)$

C zbiór $(-\infty,\,-9\rangle$

D zbiór $\langle -9,\,+\infty)$ (domknięty w $-9$, zacieniowany w prawo)

$3-2(1-2x)\ge 2x-17$
$3-2+4x\ge 2x-17$
$1+4x\ge 2x-17$
$2x\ge -18$
$x\ge -9$.
Zbiorem rozwiązań jest przedział $\langle -9,\,+\infty)$ — półprosta domknięta w punkcie $-9$, skierowana w prawo.
Odpowiedź: D.

Zadanie nr 6 · Matura 2024

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $1-\tfrac32x<\tfrac23-x$ jest przedział

A $\left(-\infty,-\tfrac23\right)$

B $\left(-\infty,\tfrac23\right)$

C $\left(-\tfrac23,+\infty\right)$

D $\left(\tfrac23,+\infty\right)$

Rozwiązanie
$1-\tfrac32x<\tfrac23-x\Rightarrow 1-\tfrac12x<\tfrac23$.
$-\tfrac12x<-\tfrac13\Rightarrow x>\tfrac23$.
Odpowiedź: D

Zadanie nr 6 · Matura 2024

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $1-\frac{3}{2}x\lt\frac{2}{3}-x$ jest przedział:

A $\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)$

B $\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)$

C $\left(-\frac{2}{3};+\infty\right)$

D $\left(\frac{2}{3};+\infty\right)$

Celem zadania jest po prostu rozwiązanie podanej nierówności. Rozwiązać to możemy na różne sposoby, ale najprościej będzie zacząć od pozbycia się ułamków. Dobrym pomysłem byłoby wymnożenie obydwu stron przez $6$ (bo taka jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb znajdujących się w mianownikach), otrzymując taką oto sytuację:
$$1-\frac{3}{2}x\lt\frac{2}{3}-x \quad\bigg/\cdot6 \\
6-9x\lt4-6x \\
-3x\lt-2 \quad\bigg/:(-3) \\
x\gt\frac{2}{3}$$

Zwróć uwagę, że przy dzieleniu obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny. Wyszło nam więc, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział $\left(\frac{2}{3};+\infty\right)$.

Zadanie nr 1 · Matura 2023

Wartość wyrażenia $2021:\left(1-\frac{1}{2022}\right)-\left(1-\frac{2022}{2021}\right):\frac{1}{2021}$ jest równa:

A $0$

B $1$

C $2021$

D $2023$

Pamiętaj, że liczbę $1$ możemy zapisać jako ułamek, w którym licznik i mianownik są jednakowe. W tym zadaniu przyda nam się zamiana $1=\frac{2021}{2021}$ oraz $1=\frac{2021}{2021}$. Teraz korzystając z działań na ułamkach, możemy zapisać, że:
$$2021:\left(1-\frac{1}{2022}\right)-\left(1-\frac{2022}{2021}\right):\frac{1}{2021}= \           ,\
=2021:\left(\frac{2022}{2022}-\frac{1}{2022}\right)-\left(\frac{2021}{2021}-\frac{2022}{2021}\right):\frac{1}{2021} =\           ,\
=2021:\frac{2021}{2022}-\left(-\frac{1}{2021}\right):\frac{1}{2021}= \           ,\
=2021:\frac{2021}{2022}+\frac{1}{2021}:\frac{1}{2021}= \           ,\
=2021\cdot\frac{2022}{2021}+\frac{1}{2021}\cdot\frac{2021}{1}=2022+1=2023$$

Zadanie nr 2 · Matura 2023

Dana jest nierówność:

$$|x-3|\ge5$$

Na którym rysunku prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających powyższą nierówność?

Krok 1. Rozwiązanie podanej nierówności.
Dana jest nierówność z wartością bezwzględną. Aby ją rozwiązać, będziemy musieli ułożyć dwie nierówności - pierwsza będzie taka, jakby tej wartości bezwzględnej w ogóle nie było, a druga będzie identyczna, tylko ze zmienionym znakiem i liczbą przeciwną po prawej stronie. Całość będzie wyglądać następująco:
$$x-3\ge5 \quad\lor\quad x-3\le-5 \ ,\
x\ge8 \quad\lor\quad x\le-2$$

Krok 2. Wybór właściwego rysunku.
Rozwiązaniem tej nierówności są więc wszystkie liczby mniejsze lub równe $-2$ lub większe lub równe $8$, a takie przedziały zostały zaznaczone na pierwszym rysunku.

Zadanie nr 3 · Matura 2023

Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi $3\%$ w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.

Po $10$ latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym okresie) kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku o (w zaokrągleniu do $1\%$):

A $30\%$

B $34\%$

C $36\%$

D $43\%$

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na procent składany:
$$K_{n}=K\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$$
gdzie:
$K_{n}$ - kapitał zgromadzony po $n$ okresach kapitalizacji
$K$ - kapitał początkowy
$n$ - liczba okresów kapitalizacji
$p$ - wysokość oprocentowania (po uwzględnieniu liczby kapitalizacji)

Jednak zanim przystąpimy do obliczeń, to ustalmy kluczowe parametry, czyli $n$ oraz $p$. Lokata jest na $10$ lat, a kapitalizacja jest roczna. W związku z tym $n=10$ (bo odsetki zostaną dopisane dziesięć razy), a $p=3$. Podstawiając te dane do wzoru, otrzymamy:
$$K_{10}=K\cdot\left(1+\frac{3}{100}\right)^{10} \           ,\
K_{10}=K\cdot(1,03)^{10} \           ,\
K_{10}\approx K\cdot1,3439 \           ,\
K_{10}\approx1,34K$$

Skoro włożyliśmy na lokatę $K$ złotych, a po dziesięciu latach mamy $1,34K$, to znaczy, że kwota wzrosła o $34\%$.

Zadanie nr 4 · Matura 2023

Dane są dwie liczby $x$ i $y$, takie, że iloraz $\frac{x}{y}$ jest równy $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\frac{x+y}{x}$. Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.

Zwróćmy uwagę, że $\frac{x+y}{x}=\frac{x}{x}+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{x}$. Znamy wartość $\frac{x}{y}$, a widzimy, że potrzebujemy jej odwrotności, czyli $\frac{y}{x}$. Odwrotnością ułamka $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ jest oczywiście $\frac{2}{1+\sqrt{5}}$. Skoro tak, to całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}=1+\frac{2}{1+\sqrt{5}}$$

Aby móc kontynuować obliczenia, musimy pozbyć się niewymierności z mianownika. W tym celu musimy pomnożyć licznik oraz mianownik ułamka przez $1-\sqrt{5}$, dzięki czemu będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, zatem:
$$1+\frac{2\cdot(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})\cdot(1-\sqrt{5})}=1+\frac{2-2\sqrt{5}}{1-5}=1+\frac{2-2\sqrt{5}}{-4}= \ ,\
=1+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{2}{2}+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Zadanie nr 5 · Matura 2023

Dane są liczby 𝑎$a=\sqrt{5}-2$ oraz $b=\sqrt{5}+2$. Oblicz wartość wyrażenia $\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$ dla podanych $a$ i $b$.

Krok 1. Uproszczenie zapisu.
Zanim podstawimy liczby do naszego wyrażenia, to najprościej będzie najpierw uprościć cały zapis i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, zatem:
$$\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}= \ ,\
=\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}= \ ,\
=\frac{(a\cdot b)\cdot(a-b)}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}=\frac{(a\cdot b)\cdot(a-b)}{a-b}=a\cdot b$$

Krok 2. Obliczenie wartości $a\cdot b$.
Podstawiając liczby z treści zadania do wyznaczonej przed chwilą postaci, otrzymamy:
$$a\cdot b=(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}-2)=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1$$

Zadanie nr 6 · Matura 2023

Dana jest liczba $x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$, gdzie $a$ należy do zbioru $\mathbb{R}$ liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby $\sqrt{3}$ oraz $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$ są niewymierne. Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe. Liczba $x$ jest wymierna dla:

A. $a=5$

B. $a=-\sqrt{3}+\sqrt{2}$

C. $a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3$

D. $a=6$

E. $a=-2\sqrt{6}+12,5$

F. $a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}$

G. $a=-\sqrt{6}$

Krok 1. Obliczenie wartości liczby $x$.
Spróbujmy obliczyć wartość liczby $x$ wykonując występujące w niej potęgowanie. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że:
$$x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 \           ,\
x=a-(\sqrt{3})^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 \           ,\
x=a-(3-2\sqrt{6}+2) \           ,\
x=a-(5-2\sqrt{6}) \           ,\
x=a-5+2\sqrt{6}$$

Krok 2. Ustalenie, kiedy liczba $x$ jest wymierna.
Musimy się teraz zastanowić, kiedy $a-5+2\sqrt{6}$ da wynik wymierny. Aby tak się stało, to w wartości liczby $a$ musi się pojawić $-2\sqrt{6}$ (wtedy te pierwiastki się "zniosą") i w zapisie tej liczby nie mogą nam oczywiście pojawić się inne nowe pierwiastki.

Od razu możemy stwierdzić, że poprawna jest odpowiedź E, czyli $a=-2\sqrt{6}+12,5$, bowiem to jest dokładnie to, czego szukamy. Musimy jeszcze wybrać drugą odpowiedź. Na pewno nie będzie to A, B, D oraz G (bo brakuje tu wartości $-2\sqrt{6}$). Do rozpatrzenia zostaje nam C oraz F. Rozpiszmy sobie każdy z tych wariantów:

Odp. C. $(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3=2-2\sqrt{6}+3+0,3=5,3-2\sqrt{6}$
Ta odpowiedź nam pasuje.

Odp. F. $(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}=2-2\sqrt{6}+3-2\sqrt{6}=5-4\sqrt{6}$
Ta odpowiedź nam nie pasuje, bo jest tutaj $-4\sqrt{6}$.

Podsumowując, pasującymi odpowiedziami będą C oraz E.

Zadanie nr 6 · Matura 2023

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-2(x+3)\le\frac{2-x}{3}$ jest przedział:

A $(-\infty;-4\rangle$

B $(-\infty;4\rangle$

C $\langle-4;\infty)$

D $\langle4;\infty)$

Rozwiązywanie nierówności możemy rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez $3$, otrzymując:
$$-2(x+3)\le\frac{2-x}{3} \quad\bigg/\cdot3 \           ,\
-6(x+3)\le2-x \           ,\
-6x-18\le2-x \           ,\
-5x\le20 \quad\bigg/:(-5) \           ,\
x\ge-4$$

Zwróć uwagę na zmianę znaku po podzieleniu obydwu stron przez $-5$. Zawsze, kiedy w nierówności dzielimy lub mnożymy obydwie strony przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też właśnie rozwiązaniem tej nierówności jest $x\ge-4$, co możemy zapisać w formie przedziału jako $\langle-4;\infty)$.

Zadanie nr 6 · Matura 2023

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-2(x+3)\le\frac{2-x}{3}$ jest przedział:

A $(-\infty;-4\rangle$

B $(-\infty;4\rangle$

C $\langle-4;\infty)$

D $\langle4;\infty)$

Zadanie nr 6 · Matura 2023

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-2(x+3)\le\frac{2-x}{3}$ jest przedział:

A $(-\infty;-4\rangle$

B $(-\infty;4\rangle$

C $\langle-4;\infty)$

D $\langle4;\infty)$

Rozwiązywanie nierówności możemy rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez $3$, otrzymując:
$$-2(x+3)\le\frac{2-x}{3} \quad\bigg/\cdot3 \\
-6(x+3)\le2-x \\
-6x-18\le2-x \\
-5x\le20 \quad\bigg/:(-5) \\
x\ge-4$$

Zwróć uwagę na zmianę znaku po podzieleniu obydwu stron przez $-5$. Zawsze, kiedy w nierówności dzielimy lub mnożymy obydwie strony przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też właśnie rozwiązaniem tej nierówności jest $x\ge-4$, co możemy zapisać w formie przedziału jako $\langle-4;\infty)$.

Zadanie nr 7 · Matura 2023

Rozwiąż równanie:

$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0$$

Krok 1. Zapisanie założeń.
Mamy równanie, w którym niewiadoma $x$ pojawia się w mianowniku ułamka. Zanim więc zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać stosowne założenia, ponieważ wartość mianownika nie może być równa $0$ (gdyż na matematyce nie istnieje dzielenie przez $0$). Skoro tak, to:
$$(2x-10)(x+3)\neq0$$

Mamy postać iloczynową równania kwadratowego, zatem każdy z nawiasów musi być różny od zera, czyli:
$$2x-10\neq0 \quad\lor\quad x+3\neq0 \           ,\
2x\neq10 \quad\lor\quad x\neq-3 \           ,\
x\neq5 \quad\lor\quad x\neq-3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać podane równanie, musimy obydwie strony pomnożyć przez wartość w mianowniku, zatem:
$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0 \quad\bigg/\cdot(2x-10)(x+3) \           ,\
(4x+1)(x-5)=0$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera:
$$4x+1=0 \quad\lor\quad x-5=0 \           ,\
4x=-1 \quad\lor\quad x=5 \           ,\
x=-\frac{1}{4} \quad\lor\quad x=5$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na koniec musimy zweryfikować otrzymane wyniki z zapisanymi założeniami. Widzimy, że rozwiązanie $x=5$ musimy odrzucić, bo dla tej wartości mianownik był równy $0$. Skoro tak, to jedynym rozwiązaniem tego zadania będzie $x=-\frac{1}{4}$.

Zadanie nr 8 · Matura 2023

Pensja pana $X$ jest o $50\%$ wyższa od średniej krajowej, a pensja pana $Y$ jest o $40\%$ niższa od średniej krajowej.

Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.

1. Pensja pana $X$ jest wyższa od pensji pana $Y$:

A. o $40\%$ pensji pana $Y$.

B. o $90\%$ pensji pana $Y$.

C. o $150\%$ pensji pana $Y$.

D. o $275\%$ pensji pana $Y$.

2. Pensja pana $Y$ jest niższa od pensji pana $X$:

E. o $60\%$ pensji pana $X$.

F. o $73\%$ pensji pana $X$.

G. o $90\%$ pensji pana $X$.

H. o $150\%$ pensji pana $X$.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do naszego zadania następujące oznaczenia:
$s$ - średnia pensja krajowa
$1,5s$ - średnia pensja Pana $X$
$0,6s$ - średnia pensja Pana $Y$

Od razu możemy też zapisać, że Pan $X$ zarabia o $1,5s-0,6s=0,9s$ więcej niż Pan $Y$.

Krok 2. Obliczenie procentowej różnicy wynagrodzenia.
Pensja pana $X$ jest wyższa od pensji pana $Y$ o:
$$\frac{0,9s}{0,6s}=1,5=150\%$$

Pensja pana $Y$ jest mniejsza od pensji pana $X$ o:
$$\frac{0,9s}{1,5s}=0,6=60\%$$

Zadanie nr 9 · Matura 2023

Na wykresie przedstawiono zależność $log\;K(t)$, gdzie $K(t)$ jest liczbą bakterii w próbce po czasie $t$ wyrażonym w godzinach, jaki upłynął od chwili$t=0$ rozpoczęcia obserwacji. Gdy upłynęły dokładnie trzy godziny od chwili$t=0$, liczba $K$ bakterii była równa:

A $3$

B $100$

C $1000$

D $10000$

W tym zadaniu musimy pamiętać, że kiedy przy podstawie logarytmu nie mamy zapisanej żadnej liczby, to domyślnie ta podstawa jest równa $10$. Mówiąc wprost, $log\;K$ to po prostu $log_{10}K$.

Z wykresu odczytujemy, że po trzech godzinach $log_{10}K$ ma być równe $3$, zatem:
$$log_{10}K=3 \Longleftrightarrow 10^3=K$$

To oznacza, że $K=10^3=1000$.

Zadanie nr 10 · Matura 2023

Liczba $log_{2}\left[(\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt{2})^4\cdot(\sqrt{2})^8\right]$ jest równa:

A $\sqrt{2}$

B $7$

C $14$

D $2^7$

Powinniśmy zauważyć, że:
$$(\sqrt{2})^2=(2^\frac{1}{2})^2=2^{\frac{1}{2}\cdot2}=2^1 \           ,\
(\sqrt{2})^4=(2^\frac{1}{2})^4=2^{\frac{1}{2}\cdot4}=2^2=4 \           ,\
(\sqrt{2})^8=(2^\frac{1}{2})^8=2^{\frac{1}{2}\cdot8}=2^4=16$$

Skoro tak, to podstawiając te dane do naszego logarytmu, otrzymamy:
$$log_{2}\left[(\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt{2})^4\cdot(\sqrt{2})^8\right]= \           ,\
=log_{2}(2^1\cdot2^2\cdot2^4)= \           ,\
=log_{2}(2^{1+2+4})=log_{2}2^7=7$$

Zadanie nr 11 · Matura 2023

Rozważmy takie liczby rzeczywiste $a$ i $b$, które spełniają warunki:

$$a\neq0, b\neq0 \text{ oraz } a^3+b^3=(a+b)^3$$

Oblicz wartość liczbową wyrażenia $\frac{a}{b}$ dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$, spełniających powyższe warunki.

Krok 1. Rozpisanie podanego równania.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$a^3+b^3=(a+b)^3 \           ,\
a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \           ,\
0=3a^2b+3ab^2 \           ,\
3ab\cdot(a+b)=0 \quad\bigg/:3 \           ,\
ab\cdot(a+b)=0$$

Otrzymaliśmy tak naprawdę równanie kwadratowe. Aby je rozwiązać musimy przyrównać $ab$ oraz $a+b$ do zera, zatem:
$$ab=0 \quad\lor\quad a+b=0$$

Krok 2. Analiza otrzymanych wyników i obliczenie wartości liczbowej wyrażenia.
Przeanalizujmy teraz to, co otrzymaliśmy. Zacznijmy od $ab=0$. Aby iloczyn $a\cdot b$ był równy $0$, to któraś z liczb musiałaby być równa $0$, a z treści zadania wiemy, że $a\neq0$ oraz $b\neq0$. To oznacza, że to pierwsze równanie nie spełnia w ogóle naszych założeń.

To teraz spójrzmy na drugie równanie, czyli $a+b=0$. Na jego podstawie możemy zapisać, że $a=-b$. Naszym celem jest poznanie wartości liczbowej wyrażenia $\frac{a}{b}$, a skoro $a=-b$, to:
$$\frac{a}{b}=\frac{-b}{b}=\frac{-1\cdot b}{b}=-1$$

Zadanie nr 12 · Matura 2023

Dane jest wyrażenie $W(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)$

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wartość wyrażenia $W(x)$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq1$.
Wyrażenie $W(x)$ można przekształcić równoważnie do wyrażenia $\dfrac{2x}{x^2-1}$.

Wartość wyrażenia $W(x)$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq1$.

Prawda

Fałsz

Wyrażenie $W(x)$ można przekształcić równoważnie do wyrażenia $\dfrac{2x}{x^2-1}$.

Prawda

Fałsz
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wartości mianowników muszą być różne od zera, zatem $x-1\neq0$ oraz $x+1\neq0$. Z pierwszego równania otrzymamy $x\neq1$, a z drugiego $x\neq-1$. Pierwsze zdanie jest więc nieprawdą, bo wynika z niego, że moglibyśmy mieć $x=-1$.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Naszym celem jest uproszczenie podanego wyrażenia. Jak dodać do siebie dwa ułamki, które znajdują się w nawiasach? Musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka musimy przemnożyć przez $x+1$, a licznik oraz mianownik drugiego ułamka przez $x-1$. Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)= \           ,\
=\frac{1}{2}\left(\frac{(x+1)\cdot(x+1)}{(x-1)\cdot(x+1)}-\frac{(x-1)\cdot(x-1)}{(x+1)\cdot(x+1)}\right)= \           ,\
=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}-\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}\right)= \           ,\
=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-(x^2-2x+1)}{x^2-1}\right)= \           ,\
=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1}\right)= \           ,\
=\frac{1}{2}\left(\frac{4x}{x^2-1}\right)= \           ,\
=\frac{2x}{x^2-1}$$

Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie nr 13 · Matura 2023
Rozwiąż równanie $(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0$
Krok 1. Zapisanie równania kwadratowego.
Aby rozwiązać tego typu równanie czwartego stopnia, musimy zapisać, że $t=(x-1)^2$. Dzięki temu będziemy mogli zapisać równanie z treści zadania jako równanie kwadratowe:
$$(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0 \           ,\
((x-1)^2)^2-5(x-1)^2+6=0 \           ,\
t^2-5t+6=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: $a=1,\;b=-5,\;c=6$
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \           ,\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Rozwiązanie równania.
W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że $t=(x-1)^2$. Wiemy już, że $t=2$ lub $t=3$, a skoro tak, to:
$$(x-1)^2=2 \quad\lor\quad (x-1)^2=3$$

Otrzymaliśmy dwa równania kwadratowe, w których po prawej stronie nie mamy zera (nie możemy więc przyrównać wartości w nawiasach do zera). Możemy je oczywiście przekształcić do postaci ogólnej i całość obliczyć za pomocą delty, jednak będzie to dość czasochłonne. Tego typu równania najprościej będzie rozwiązać korzystając z wartości bezwzględnej. Pierwiastkując obydwie strony równań, możemy zapisać, że:
$$|x-1|=\sqrt{2} \quad\lor\quad |x-1|=\sqrt{3} \           ,\
x-1=\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=\sqrt{3} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{3} \           ,\
x=\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=\sqrt{3}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{3}+1$$
Zadanie nr 14 · Matura 2023
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $20n^2+30n+7$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$.
Kluczem do rozwiązania tego typu zadań jest umiejętne wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias. Haczyk polega na tym, że aby tego dokonać, musimy liczbę $7$ rozbić na sumę $5+2$. Otrzymamy wtedy następującą sytuację:
$$20n^2+30n+7=20n^2+30n+5+2=5\cdot(4n^2+6n+1)+2$$

Mówiąc wprost - otrzymany zapis mówi nam, że nasza liczba dzieli się przez $5$, dając wynik równy $4n^2+6n+1$ i resztę równą $2$. Warto też dodać, że wartość $4n^2+6n+1$ jest na pewno liczbą naturalną, ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, a suma liczb naturalnych daje na pewno liczbę naturalną.
Zadanie nr 15 · Matura 2023
Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne $a$ i $b$ takie, że obie są niepodzielne przez $3$.

Udowodnij, że liczba 𝒂$a^3+b^3$ jest podzielna przez $9$.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy, że $k$ jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczbę niepodzielną przez $3$ możemy zapisać jako $3k+1$. Przykładowo, gdy $k=4$, to otrzymamy $3\cdot4+1=13$ i faktycznie, jest to liczba niepodzielna przez $3$. W takim razie oznaczmy sobie taką liczbę jako $a$, czyli $a=3k+1$. Liczba $b$ musi być o $1$ większa (bo z treści zadania wynika, że $a$ i $b$ są kolejnymi liczbami naturalnymi), więc $b=3k+2$.

Krok 2. Rozpisanie podanej liczby
Musimy teraz podstawić do zapisu $a^3+b^3$ wartości $a=3k+1$ oraz $b=3k+2$ i skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia:
$$(3k+1)^3+(3k+2)^3= \           ,\
=27k^3+27k^2+9k+1+27k^3+54k^2+36k+8= \           ,\
=54k^3+81k^2+45k+9$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Aby udowodnić, że otrzymane $54k^3+81k^2+45k+9$ jest podzielne przez $9$, wystarczy wyłączyć dziewiątkę przed nawias, otrzymując:
$$9\cdot(6k^3+9k^2+5k+1)$$

Wartość $6k^3+9k^2+5k+1$ jest na pewno liczbą całkowitą, bo $6k^3, 9k^2, 5k$ oraz $1$ to liczby całkowite. Otrzymaliśmy więc wynik z którego wynika, że liczba $a^3+b^3$ jest jak najbardziej podzielna przez $9$, a wynikiem tego dzielenia byłoby właśnie $6k^3+9k^2+5k+1$.
Zadanie nr 16 · Matura 2023
Dany jest wielomian $W(x)=3x^3+mx^2+3x-2$, gdzie $m$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci iloczynowej $W(x)=(x+2)Q(x)$, gdzie $Q(x)$ jest pewnym trójmianem kwadratowym. Wyznacz wielomian $Q(x)$ oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu $W(x)$.
Krok 1. Rozpisanie wielomianu $W(x)$.
Na początku ustalmy o co chodzi w zapisie $W(x)=(x+2)Q(x)$. Mówiąc wprost - jeżeli podzielimy wielomian $W(x)$ przez $x+2$, to otrzymamy wielomian $Q(x)$ (którego wartości poszukujemy).

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie skorzystać z informacji, że wielomian $Q(x)$ jest trójmianem kwadratowym, co oznacza, że możemy go zapisać jako $ax^2+bx+c$. Skoro tak, to:
$$W(x)=(x+2)Q(x) \           ,\
W(x)=(x+2)(ax^2+bx+c) \           ,\
W(x)=ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c \           ,\
W(x)=ax^3+2ax^2+bx^2+2bx+cx+2c \           ,\
W(x)=ax^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości wszystkich współczynników.
Z treści zadania wiemy, że wielomian $W(x)$ jest równy $3x^3+mx^2+3x-2$. Musimy więc przyrównać to do otrzymanej postaci $ax^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c$ i w ten sposób poznamy wszystkie wartości współczynników:
$$\color{green}{a}x^3+\color{red}{(2a+b)}x^2+\color{blue}{(2b+c)}x+\color{purple}{2}c \           ,\
\color{green}{3}x^3+\color{red}{m}x^2+\color{blue}{3}x\color{purple}{-2}$$

Wynika z tego, że:
$$a=3 \           ,\
2a+b=m \           ,\
2b+c=3 \           ,\
2c=-2 \Rightarrow c=-1$$

Z powyższej rozpiski wiemy już, że $a=3$ oraz $c=-1$. Jak spojrzymy na trzecie równanie, to będziemy mogli teraz obliczyć wartość $b$, zatem:
$$2b+c=3 \           ,\
2b-1=3 \           ,\
2b=4 \           ,\
b=2$$

I teraz wracamy do drugiego równania, otrzymując:
$$2a+b=m \           ,\
2\cdot3+2=m \           ,\
m=8$$

Mamy więc komplet informacji: $a=3, b=2, c=-1$ oraz $m=8$, zatem $W(x)=3x^3+8x^2+3x-2$ oraz $Q(x)=3x^2+2x-1$.

Krok 3. Wyznaczenie pierwiastków wielomianu $W(x)$.
Musimy jeszcze wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu $W(x)$, czyli mówiąc wprost - musimy ustalić kiedy $3x^3+8x^2+3x-2$ będzie równe $0$. Jest to wielomian trzeciego stopnia, więc nie będzie to takie proste, ale przecież mamy informację, że $W(x)=(x+2)Q(x)$, czyli tym samym $W(x)=(x+2)(3x^2+2x-1)$. Skoro tak, to pierwiastki wyznaczymy w następujący sposób:
$$(x+2)(3x^2+2x-1)=0 \           ,\
x+2=0 \quad\lor\quad 3x^2+2x-1=0$$

Z pierwszego równania widzimy, że otrzymamy $x=-2$. Drugie równanie jest równaniem kwadratowym zapisanym w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: $a=3,\;b=2,\;c=-1$
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot3\cdot(-1)=4-(-12)=16 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-4}{2\cdot3}=\frac{-6}{6}=-1 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+4}{2\cdot3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

Skoro tak, to pierwiastkami wielomianu będą:
$$x=-2 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad \frac{1}{3}$$
Zadanie nr 17 · Matura 2023
Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $f(x)=x^3-b-5\sqrt{2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Miejscem zerowym funkcji $f$ jest $x=\sqrt{2}+1$.

Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest równy:
A $b=1$
B $b=7$
C $b=1-3\sqrt{2}$
D $b=3-3\sqrt{2}$
Miejsce zerowe to taki argument $x$, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą $0$. Skoro tak, to:
$$0=(\sqrt{2}+1)^3-b-5\sqrt{2} \           ,\
0=(\sqrt{2})^3+3\cdot(\sqrt{2})^2\cdot1+3\sqrt{2}\cdot1^2+1^3-b-5\sqrt{2} \           ,\
0=2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1-b-5\sqrt{2} \           ,\
0=7-b \           ,\
b=7$$
Zadanie nr 18 · Matura 2023
Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=3x^2+bx-5$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Współczynnik $b$ jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Funkcja $f$:

A. ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,

B. ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,

C. nie ma rzeczywistych miejsc zerowych,

ponieważ

1. $b^2+60\gt0$

2. $b^2+60=0$

3. $b^2+60\lt0$
O tym, ile miejsc zerowych ma dana funkcja, decyduje tak zwana delta, którą obliczamy rozwiązując równania kwadratowe. Wypiszmy zatem współczynniki funkcji $f(x)=3x^2+bx-5$ i obliczmy deltę:
Współczynniki: $a=3,\;b=b,\;c=-5$
$$Δ=b^2-4ac=b^2-4\cdot3\cdot(-5)=b^2-(-60)=b^2+60$$

Z treści zadania wynika, że $b$ jest liczbą mniejszą od zera. Taka liczba, podniesiona do kwadratu, daje wynik dodatni. W związku z tym cała delta zapisana jako $b^2+60$ jest na pewno dodatnia. Dodatnia delta oznacza, że mamy dwa miejsca zerowe. Tak więc ta funkcja ma dwa miejsca zerowe, ponieważ $b^2+60\gt0$.
Zadanie nr 19 · Matura 2023
Dana jest funkcja $y=f(x)$, której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku obok. Ta funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x\in\langle-5,8\rangle$.

Zadanie 1.

Zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór rozwiązań nierówności: $f(x)\gt2$

$$...................$$

Zadanie 2.

Zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej maksymalny przedział lub maksymalne przedziały, w których funkcja $f$ jest malejąca.

Zadanie 3.

Największa wartość funkcji $f$ jest równa liczbie $...............$ , a najmniejsza wartość funkcji $f$ jest równa liczbie $...............$ .
Zadanie 1.
Z wykresu musimy odczytać, kiedy nasza funkcja przyjmuje wartości większe od $2$. Widzimy, że tak się stanie dla dwóch przedziałów: od $x=-5$ aż do $x=-1$ oraz od $x=7$ do $x=8$. Zwróćmy uwagę jeszcze na krańce przedziałów - przy argumencie $x=-5$ oraz $x=8$ mamy zamalowane kropki, więc nawiasy muszą być domknięte. Matematyczny zapis wyglądałby więc następująco:
$$x\in\langle-5;-1)\cup(7;8\rangle$$

Zadanie 2.
Spoglądamy na wykres funkcji i szukamy fragmentu, w którym funkcja "kieruje się w dół". Widzimy, że mamy tylko jeden taki przedział, funkcja maleje od $x=-3$ aż do $x=3$. Zapisując przedziały monotoniczności (czyli gdzie funkcja maleje/rośnie/jest stała) używamy zwyczajowo nawiasów domkniętych, stąd też:
$$x\in\langle-3;3\rangle$$

Zadanie 3.
Spoglądamy na naszą funkcję i sprawdzamy, jakie są największe i najmniejsze wartości przez nią przyjmowane. Widzimy, że największą przyjmowaną wartością jest $y=6$, natomiast najmniejszą będzie $y=-6$.

Zadanie nr 20 · Matura 2023
Dana jest funkcja $y=f(x)$, której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku obok.

Ta funkcja jest określona dla $x\in\langle−3, 5\rangle$. Funkcje $g$ oraz $h$ są określone za pomocą funkcji $f$ następująco:

$$y=g(x)=f(x+2) \quad\quad\quad y=h(x)=f(-x)$$

Na rysunkach A-F przedstawiono wykresy różnych funkcji - w tym wykresy funkcji $g$ oraz $h$. Każdej z funkcji $y=g(x)$ oraz $y=h(x)$ przyporządkuj jej wykres. Wpisz obok symboli funkcji w tabeli poniżej właściwe odpowiedzi wybrane spośród A-F.

\[

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Zadanie} & \text{Funkcja} & \text{Rysunek} \\ \hline 1. & y=g(x) & \\ \hline 2. & y=h(x) & \\ \hline \end{array}

\]

Zapis $g(x)=f(x+2)$ oznacza, że funkcja $g(x)$ jest wynikiem przesunięcia funkcji $f(x)$ o dwie jednostki w lewo. Taką sytuację mamy na rysunku D.

Zapis $h(x)=f(-x)$ oznacza, że funkcja $h(x)$ jest wynikiem przekształcenia funkcji $f(x)$ względem osi $OY$ (czyli takim odbiciem lustrzanym względem osi $OX$). Taką sytuację mamy na rysunku B.
Zadanie nr 21 · Matura 2023
Wzór funkcji kwadratowej można zapisać w postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej (o ile istnieje).

Zadanie 1.

Dana jest funkcja kwadratowa $y=f(x)$, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych, jeżeli wiadomo, że jeden ze wzorów podanych w odpowiedziach A-D to wzór funkcji $f$.

Funkcja kwadratowa $y=f(x)$ jest określona wzorem:

A. $y=-(x+5)^2-6$

B. $y=-(x+5)^2+6$

C. $y=-(x-5)^2-6$

D. $y=-(x-5)^2+6$

Zadanie 2.

Do wykresu pewnej funkcji kwadratowej $y=g(x)$ należy punkt o współrzędnych $P=(2,-6)$. Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu $x=3$, a jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest $x_{1}=1$.

Wyznacz i zapisz wzór funkcji $y=g(x)$ w postaci iloczynowej.
Zadanie 1.
Musimy podać wzór funkcji w postaci kanonicznej, czyli postaci typu $y=a(x-p)^2+q$, gdzie $p$ oraz $q$ to współrzędne wierzchołka paraboli. Z rysunku odczytujemy, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $W=(-5;6)$, czyli $p=-5$ oraz $q=6$. Skoro tak, to wzorem naszej funkcji będzie:
$$y=a(x-(-5))^2+6 \           ,\
y=a(x+5)^2+6$$

Teoretycznie powinniśmy jeszcze wyznaczyć wartość współczynnika $a$, choć widzimy, że w każdej z proponowanych odpowiedzi jest on równy -1. Ujemna wartość współczynnika $a$ jest jak najbardziej w porządku, ponieważ ramiona paraboli są skierowane do dołu. Stąd też odpowiedzią do tego zadania będzie $y=-(x+5)^2+6$.

Zadanie 2.
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Jedną z własności funkcji kwadratowych jest to, że miejsca zerowe są oddalone od osi symetrii o jednakową liczbę jednostek. Mówiąc bardzo obrazowo, sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:

Z rysunku pomocniczego wynika wprost, że miejscami zerowymi są $x=1$ oraz $x=5$.

Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej.
Znajomość miejsc zerowych pozwala nam zapisać wzór funkcji w postaci iloczynowej, zatem:
$$y=a(x-1)(x-5)$$

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika $a$. Poznamy go, podstawiając do wyznaczonej przed chwilą postaci współrzędne punktu $P=(2;-6)$, zatem:
$$-6=a(2-1)(2-5) \           ,\
-6=a\cdot1\cdot(-3) \           ,\
-3a=-6 \           ,\
a=2$$

To oznacza, że pełnym wzorem naszej funkcji będzie $y=2(x-1)(x-5)$.
Zadanie nr 22 · Matura 2023
Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości $x_{k}=7,01m$, licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej. Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie $x_{0}=0$, $y_{0}=2,50m$. Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:

$$y=-0,174x^2+1,3x+2,5$$

Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.

Zadanie 1.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Obręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do $0,01m$)

A. $3,04m$

B. $3,06m$

C. $3,80m$

D. $4,93m$

Zadanie 2.

Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego rzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Zadanie 3.

W opisanym rzucie piłka przeleciała swobodnie przez obręcz kosza i upadła na parkiet. Przyjmij, że obręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki jest równy $0,12m$. Oblicz współrzędną $x$ punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Zadanie 1.
Naszym zadaniem jest poznanie wartości funkcji $y=-0,174x^2+1,3x+2,5$ dla $x=7,01$ (bowiem na odległości $x=7,01$ jest ustawiony kosz). W związku z tym:
$$y=-0,174\cdot(7,01)^2+1,3\cdot7,01+2,5 \           ,\
y=-0,174\cdot49,1401+9,113+2,5 \           ,\
y=-8,5503774+9,113+2,5 \           ,\
y=3,0626226\approx3,06$$

To oznacza, że obręcz jest zawieszona na wysokości ok. $3,06m$.

Zadanie 2.
Maksymalna wysokość paraboli osiągana jest w jej wierzchołku. Interesuje nas więc poznanie współrzędnej $q$ wierzchołka paraboli $W=(p;q)$. W tym celu możemy skorzystać ze wzoru z tablic:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$

Widzimy, że do tego wzoru musimy podstawić deltę (to jest dokładnie ta sama delta, którą obliczamy w równaniach kwadratowych), zatem wypiszmy współczynniki i policzmy wartość tej delty:
Współczynniki: $a=-0,174,\;b=1,3,\;c=2,5$
$$Δ=b^2-4ac=(1,3)^2-4\cdot(-0,174)\cdot2,5=1,69-(1,74)=3,43$$

W związku z tym:
$$q=\frac{-3,43}{4\cdot(0,174)} \           ,\
q=\frac{-3,43}{0,696} \           ,\
q\approx4,93$$

To oznacza, że maksymalną wysokością na jaką wzniesie się środek piłki będzie ok. $4,93m$.

Zadanie 3.
Musimy sprawdzić, kiedy nasza funkcja $y=-0,174x^2+1,3x+2,5$ przyjmie wartość $0,12$, zatem:
$$0,12=-0,174x^2+1,3x+2,5 \           ,\
0,174x^2-1,3x-2,38=0$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: $a=0,174,\;b=-1,3,\;c=-2,38$
$$Δ=b^2-4ac=(-1,3)^2-4\cdot0,174\cdot(-2,38)=1,69-(-1,65648)=3,34648 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{3,34648}\approx1,8293$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1,3)-1,8293}{2\cdot0,174}=\frac{1,3-1,8293}{0,348}=\frac{-0,5293}{0,348}\approx-1,52 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1,3)+1,8293}{2\cdot0,174}=\frac{1,3+1,8293}{0,348}=\frac{3,1293}{0,348}\approx8,99$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo nasza współrzędna $x$ nie może być ujemna. To oznacza, że poszukiwaną współrzędną $x$ punktu środka piłki jest $x\approx8,99m$.