$b$ stanowi $80\%$ liczby $a$, czyli jest o $20\%$ mniejsza.
Odpowiedź:B
Dlaczego nie pozostałe? A — procent zawsze liczymy od liczby, z którą porównujemy (tu od $a$).
Zadanie nr 7
Ile wynosi $50\%$ z $60$?
A$6$
B$30$
C$50$
D$60$
$$0{,}5\cdot60=30$$
Odpowiedź: B.
Zadanie nr PP10.6
Oprocentowanie kredytu wzrosło z $5\%$ do $7\%$. Oznacza to, że oprocentowanie wzrosło o
A$2$ punkty procentowe, czyli o $40\%$
B$2\%$, czyli o $2$ punkty procentowe
C$40$ punktów procentowych
D$20\%$
Różnica: $7\%-5\%=2$ punkty procentowe.
Zmiana względna: $\dfrac{7-5}{5}\cdot100\%=40\%$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? B — pomylone punkty procentowe z procentami.
Zadanie nr 8
Oblicz $15\%$ z $200$.
$$0{,}15\cdot200=30$$
Odpowiedź: $30$.
Zadanie nr PP10.7
Na lokatę dwuletnią z oprocentowaniem $4\%$ w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek wpłacono $5000$ zł. Po dwóch latach (bez podatku) na lokacie będzie
A$5408$ zł
B$5400$ zł
C$5416$ zł
D$5200$ zł
$5000\cdot1{,}04^2=5000\cdot1{,}0816=5408$ zł.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? B — procent prosty (bez odsetek od odsetek); D — tylko jeden rok.
Zadanie nr 9
Liczba $45$ to ile procent liczby $90$?
$$\tfrac{45}{90}\cdot100\%=50\%$$
Odpowiedź: $50\%$.
Zadanie nr PP10.8
Kurtka kosztowała $400$ zł. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Po obniżce o $15\%$ kurtka kosztuje $340$ zł.
Po dwóch kolejnych obniżkach o $10\%$ kurtka kosztuje $320$ zł.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
1. $400\cdot0{,}85=340$ zł — prawda.
2. $400\cdot0{,}9\cdot0{,}9=324$ zł, a nie $320$ zł — fałsz (dwie obniżki po $10\%$ to obniżka o $19\%$).
Odpowiedź: P, F
Zadanie nr 10
Cena $80$ zł spadła o $25\%$. Nowa cena to:
A$55$ zł
B$75$ zł
C$60$ zł
D$100$ zł
$80\cdot0{,}75=60$.
Odpowiedź: C.
Zadanie nr PP10.9
Kwotę $2000$ zł złożono na lokatę na $3$ lata z oprocentowaniem $5\%$ w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek. Oblicz kwotę na lokacie po $3$ latach (pomiń podatek).
$K_3=2000\cdot1{,}05^3$.
$1{,}05^3=1{,}157625$, więc $K_3=2315{,}25$ zł.
Odpowiedź: $2315{,}25$ zł
Zadanie nr 11
Ile procent liczby $50$ stanowi liczba $10$?
$$\tfrac{10}{50}\cdot100\%=20\%$$
Odpowiedź: $20\%$.
Zadanie nr PP10.10
Cenę roweru obniżono o $20\%$, a po miesiącu nową cenę podwyższono o $15\%$. Po tych zmianach rower kosztuje $1472$ zł. Oblicz cenę początkową roweru i ustal, o ile procent cena końcowa różni się od ceny początkowej.
$x$ — cena początkowa: $x\cdot0{,}8\cdot1{,}15=1472$.
$0{,}92x=1472 \Rightarrow x=1600$ zł.
Cena końcowa to $92\%$ początkowej, czyli jest o $8\%$ niższa.
Odpowiedź: $1600$ zł; cena końcowa jest niższa o $8\%$
Schemat punktowania:
1 pkt — równanie $0{,}8\cdot1{,}15\cdot x=1472$ lub obliczenie ceny początkowej,
2 pkt — cena $1600$ zł i zmiana o $8\%$ (obniżka).
Zadanie nr 12
Po podwyżce o $25\%$ cena to $100$ zł. Jaka była początkowa?
$1{,}25c=100 \Rightarrow c=80$.
Odpowiedź: $80$ zł.
Zadanie nr 13
$0{,}3$ to ile procent?
A$3\%$
B$30\%$
C$300\%$
D$0{,}3\%$
$0{,}3=30\%$.
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 14
Oblicz $200\%$ z $15$.
$$2\cdot15=30$$
Odpowiedź: $30$.
Zadanie nr 15
Bluza kosztowała $120$ zł, teraz $90$ zł. O ile procent staniała?
Konto $1000$ zł oprocentowane $5\%$ rocznie. Ile odsetek po roku?
$0{,}05\cdot1000=50$ zł.
Odpowiedź: $50$ zł.
Zadanie nr 18
Towar z VAT $23\%$ kosztuje netto $200$ zł. Ile brutto?
$200\cdot1{,}23=246$ zł.
Odpowiedź: $246$ zł.
Zadanie nr 19
W klasie $30$ uczniów, $60\%$ to dziewczęta. Ilu chłopców?
Dziewcząt $0{,}6\cdot30=18$, chłopców $30-18=12$.
Odpowiedź: $12$.
Zadanie nr 20
Cena wzrosła o $10\%$, potem spadła o $10\%$. Czy wróciła do początkowej? Uzasadnij.
$c\cdot1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99c$ — jest niższa o $1\%$.
Odpowiedź: nie, jest o $1\%$ niższa.
Zadanie nr 9 · Matura 2025
Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę $1\,200\,000$ złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie $146\,700$ złotych — zespół A wykorzystał $13\%$ przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał $11\%$ przyznanych mu środków.
Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.
Niech $a$ oznacza kwotę przyznaną zespołowi A, wtedy zespołowi B przyznano $1\,200\,000-a$.
Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi \(3\%\) w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.
Po \(10\) latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym okresie) kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku o (w zaokrągleniu do \(1\%\)):
A\(30\%\)
B\(34\%\)
C\(36\%\)
D\(43\%\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na procent składany:
$$K_{n}=K\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$$
gdzie:
\(K_{n}\) - kapitał zgromadzony po \(n\) okresach kapitalizacji
\(K\) - kapitał początkowy
\(n\) - liczba okresów kapitalizacji
\(p\) - wysokość oprocentowania (po uwzględnieniu liczby kapitalizacji)
Jednak zanim przystąpimy do obliczeń, to ustalmy kluczowe parametry, czyli \(n\) oraz \(p\). Lokata jest na \(10\) lat, a kapitalizacja jest roczna. W związku z tym \(n=10\) (bo odsetki zostaną dopisane dziesięć razy), a \(p=3\). Podstawiając te dane do wzoru, otrzymamy:
$$K_{10}=K\cdot\left(1+\frac{3}{100}\right)^{10} \ ,\
K_{10}=K\cdot(1,03)^{10} \ ,\
K_{10}\approx K\cdot1,3439 \ ,\
K_{10}\approx1,34K$$
Skoro włożyliśmy na lokatę \(K\) złotych, a po dziesięciu latach mamy \(1,34K\), to znaczy, że kwota wzrosła o \(34\%\).
Zadanie nr 3 · Matura 2023
Cenę aparatu fotograficznego obniżono o \(15\%\), a następnie - o \(20\%\) w odniesieniu do oceny obowiązującej w danym momencie. Po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje \(340zł\). Przed obiema obniżkami cena tego aparatu była równa:
A\(500zł\)
B\(425zł\)
C\(400zł\)
D\(375zł\)
Bazując na treści zadania, możemy wprowadzić następujące oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena aparatu
\(0,85x\) - cena aparatu po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,85x=0,68x\) - cena aparatu po drugiej obniżce
Z treści zadania wynika, że po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje \(340zł\), zatem:
$$0,68x=340 \ ,\
x=500$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2023
Na początku listopada w bufecie pracowniczym podniesiono cenę za obiad z \(20 zł\) do \(24 zł\). Z końcem miesiąca okazało się, że sprzedano mniej obiadów niż w październiku, ale wpływy z ich sprzedaży w listopadzie były o \(8\%\) wyższe niż w miesiącu przed podwyżką.
Liczba sprzedanych obiadów w listopadzie spadła o:
A\(9\%\)
B\(10\%\)
C\(12\%\)
D\(16\%\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba sprzedanych obiadów w październiku (po cenie \(20zł\))
\(y\) - liczba sprzedanych obiadów w listopadzie (po cenie \(24zł\))
To z kolei oznacza, że na obiadach w październiku zarobiono \(20x\), a w listopadzie \(24y\).
Krok 2. Ustalenie spadku liczby sprzedanych obiadów.
Z treści zadania wynika, że jak wpływy z października powiększymy o \(8\%\), to otrzymamy wpływy z listopada, czyli możemy ułożyć następujące równanie:
$$20x\cdot1,08=24y \ ,\
21,6x=24y \quad\bigg/\:24 \ ,\
y=0,9x$$
Otrzymany zapis oznacza, że liczba sprzedanych obiadów w listopadzie stanowi \(90\%\) tych, które były sprzedane w październiku, czyli tym samym sprzedaż spadła o \(10\%\).
Zadanie nr 3 · Próbny 2022
W firmie XYZ \(48\%\) pracowników zna język angielski, a spośród nich \(8\%\) zdało egzamin państwowy z tego języka i posiada międzynarodowy certyfikat językowy. Wynika stąd, że najmniejsza możliwa liczba pracowników firmy to:
A\(100\)
B\(250\)
C\(625\)
D\(1255\)
Wprowadźmy do treści zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba pracowników
\(0,48x\) - liczba pracowników znających angielski
\(0,08\cdot0,48x=0,0384x\) - liczba pracowników, którzy mają certyfikat
Mogłoby się wydawać, że skoro ma to być jak najmniejsza liczbę pracowników, to liczba mających certyfikat powinna być równa \(1\). Nie do końca jest to dobre założenie, bo w takim przypadku np. liczba osób znających angielski wyszłaby nam niecałkowita. Jak zatem podejść do zadania? Najprościej będzie sprawdzić, co się stanie, gdy w miejsce \(x\) podstawimy po kolei odpowiedzi z naszego zadania:
\(0,0384\cdot100=3,84 \ ,\
0,0384\cdot250=9,6 \ ,\
0,0384\cdot625=24 \ ,\
0,0384\cdot1225=47,04\)
Wynik będący liczbą naturalną otrzymaliśmy jedynie w trzecim przypadku, tak więc to będzie prawidłowa odpowiedź.
Zadanie nr 4 · Matura 2022
Cenę \(x\) (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o \(30\%\), a następnie obniżono o \(20\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa:
A\(0,36\cdot x\) złotych
B\(0,44\cdot x\) złotych
C\(0,50\cdot x\) złotych
D\(0,56\cdot x\) złotych
Aby rozpisać tę sytuację, musimy pamiętać, że obniżka ceny o np. \(30\%\) sprawia, iż nowa cena towaru stanowi \(70\%\) poprzedniej ceny, czyli \(0,7\) tej wartości. W związku z tym:
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,7\cdot x=0,7x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,7x=0,56x\) - cena towaru po drugiej obniżce
Zadanie nr 4 · Matura 2022
\(30\%\) liczby \(x\) jest o \(2730\) mniejsze od liczby \(x\). Liczba \(x\) jest równa:
A\(3900\)
B\(1911\)
C\(9100\)
D\(2100\)
\(30\%\) liczby \(x\) to \(0,3x\). Z treści zadania wynika więc, że \(0,3x\) jest o \(2730\) mniejsze od \(x\), czyli:
$$0,3x=x-2730 \ ,\
-0,7x=-2730 \ ,\
x=3900$$
Zadanie nr 4 · Matura 2022
Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o \(10\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa \(78 732 zł\). Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do \(1 zł\), równa:
A\(98 732 zł\)
B\(97 200 zł\)
C\(95 266 zł\)
D\(94 478 zł\)
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena działki
\(0,9x\) - cena działki po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,9x=0,81x\) - cena działki po drugiej obniżce
Skoro więc po drugiej obniżce wynosi \(78 732 zł\), to:
$$0,81x=78732 \ ,\
x=97200$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2021
Cena komputera BIT była równa \(1968zł\). W ramach promocji sklep obniżył ją o \(25\%\). Po obniżce cena tego komputera jest równa:
A\(1476zł\)
B\(1574,40zł\)
C\(1933zł\)
D\(1967,75zł\)
Z działu procentów wiemy, że obniżenie ceny o \(25\%\) sprawia, iż produkt kosztuje teraz \(0,75\) wartości początkowej. Możemy zatem zapisać, że po obniżce cena tego komputera wynosi:
$$0,75\cdot1968zł=1476zł$$
Oczywiście nic też nie stoi na przeszkodzie, by najpierw obliczyć wysokość obniżki, a potem odliczyć ją od kwoty komputera. Moglibyśmy więc rozpisać to w taki sposób:
Wysokość obniżki wynosi: \(0,25\cdot1968zł=492zł\)
Nowa cena komputera wynosi: \(1968zł-492zł=1476zł\)
Zadanie nr 2 · Matura 2021
Liczba \(78\) stanowi \(150\%\) liczby \(c\). Wtedy liczba \(c\) jest równa:
A\(60\)
B\(52\)
C\(48\)
D\(39\)
\(150\%\) liczby \(c\) to tak naprawdę \(1,5c\). Możemy więc zapisać, że:
$$1,5c=78 \ ,\
c=52$$
Zadanie nr 3 · Matura 2021
Liczba \(x\) stanowi \(80\%\) liczby dodatniej \(y\). Wynika stąd, że liczba \(y\) to:
A\(125\%\) liczby \(x\)
B\(120\%\) liczby \(x\)
C\(25\%\) liczby \(x\)
D\(20\%\) liczby \(x\)
Skoro \(x\) stanowi \(80\%\) liczby \(y\), to:
$$x=0,8y$$
Teraz dzieląc obydwie strony przez \(0,8\) (lub mnożąc przez odwrotność, czyli \(\frac{10}{8}\), otrzymamy że:
$$y=1,25x$$
To oznacza, że liczba \(y\) stanowi \(125\%\) liczby \(x\).
Zadanie nr 3 · Próbny 2021
Medyczna maseczka ochronna wielokrotnego użytku z wymiennymi filtrami wskutek podwyżki zdrożała o \(40\%\) i kosztuje obecnie \(106,40zł\). Cena maseczki przed podwyżką była równa:
A\(63,84 zł\)
B\(65,40 zł\)
C\(76,00 zł\)
D\(66,40 zł\)
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - cena maseczki przed podwyżką
\(1,4x\) - cena maseczki po podwyżce
Z treści zadania wynika, że cena maseczki po podwyżce jest równa \(106,40zł\), zatem:
$$1,4x=106,40zł \ ,\
x=76zł$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2021
Laptop kosztował \(1500 zł\). Jego cenę obniżono o \(20\%\), a następnie podwyższono o \(20\%\). Po tych operacjach laptop kosztuje:
A\(1500 zł\)
B\(1440 zł\)
C\(1550 zł\)
D\(1600 zł\)
Po obniżce o \(20\%\) laptop kosztował:
$$0,8\cdot1500zł=1200zł$$
Potem nastąpiła podwyżka o \(20\%\), więc teraz laptop kosztuje:
$$1,2\cdot1200zł=1440zł$$
Zadanie nr 4 · Matura 2021
Cenę drukarki obniżono o \(20\%\), a następnie nową cenę obniżono o \(10\%\). W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o:
A\(18\%\)
B\(28\%\)
C\(30\%\)
D\(72\%\)
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena drukarki
\(0,8x\) - cena drukarki po pierwszej
\(0,9\cdot0,8x=0,72x\) - cena drukarki po drugiej obniżce
Skoro na początku drukarka kosztowała \(x\), a teraz kosztuje \(0,72x\) , to znaczy, że cena drukarki spadła o:
$$x-0,72x=0,28x$$
To oznacza, że spadek wyniósł \(28\%\).
Zadanie nr 12 · Próbny 2021
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Aby otrzymać 2-procentowy roztwór soli, należy rozpuścić \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\). Aby otrzymać \(2\)-procentowy roztwór soli, do \(100 g\) roztworu \(4\)-procentowego tej soli należy dolać \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\) wody.
A\(2 g\) soli w \(100 g\) wody
B\(2 g\) soli w \(98 g\) wody
C\(104 g\)
D\(100 g\)
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Jeżeli rozpuścimy \(2g\) soli w \(100g\) wody, to otrzymamy \(102g\) roztworu, w którym sól stanowi \(\frac{2}{102}\approx1,96\%\) całości. To nie jest więc sytuacja, która nas interesuje.
Jeżeli rozpuścimy \(2g\) soli w \(98g\) wody, to otrzymamy \(100g\) roztworu, w którym sól stanowi \(\frac{2}{100}=2\%\) całości. To jest właśnie oczekiwany przez nas wynik, stąd też będzie to prawidłowa odpowiedź.
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Mamy \(100 g\) roztworu \(4\)-procentowego, czyli mamy \(4g\) soli. Mając te \(4g\) soli, chcemy otrzymać roztwór \(2\)-procentowy. Aby tak się stało, to całego roztworu musimy mieć w takim razie \(200g\), bo \(\frac{4g}{200g}=\frac{2}{100}=2\%\). Skoro mamy \(100g\) roztworu i dolewamy wodę, to aby otrzymać \(200g\) roztworu, musimy dodać \(100g\) wody.
Zadanie nr 32 · Matura 2021
Dany jest trapez o podstawach długości \(a\) oraz \(b\) i wysokości \(h\). Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o \(25\%\), a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość \(h\) trapezu.
Krok 1. Zapisanie wzorów na pole trapezu.
Pole trapezu obliczamy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h$$
Wiemy, że podstawy naszego początkowego trapezu zostały wydłużone o \(25\%\), czyli wynoszą teraz \(1,25a\) oraz \(1,25b\). Naszym celem jest poznanie długości nowej wysokości, którą oznaczymy sobie jako \(x\). Wzór na pole zmienionego trapezu będziemy więc mogli zapisać jako:
$$P=\frac{1}{2}(1,25a+1,25b)\cdot x$$
Krok 2. Obliczenie nowej wysokości trapezu.
Pola powierzchni jednego i drugiego trapezu muszą być równe, zatem:
$$\frac{1}{2}(a+b)\cdot h=\frac{1}{2}(1,25a+1,25b)\cdot x \ ,\
(a+b)\cdot h=(1,25a+1,25b)\cdot x \ ,\
(a+b)\cdot h=1,25(a+b)\cdot x \quad\bigg/:(a+b) \ ,\
h=1,25x \ ,\
h=\frac{5}{4}x \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5} \ ,\
x=\frac{4}{5}h$$
Skoro nowa wysokość stanowi \(\frac{4}{5}\) starej wysokości, to znaczy, że wysokość została skrócona o \(20\%\).
Zadanie nr 1 · Próbny 2020
Na diagramie kołowym przedstawiono procentowy udział soków o różnych smakach, które zostały sprzedane podczas festynu. Najmniej sprzedano soku pomidorowego, tylko \(15\) kartonów, a najwięcej - soku jabłkowego.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Sprzedano łącznie \(125\) kartonów soków. Sprzedano o \(30\) kartonów więcej soku jabłkowego niż pomidorowego.
Sprzedano łącznie \(125\) kartonów soków.
Sprzedano o \(30\) kartonów więcej soku jabłkowego niż pomidorowego.
Krok 1. Obliczenie udziału procentowego soku pomidorowego.
Z diagramu możemy odczytać, że soki inne niż pomidorowy mają procentowy udział sprzedaży na poziomie \(37,5\%\), \(20\%\) oraz \(30\%\). Cały diagram to \(100\%\), zatem sprzedaż soku pomidorowego będzie stanowić:
$$100\%-37,5\%-20\%-30\%=12,5\%$$
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Szukamy liczby wszystkich sprzedanych kartonów soku, co możemy oznaczyć sobie jako \(x\). Wiemy już, że sok pomidorowy stanowi \(12,5\%\) wszystkich soków, czyli kartony z sokami pomidorowymi stanowią \(\frac{1}{8}x\). Z treści zadania wynika, że soków pomidorowych sprzedało się \(15\) kartonów, zatem:
$$\frac{1}{8}x=15 \ ,\
x=120$$
Wyszło nam, że wszystkich soków sprzedano \(120\) kartonów, zatem zdanie jest fałszem.
Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Ustaliliśmy już, że wszystkich sprzedanych kartonów jest \(120\). Sok jabłkowy stanowi \(37,5\%\), czyli \(\frac{3}{8}\) tej ilości, zatem:
$$\frac{3}{8}\cdot120=45$$
Skoro więc soku pomidorowego sprzedano \(15\) kartonów, a soku jabłkowego \(45\), to faktycznie soku jabłkowego sprzedano o \(30\) kartonów więcej. Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie nr 3 · Próbny 2020
Cenę pewnego towaru podwyższono o \(20\%\), następnie otrzymaną w ten sposób nową cenę obniżono o \(20\%\). Cena końcowa jest:
Ao \(4\%\) wyższa od ceny początkowej
Bo \(2\%\) niższa od ceny początkowej
Co \(4\%\) niższa od ceny początkowej
Drówna cenie początkowej
Rozpiszmy to sobie po kolei:
Cena początkowa: \(x\)
Teraz cena jest podwyższona o \(20\%\), czyli nowa cena będzie stanowiła \(120\%\) ceny początkowej. Możemy zapisać, że:
Cena po podwyżce: \(1,2\cdot x=1,2x\)
Teraz cena jest obniżona o \(20\%\), czyli nowa cena będzie stanowiła \(80\%\) ceny po pierwszej podwyżce (która była równa \(1,2x\)). Możemy zapisać, że:
Cena po obniżce: \(0,8\cdot1,2x=0,96x\)
Skoro cena początkowa była równa \(x\), a po podwyżce i obniżce jest równa ostatecznie \(0,96x\), to widzimy wyraźnie, że cena spadła o \(0,04x\), czyli o \(4\%\).
Zadanie nr 3 · Próbny 2020
Liczba dodatnia \(a\) jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Licznik tego ułamka zwiększono
o \(20\%\), a jego mianownik zmniejszono o \(20\%\). Otrzymano w ten sposób liczbę \(b\), taką, że:
A\(b=a\)
B\(b=\frac{2}{3}a\)
C\(b=0,4a\)
D\(b=1,5a\)
Liczbę \(a\) możemy zapisać jako \(a=\frac{x}{y}\). Skoro licznik mamy zwiększyć o \(20\%\), a mianownik zmniejszyć o \(20\%\), to w liczniku będziemy mieć \(1,2x\), a w mianowniku \(0,8y\). To oznacza, że:
$$b=\frac{1,2x}{0,8y}=\frac{1,2}{0,8}\cdot\frac{x}{y}=1,5\cdot\frac{x}{y}=1,5a$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2020
Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o \(30\%\). Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła:
Ao mniej niż \(50\%\), ale więcej niż \(40\%\)
Bo mniej niż \(60\%\), ale więcej niż \(50\%\)
Cdokładnie o \(60\%\)
Do więcej niż \(60\%\)
Z treści zadania wynika, że \(r_{1}=1,3r_{2}\). W związku z tym:
$$P_{1}=π{r_{1}}^2=π(1,3r_{2})^2=1,69π{r_{2}}^2 \ ,\
P_{2}=π{r_{2}}^2$$
Widzimy wyraźnie, że pole pierwszego koła jest większe od drugiego o \(69\%\), zatem poprawna jest ostatnia odpowiedź.
Zadanie nr 4 · Matura 2020
Cenę \(x\) pewnego towaru obniżono o \(20\%\) i otrzymano cenę \(y\). Aby przywrócić cenę \(x\), nową cenę \(y\) należy podnieść o:
A\(25\%\)
B\(20\%\)
C\(15\%\)
D\(12\%\)
Jeżeli cenę \(x\) obniżono o \(20\%\), to nowa cena jest równa \(0,8x\).
Teraz chcemy podwyższyć cenę w taki sposób, by ponownie towar kosztował \(x\), zatem podwyżka musi wynieść \(x-0,8x=0,2x\). To oznacza, że ta podwyżka będzie o \(\frac{0,2x}{0,8x}=0,25=25\%\).
Zadanie nr 5 · Próbny 2020
Kwotę \(5000zł\) ulokowano w banku na lokacie oprocentowanej \(3\%\) w stosunku rocznym, z odsetkami kapitalizowanymi co rok. Przy każdej kapitalizacji od odsetek pobiera się podatek w wysokości \(19\%\). Kwota lokaty po dwóch latach wyniesie:
A\(5000\cdot(1+0,03)^2 zł\)
B\(0,81\cdot5000\cdot(1+0,03)^2 zł\)
C\(5000\cdot(1+0,81\cdot0,03)^2 zł\)
D\(5000\cdot(1+0,19\cdot0,03)^2 zł\)
Krok 1. Obliczenie kwoty lokaty (bez uwzględniania podatku od odsetek).
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$
\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji
Problemem w tym zadaniu jest fakt, że ten wzór nie uwzględnia opodatkowania lokat. Spróbujmy zatem na razie pominąć ten aspekt podatku i wrócimy do niego na sam koniec obliczeń. Wypiszmy zatem najpierw to, co podstawimy do naszego wzoru na kapitalizację. Z treści zadania wynika, że:
\(K=5000\)
\(p=0,03\)
\(n=2\)
Dlaczego \(p=0,03\)?
Kapitalizacja odbywa się raz w roku, a oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(3\%\), stąd też właśnie \(p=0,03:1=0,03\). Tak na marginesie - gdyby kapitalizacja była półroczna, to odsetki kapitalizowane byłaby \(2\) razy w roku i wtedy oprocentowanie lokaty w okresie pojedynczej kapitalizacji wyniosłoby \(p=0,03:2=0,015\).
Dlaczego \(n=2\)?
Lokata jest na \(2\) lata, a odsetki naliczane są co rok. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(2\) razy.
Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru, otrzymując:
$$K_{2}=5000\cdot(1+0,03)^{2} zł$$
Krok 2. Obliczenie kwoty lokaty (z uwzględnieniem podatku od odsetek).
W tym zadaniu musimy jeszcze uwzględnić fakt występowania podatku od odsetek. Zapisany przed chwilą wzór musimy więc udoskonalić. Wiemy, że podatek wynosi \(19\%\), czyli tak obrazowo rzecz ujmując - nasze realne oprocentowanie lokaty będzie przez ten podatek o prawie \(\frac{1}{5}\) mniejsze. Po odjęciu tego podatku zostanie nam \(81\%\) odsetek, czyli realne oprocentowanie wyniesie \(p=0,81\cdot0,03\) i stąd też poprawnym zapisem będzie \(5000\cdot(1+0,81\cdot0,03)^2 zł\).
Zwróć też uwagę na to, że zapis podany w drugiej odpowiedzi jest na pewno błędny, bowiem tutaj naliczono podatek od całej kwoty lokaty, a nie jedynie od odsetek.
Zadanie nr 6 · Matura 2020
Na początku miesiąca komputer kosztował 3500zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę komputera obniżono o 10%, a w trzeciej dekadzie cena tego komputera została jeszcze raz obniżona, tym razem o 15%. Innych zmian ceny tego komputera w tym miesiącu już nie było. Cena komputera na koniec miesiąca była równa:
A3272,50zł
B2625zł
C2677,50zł
D2800zł
Rozpiszmy to sobie wszystko bardzo dokładnie:
Początkowa cena: \(3500\)
Cena po pierwszej obniżce: \(0,9\cdot3500=3150\)
Cena po drugiej obniżce: \(0,85\cdot3150=2677,50\)
To oznacza, że cena komputera po dwóch obniżkach wynosi \(2677,50zł\).
Zadanie nr 21 · Próbny 2020
Pudełko w kształcie prostopadłościanu o wymiarach przedstawionych na rysunku zawiera \(32\) czekoladki. Każda czekoladka ma kształt prostopadłościanu o wymiarach \(2cm\), \(2cm\) i \(1,5cm\). Ile procent objętości pudełka stanowi objętość wszystkich czekoladek?
Krok 1. Obliczenie objętości pojedynczej czekoladki.
Każda czekoladka jest prostopadłościanem o wymiarach \(2cm\times2cm\times1,5cm\), zatem objętość takiej pojedynczej czekoladki będzie równa:
$$V=abc \ ,\
V=2cm\cdot2cm\cdot1,5cm \ ,\
V=6cm^3$$
Krok 2. Obliczenie objętości wszystkich czekoladek.
W pudełku mamy \(32\) czekoladki. Każda z nich ma objętość \(V=6cm^3\), zatem objętość tych wszystkich czekoladek wyniesie:
$$V_{czekoladek}=32\cdot6cm^3 \ ,\
V_{czekoladek}=192cm^3$$
Krok 3. Obliczenie objętości całego pudełka.
Nasze pudełko ma wymiary \(16cm\times24cm\times2,5cm\), zatem jego objętość będzie równa:
$$V_{pudełka}=16cm\cdot24cm\cdot2,5cm \ ,\
V_{pudełka}=960cm^3$$
Krok 4. Obliczenie ile procent objętości pudełka stanowią wszystkie czekoladki.
Na koniec musimy ustalić ile procent objętości pudełka będą stanowić nasze czekoladki. Skoro czekoladki mają objętość równą \(192cm^3\), a całe pudełko ma \(960cm^3\), to czekoladki stanowią:
$$\frac{192cm^3}{960cm^3}=\frac{1}{5}=20\%$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2019
W \(48g\) wody rozpuszczono \(2g\) soli. Jaki procent masy otrzymanego roztworu stanowi masa soli?
A\(40\%\)
B\(4\%\)
C\(0,4\%\)
D\(0,04\%\)
Krok 1. Obliczenie masy całego roztworu.
Nasz roztwór składa się z wody oraz soli. Łącznie te dwa produkty mają masę równą:
$$48g+2g=50g$$
Krok 2. Obliczenie procentu udziału soli w roztworze.
Sól stanowi \(2g\) z \(50g\) roztworu, czyli stanowi:
$$\frac{2}{50}=\frac{4}{100}=4\%$$
Zadanie nr 3 · Matura 2019
Jeżeli \(75\%\) liczby \(a\) jest równe \(177\) i \(59\%\) liczby \(b\) jest równe \(177\), to:
A\(b-a=26\)
B\(b-a=64\)
C\(a-b=26\)
D\(a-b=64\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Z treści zadania wynika, że:
$$0,75a=177 \ ,\
a=236$$
Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(b\).
W bardzo podobny sposób możemy wyznaczyć wartość liczby \(b\):
$$0,59b=177 \ ,\
b=300$$
Krok 3. Wybór właściwej odpowiedzi.
Tak naprawdę w odpowiedziach mamy działania \(b-a\) oraz \(a-b\) wraz z proponowanymi wynikami. Obliczmy zatem wartość każdego z tych wyrażeń:
$$b-a=300-236=64 \ ,\
a-b=236-300=-64$$
To oznacza, że poszukiwaną przez nas odpowiedzią jest \(b-a=64\).
Zadanie nr 3 · Matura 2019
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa \(4\%\). Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o \(1\) punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o:
A\(1\%\)
B\(25\%\)
C\(33\%\)
D\(75\%\)
Jeżeli prowizja wynosiła \(4\%\) i została obniżona o \(1\) punkt procentowy, to nowa prowizja wynosi teraz \(3\%\). W związku z tym nowa prowizja jest o \(\frac{1}{4}\) mniejsza od poprzedniej, czyli zmniejszyła się ona o \(25\%\).
Zadanie nr 4 · Próbny 2019
Kwotę \(3000zł\) ulokowano w banku na lokacie oprocentowanej \(2\%\) w stosunku rocznym, przy czym odsetki są kapitalizowane co pół roku (nie uwzględniamy podatku od odsetek kapitałowych). Po trzech latach stan tej lokaty wyniesie:
A\(3000\cdot\left(1+\frac{2}{100}\right)^3\;zł\)
B\(3000\cdot\left(1+\frac{1}{100}\right)^3\;zł\)
C\(3000\cdot\left(1+\frac{2}{100}\right)^6\;zł\)
D\(3000\cdot\left(1+\frac{1}{100}\right)^6\;zł\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$
\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji
Z treści zadania wynika, że:
\(K=3000\)
\(p=0,02:2=0,01=\frac{1}{100}\)
\(n=3\cdot2=6\)
Dlaczego \(p=\frac{1}{100}\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(2\%\), czyli \(0,02\). Gdyby lokata była kapitalizowana raz w roku, to wtedy \(p=0,02\). Jednak nasza lokata jest kapitalizowana \(2\) razy w roku (co pół roku), zatem na każdy okres kapitalizacji przypada nam oprocentowanie rzędu \(p=0,02:2=0,01=\frac{1}{100}\).
Dlaczego \(n=6\)?
Lokata jest na \(3\) lata, a odsetki naliczane są co pół roku czyli \(2\) razy w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(3\cdot2=6\) razy.
Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru, otrzymując:
$$K_{6}=k\cdot\left(1+\frac{1}{100}\right)^{6}$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2019
Cenę pewnego towaru obniżono dwukrotnie: najpierw o \(20\%\), a następnie o \(10\%\). Końcowa cena tego towaru jest niższa od ceny początkowej o:
A\(30\%\)
B\(72\%\)
C\(28\%\)
D\(15\%\)
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,8x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,8x=0,72x\) - cena towaru po drugiej obniżce
Skoro na początku cena towaru wynosiła \(x\), a po dwóch obniżkach wynosi \(0,72x\), to końcowa cena tego towaru jest niższa o \(x-0,72x=0,28x\). Musimy tę wartość wyrazić w procentach, zatem skoro obniżka wyniosła \(0,28x\) z \(x\) to procentowo będzie ona równa:
$$\frac{0,28x}{x}\cdot100\%=28\%$$
Zadanie nr 4 · Matura 2019
Liczba dodatnia \(a\) jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o \(50\%\), a jego mianownik zwiększymy o \(50\%\), to otrzymamy liczbę \(b\) taką, że:
A\(b=\frac{1}{4}a\)
B\(b=\frac{1}{3}a\)
C\(b=\frac{1}{2}a\)
D\(b=\frac{2}{3}a\)
Krok 1. Zapisanie wyrażeń na podstawie treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy sobie, że \(x\) to jest liczba znajdująca się w liczniku, a \(y\) to będzie liczba znajdująca się w mianowniku to z treści zadania wynika, że:
$$a=\frac{x}{y} \ ,\
b=\frac{0,5\cdot x}{1,5\cdot y}$$
Krok 2. Podstawienie liczby \(a\) do liczby \(b\).
Rozpisując liczbę \(b\) i podstawiając w miejsce \(\frac{x}{y}\) wartość równą \(a\) otrzymamy:
\(b=\frac{0,5}{1,5}\cdot\frac{x}{y}=\frac{0,5}{1,5}\cdot a=\frac{1}{3}a\)
Zadanie nr 12 · Próbny 2019
Prostokąt przedstawiony na rysunku został częściowo pomalowany.
Jaki procent prostokąta został pomalowany?
A\(52\%\)
B\(65\%\)
C\(75\%\)
D\(80\%\)
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich kwadracików.
Nasz prostokąt ma wymiary \(10\times4\), zatem wszystkich kwadracików mamy:
$$10\cdot4=40$$
Krok 2. Obliczenie liczby kwadracików niezamalowanych i zamalowanych.
Podejdźmy do tego zadania nieco sprytniej. Widzimy wyraźnie, że pomalowanych kawałków jest znacznie więcej niż niepomalowanych, więc policzmy ile kawałków jest niezamalowanych. Zwróć uwagę na to, że dwie połówki dają tak naprawdę jeden cały kwadracik:
Widzimy wyraźnie, że niezamalowanych kwadracików jest \(14\), a to oznacza, że zamalowanych kwadracików mamy:
$$40-14=26$$
Krok 3. Obliczenie jaki procent prostokąta został zamalowany.
Zamalowano \(26\) z \(40\) kwadracików, zatem zamalowano:
$$\frac{26}{40}=\frac{13}{20}=\frac{65}{100}=65\%$$
Zadanie nr 1 · Matura 2018
Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o \(10\%\) zmniejszyła się o \(2018\) zł. Ten towar po tej obniżce kosztował:
A\(20180\) zł
B\(18162\) zł
C\(2108\) zł
D\(2028\) zł
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,1x\) - wysokość zniżki
\(0,9x\) - cena towaru po obniżce
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że obniżka wyniosła \(2018zł\), czyli:
$$0,1x=2018zł \quad\bigg/\cdot10 \ ,\
x=20180zł$$
Krok 3. Obliczenie ceny towaru po zniżce.
Zgodnie z oznaczeniami wiemy, że towar kosztował na początku \(20180zł\). Obniżka wyniosła \(2018zł\), zatem po obniżce towar kosztował:
$$20180zł-2018zł=18162zł$$
Mogliśmy też wykorzystać informację, że cena towaru po obniżce stanowi \(0,9x\), czyli:
$$0,9\cdot20180zł=18162zł$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2018
Liczba \(b\) jest przybliżeniem liczby \(a=\frac{25}{4}\). Błąd względny tego przybliżenia jest równy \(4\%\). Wskaż błąd bezwzględny tego przybliżenia.
A\(0,04\)
B\(0,25\)
C\(0,64\)
D\(2,5\)
Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd bezwzględny obliczymy korzystając ze wzoru na błąd względny \(δ=\frac{Δx}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(Δx\) - błąd bezwzględny
\(x\) - dokładna wartość
W naszym przypadku:
\(x=a=\frac{25}{4}=6,25\)
\(δ=4\%=0,04\)
Krok 2. Obliczenie błędu bezwzględnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd bezwzględny obliczymy w następujący sposób:
$$δ=\frac{Δx}{x} \ ,\
0,04=\frac{Δx}{6,25} \ ,\
Δx=0,25$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2018
Urząd skarbowy został zobowiązany do zwrotu podatku w wysokości \(235,40zł\). Kwotę tę zaokrąglono do pełnych dziesiątek złotych. Błąd względny tego zaokrąglenia wyrażony w procentach wyniósł około:
A\(0,04\%\)
B\(1,95\%\)
C\(1,92\%\)
D\(2,29\%\)
Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru \(δ=\frac{|x-p|}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - wartość przybliżona
W naszym przypadku:
\(x=235,40\)
\(p=240\), bo \(240\) jest przybliżeniem do pełnych dziesiątek liczby \(235,40\)
Krok 2. Obliczenie błędu względnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd względny obliczymy w następujący sposób:
$$\frac{|235,40-240|}{235,40}=\frac{|-4,60|}{235,40}=\frac{4,60}{235,40}\approx0,0195\approx1,95\%$$
Zadanie nr 4 · Matura 2018
Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o \(10\%\) w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje \(1944\) złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował:
A\(2200\) złotych
B\(2300\) złotych
C\(2400\) złotych
D\(3000\) złotych
\(x\) - cena komputera przed obniżkami
\(x-0,1x=0,9x\) - cena komputera po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,9x=0,81x\) - cena komputera po drugiej obniżce
Z treści zadania wynika, że po dwóch obniżkach komputer kosztował \(1944\) złotych, czyli:
$$0,81x=1944zł \ ,\
x=2400zł$$
To oznacza, że przed obniżkami komputer kosztował \(2400zł\).
Zadanie nr 4 · Matura 2018
Cena roweru po obniżce o \(15\%\) była równa \(850\) zł. Przed obniżką ten rower kosztował:
A\(865,00\) zł
B\(850,15\) zł
C\(1000,00\) zł
D\(977,50\) zł
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(x\) - cena roweru przed obniżką
\(x-0,15x=0,85x\) - cena roweru po obniżce
Z treści zadania wynika, że:
$$0,85x=850zł \ ,\
x=1000zł$$
Zadanie nr 19 · Próbny 2018
Wojtek przechowuje \(24\) standardowe sześcienne kostki do gry w zamkniętym pudełku o pojemności \(0,6\) litra. Każda z tych kostek ma krawędź o długości \(1,5cm\). Oblicz, ile procent pojemności pudełka wypełniają wszystkie te kostki. Zapisz obliczenia.
Krok 1. Obliczenie pojemności pojedynczej kostki.
Każda kostka jest sześcianem o krawędzi długości \(a=1,5cm\). Możemy więc bez przeszkód obliczyć objętość tego sześcianu, ale zanim to zrobimy, to możemy zrobić jeszcze jedną sprytną rzecz, która znacznie uprości nam obliczenia. Widzimy wyraźnie, że w zadaniu będziemy operować jednostką litrów, a wiemy że \(1l=1dm^3\). Zamieńmy więc długość kostki na decymetry, tak aby potem nie mieć problemu z przekształcaniem jednostek objętości.
$$a=1,5cm=0,15dm$$
Teraz możemy przystąpić do obliczenia objętości pojedynczej kostki:
$$V=a^3 \ ,\
V=(0,15dm)^3 \ ,\
V=0,003375dm^3$$
Krok 2. Obliczenie objętości wszystkich kostek do gry.
Skoro Wojtek ma \(24\) kostki do gry, to ich objętość będzie równa:
$$V=24\cdot0,003375dm^3 \ ,\
V=0,081dm^3$$
Krok 3. Obliczenie procentu wypełnienia pudełka.
Skoro pudełko ma objętość \(0,6l\), czyli \(0,6dm^3\), a kostki zajmują \(0,081dm^3\) to:
$$\frac{0,081dm^3}{0,6dm^3}\cdot100\%=\frac{81}{6}\%=13,5\%$$
Zadanie nr 2 · Matura 2017
Iloczyn dodatnich liczb \(a\) i \(b\) jest równy \(1350\). Ponadto \(15\%\) liczby \(a\) jest równe \(10\%\) liczby \(b\). Stąd wynika, że \(b\) jest równe:
A\(9\)
B\(18\)
C\(45\)
D\(50\)
Jeżeli \(15\%\) liczby \(a\) jest równe \(10\%\) liczby \(b\), to znaczy że:
$$0,15a=0,1b \ ,\
a=\frac{0,1}{0,15}b \ ,\
a=\frac{10}{15}b \ ,\
a=\frac{2}{3}b$$
Skoro iloczyn liczb \(a\) oraz \(b\) jest równy \(1350\), to:
$$a\cdot b=1350 \ ,\
\frac{2}{3}b\cdot b=1350 \ ,\
\frac{2}{3}b^2=1350 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \ ,\
b^2=2025 \ ,\
b=45 \quad\lor\quad b=-45$$
Z treści zadania wynika, że liczba \(b\) musi być dodatnia, a to oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest \(b=45\).
Zadanie nr 4 · Matura 2017
Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o \(30\%\). Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła:
Ao mniej niż \(50\%\), ale więcej niż \(40\%\)
Bo mniej niż \(60\%\), ale więcej niż \(50\%\)
Cdokładnie o \(60\%\)
Do więcej niż \(60\%\)
Z treści zadania wynika, że \(r_{1}=1,3r_{2}\). W związku z tym:
$$P_{1}=π{r_{1}}^2=π(1,3r_{2})^2=1,69π{r_{2}}^2 \ ,\
P_{2}=π{r_{2}}^2$$
Widzimy wyraźnie, że pole pierwszego koła jest większe od drugiego o \(69\%\), zatem poprawna jest ostatnia odpowiedź.
Zadanie nr 4 · Próbny 2017
Pan Adam wpłacał na rzecz pewnego stowarzyszenia \(2\%\) swoich stałych miesięcznych dochodów. Od ostatniego miesiąca wpłata wzrosła do \(3\%\) jego dochodów. O ile procent zwiększyła się kwota wpłacana przez pana Adama?
Ao \(1\%\)
Bo \(30\%\)
Co \(50\%\)
Do \(150\%\)
Jeżeli Pan Adam zarabia \(x\) złotych, to na początku wpłaty na rzecz stowarzyszenia wynosiły \(2\%\) z \(x\) czyli \(0,02x\) złotych.
W momencie kiedy Pan Adam zaczął przeznaczać na stowarzyszenie \(3\%\) swoich dochodów, to na stowarzyszenie wpłacał \(0,03x\) złotych.
To oznacza, że wysokość wpłat wzrosła o:
$$\frac{0,03x-0,02x}{0,02x}\cdot100\%=\frac{0,01x}{0,02x}\cdot100\%=\frac{1}{2}\cdot100\%=50\%$$
Zadanie nr 4 · Matura 2017
Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011r. o \(120\%\) i obecnie jest równa \(8910\). Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?
A\(4050\)
B\(1782\)
C\(7425\)
D\(7128\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(x\) - liczba zwierząt w 2011 roku
\(x\) plus \(120\%x\), czyli \(2,2x\) - obecna liczba zwierząt
Krok 2. Ułożenie i rozwiązania równania.
Zgodnie z treścią zadania:
$$2,2x=8910 \ ,\
x=4050$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2016
Liczba \(60\) jest przybliżeniem z niedomiarem liczby \(x\). Błąd względny tego przybliżenia to \(4\%\). Liczba \(x\) jest równa:
A\(57,69\)
B\(57,6\)
C\(60,04\)
D\(62,5\)
Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru \(δ=\frac{|x-p|}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - wartość przybliżona
W naszym przypadku:
\(δ=4\%=0,04\)
\(p=60\)
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Podstawiając powyższe dane do wzoru na błąd bezwzględny otrzymamy:
$$δ=\frac{|x-p|}{x} \ ,\
0,04=\frac{|x-60|}{x} \ ,\
0,04x=|x-60|$$
Otrzymaliśmy równanie z wartością bezwzględną. Musimy więc ustalić, czy wartość w nawiasie bezwzględności jest dodatnia, czy też ujemna (od tego zależy jak będzie wyglądać opuszczenie nawiasów bezwzględności). W treści zadania mamy informację, że liczba \(60\) jest przybliżeniem z niedomiarem, czyli liczba \(x\) jest większa od \(60\). To oznacza, że wartość \(x-60\) jest na pewno dodatnia. Możemy więc bez problemu opuścić nawiasy bezwzględności nie zmieniając żadnej wartości. Otrzymamy więc:
$$0,04x=x-60 \ ,\
-0,96x=-60 \ ,\
x=62,5$$
Zadanie nr 2 · Matura 2016
Buty, które kosztowały \(220\) złotych, przeceniono i sprzedano za \(176\) złotych. O ile procent obniżono cenę butów?
A\(80\)
B\(20\)
C\(22\)
D\(44\)
Krok 1. Obliczenie wysokości obniżki.
$$220zł-176zł=44zł$$
Krok 2. Obliczenie o ile procent obniżono cenę butów.
Cenę obniżono o \(44zł\) z \(220zł\), czyli:
$$\frac{44}{220}\cdot100\%=\frac{1}{5}\cdot100\%=20\%$$
Zadanie nr 2 · Matura 2016
Cenę pewnego towaru podwyższono o \(20\%\), a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o \(30\%\). Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką:
Ao \(50\%\)
Bo \(56\%\)
Co \(60\%\)
Do \(66\%\)
Krok 1. Obliczenie ceny towaru po pierwszej podwyżce.
Jeżeli za \(x\) przyjmiemy początkową cenę towaru, to po podwyżce o \(20\%\) otrzymamy nową cenę równą \(120\%\cdot x=1,2x\).
Krok 2. Obliczenie ceny towaru po drugiej podwyżce.
Cena towaru ponownie ulega podwyżce, ale tym razem punktem wyjściowym jest już nasze \(1,2x\). Nowa cena jest więc równa: $$130\%\cdot1,2x=1,3\cdot1,2x=1,56x$$
Krok 3. Obliczenie całkowitego wzrostu cen.
Cena towaru wzrosła o \((1,56x-x)\cdot100\%=56\%\), więc chcąc zastąpić te dwie podwyżki jedną równoważną należy podwyższyć cenę towaru o \(56\%\).
Zadanie nr 3 · Próbny 2016
Cenę towaru podwyższono o \(20\%\). O ile procent należy obniżyć nową cenę towaru, aby po obniżce stanowiła ona \(90\%\) ceny przed zmianami?
Ao \(10\%\)
Bo \(15\%\)
Co \(25\%\)
Do \(30\%\)
Jeżeli przyjmiemy, że \(x\) to początkowa cena towaru, to:
\(1,2x\) - cena towaru po podwyżce o \(20\%\)
\(0,9x\) - cena towaru jaką chcemy otrzymać
\(1,2x-0,9x=0,3x\) - o tyle musimy dokonać obniżki
Z powyższej analizy wyszło nam, że cenę \(1,2x\) musimy obniżyć o \(0,3x\), zatem obniżka ta będzie równa:
$$\frac{0,3x}{1,2x}=\frac{1}{4}=25\%$$
Zadanie nr 3 · Matura 2016
Liczby \(a\) i \(c\) są dodatnie. Liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\) oraz \(32\%\) liczby \(c\). Wynika stąd, że:
A\(c=1,5a\)
B\(c=1,6a\)
C\(c=0,8a\)
D\(c=0,16a\)
Z treści zadania wiemy, że:
$$b=0,48a \ ,\
b=0,32c$$
To pozwoli nam ułożyć proste równanie i tym samym znaleźć pasującą relację między liczbami \(c\) oraz \(a\)
$$0,48a=0,32c \ ,\
c=\frac{0,48}{0,32}a \ ,\
c=1,5a$$
Zadanie nr 26 · Matura 2016
W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.
Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1cm\). Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.
Krok 1. Obliczenie średniego rocznego przyrostu.
Średni przyrost obliczymy dokładnie tak jak zwykłą średnią arytmetyczną. Pamiętaj o tym, by na końcu zaokrąglić wynik do \(1cm\).
$$\overline{x}=\frac{10+10+7+8+8+7}{6}=\frac{50}{6}=8\frac{1}{3}\approx8[cm]$$
Krok 2. Obliczenie błędu względnego otrzymanego przybliżenia.
Błąd względny naszego przybliżenia z pierwszego kroku obliczymy w następujący sposób:
$$δ=\frac{|x-x_{0}|}{x}$$
\(δ\) - błąd względny pomiaru
\(x\) - dokładna wartość, czyli \(x=8\frac{1}{3}\)
\(x_{0}\) - przybliżona wartość, czyli \(x_{0}=8\)
Musimy ten błąd wyrazić w procentach, dlatego pomnożymy sobie wszystko przez \(100\%\). Podstawiając odpowiednie dane otrzymamy:
$$δ=\frac{|8\frac{1}{3}-8|}{8\frac{1}{3}}\cdot100\% \ ,\
δ=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{25}{3}}\cdot100\% \ ,\
δ=\frac{1}{25}\cdot100\% \ ,\
δ=4\%$$
Zadanie nr 33 · Matura 2016
Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o \(10\%\) większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o \(10\%\) mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o \(12\) minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek.
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Wypiszmy sobie poszczególne informacje z zadania. Przydatnym w tym zadaniu będzie wzór:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow t=\frac{s}{v}$$
\(v\) - zakładana prędkość przelotowa
\(1,1v\) - prędkość osiągnięta we wtorek
\(0,9v\) - prędkość osiągnięta w czwartek
\(s\) - długość trasy
\(t\) - standardowy czas pokonania trasy
\(t_{wt}=\frac{s}{1,1v}\) - czas przelotu we wtorek
\(t_{czw}=\frac{s}{0,9v}\) - czas przelotu w czwartek
W tym momencie warto jest się wykazać sprytem. Korzystając z tego, że \(t=\frac{s}{v}\) to czasu przelotu wtorkowego i czwartkowego możemy zapisać jako:
$$t_{wt}=\frac{t}{1,1} \ ,\
t_{czw}=\frac{t}{0,9}$$
Krok 2. Wyznaczenie czasu standardowego przelotu.
Z treści zadania możemy ułożyć (i rozwiązać) następujące równanie:
$$\frac{t}{0,9}-\frac{t}{1,1}=12 \quad\bigg/\cdot9,9 \ ,\
11t-9t=118,8 \ ,\
2t=118,8 \ ,\
t=59,4$$
Wyznaczyliśmy w ten sposób czas standardowego przelotu.
Krok 3. Obliczenie czasu wtorkowego przelotu.
Znając wartość \(t=59,4\) bez problemu obliczymy czas wtorkowego przelotu, podstawiając tę wartość do wzoru wyznaczonego w pierwszym kroku. Zatem:
$$t_{wt}=\frac{t}{1,1}=54[min.]$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2015
Marek obserwował zwycięski skok Kamila Stocha i oszacował jego długość na \(138m\). Oficjalny wynik zawodnika to \(132,5m\). Jaki błąd względny popełnił Marek (w zaokrągleniu do części tysięcznych)?
A\(0,040\)
B\(0,042\)
C\(0,960\)
D\(5,500\)
Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru \(δ=\frac{|x-p|}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - wartość przybliżona
W naszym przypadku:
\(x=132,5\)
\(p=138\)
Krok 2. Obliczenie błędu względnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd względny obliczymy w następujący sposób:
$$\frac{|132,5-138|}{132,5}=\frac{|-5,5|}{132,5}=\frac{5,5}{132,5}\approx0,042$$
Zadanie nr 1 · Matura 2015
Cena pewnego towaru wraz z \(7\)-procentowym podatkiem VAT jest równa \(34\;347 zł\). Cena tego samego towaru wraz z \(23\)-procentowym podatkiem VAT będzie równa:
A\(37\;236zł\)
B\(39\;842,52zł\)
C\(39\;483zł\)
D\(42\;246,81zł\)
Krok 1. Obliczenie ceny netto towaru.
Cena brutto to cena netto towaru powiększona o podatek VAT, który jest wyliczany z ceny netto. Skoro mamy sprawdzić jaka jest cena brutto przy stawce \(23\%\), to najpierw musimy wyznaczyć cenę netto.
\(x\) - cena netto
\(0,07x\) - podatek VAT (bo \(0,07=7\%\))
\(x+0,07x=1,07x\) - cena brutto
W naszym przypadku cena brutto jest równa \(34347zł\), zatem:
$$1,07x=34347zł \quad\bigg/:1,07 \ ,\
x=32100$$
Krok 2. Obliczenie ceny towaru przy stawce VAT \(23\)-procentowej.
Do ceny netto \(32100zł\) musimy teraz dodać \(23\%\) podatku VAT, zatem:
$$1,23\cdot32100zł=39483zł$$
Cena netto samochodu jest więc równa \(39483zł\).
📘Teoria 1
Procenty (klasa 1 LO)
Procent liczby
$p\%$ z $A$ to $\frac{p}{100}\cdot A$.
Jakim procentem
Liczba $a$ stanowi $\frac{a}{b}\cdot100\%$ liczby $b$.
Podwyżka i obniżka
Zmiana o $p\%$: nowa wartość to $A(1\pm\frac{p}{100})$.
Do czego służy: Obliczanie wartości kapitału, populacji lub dowolnej wielkości rosnącej/malejącej procentowo w każdym okresie (odsetki, inflacja, wzrost populacji).
Zmienne
$K_0$ — wartość początkowa (np. zainwestowany kapitał)
$K_n$ — wartość po $n$ okresach
$r$ — stopa procentowa w procentach (np. 5 dla 5%)
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
