Proporcjonalność odwrotna

Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów ($x$), dla których funkcja jest określona.

Zbiór wartości to z kolei zbiór wszystkich wartości ($y$).

Odpowiedź: B. argumentów funkcji.

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x)=0$:

$$2x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Na wykresie: to punkt przecięcia z osią $OX$, czyli $(2,\ 0)$.

Odpowiedź: $x=2$.

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero — wykres przecina wtedy oś $OX$.

Odpowiedź: C. oś $OX$.

$$x^2-9=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+3)=0$$

$$x=3 \quad\text{lub}\quad x=-3$$

Odpowiedź: $x=-3$ oraz $x=3$.

Oś $OY$ odpowiada $x=0$, więc rzędna punktu przecięcia to $f(0)$.

Odpowiedź: A. $f(0)$.

$$f(0)=3\cdot0+6=6$$

Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0,\ 6)$.

Odpowiedź: $f(0)=6$, punkt $(0,\ 6)$.

Analiza monotoniczności. Funkcja rośnie do $x=5$, potem maleje — więc w $x=5$ osiąga wartość największą (maksimum).

Zasada: maksimum lokalne jest tam, gdzie funkcja przechodzi z rosnącej w malejącą.

Odpowiedź: maksimum w $x=5$.

Wartość $f(x)>0$ oznacza, że punkt wykresu leży powyżej osi $OX$.

Analogicznie: $f(x)\lt 0$ — poniżej osi.

Odpowiedź: D. powyżej osi $OX$.

Krok 1 — rozwiązujemy nierówność $f(x)\lt 0$:

$$x^2-4\lt 0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+2)\lt 0$$

Krok 2 — miejsca zerowe $-2$ i $2$, parabola w górę:

$$-2\lt x\lt 2$$

Interpretacja: między miejscami zerowymi wykres paraboli jest poniżej osi $OX$.

Odpowiedź: $x\in(-2,\ 2)$.

Funkcja stała ma zawsze tę samą wartość — nie rośnie ani nie maleje.

Wykres: pozioma prosta $y=3$.

Odpowiedź: B. ani rosnąca, ani malejąca.

Kwadrat jest nieujemny, a wartość $0$ jest osiągana dla $x=0$:

$$ZW=\langle0,\ +\infty)$$

Uwaga: nawias kątowy przy $0$ — zero należy do zbioru wartości.

Odpowiedź: A. $\langle0,+\infty)$.

Analiza znaku:

• $x\lt -1$: $f(x)>0$ (dodatnia),
• $x=-1$: $f(x)=0$,
• $-1\lt x\lt 4$: $f(x)\lt 0$ (ujemna),
• $x=4$: $f(x)=0$,
• $x>4$: $f(x)>0$ (dodatnia).

Interpretacja. To typowy przebieg paraboli o ramionach w górę — ujemna między miejscami zerowymi, dodatnia poza nimi.

Odpowiedź: dodatnia na $(-\infty,-1)\cup(4,+\infty)$, ujemna na $(-1,\ 4)$.

Dziedzina: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ (mianownik niezerowy).

Monotoniczność: dla współczynnika dodatniego funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów $(-\infty,0)$ i $(0,+\infty)$.

Uwaga: nie jest malejąca „w całości" — między gałęziami hiperboli jest przerwa (asymptota $x=0$).

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$, malejąca w każdym przedziale.

Minimum lokalne to „dolina" — funkcja najpierw maleje, potem rośnie:

$$\text{malejąca} \to \text{minimum} \to \text{rosnąca}$$

Odpowiedź: C. malejącej w rosnącą.

Krok 1 — parabola o ramionach w dół (współczynnik przy $x^2$ ujemny), więc ma maksimum w wierzchołku.

Krok 2 — wierzchołek. Dla $f(x)=-x^2+4$ wierzchołek jest w $x=0$:

$$f(0)=4$$

Krok 3 — wniosek. Wartość największa to $4$, osiągana w $x=0$.

Zbiór wartości: $(-\infty,\ 4\rangle$.

Odpowiedź: max $4$ w $x=0$.

Mianownik nie może być zerem:

$$x-4\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq4$$

Odpowiedź: A. $\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Krok 1 — miejsce zerowe:

$$-2x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 2 — przecięcie z osią $OY$:

$$f(0)=6 \quad\Rightarrow\quad (0,\ 6)$$

Krok 3 — monotoniczność. Współczynnik kierunkowy $-2\lt 0$, więc funkcja jest malejąca.

Krok 4 — gdzie dodatnia. Funkcja maleje i zeruje się w $x=3$, więc jest dodatnia dla mniejszych argumentów:

$$f(x)>0 \iff x\lt 3$$

Odpowiedź: miejsce zerowe $3$, punkt $(0,6)$, malejąca, dodatnia dla $x\in(-\infty,\ 3)$.

Krok 1 — miejsca zerowe:

$$x^2-2x-3=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{lub}\ x=-1$$

Krok 2 — pierwsza współrzędna wierzchołka:

$$x_w=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 3 — druga współrzędna:

$$f(1)=1-2-3=-4$$

Krok 4 — zbiór wartości. Ramiona w górę, wierzchołek najniżej:

$$ZW=\langle-4,\ +\infty)$$

Kontrola. Wierzchołek leży w środku między miejscami zerowymi: $\frac{-1+3}{2}=1$ ✔

Odpowiedź: miejsca zerowe $-1$ i $3$, wierzchołek $(1,\ -4)$, $ZW=\langle-4,+\infty)$.

Krok 1 — $x\to+\infty$. Dzieląc $12$ przez coraz większe liczby, otrzymujemy wartości coraz bliższe zeru:

$$f(x)\to0^+$$

Wykres zbliża się do asymptoty poziomej $y=0$.

Krok 2 — $x\to0^+$. Dzieląc $12$ przez coraz mniejsze dodatnie liczby, wartości rosną nieograniczenie:

$$f(x)\to+\infty$$

Wykres „ucieka" wzdłuż asymptoty pionowej $x=0$.

Interpretacja. Te dwie asymptoty ($x=0$ i $y=0$) charakteryzują każdą hiperbolę $\frac{a}{x}$ — proporcjonalność odwrotna oznacza, że iloczyn $x\cdot f(x)=12$ jest stały.

Odpowiedź: dla $x\to+\infty$ wartości dążą do $0$; dla $x\to0^+$ rosną do $+\infty$.

Krok 1 — definicja. Funkcja jest różnowartościowa, gdy różnym argumentom odpowiadają różne wartości. Aby obalić, wystarczy jeden kontrprzykład.

Krok 2 — kontrprzykład:

$$f(2)=4,\qquad f(-2)=4$$

Dwa różne argumenty ($2$ i $-2$) dają tę samą wartość ($4$), więc funkcja nie jest różnowartościowa. $\qquad ∎$

Krok 3 — interpretacja graficzna. Parabola jest symetryczna względem osi $OY$, więc pozioma prosta $y=4$ przecina wykres w dwóch punktach: $(-2,\ 4)$ i $(2,\ 4)$. To „test poziomej prostej" — jeśli jakaś pozioma prosta przecina wykres więcej niż raz, funkcja nie jest różnowartościowa.

Uwaga. Gdyby ograniczyć dziedzinę do $\langle0,+\infty)$, funkcja stałaby się różnowartościowa — różnowartościowość zależy od dziedziny.

Wniosek: $f(2)=f(-2)=4$ przy $2\neq-2$ dowodzi, że $f(x)=x^2$ nie jest różnowartościowa.