Pola wielokątów podobnych

Z twierdzenia Talesa odcinki wyznaczone na obu ramionach są proporcjonalne:

$$\frac{3}{6}=\frac{4}{x}$$

Mnożymy na krzyż:

$$3x=24 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Kontrola sensu: na pierwszym ramieniu drugi odcinek jest dwa razy dłuższy od pierwszego, więc na drugim ramieniu też musi być dwa razy dłuższy: $2\cdot4=8$ ✔

Odpowiedź: C. $x=8$ cm.

Przy skali podobieństwa $k$ pola pozostają w stosunku $k^2$:

$$k^2=3^2=9$$

Zapamiętaj: długości rosną $k$ razy, pola $k^2$ razy, objętości $k^3$ razy.

Odpowiedź: C. $9:1$.

Skala podobieństwa mówi, ile razy trójkąt $DEF$ jest większy od $ABC$:

$$\frac{DE}{AB}=k \quad\Rightarrow\quad DE=k\cdot AB$$

Podstawiamy dane:

$$DE=3\cdot5=15\ \text{cm}$$

Warto pamiętać: w figurach podobnych wszystkie boki zmieniają się w tej samej skali, a kąty pozostają bez zmian.

Odpowiedź: $DE=15$ cm.

Pole rośnie w kwadracie skali:

$$P_2=k^2\cdot P_1=4\cdot12=48\ \text{cm}^2$$

Częsty błąd: pomnożenie pola tylko przez $2$ (czyli przez $k$, a nie $k^2$).

Odpowiedź: $48$ cm$^2$.

1. Pola podobnych figur: $P_2=k^2P_1=9\cdot5=45$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pomnożone przez $k$ zamiast $k^2$; C — przez $k^3$ (to dla objętości).

Pole jest wielkością dwuwymiarową, więc zmienia się w skali podniesionej do kwadratu:

$$\frac{P_2}{P_1}=k^2=2^2=4$$

Sprawdźmy na kwadracie. Bok $3$ daje pole $9$; po powiększeniu dwukrotnie bok ma $6$, a pole $36$. Rzeczywiście $36:9=4$.

Dla porządku: objętość brył podobnych zmienia się w skali $k^3$ — dla $k=2$ byłoby to $8$ razy (stąd odpowiedź C jako pułapka).

Odpowiedź: D.

Podnosimy stosunek boków do kwadratu:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}$$

Odpowiedź: pola mają się jak $4:25$.

1. Skala: $k=\frac{12}{18}=\frac23$.
2. Stosunek pól: $k^2=\frac49$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to stosunek obwodów; D — odwrócona kolejność.

Krok 1 — stosunek pól to kwadrat skali:

$$\frac{P_2}{P_1}=k^2=\left(\frac52\right)^2=\frac{25}{4}$$

Krok 2 — obliczamy pole większego trójkąta:

$$P_2=12\cdot\frac{25}{4}=3\cdot25=75\ \text{cm}^2$$

Kontrola sensu: skala $2{,}5$ to nieco ponad dwukrotne powiększenie, więc pole powinno wzrosnąć nieco ponad sześciokrotnie — $75:12=6{,}25$ ✔

Odpowiedź: pole większego trójkąta to $75$ cm$^2$.

Skala to pierwiastek ze stosunku pól:

$$k=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$$

Sprawdzenie: $\left(\frac45\right)^2=\frac{16}{25}$ ✔

Odpowiedź: B. $\frac45$.

1. Tales: $\dfrac{|OA|}{|AB|}=\dfrac{|OA^\prime|}{|A^\prime B^\prime|} \Rightarrow \dfrac46=\dfrac{6}{|A^\prime B^\prime|}$.
2. $|A^\prime B^\prime|=9$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — to długość $|OB^\prime|$, a pytanie dotyczy odcinka $A^\prime B^\prime$.

Odcinek $DE$ jest równoległy do $BC$, więc zachodzi twierdzenie Talesa — odcinki na obu bokach są proporcjonalne:

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$

Podstawiamy dane:

$$\frac{4}{6}=\frac{6}{EC}$$

Mnożymy na krzyż:

$$4\cdot EC=36 \quad\Rightarrow\quad EC=9$$

Uwaga na dobór odcinków: w proporcji trzeba konsekwentnie zestawiać części górne z górnymi i dolne z dolnymi, albo część z całością — ale po obu stronach tak samo.

Odpowiedź: $EC=9$.

Skala to stosunek odpowiadających sobie boków:

$$k=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1{,}5$$

Odpowiedź: $k=1{,}5$.

1. $\triangle AOD\sim\triangle COB$ (kąty wierzchołkowe i naprzemianległe).
2. $\dfrac{|OA|}{|OC|}=\dfrac{|OD|}{|OB|} \Rightarrow \dfrac96=\dfrac{12}{|OB|} \Rightarrow |OB|=8$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — odwrócona proporcja ($\frac{9}{6}=\frac{|OB|}{12}$).

Trójkąty są podobne, gdy mają równe wszystkie kąty.

Każdy trójkąt równoboczny ma trzy kąty po $60^\circ$, więc dowolne dwa takie trójkąty mają identyczne kąty — są podobne.

Dlaczego pozostałe odpadają:

• trójkąty prostokątne mają wspólny tylko kąt $90^\circ$, pozostałe mogą się różnić
• trójkąty równoramienne mogą mieć różne kąty przy podstawie
• równe pola nie mówią nic o kształcie — trójkąt wąski i wysoki może mieć takie samo pole co szeroki i niski

Odpowiedź: B.

Cecha podobieństwa kąt–kąt: jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego, to trójkąty są podobne (trzeci kąt wychodzi automatycznie, bo suma wynosi $180^\circ$).

Uwaga: równe pola nie gwarantują podobieństwa — figury mogą mieć zupełnie inny kształt.

Odpowiedź: A.

1. $\dfrac{|AD|}{|DB|}=\dfrac{6}{9}=\dfrac23$, więc $|AD|=\dfrac{2}{5}\cdot10=4$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to $|DB|$; C — dwusieczna potraktowana jak środkowa.

Promienie słoneczne padają pod tym samym kątem, więc trójkąt „drzewo + cień” i trójkąt „słupek + cień” są podobne.

Krok 1 — zapisujemy proporcję:

$$\frac{h}{12}=\frac{1{,}5}{2}$$

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$2h=18 \quad\Rightarrow\quad h=9$$

Kontrola sensu: cień drzewa jest $6$ razy dłuższy od cienia słupka, więc drzewo powinno być $6$ razy wyższe: $6\cdot1{,}5=9$ m ✔

Odpowiedź: drzewo ma $9$ metrów wysokości.

Krok 1 — stosunek pól:

$$\frac{50}{18}=\frac{25}{9}$$

Krok 2 — skala to pierwiastek:

$$k=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$$

Odpowiedź: $k=\frac53$.

1. Trójkąty, na które dzieli wysokość, są podobne: $h^2=4\cdot9=36$, $h=6$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to przeciwprostokątna; D — średnia arytmetyczna odcinków.

Krok 1 — wyznaczamy skalę podobieństwa. Porównujemy odpowiadające sobie boki, czyli najdłuższy z najdłuższym:

$$k=\frac{25}{10}=2{,}5$$

Krok 2 — mnożymy pozostałe boki przez skalę:

$$6\cdot2{,}5=15,\qquad 8\cdot2{,}5=20$$

Sprawdzenie: trójkąt $6$, $8$, $10$ jest prostokątny, bo $36+64=100$. Trójkąt podobny też musi być prostokątny: $15^2+20^2=225+400=625=25^2$ ✔

Odpowiedź: pozostałe boki mają $15$ i $20$.

Pola rosną w kwadracie skali:

$$P=12\cdot50^2=12\cdot2500=30\,000\ \text{cm}^2$$

Zamiana jednostek: $30\,000$ cm$^2=3$ m$^2$.

Częsty błąd: pomnożenie tylko przez $50$ — dałoby to $600$ cm$^2$, czyli wynik $50$ razy za mały.

Odpowiedź: $30\,000$ cm$^2$, czyli $3$ m$^2$.

1. $\triangle KLC\sim\triangle ABC$ w skali $k=\frac{|CK|}{|CA|}=\frac25$.
2. $P_{KLC}=\left(\frac25\right)^2\cdot50=\frac{4}{25}\cdot50=8$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pomnożone przez $k$, a nie $k^2$; D — skala $\frac23$ zamiast $\frac25$.

O podobieństwie decyduje zbiór miar kątów, a nie kolejność ich wypisania.

Oba trójkąty mają kąty $50^\circ$, $60^\circ$ i $70^\circ$ — wystarczy przestawić oznaczenia wierzchołków, aby kąty odpowiadały sobie po kolei.

Cecha kkk: jeśli dwa trójkąty mają odpowiednio równe kąty, to są podobne. W praktyce wystarczy sprawdzić dwa kąty, bo trzeci wynika z sumy $180^\circ$.

Uwaga: przystawanie to coś więcej — wymaga dodatkowo równych długości boków.

Odpowiedź: A.

Objętości rosną w sześcianie skali:

$$k^3=2^3=8$$

Sprawdzenie: sześcian o krawędzi $1$ ma objętość $1$, a o krawędzi $2$ — objętość $8$ ✔

Odpowiedź: D. $8$ razy.

1. 1. $\frac63=\frac84=\frac{10}5=2$ — cecha bbb, trójkąty są podobne — prawda.
2. 2. Stosunek pól to $k^2=4$, nie $2$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Krok 1 — skala z obwodów. Obwód jest wielkością jednowymiarową, więc zmienia się wprost w skali:

$$k=\frac{27}{18}=\frac32=1{,}5$$

Krok 2 — stosunek pól to kwadrat skali:

$$\frac{P_2}{P_1}=k^2=\left(\frac32\right)^2=\frac94$$

Krok 3 — pole większego wielokąta:

$$P_2=16\cdot\frac94=4\cdot9=36\ \text{cm}^2$$

Najczęstszy błąd: pomnożenie pola przez samą skalę ($16\cdot1{,}5=24$) — pole zmienia się w skali kwadratowej.

Odpowiedź: $k=1{,}5$, pole większego wielokąta to $36$ cm$^2$.

Kluczowe: obwód to suma długości, więc zmienia się w skali $k$ (nie $k^2$ jak pole).

$$O_{DEF}=k\cdot O_{ABC}=\frac13\cdot36=12\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $12$ cm.

1. Przeciwprostokątna $T_1$: $\sqrt{36+64}=10$. Skala: $k=\frac{25}{10}=\frac52$.
2. $P_1=\tfrac12\cdot6\cdot8=24$, $P_2=k^2P_1=\tfrac{25}4\cdot24=150$.

Odpowiedź: $150$

Oba trójkąty mają kąt $90^\circ$ oraz kąt $35^\circ$ — to już dwa odpowiednio równe kąty.

Trzeci kąt wyliczamy z sumy kątów trójkąta:

$$180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$$

W obu trójkątach wychodzi tak samo, więc mają identyczne komplety kątów.

Cecha kk: dwa odpowiednio równe kąty wystarczają do stwierdzenia podobieństwa — długości boków nie są potrzebne.

Odpowiedź: C.

W figurach podobnych:

• długości (boki, obwody, wysokości) — skala $k$
• pola — skala $k^2$
• objętości — skala $k^3$
• kąty — nie zmieniają się wcale

Odpowiedź: C. obwody i długości boków.

1. Kąty $AOB$ i $COD$ są wierzchołkowe, więc równe.
2. $AB\parallel CD$, więc $|\angle OAB|=|\angle OCD|$ (kąty naprzemianległe przy prostej $AC$).
3. Zatem $\triangle AOB\sim\triangle COD$ (cecha kkk) i $\dfrac{|AO|}{|OC|}=\dfrac{|BO|}{|OD|}$.
4. Mnożąc „na krzyż”: $|AO|\cdot|OD|=|BO|\cdot|OC|$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Odcinki $AB$ i $CD$ są równoległe, więc trójkąty $ASB$ i $CSD$ są podobne (kąty wierzchołkowe przy $S$ są równe, a kąty naprzemianległe przy prostych równoległych też).

Krok 1 — skala podobieństwa:

$$k=\frac{SC}{AS}=\frac{9}{6}=\frac32$$

Krok 2 — obliczamy $CD$:

$$CD=k\cdot AB=\frac32\cdot8=12$$

Kontrola sensu: odcinek $SC$ jest półtora raza dłuższy od $AS$, więc i drugi bok musi być półtora raza dłuższy ✔

Odpowiedź: $CD=12$.

Krok 1 — skala ze stosunku obwodów:

$$k=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}$$

Krok 2 — stosunek pól to $k^2$:

$$k^2=\frac{25}{9}$$

Krok 3 — pole większego:

$$P=18\cdot\frac{25}{9}=2\cdot25=50\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $50$ cm$^2$.

Krok 1 — rzeczywiste wymiary. Mnożymy każdy wymiar przez skalę:

$$2\cdot50\,000=100\,000\ \text{cm}=1\ \text{km}$$

$$3\cdot50\,000=150\,000\ \text{cm}=1{,}5\ \text{km}$$

Krok 2 — pole:

$$P=1\cdot1{,}5=1{,}5\ \text{km}^2$$

Sposób alternatywny — przez kwadrat skali. Pole na mapie to $2\cdot3=6$ cm$^2$, a pole rzeczywiste jest $50\,000^2$ razy większe:

$$6\cdot50\,000^2=6\cdot2{,}5\cdot10^9=1{,}5\cdot10^{10}\ \text{cm}^2=1{,}5\ \text{km}^2$$

Oba sposoby dają ten sam wynik.

Odpowiedź: rzeczywiste pole to $1{,}5$ km$^2$.

Krok 1 — trójkąty są podobne. $DE\parallel BC$, więc kąty są równe (cecha kąt–kąt).

Krok 2 — skala podobieństwa:

$$k=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{4+6}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$

Krok 3 — stosunek pól:

$$\frac{P_{ADE}}{P_{ABC}}=k^2=\frac{4}{25}$$

Uwaga: w mianowniku skali jest cały bok $AB=10$, a nie sam odcinek $DB$.

Odpowiedź: $\frac{4}{25}$.

Figury podobne mają równe kąty, a boki proporcjonalne w skali $k$.

Figury przystające to szczególny przypadek, w którym skala wynosi dokładnie $1$ — boki są nie tylko proporcjonalne, ale wprost równe:

$$k=1 \quad\Rightarrow\quad \text{figury identyczne co do kształtu i rozmiaru}$$

Wniosek: każde dwie figury przystające są podobne, ale nie odwrotnie.

Odpowiedź: B.

Skoro pola rosną $k^2$ razy, to:

$$k^2=4 \quad\Rightarrow\quad k=2$$

Boki są $2$ razy dłuższe.

Odpowiedź: B. $2$ razy.

Krok 1 — przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:

$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Krok 2 — pole trójkąta na dwa sposoby. Raz jako połowa iloczynu przyprostokątnych, raz jako połowa iloczynu przeciwprostokątnej i wysokości na nią opuszczonej:

$$P=\frac{6\cdot8}{2}=24 \qquad \text{oraz} \qquad P=\frac{10\cdot h}{2}=5h$$

Krok 3 — przyrównujemy:

$$5h=24 \quad\Rightarrow\quad h=4{,}8$$

Kontrola sensu: wysokość na przeciwprostokątną jest zawsze krótsza od obu przyprostokątnych — $4{,}8<6$ ✔

Odpowiedź: wysokość ma $4{,}8$.

Krok 1 — pola rosną w kwadracie skali:

$$P=6\cdot1000^2=6\cdot1\,000\,000=6\,000\,000\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — zamiana na metry kwadratowe ($1$ m$^2=10\,000$ cm$^2$):

$$6\,000\,000:10\,000=600\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: $600$ m$^2$.

Pole zmienia się w skali podniesionej do kwadratu:

$$k^2=100^2=10\,000$$

Model ma więc pole powierzchni $10\,000$ razy mniejsze.

Dla porównania: objętość zmieniłaby się w skali $k^3=1\,000\,000$ razy — stąd odpowiedź C jako pułapka.

Zestawienie warte zapamiętania: długości w skali $k$, pola w $k^2$, objętości w $k^3$.

Odpowiedź: D. $10\,000$ razy.

Figury przystające to szczególny przypadek figur podobnych — o skali podobieństwa równej $1$.

Mają wtedy równe wszystkie odpowiadające boki i kąty.

Odpowiedź: A. tak, w skali $k=1$.

Z twierdzenia Talesa odcinki odcięte na obu ramionach są proporcjonalne. Zestawiamy część bliższą wierzchołka z częścią dalszą:

$$\frac{OA}{AB}=\frac{OC}{CD}$$

Podstawiamy dane:

$$\frac{5}{10}=\frac{7}{CD}$$

Mnożymy na krzyż:

$$5\cdot CD=70 \quad\Rightarrow\quad CD=14$$

Kontrola sensu: na pierwszym ramieniu odcinek dalszy jest dwa razy dłuższy od bliższego, więc na drugim też: $2\cdot7=14$ ✔

Odpowiedź: $CD=14$.

Krok 1 — stosunek pól:

$$\frac{48}{27}=\frac{16}{9}$$

Krok 2 — skala podobieństwa:

$$k=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$$

Krok 3 — odpowiadający bok:

$$6\cdot\frac43=8\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\left(\frac86\right)^2=\frac{64}{36}=\frac{16}{9}$ ✔

Odpowiedź: $8$ cm.

Krok 1 — pole wyjściowe:

$$P_1=4\cdot6=24\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — stosunek pól:

$$\frac{P_2}{P_1}=\frac{150}{24}=\frac{25}{4}$$

Krok 3 — skala to pierwiastek ze stosunku pól:

$$k=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac52=2{,}5$$

Krok 4 — nowe wymiary:

$$4\cdot2{,}5=10\ \text{cm},\qquad 6\cdot2{,}5=15\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $10\cdot15=150$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: skala $k=2{,}5$, nowe wymiary $10$ cm na $15$ cm.

Krok 1 — skala:

$$k=\frac{15}{5}=3$$

Krok 2 — pozostałe boki:

$$3\cdot3=9,\qquad 4\cdot3=12$$

Krok 3 — obwód (rośnie w skali $k$):

$$O=9+12+15=36$$

Krok 4 — pole. Trójkąt jest prostokątny, więc:

$$P=\frac{9\cdot12}{2}=54$$

Sprawdzenie skalą: pole pierwotne to $\frac{3\cdot4}{2}=6$, a $6\cdot k^2=6\cdot9=54$ ✔

Odpowiedź: boki $9$, $12$, $15$; obwód $36$; pole $54$.

Krok 1 — ustalamy skalę podobieństwa. Trójkąty $ADE$ i $ABC$ są podobne (bo $DE \parallel BC$). Skalę wyznacza stosunek boków wychodzących z wierzchołka $A$, czyli $AD$ do całego $AB$ — a nie do $DB$.

Skoro $AD:DB=2:3$, to przyjmując $AD=2x$ i $DB=3x$ otrzymujemy $AB=5x$:

$$k=\frac{AD}{AB}=\frac{2x}{5x}=\frac25$$

Krok 2 — obliczamy $DE$:

$$DE=k\cdot BC=\frac25\cdot15=6$$

Najczęstszy błąd: użycie skali $\frac23$ (stosunku $AD:DB$) zamiast $\frac25$ — dałoby błędne $10$.

Odpowiedź: $DE=6$.

Krok 1 — skala z objętości. Objętości rosną $k^3$ razy:

$$k^3=\frac{125}{8} \quad\Rightarrow\quad k=\sqrt[3]{\frac{125}{8}}=\frac{5}{2}$$

Krok 2 — stosunek pól to $k^2$:

$$k^2=\left(\frac52\right)^2=\frac{25}{4}$$

Odpowiedź: $k=\frac52$; pola mają się jak $25:4$.

Skąd bierze się podobieństwo. Promień światła odbija się od lustra pod takim samym kątem, pod jakim padł. Powstają dwa trójkąty prostokątne: mniejszy (obserwator i jego odległość od lusterka) oraz większy (wieża i jej odległość od lusterka). Oba mają kąt prosty przy ziemi i równe kąty przy lusterku, więc na mocy cechy kk są podobne.

Krok 1 — zapisujemy proporcję. Zestawiamy wysokość z odpowiadającą jej odległością od lusterka:

$$\frac{h}{20}=\frac{1{,}6}{2}$$

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$2h=20\cdot1{,}6=32 \quad\Rightarrow\quad h=16$$

Kontrola sensu: lusterko leży $10$ razy dalej od wieży niż od obserwatora ($20:2=10$), więc wieża musi być $10$ razy wyższa od niego: $10\cdot1{,}6=16$ m ✔

Wniosek praktyczny: tak mierzy się wysokości i odległości obiektów, do których nie da się dosięgnąć — wystarczy zbudować mniejszy trójkąt podobny i zmierzyć jego boki.

Odpowiedź: wieża ma $16$ metrów wysokości.

Krok 1 — skala. Pole rośnie $k^2$ razy:

$$k^2=9 \quad\Rightarrow\quad k=3$$

Krok 2 — nowe wymiary (długości rosną $k$ razy):

$$10\cdot3=30\ \text{cm},\qquad 15\cdot3=45\ \text{cm}$$

Krok 3 — sprawdzenie proporcji:

$$\frac{10}{15}=\frac23 \qquad \text{oraz} \qquad \frac{30}{45}=\frac23 \ ✔$$

Sprawdzenie pola: $10\cdot15=150$, a $30\cdot45=1350$, przy czym $1350:150=9$ ✔

Odpowiedź: $30$ cm na $45$ cm; proporcje zachowane.

Rozwiązanie

Stosunek objętości $=\tfrac{512}{64}=8=k^3$, więc skala $k=2$. Stosunek pól $=k^2=4$.

Odpowiedź: $4$.

Rozwiązanie

1. Przeciwprostokątna $T_1$: $\sqrt{5^2+12^2}=13$. Skala $k=\tfrac{26}{13}=2$.
2. $P_{T_1}=\tfrac12\cdot5\cdot12=30$; $P_{T_2}=k^2\cdot P_{T_1}=4\cdot30=120$.

Odpowiedź: $P_{T_2}=120$.