Równanie prostej na płaszczyźnie

W postaci kierunkowej $y=ax+b$ współczynnikiem kierunkowym jest liczba stojąca przy $x$:

$$a=3$$

Liczba $-5$ to wyraz wolny — mówi, gdzie prosta przecina oś $OY$.

Odpowiedź: B. $a=3$.

$$y=ax+b$$

gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, $b$ — wyraz wolny.

Odpowiedź: B. $y=ax+b$.

Podstawiamy współrzędne punktu do równania:

$$2\cdot2+3=7$$

Lewa strona równa się prawej, więc punkt leży na prostej.

Odpowiedź: tak, punkt $P$ należy do prostej.

$$f(4)=2\cdot4-3=8-3=5$$

Odpowiedź: $5$.

1. $-2x+6=0 \Rightarrow x=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — to wyraz wolny (punkt przecięcia z $Oy$), nie miejsce zerowe.

Korzystamy ze wzoru na współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{11-2}{4-1}=\frac93=3$$

Interpretacja: na każdą jednostkę w prawo prosta wznosi się o trzy jednostki.

Odpowiedź: $a=3$.

Współczynnik kierunkowy to liczba przy $x$:

$$a=3$$

Odpowiedź: A. $3$.

1. Rosnąca ⇔ $2m-4\gt 0 \Rightarrow m\gt 2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — warunek funkcji malejącej; C — rozwiązane $m-4\gt 0$ bez dzielenia.

Obie mają ten sam współczynnik kierunkowy $a=2$, ale różne wyrazy wolne:

$$a_1=a_2=2,\qquad b_1=1\neq-4=b_2$$

Wniosek: proste są równoległe i rozłączne. Gdyby wyrazy wolne też były równe, proste by się pokrywały.

Odpowiedź: C. równoległe.

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x)=0$:

$$2x-8=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Odpowiedź: $x=4$.

1. $a=\dfrac{-3-3}{2-(-1)}=\dfrac{-6}{3}=-2$.
2. $3=-2\cdot(-1)+b \Rightarrow b=1$, więc $y=-2x+1$.
3. Kontrola $B$: $-4+1=-3$ ✓.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — odwrócony iloraz przyrostów; B — przechodzi przez $A$, ale nie przez $B$.

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero:

$$4x-12=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Geometrycznie: prosta przecina oś $OX$ w punkcie $(3,\ 0)$.

Odpowiedź: $x=3$.

O monotoniczności decyduje znak współczynnika kierunkowego. Dla $a>0$ funkcja rośnie.

Odpowiedź: C. $a>0$.

1. Równoległa → $a=3$. $5=3\cdot1+b \Rightarrow b=2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to prosta prostopadła przez $P$; C — wpisany $y_0$ zamiast wyliczonego $b$.

Warunek prostopadłości:

$$a_1\cdot a_2=-1$$

$$2\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=-\frac12$$

Zapamiętaj sposób: odwracamy ułamek i zmieniamy znak.

Odpowiedź: A. $-\frac12$.

Podstawiamy $x=2$:

$$f(2)=3\cdot2+1=7$$

Wartość funkcji ($7$) zgadza się z drugą współrzędną punktu.

Odpowiedź: tak, punkt $A$ należy do wykresu.

1. $(m-1)\cdot\tfrac12=-1 \Rightarrow m-1=-2 \Rightarrow m=-1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — warunek równoległości $m-1=\tfrac12$; B — zgubiony minus ($m-1=2$).

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{7-3}{2-0}=\frac42=2$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $A$ leży na osi $OY$, więc od razu $b=3$.

Krok 3 — równanie:

$$y=2x+3$$

Sprawdzenie dla $B$: $2\cdot2+3=7$ ✔

Odpowiedź: $y=2x+3$.

Miejsce zerowe ($f(x)=0$):

$$-\tfrac12 x+3=0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac12 x=3 \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Przecięcie z osią $OY$ ($x=0$):

$$f(0)=3 \quad\Rightarrow\quad (0,3)$$

Odpowiedź: miejsce zerowe $x=6$, przecięcie z $OY$ w $(0,3)$.

1. Wykres przechodzi przez $(0,2)$ i $(4,0)$: $b=2\gt 0$.
2. Funkcja maleje: $a=\dfrac{0-2}{4-0}=-\tfrac12\lt 0$.

Odpowiedź: A

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{1-5}{3-1}=\frac{-4}{2}=-2$$

Krok 2 — wyraz wolny. Podstawiamy pierwszy punkt:

$$5=-2\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=7$$

Krok 3 — równanie:

$$y=-2x+7$$

Sprawdzenie drugim punktem: $-2\cdot3+7=1$ ✔

Odpowiedź: $a=-2$, $b=7$.

Dla $a=0$ funkcja $y=b$ jest stała — jej wykresem jest prosta pozioma.

Odpowiedź: D. stała.

1. Miejsce zerowe $f$: $2x-8=0 \Rightarrow x=4$.
2. $g(4)=0$: $4a+3=0 \Rightarrow a=-\tfrac34$.

Odpowiedź: A

O monotoniczności decyduje wyłącznie współczynnik kierunkowy:

$$a<0 \ \Rightarrow\ \text{malejąca},\qquad a>0 \ \Rightarrow\ \text{rosnąca},\qquad a=0 \ \Rightarrow\ \text{stała}$$

Wyraz wolny $b$ przesuwa wykres w pionie, ale nie zmienia jego nachylenia.

Odpowiedź: D. $a<0$.

Krok 1 — wyraz wolny. Punkt $(0,2)$ daje $b=2$.

Krok 2 — współczynnik kierunkowy ze wzoru na nachylenie:

$$a=\frac{5-2}{1-0}=3$$

Krok 3 — wzór:

$$y=3x+2$$

Odpowiedź: $y=3x+2$.

1. 1. $f(0)=6$, więc wykres przecina $Oy$ w $(0,6)$ — prawda.
2. 2. $a=-3\lt 0$, więc $\operatorname{tg}\alpha\lt 0$ i kąt nachylenia jest rozwarty — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Krok 1 — wyznaczamy $y$:

$$3y=-2x+6 \quad\Rightarrow\quad y=-\frac23x+2$$

Krok 2 — przecięcie z osią $OY$ (podstawiamy $x=0$):

$$(0,\ 2)$$

Krok 3 — przecięcie z osią $OX$ (podstawiamy $y=0$):

$$-\frac23x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \quad\Rightarrow\quad (3,\ 0)$$

Odpowiedź: $y=-\frac23x+2$; punkty $(0,\ 2)$ i $(3,\ 0)$.

Proste $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$ są równoległe, gdy $a_1=a_2$.

Odpowiedź: A. równe współczynniki kierunkowe.

1. $\operatorname{tg}\alpha=a=\sqrt3$, a $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$, więc $\alpha=60^\circ$.

Odpowiedź: $60^\circ$

Proste równoległe mają identyczny współczynnik kierunkowy:

$$a=-4$$

Warunek spełnia tylko $y=-4x-7$.

Uwaga: $y=\frac14x$ ma współczynnik $\frac14$ — to prosta prostopadła, bo $-4\cdot\frac14=-1$.

Odpowiedź: B. $y=-4x-7$.

Krok 1 — równoległość. Ten sam współczynnik kierunkowy: $a=2$.

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $(0,-3)$ daje $b=-3$.

$$y=2x-3$$

Odpowiedź: $y=2x-3$.

1. Prostopadła: $a=-\tfrac12$. $1=-\tfrac12\cdot4+b \Rightarrow b=3$, więc $l:\ y=-\tfrac12x+3$.
2. Przecięcie: $2x-3=-\tfrac12x+3 \Rightarrow \tfrac52x=6 \Rightarrow x=\tfrac{12}5$.
3. $y=2\cdot\tfrac{12}5-3=\tfrac95$. Punkt $\left(\tfrac{12}5,\tfrac95\right)$.

Odpowiedź: $l:\ y=-\tfrac12x+3$, punkt przecięcia $\left(\tfrac{12}5,\tfrac95\right)$

Krok 1 — współczynnik kierunkowy jest taki sam jak w danej prostej:

$$a=3$$

Krok 2 — wyraz wolny z warunku przechodzenia przez $P$:

$$5=3\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=2$$

Krok 3 — równanie:

$$y=3x+2$$

Odpowiedź: $y=3x+2$.

Sprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych:

$$2\cdot\left(-\tfrac12\right)=-1$$

Iloczyn $-1$ oznacza prostopadłość.

Odpowiedź: B. prostopadłe.

Krok 1 — porównujemy prawe strony:

$$2x-1=-x+5$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$3x=6 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3 — obliczamy $y$:

$$y=2\cdot2-1=3$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $-2+5=3$ ✔

Odpowiedź: punkt $(2,\ 3)$.

Krok 1 — postać: $y=-2x+b$.

Krok 2 — miejsce zerowe $x=3$ oznacza $f(3)=0$:

$$-2\cdot3+b=0 \quad\Rightarrow\quad b=6$$

Krok 3 — wzór:

$$y=-2x+6$$

Odpowiedź: $y=-2x+6$.

Podstawiamy współrzędne punktu:

$$11=2a+3 \quad\Rightarrow\quad 2a=8 \quad\Rightarrow\quad a=4$$

Sprawdzenie: $4\cdot2+3=11$ ✔

Odpowiedź: C. $a=4$.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Odpowiedź: C. prosta.

Krok 1 — współczynnik z warunku prostopadłości:

$$\frac13\cdot a=-1 \quad\Rightarrow\quad a=-3$$

Krok 2 — wyraz wolny:

$$1=-3\cdot3+b \quad\Rightarrow\quad b=10$$

Krok 3 — równanie:

$$y=-3x+10$$

Odpowiedź: $y=-3x+10$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{12-3}{4-1}=\frac{9}{3}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny (podstawiamy punkt $(1,3)$ do $y=3x+b$):

$$3=3\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=0$$

Krok 3 — wzór:

$$y=3x$$

Sprawdzenie: $f(4)=12$ ✔

Odpowiedź: $y=3x$.

Równanie $y=5$ to funkcja stała — współczynnik kierunkowy wynosi zero, więc prosta jest pozioma.

Dla porównania: $x=5$ to prosta pionowa, ale nie jest wykresem żadnej funkcji, bo jednemu argumentowi odpowiadałoby nieskończenie wiele wartości.

Odpowiedź: A. równoległa do osi $OX$.

Współczynnik kierunkowy $a=-3<0$, więc funkcja jest malejąca.

Odpowiedź: A. malejąca.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{4-1}{4-(-2)}=\frac{3}{6}=\frac12$$

Krok 2 — wyraz wolny. Podstawiamy punkt $A$:

$$1=\frac12\cdot(-2)+b \quad\Rightarrow\quad 1=-1+b \quad\Rightarrow\quad b=2$$

Krok 3 — równanie prostej:

$$y=\frac12x+2$$

Krok 4 — sprawdzamy punkt $C$:

$$\frac12\cdot0+2=2 \ ✔$$

Punkt $C$ leży na prostej — i to dokładnie w miejscu przecięcia z osią $OY$.

Kontrola punktem $B$: $\frac12\cdot4+2=4$ ✔

Odpowiedź: $y=\frac12x+2$; punkt $C$ należy do prostej.

Krok 1 — model funkcją liniową. Koszt $k$ w zależności od liczby kilometrów $x$:

$$k(x)=3x+8$$

Krok 2 — koszt dla $x=12$:

$$k(12)=3\cdot12+8=36+8=44\ \text{zł}$$

Interpretacja. Wyraz wolny $8$ to opłata stała, współczynnik $3$ to koszt za kilometr.

Odpowiedź: $k(x)=3x+8$; przejazd $12$ km kosztuje $44$ zł.

Przypadek 1 — równoległość. Współczynniki muszą być równe:

$$m-1=2 \quad\Rightarrow\quad m=3$$

Przypadek 2 — prostopadłość. Iloczyn współczynników ma dać $-1$:

$$(m-1)\cdot2=-1 \quad\Rightarrow\quad m-1=-\frac12 \quad\Rightarrow\quad m=\frac12$$

Sprawdzenie równoległości: dla $m=3$ mamy $y=2x+3$ — ten sam współczynnik co $y=2x-5$, ale inny wyraz wolny, więc proste są rozłączne ✔

Odpowiedź: równoległe dla $m=3$, prostopadłe dla $m=\frac12$.

Krok 1 — warunek stałości. Funkcja jest stała, gdy współczynnik kierunkowy równa się zeru:

$$m-2=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$m=2$$

Sprawdzenie. Dla $m=2$ mamy $f(x)=0\cdot x+5=5$ — funkcja stała ✔

Odpowiedź: $m=2$.

Krok 1 — wzór funkcji:

$$f(x)=3x+8$$

Krok 2 — interpretacja. Współczynnik kierunkowy $a=3$ to cena jednego kilometra, czyli tempo wzrostu kosztu. Wyraz wolny $b=8$ to koszt początkowy — płacimy go nawet przy zerowym przejeździe.

Krok 3 — ile za $50$ zł:

$$3x+8=50 \quad\Rightarrow\quad 3x=42 \quad\Rightarrow\quad x=14$$

Sprawdzenie: $3\cdot14+8=50$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=3x+8$; za $50$ zł przejedziemy $14$ km.

Krok 1 — warunek równoległości. Równe współczynniki kierunkowe:

$$2m+1=5$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$2m=4 \quad\Rightarrow\quad m=2$$

Uwaga. Wyrazy wolne ($3\neq-4$) są różne, więc proste są równoległe, a nie pokrywające się — warunek spełniony.

Odpowiedź: $m=2$.

Krok 1 — pomysł na dowód. Trzy punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest ten sam.

Krok 2 — dla pary $A$, $B$:

$$a_{AB}=\frac{6-2}{3-1}=\frac42=2$$

Krok 3 — dla pary $B$, $C$:

$$a_{BC}=\frac{10-6}{5-3}=\frac42=2$$

Krok 4 — wniosek. Oba współczynniki są równe, a proste $AB$ i $BC$ mają wspólny punkt $B$ — muszą się więc pokrywać. $\qquad ∎$

Krok 5 — równanie. Podstawiamy punkt $A$:

$$2=2\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=0 \quad\Rightarrow\quad y=2x$$

Sprawdzenie: $2\cdot3=6$ ✔ oraz $2\cdot5=10$ ✔

Krok 1 — założenie. Prosta ma postać $y=ax+b$ i przechodzi przez oba punkty, więc:

$$y_1=ax_1+b,\qquad y_2=ax_2+b$$

Krok 2 — odejmujemy równania stronami (znika $b$):

$$y_2-y_1=a(x_2-x_1)$$

Krok 3 — dzielimy przez $x_2-x_1\neq0$:

$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \qquad ∎$$

Wniosek. Współczynnik kierunkowy to „przyrost $y$ na jednostkę przyrostu $x$”. Założenie $x_1\neq x_2$ jest konieczne — dla równych odciętych prosta byłaby pionowa i nie jest wykresem funkcji.

Sprawdzenie dla $(1,3)$, $(4,12)$: $a=\frac{12-3}{4-1}=3$ — zgodnie z zad. 15 ✔

Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(l\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy. To prowadzi nas do wniosku, że prosta \(l\) ma ten sam współczynnik kierunkowy co prosta \(k\), zatem prosta \(l\) ma równanie postaci:
$$y=-\frac{1}{3}x+b$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), podstawiamy współrzędne punktu \((2,-2)\) do wzoru, przez który przechodzi prosta \(l\):
$$-2=-\frac{1}{3}\cdot2+b \\
-2=-\frac{2}{3}+b \\
b=-2+\frac{2}{3} \\
b=-\frac{6}{3}+\frac{2}{3} \\
b=-\frac{4}{3}$$

Równanie prostej \(l\) to w takim razie \(y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}\).

Krok 3. Znalezienie punktu przecięcia z osią \(Oy\).
Punkt przecięcia z osią \(Oy\) ma współrzędną \(x=0\), a jego współrzędna \(y\) jest równa wyrazowi wolnemu \(b\). Zatem jest to punkt \((0,-\frac{4}{3})\).

Rozwiązanie

1. $l:\ y=-\tfrac13x+b$. Z $(2,-2)$: $-2=-\tfrac23+b\Rightarrow b=-\tfrac43$.
2. Przecięcie z $Oy$: $(0,-\tfrac43)$.

Odpowiedź: D

Współczynnik kierunkowy prostej $AB$: $a=\dfrac{2-(-6)}{4-0}=\dfrac{8}{4}=2$.

Prosta przechodzi przez $A=(0,-6)$, więc wyraz wolny $b=-6$: $y=2x-6$.

Odpowiedź: D.

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(m-2\), a druga ma równy \(-4\). Skoro te współczynniki muszą być równe to:
$$m-2=-4 \\
m=-2$$

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe \(a\). To prowadzi nas do wniosku, że nasza poszukiwana prosta musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Wiemy już, że nasza prosta równoległa musi wyrażać się równaniem typu \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Chcąc poznać brakujący współczynnik \(b\) musimy podstawić współrzędne punktu, przez który ta prosta przechodzi, czyli w tym przypadku współrzędne punktu \(P=(3;5)\). Otrzymamy zatem:
$$5=-\frac{1}{3}\cdot3+b \\
5=-1+b \\
b=6$$

Rozwiązanie

1. Równoległa: $a=-\tfrac13$.
2. $5=-\tfrac13\cdot3+b\Rightarrow 5=-1+b\Rightarrow b=6$.

Odpowiedź: D