Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📘Teoria 1
Pierwiastki i potęgi o wykładniku wymiernym
Wykładnik całkowity
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad a^0=1 \ (a\neq0)$$
Ujemny wykładnik daje ułamek, a nie liczbę ujemną: $3^{-2}=\frac19$, a nie $-9$. Dla ułamka w podstawie działa to jak odwrócenie: $\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32$.
Po sprowadzeniu do tego samego pierwiastka można dodawać: $5\sqrt2+3\sqrt2=8\sqrt2$.
Pierwiastki stopnia nieparzystego
Istnieją także dla liczb ujemnych: $\sqrt[3]{-27}=-3$, bo $(-3)^3=-27$. Pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.
Usuwanie niewymierności z mianownika
Pojedynczy pierwiastek — mnożymy przez niego licznik i mianownik:
$$\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$
Suma lub różnica — mnożymy przez sprzężenie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:
Zapis $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie $a$ — dla $a=-3$ mamy $\sqrt{9}=3$. Pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, dlatego równanie $x^2=9$ ma dwa rozwiązania, ale $\sqrt9$ oznacza tylko $3$.
Co robi: rozszerza pojęcie potęgi na wykładniki ujemne i ułamkowe, dzięki czemu pierwiastki można zapisać jako potęgi i stosować do nich zwykłe prawa działań.
Elementy: $a>0$ dla wykładnika wymiernego, $q\in\mathbb{N}_+$. Wykładnik ujemny oznacza odwrotność, mianownik wykładnika — stopień pierwiastka.
Pułapka: ujemny wykładnik nie daje ujemnego wyniku — $2^{-3}$ to $\frac{1}{8}$, a nie $-8$. Odwrotność ułamka w potędze ujemnej to szybki skrót: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}$.
Dlaczego nie pozostałe? B/C — dodane wykładniki w liczniku ($30+31+32=93$, potem $93-29=64$) — to błąd sumy potęg.
Zadanie nr 9
Ile wynosi $\log_a 1$ dla dowolnej dopuszczalnej podstawy?
A$a$
B$1$
Cnie istnieje
D$0$
Każda liczba do potęgi zerowej daje $1$:
$$a^0=1 \quad\Rightarrow\quad \log_a 1=0$$
Warto też pamiętać: $\log_a a=1$.
Odpowiedź: D. $0$.
Zadanie nr PP01.8
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Liczba $6^{10}\cdot5^{4}$ jest podzielna przez $900$.
Liczba $2^{8}\cdot3^{5}$ jest podzielna przez $36^{3}$.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
1. $900=2^2\cdot3^2\cdot5^2$. $6^{10}\cdot5^4=2^{10}\cdot3^{10}\cdot5^{4}$ zawiera $2^2$, $3^2$ i $5^2$ — liczba jest podzielna przez $900$ (P).
2. $36^3=(2^2\cdot3^2)^3=2^6\cdot3^6$, a w liczbie $2^8\cdot3^5$ czynnik $3$ występuje tylko w potędze $5\lt 6$ — liczba nie jest podzielna przez $36^3$ (F).
Odpowiedź: P, F
Zadanie nr 10
Usuń niewymierność z mianownika: $\frac{6}{\sqrt3}$.
Krok 1 — ujemny wykładnik oznacza odwrotność podstawy:
$$\left(\frac14\right)^{-\frac12}=4^{\frac12}$$
Krok 2 — wykładnik $\frac12$ to pierwiastek kwadratowy:
$$4^{\frac12}=\sqrt4=2$$
Odpowiedź: $2$.
Zadanie nr 19
Rozwiąż równanie $\log_2 x=5$.
Krok 1 — dziedzina: $x>0$.
Krok 2 — przechodzimy na postać wykładniczą. Zapis $\log_2 x=5$ oznacza $x=2^5$:
$$x=32$$
Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $32>0$ ✔
Odpowiedź: $x=32$.
Zadanie nr 20
Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{81}+27^{\frac13}-\log_2 16$.
Liczymy każdy składnik osobno.
Pierwiastek:
$$\sqrt{81}=9$$
Potęga wymierna (pierwiastek sześcienny):
$$27^{\frac13}=\sqrt[3]{27}=3$$
Logarytm:
$$\log_2 16=4 \quad (\text{bo } 2^4=16)$$
Składamy:
$$9+3-4=8$$
Odpowiedź: $8$.
Zadanie nr 5 · Matura 2026
Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli prawdziwe, albo F, jeśli fałszywe.
1) Liczba naturalna $4^{12}\cdot5^{24}$ jest podzielna przez $20$. 2) Liczba naturalna $4^{12}\cdot5^{24}$ jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową.
P/Pobie prawdziwe
P/F1 prawda, 2 fałsz
F/P1 fałsz, 2 prawda
F/Fobie fałsz
Rozwiązanie
$4^{12}\cdot5^{24}=2^{24}\cdot5^{24}=10^{24}$.
$10^{24}=20\cdot(5\cdot10^{22})$ — podzielna przez $20$. P
$10^{24}=1\underbrace{00\ldots0}_{24}$ — to liczba 25-cyfrowa. P
Odpowiedź: PP
Zadanie nr 3 · Próbny 2026
Liczba $\dfrac{3^{10}\cdot 9^{20}}{27^{15}}$ jest równa
A$1$
B$3^{5}$
C$3^{15}$
D$3^{45}$
$9^{20}=3^{40}$, $27^{15}=3^{45}$, więc $\dfrac{3^{10}\cdot 3^{40}}{3^{45}}=\dfrac{3^{50}}{3^{45}}=3^{5}$.
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 2 · Matura 2025
Liczba \(\dfrac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\) jest równa:
A\(30\)
B\(31\)
C\(5^{12}\)
D\(5^{27}\)
Z własności działań na potęgach wynika, że \(5^{13}\) oraz \(5^{14}\) możemy rozpisać w następujący sposób:
\(5^{13}=5^{12}\cdot5 \\
5^{14}=5^{12}\cdot5^2=5^{12}\cdot25\)
W takim razie naszą liczbę możemy rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}=\frac{5^{12}+5^{12}\cdot5+5^{12}\cdot25}{5^{12}}= \\
=\frac{5^{12}}{5^{12}}+\frac{5^{12}\cdot5}{5^{12}}+\frac{5^{12}\cdot25}{5^{12}}= \\
=1+5+25=31$$
Zadanie nr 2 · Matura 2025
Liczba $\dfrac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}$ jest równa
Liczba \(\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot8^{16}\) jest równa:
A\(2^{24}\)
B\(2^{16}\)
C\(2^{12}\)
D\(2^{8}\)
Aby uprościć ten zapis, musimy sprowadzić potęgi do jednakowej podstawy lub jednakowego wykładnika. W tym konkretnym przypadku mamy wybór, bo i jedna i druga opcja jest możliwa, ale spróbujmy może sprowadzić te liczby do jednakowej podstawy. W tym celu trzeba zauważyć, że \(\frac{1}{16}=2^{-4}\) natomiast \(8=2^3\). W takim razie, korzystając z działań na potęgach, otrzymamy:
$$\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot8^{16}=\left(2^{-4}\right)^8\cdot\left(2^3\right)^{16}= \\
=2^{-32}\cdot2^{48}=2^{-32+48}=2^{16}$$
Zadanie nr 1 · Matura 2022
Liczba \(\dfrac{8^{-40}}{2^{10}}\) jest równa:
A\(4^{-4}\)
B\(4^{-50}\)
C\(2^{-47}\)
D\(2^{-130}\)
Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\frac{8^{-40}}{2^{10}}=\frac{(2^3)^{-40}}{2^{10}}=\frac{2^{-120}}{2^{10}}=2^{-120-10}=2^{-130}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2022
Liczba \(\dfrac{6^{2022}\cdot2^{2022}}{12^{2021}}\) jest równa:
A\(1\)
B\(2\)
C\(12\)
D\(12^{2023}\)
W liczniku mamy jednakowe wykładniki potęg, zatem możemy wymnożyć przez siebie podstawy, dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{6^{2022}\cdot2^{2022}}{12^{2021}}=\frac{12^{2022}}{12^{2021}}=12^{2022-2021}=12^1=12$$
Zadanie nr 2 · Matura 2022
Liczba \(\dfrac{2^{-3}\cdot3^{-3}\cdot4^0}{2^{-1}\cdot3^{-4}\cdot4^{-1}}\) jest równa:
A\(1\)
B\(3\)
C\(24\)
D\(48\)
Warto pamiętać, że każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi zerowej, daje wynik równy \(1\). Do samego rozwiązania można podejść na różne sposoby. Mając w liczniku i mianowniku tylko mnożenie, możemy wręcz poskracać ze sobą pewne liczby. W tym celu trzeba byłoby rozpisać, że \(2^{-3}=2^{-1}\cdot2^{-2}\) oraz że \(3^{-4}=3^{-3}\cdot3^{-1}\). Całość wyglądałaby następująco:
$$\require{cancel}\frac{2^{-3}\cdot3^{-3}\cdot4^0}{2^{-1}\cdot3^{-4}\cdot4^{-1}}= \ ,\
=\frac{\cancel{2^{-1}}\cdot2^{-2}\cdot\cancel{3^{-3}}\cdot1}{\cancel{2^{-1}}\cancel{\cdot3^{-3}}\cdot3^{-1}\cdot4^{-1}}= \ ,\
=\frac{2^{-2}}{3^{-1}\cdot4^{-1}}=\frac{2^{-2}}{12^{-1}}= \ ,\
=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{12}}=\frac{1}{4}:\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\cdot12=3$$
Przy tak małych liczbach, nic też nie stoi na przeszkodzie by wręcz obliczyć wartości poszczególnych potęg:
$$\frac{2^{-3}\cdot3^{-3}\cdot4^0}{2^{-1}\cdot3^{-4}\cdot4^{-1}}= \ ,\
=\frac{\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{27}\cdot1}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{81}\cdot\frac{1}{4}}= \ ,\
=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{1}{648}}=\frac{1}{216}:\frac{1}{648}=\frac{1}{216}\cdot648=3$$
Wyrażenie \(\dfrac{10^{13}\cdot7^{13}}{14^{13}\cdot5^{10}}\) jest równe:
A\(7^2\)
B\(2^{10}\)
C\(5^3\)
D\(10^5\)
Aby móc skorzystać ze standardowych działań na potęgach, musielibyśmy mieć jednakowe podstawy potęg lub wykładniki (a póki co tego nie mamy). Z tego też względu w tym zadaniu należy postąpić nieco sprytniej i rozbić niektóre czynniki w taki sposób, aby móc skrócić licznik z mianownikiem. Całość wyglądałaby następująco:
$$\frac{10^{13}\cdot7^{13}}{14^{13}\cdot5^{10}}=\frac{2^{13}\cdot5^{13}\cdot7^{13}}{2^{13}\cdot7^{13}\cdot5^{10}}=\frac{5^{13}}{5^{10}}=5^{3}$$
Zadanie nr 1 · Matura 2021
Liczba \(100^5\cdot(0,1)^{-6}\) jest równa:
A\(10^{13}\)
B\(10^{16}\)
C\(10^{-1}\)
D\(10^{-30}\)
Pamiętając o tym, że \(0,1=\frac{1}{10}\) i korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$100^5\cdot(0,1)^{-6}=100^5\cdot\left(\frac{1}{10}\right)^{-6}={(10^2)}^5\cdot10^{6}= \ ,\
=10^{10}\cdot10^{6}=10^{10+6}=10^{16}$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2020
Niech \(a=-2\), \(b=3\). Wartość wyrażenia \(a^b-b^a\) jest równa:
A\(\frac{73}{9}\)
B\(\frac{71}{9}\)
C\(-\frac{73}{9}\)
D\(-\frac{71}{9}\)
Podstawiając do wyrażenia liczby z treści zadania otrzymamy:
$$a^b-b^a=(-2)^3-3^{-2}=-8-\left(\frac{1}{3}\right)^2=-8-\frac{1}{9}=-\frac{72}{9}-\frac{1}{9}=-\frac{73}{9}$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2020
Liczbą odwrotną do liczby \(\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-5}{2^{-2}-\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}}\) jest:
A\(\frac{2}{3}\)
B\(-\frac{2}{3}\)
C\(1\frac{1}{2}\)
D\(-1\frac{1}{2}\)
Na początku musimy obliczyć wartość naszej liczby. Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-5}{2^{-2}-\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}}=\frac{2-5}{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{-3}{\frac{1}{4}-\frac{9}{4}}=\frac{-3}{-\frac{8}{4}}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}$$
Musimy jeszcze podać liczbę odwrotną do liczby \(\frac{3}{2}\), a więc poszukiwaną liczbą będzie \(\frac{2}{3}\).
Zadanie nr 2 · Próbny 2020
Liczba \(9^9\cdot81^2\) jest równa:
A\(81^4\)
B\(81\)
C\(9^{13}\)
D\(9^{36}\)
Wykonując działania na potęgach otrzymamy:
$$9^9\cdot81^2=9^9\cdot(9^2)^2=9^9\cdot(9)^{2\cdot2}=9^9\cdot9^4=9^{9+4}=9^{13}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2020
Liczba przeciwna do liczby \(\begin{split}\frac{(-2)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}}{(\sqrt{8})^6}\end{split}\) jest równa:
A\(\frac{1}{2}\)
B\(-\frac{1}{2}\)
C\(2\)
D\(-2\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczby.
Obliczmy wartość naszej liczby, wykonując działania na potęgach. Tutaj dobrze jest od razu zamienić sobie podstawy poszczególnych potęg na takie, by były one równe 2. Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(-2)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}}{(\sqrt{8})^6}=\frac{(-2)^3\cdot2^5}{(\sqrt{2^3})^6}= \ ,\
=\frac{-1\cdot2^3\cdot2^5}{(2^{\frac{3}{2}})^6}=\frac{-1\cdot2^8}{2^{\frac{18}{2}}}=\frac{-1\cdot2^8}{2^9}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$$
Krok 2. Wyznaczenie liczby przeciwnej.
Musimy jeszcze ustalić jaka jest liczba przeciwna do \(-\frac{1}{2}\). Liczba przeciwna ma jak sama nazwa wskazuje - przeciwny znak, zatem liczbą przeciwną do ułamka \(-\frac{1}{2}\) będzie \(\frac{1}{2}\) i to jest nasza odpowiedź.
Zadanie nr 2 · Matura 2020
Liczba \(\begin{split}\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{36^{10}}\end{split}\) jest równa:
A\(6^{70}\)
B\(6^{45}\)
C\(2^{30}\cdot3^{20}\)
D\(2^{10}\cdot3^{20}\)
Znajdujące się w mianowniku \(36^{10}\) możemy rozpisać jako \((6^{2})^{10}=6^{20}\). Naszą liczbę będziemy więc mogli zapisać jako \(\begin{split}\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{6^{20}}\end{split}\).
Chcąc skorzystać z działań na potęgach musimy mieć jednakowe podstawy potęg lub jednakowe wykładniki, a niestety nie mamy ani jednego, ani drugiego. Możemy jednak sprytnie rozbić iloczyn znajdujący się w liczniku w następujący sposób:
$$\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{6^{20}}=\frac{2^{20}\cdot2^{30}\cdot3^{20}\cdot3^{20}}{6^{20}}= \ ,\
=\frac{2^{20}\cdot3^{20}\cdot2^{30}\cdot3^{20}}{6^{20}}=\frac{6^{20}\cdot2^{30}\cdot3^{20}}{6^{20}}=2^{30}\cdot3^{20}$$
Zadanie nr 2 · Matura 2020
Liczba \(1-(2^7-1)^2\) jest równa:
A\(-2^{14}\)
B\(2^8-2^{14}\)
C\(2-2^{14}\)
D\(-2^{14}-2\cdot2^{7}+2\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz z działań na potęgach. Możemy więc zapisać, że:
$$1-(2^7-1)^2=1-(2^{14}-2\cdot2^7+1)= \ ,\
=1-(2^{14}-2^8+1)=1-2^{14}+2^8-1=-2^{14}+2^8=2^8-2^{14}$$
Zadanie nr 2 · Matura 2019
Liczba naturalna \(n=2^{14}\cdot5^{15}\) w zapisie dziesiętnym ma:
A\(14\) cyfr
B\(15\) cyfr
C\(16\) cyfr
D\(30\) cyfr
Krok 1. Rozpisanie podanego działania.
Nie sprowadzimy tych liczb do jednakowej podstawy potęgi, ale za to możemy sprowadzić te liczby do jednakowego wykładnika potęgi. Możemy to rozpisać w następujący sposób:
$$2^{14}\cdot5^{14}\cdot5=5\cdot10^{14}$$
Krok 2. Analiza otrzymanego wyniku.
Zapis \(5\cdot10^{14}\) to nic innego jak zapis w postaci notacji wykładniczej. Ta liczba będzie więc miała piątkę na początku oraz \(14\) zer. W związku z tym będzie miała ona dokładnie \(15\) cyfr.
Zadanie nr 1 · Próbny 2018
Wynikiem działania \(49^{-6}:7^{-15}\) jest:
A\(7^{-21}\)
B\(7^3\)
C\(7^8\)
D\(7^{-27}\)
Zamieniając liczbę \(49\) na \(7^2\) oraz korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$49^{-6}:7^{-15}=(7^2)^{-6}:7^{-15}=7^{-12}:7^{-15}= \ ,\
=7^{-12-(-15)}=7^{-12+15}=7^3$$
Zadanie nr 3 · Matura 2018
Dane są liczby \(x=4,5\cdot10^{-8}\) oraz \(y=1,5\cdot10^{2}\). Wtedy iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy:
A\(3\cdot10^{-10}\)
B\(3\cdot10^{-6}\)
C\(6,75\cdot10^{-10}\)
D\(6,75\cdot10^{-4}\)
Najprościej to zadanie rozwiążemy rozpisując całą sytację w następujący sposób:
$$\frac{4,5\cdot10^{-8}}{1,5\cdot10^{2}}=\frac{4,5}{1,5}\cdot\frac{10^{-8}}{10^{2}}=3\cdot10^{-8-2}=3\cdot10^{-10}$$
Zadanie nr 3 · Matura 2018
Dane są liczby \(a=3,6\cdot10^{-12}\) oraz \(b=2,4\cdot10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy:
A\(8,64\cdot 10^{-32}\)
B\(1,5\cdot 10^{-8}\)
C\(1,5\cdot 10^{8}\)
D\(8,64\cdot 10^{32}\)
Wykonując działania na potęgach otrzymamy:
$$\frac{a}{b}=\frac{3,6\cdot10^{-12}}{2,4\cdot10^{-20}}=\frac{3,6}{2,4}\cdot\frac{10^{-12}}{10^{-20}}= \ ,\
=1,5\cdot10^{-12-(-20)}=1,5\cdot10^{-12+20}=1,5\cdot10^{8}$$
Zadanie nr 8 · Matura 2018
Liczba \(\begin{split}\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}\end{split}\) jest równa:
A\(0\)
B\(2^{20}-2\)
C\(2^{19}\)
D\(4-2^{10}\)
Wykonując działania na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}=\frac{(2^3)^{20}-2\cdot(2^2)^{20}}{2^{20}\cdot (2^2)^{10}}= \ ,\
\frac{2^{60}-2\cdot2^{40}}{2^{20}\cdot2^{20}}=\frac{2^{60}-2\cdot2^{40}}{2^{40}}= \ ,\
\frac{2^{40}\cdot(2^{20}-2)}{2^{40}}=2^{20}-2$$
Zadanie nr 1 · Matura 2017
Niech \(a=-2\), \(b=3\). Wartość wyrażenia \(a^b-b^a\) jest równa:
A\(\frac{73}{9}\)
B\(\frac{71}{9}\)
C\(-\frac{73}{9}\)
D\(-\frac{71}{9}\)
Podstawiając do wyrażenia liczby z treści zadania otrzymamy:
$$a^b-b^a=(-2)^3-3^{-2}=-8-\left(\frac{1}{3}\right)^2=-8-\frac{1}{9}=-\frac{72}{9}-\frac{1}{9}=-\frac{73}{9}$$
Zadanie nr 1 · Matura 2017
Liczba \(5^8\cdot16^{-2}\) jest równa:
A\(\left(\frac{5}{2}\right)^8\)
B\(\frac{5}{2}\)
C\(10^8\)
D\(10\)
Pamiętając o tym, że \(16=2^4\), a także korzystając ze wzorów \((a^x)^y=a^{x\cdot y}\) oraz \(a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$5^8\cdot16^{-2}=5^8\cdot(2^4)^{-2}=5^8\cdot2^{-8}= \ ,\
5^8\cdot\frac{1}{2^8}=\frac{5^{8}}{2^{8}}=\left(\frac{5}{2}\right)^8$$
Zadanie nr 2 · Matura 2017
Liczba \(9^9\cdot81^2\) jest równa:
A\(81^4\)
B\(81\)
C\(9^{13}\)
D\(9^{36}\)
Wykonując działania na potęgach otrzymamy:
$$9^9\cdot81^2=9^9\cdot(9^2)^2=9^9\cdot(9)^{2\cdot2}=9^9\cdot9^4=9^{9+4}=9^{13}$$
Zadanie nr 3 · Matura 2017
Suma \(16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}\) jest równa:
A\(4^{24}\)
B\(4^{25}\)
C\(4^{48}\)
D\(4^{49}\)
Nie mamy żadnych specjalnych wzorów na dodawanie potęg, ale możemy zauważyć, że czterokrotnie dodano tą samą liczbę, czyli \(16^{24}\). W związku z tym:
$$16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}=4\cdot16^{24}=4\cdot(4^2)^{24}= \ ,\
=4\cdot4^{48}=4^1\cdot4^{48}=4^{49}$$
Zadanie nr 29 · Matura 2017
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \((1,5)^{100}\lt6^{25}\).
Aby porównać ze sobą te dwie liczby stojące po obu stronach nierówności musimy sprowadzić je albo do wspólnej podstawy potęgi, albo do wspólnego wykładnika potęgi. Znacznie łatwiej będzie dojść do wspólnego wykładnika potęgi:
$$(1,5)^{100}\lt6^{25} \ ,\
(1,5)^{4\cdot25}\lt6^{25} \ ,\
(1,5^4)^{25}\lt6^{25} \ ,\
5,0625^{25}\lt6^{25}$$
Podstawa potęgi po lewej stronie jest mniejsza niż po prawej, zatem nierówność jest na pewno prawdziwa.
Aby móc rozwiązać to zadanie to musimy liczbę \(20\) rozbić na iloczyn \(4\cdot5\), a następnie wykonać poprawnie działania na potęgach. Całość krok po kroku będzie wyglądać następująco:
$$\require{cancel}\frac{4^5\cdot5^4}{20^4}=\frac{4^5\cdot5^4}{(4\cdot5)^4}=\frac{4^5\cdot\cancel{5^4}}{4^4\cdot\cancel{5^4}}=\frac{4^5}{4^4}= \ ,\
=4^5:4^4=4^{5-4}=4^1=4$$
Zadanie nr 15 · Matura 2016
Słoń waży \(5\) ton, a waga mrówki jest równa \(0,5\) grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?
A\(10^6\)
B\(10^7\)
C\(10\)
D\(10^8\)
Krok 1. Sprowadzenie mas do wspólnej jednostki.
Obie masy musimy sprowadzić do wspólnej jednostki. Aby się nie pomylić to chyba najbezpieczniej będzie sprowadzić je do kilogramów.
$$5t=5000kg=5\cdot10^3kg \ ,\
0,5g=0,0005kg=5\cdot10^{-4}kg$$
Krok 2. Obliczenie ilorazu wagi słonia i mrówki.
Teraz musimy podzielić przez siebie te dwie masy:
$$\require{cancel}
\frac{\cancel{5}\cdot10^3\cancel{kg}}{\cancel{5}\cdot10^{-4}\cancel{kg}}=10^3:10^{-4}=10^{3-(-4)}=10^{7}$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2015
Liczba \(a=8^{23}\cdot4^{17}\) jest równa liczbie:
Liczbę \(45\) znajdującą się w mianowniku możemy rozbić na iloczyn \(9\cdot5\), zatem:
$$\require{cancel}
\frac{9^5\cdot5^9}{45^5}=\frac{9^5\cdot5^9}{(9\cdot5)^5}=\frac{\cancel{9^5}\cdot5^9}{\cancel{9^5}\cdot5^5}= \ ,\
=5^9:5^5=5^{9-5}=5^4$$
Zadanie nr 3 · Matura 2015
Liczba \(\frac{5^{12}\cdot9^5}{15^{10}}\) jest równa:
A\(25\)
B\(3^7\)
C\(3^3\)
D\(\frac{25}{27}\)
Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{5^{12}\cdot9^5}{15^{10}}=\frac{5^{12}\cdot(3^2)^5}{5^{10}\cdot3^{10}}=\frac{5^{12}\cdot3^{10}}{5^{10}\cdot3^{10}}=\frac{5^{12}}{5^{10}}=5^{12-10}=5^2=25$$
Zadanie nr 2 · Matura 2014
Liczba \(\frac{1}{2}\cdot2^{2014}\) jest równa:
A\(2^{2013}\)
B\(2^{2012}\)
C\(2^{1007}\)
D\(1^{2014}\)
Potęgowanie to zwielokrotnione mnożenie. Możemy więc \(2^{2014}\) zapisać jako \(2\cdot2^{2013}\), a tę dwójkę którą wyłączyliśmy możemy skrócić z ułamkiem \(\frac{1}{2}\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{1}{2}\cdot2^{2014}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2^{2013}=1\cdot2^{2013}=2^{2013}$$
Ewentualnie możemy zamienić ułamek \(\frac{1}{2}\) na potęgę \(2^{-1}\) i wykonać poprawnie działania na potęgach:
$$\frac{1}{2}\cdot2^{2014}=2^{-1}\cdot2^{2014}=2^{-1+2014}=2^{2013}$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2014
Liczba \(a=\frac{\left(2^3\right)^4}{2^{-5}}\) jest równa liczbie:
A\(2^2\)
B\(2^7\)
C\(2^{12}\)
D\(2^{17}\)
Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{\left(2^3\right)^4}{2^{-5}}=\frac{2^{3\cdot4}}{2^{-5}}=\frac{2^{12}}{2^{-5}}=2^{12}:2^{-5}=2^{12-(-5)}=2^{17}$$
Zadanie nr 7 · Próbny 2014
Połowa sumy \(4^{28}+4^{28}+4^{28}+4^{28}\) jest równa:
A\(2^{30}\)
B\(2^{57}\)
C\(2^{63}\)
D\(2^{112}\)
Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie poniższego równania:
$$\frac{1}{2}\cdot(4^{28}+4^{28}+4^{28}+4^{28})=...$$
Warto zauważyć, że mamy cztery razy dodawanie liczby \(4^{28}\), co możemy zapisać oczywiście jako \(4\cdot4^{28}\). Dostrzeżenie tego faktu jest tak naprawdę kluczem do rozwiązywania tego typu zadań. Na sam koniec musimy już tylko wykonać poprawnie działania na potęgach, tak aby w podstawie potęgi znalazła się liczba \(2\).
$$\frac{1}{2}\cdot4\cdot4^{28}=2\cdot4^{28}= \ ,\
=2\cdot(2^2)^{28}=2^1\cdot2^{56}=2^{57}$$
Zadanie nr 8 · Matura 2014
Liczba \(\frac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}}\) jest równa:
A\(1\)
B\(3\)
C\(6\)
D\(9\)
Z racji tego iż nie mamy żadnych wzorów na dodawanie potęg, to musimy wykazać się sprytem i wyłączyć wspólny czynnik przed nawias:
$$\require{cancel}
\frac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}}=\frac{3^{26}\cdot\cancel{(3+1)}}{3^{25}\cdot\cancel{(3+1)}}= \ ,\
=\frac{3^{26}}{3^{25}}=3^{26-25}=3^1=3$$
Zadanie nr 21 · Matura 2014
Liczba \(\left(\frac{1}{(\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2)^0}\right)^{-2}\) jest równa:
A\(\frac{1}{225}\)
B\(\frac{1}{15}\)
C\(1\)
D\(15\)
Zadanie choć wygląda na dość skomplikowane, to w praktyce jest bardzo proste. Wystarczy zauważyć, że cała wartość mianownika jest podniesiona do potęgi zerowej (a wartość tego mianownika jest na pewno różna od zera, bo dodajemy do siebie trzy liczby dodatnie). To z kolei oznacza, że bez dalszych obliczeń możemy stwierdzić, że wartość całego wyrażenia w mianowniku jest równa \(1\), bo każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi \(0\) daje wynik równy \(1\). Stąd też:
$$\left(\frac{1}{(\sqrt[3]{729}+\sqrt[4]{256}+2)^0}\right)^{-2}=\left(\frac{1}{1}\right)^{-2}=1^{-2}=1$$
Zadanie nr 2 · Matura 2012
Iloczyn \(9^{-5}\cdot3^{8}\) jest równy:
A\(3^{-4}\)
B\(3^{-9}\)
C\(9^{-1}\)
D\(9^{-9}\)
Naszym zadaniem jest poprawne wykonanie działań na potęgach, pamiętając o tym że \(3^2=9\). Całość krok po kroku możemy rozpisać w następujący sposób:
$$9^{-5}\cdot3^{8}=9^{-5}\cdot3^{2\cdot4}=9^{-5}\cdot(3^2)^4= \ ,\
=9^{-5}\cdot9^{4}=9^{-5+4}=9^{-1}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2012
Potęga \(\left(\frac{y}{x}\right)^5\) (gdzie \(x\) i \(y\) są różne od zera) jest równa:
A\(-5\cdot\frac{x}{y}\)
B\(\left(\frac{x}{y}\right)^{-5}\)
C\(\frac{y^5}{x}\)
D\(-\left(\frac{x}{y}\right)^{5}\)
Jedyną prawidłową zależnością jest ta, która znalazła się w drugiej odpowiedzi, bowiem podnoszenie liczby do potęgi ujemnej jest związane z potęgowaniem liczby odwrotnej. Tak też będzie i w tym przypadku:
$$\left(\frac{x}{y}\right)^{-5}=\left(\frac{y}{x}\right)^{5}$$
Zadanie nr 2 · Matura 2011
Potęga \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-5}\) (gdzie \(a\) i \(b\) są różne od zera) jest równa:
A\(-5\cdot\frac{a}{b}\)
B\(\left(\frac{b}{a}\right)^5\)
C\(\frac{b^5}{a}\)
D\(-\left(\frac{a}{b}\right)^5\)
Podnoszenie liczby do potęgi ujemnej możemy zastąpić potęgowaniem odwrotności tej liczby w następujący sposób:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-5}=\left(\frac{b}{a}\right)^{5}$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2010
Liczba \(\frac{4^{\frac{1}{2}}\cdot4^{-1}}{4^0-0,5}\) jest równa:
A\(1\)
B\(-1\)
C\(2\)
D\(4\)
Korzystając z działań na potęgach możemy tę liczbę rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{4^{\frac{1}{2}}\cdot4^{-1}}{4^0-0,5}=\frac{4^{\frac{1}{2}-1}}{1-0,5}= \ ,\
=\frac{4^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=\frac{(2^2)^{-\frac{1}{2}}}{2^{-1}}=\frac{2^{-1}}{2^{-1}}=1$$
Zadanie nr 2 · Matura 2010
Iloczyn \(81^2\cdot9^4\) jest równy:
A\(3^4\)
B\(3^0\)
C\(3^{16}\)
D\(3^{14}\)
Z zaprezentowanych odpowiedzi wynika, że musimy zarówno \(81\) jak i \(9\) zapisać w postaci potęgi liczby \(3\), a następnie wykonać poprawnie działania na potęgach. Skoro \(81=3^4\) oraz \(9=3^2\), to:
$$81^2\cdot9^4=(3^4)^2\cdot(3^2)^4=3^{4\cdot2}\cdot3^{2\cdot4}= \ ,\
=3^8\cdot3^8=3^{8+8}=3^{16}$$
Zadanie nr 3 · Matura 2010
Liczba \(\left(\frac{2^{-2}\cdot3^{-1}}{2^{-1}\cdot3^{-2}}\right)^0\) jest równa:
A\(1\)
B\(4\)
C\(9\)
D\(36\)
Tego zadania nie musimy tak naprawdę obliczać, bo niezależnie od tego jaka wartość wyjdzie nam w nawiasie (ważne tylko by była różna od zera, a ta na pewno będzie, bo są same liczby dodatnie) to po podniesieniu jej do potęgi zerowej otrzymamy wynik równy \(1\).
Zadanie nr 4 · Próbny 2010
Dana jest liczba \(x=63^2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^4\). Wtedy:
A\(x=7^2\)
B\(x=7^{-2}\)
C\(x=3^8\cdot7^2\)
D\(x=3\cdot7\)
Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od rozbicia liczby \(63\) na iloczyn liczb \(7\) oraz \(9\). Następnie sprowadzimy do wspólnej podstawy potęgi liczbę \(9\) oraz ułamek \(\frac{1}{3}\). Całość obliczeń wygląda następująco:
$$x=63^2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^4 \ ,\
x=(7\cdot9)^2\cdot\frac{1^4}{3^4} \ ,\
x=7^2\cdot9^2\cdot\frac{1}{3^4} \ ,\
x=7^2\cdot3^4\cdot\frac{1}{3^4} \ ,\
x=7^2$$
Zadanie nr 4 · Matura 2010
Dana jest liczba \(x=63^2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^4\). Wtedy:
A\(x=7^2\)
B\(x=7^{-2}\)
C\(x=3^8\cdot7^2\)
D\(x=3\cdot7\)
Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od rozbicia liczby \(63\) na iloczyn liczb \(7\) oraz \(9\). Następnie sprowadzimy do wspólnej podstawy potęgi liczbę \(9\) oraz ułamek \(\frac{1}{3}\). Całość obliczeń wygląda następująco:
$$x=63^2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^4 \ ,\
x=(7\cdot9)^2\cdot\frac{1^4}{3^4} \ ,\
x=7^2\cdot9^2\cdot\frac{1}{3^4} \ ,\
x=7^2\cdot3^4\cdot\frac{1}{3^4} \ ,\
x=7^2$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2009
Liczba \(27^{-2}\cdot9^6\) jest równa:
A\(9^5\)
B\(3^{16}\)
C\(6^4\)
D\(3^6\)
Aby rozwiązać to zadanie najprościej będzie zamienić wszystkie potęgi na takie, które mają jednakową podstawę. Jak już to zrobimy, to zostanie nam tylko wykonać poprawnie działania na potęgach. W tym przypadku wspólną podstawą może być trójka, zatem:
$$27^{-2}\cdot9^6=(3^3)^{-2}\cdot(3^2)^6=3^{-6}\cdot3^{12}=3^{6}$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2009
Iloraz \(32^{-3}:\left(\frac{1}{8}\right)^4\) jest równy:
A\(2^{-27}\)
B\(2^{-3}\)
C\(2^{3}\)
D\(2^{27}\)
Musimy wykonać działania na potęgach, pamiętając że \(32=2^5\) oraz \(\frac{1}{8}=2^{-3}\), zatem:
$$32^{-3}:\left(\frac{1}{8}\right)^4=(2^5)^{-3}:(2^{-3})^4= \ ,\
=2^{5\cdot(-3)}:2^{-3\cdot4}=2^{-15}:2^{-12}=2^{-15-(-12)}=2^{-3}$$
Zadanie nr 7 · Matura
Wskaż równość prawdziwą:
A\(-256^2=(-256)^2\)
B\(256^3=(-256)^3\)
C\(\sqrt{(-256)^2}=-256\)
D\(\sqrt[3]{-256}=-\sqrt[3]{256}\)
W tym zadaniu należało przede wszystkim pamiętać o tym, że \(-a^2\) to nie jest to samo, co \((-a)^2\) oraz o tym, że liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni, a podniesiona do potęgi nieparzystej daje wynik ujemny.
Prawidłową zależnością jest jedynie ta opisana w ostatniej odpowiedzi, czyli \(\sqrt[3]{-256}=-\sqrt[3]{256}\). Pozostałe są błędne, bo:
$$(-256)^2=256^2 \ ,\
(-256)^3=-256^3 \ ,\
\sqrt{(-256)^2}=256$$
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.