Pojęcie funkcji

Obliczenie wartości funkcji polega na wstawieniu liczby w miejsce $x$:

$$f(4)=3\cdot4-5=12-5=7$$

Pułapka: odpowiedź D to wynik po samym pomnożeniu, bez odjęcia $5$.

Odpowiedź: C. $f(4)=7$.

Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów ($x$), dla których funkcja jest określona.

Zbiór wartości to z kolei zbiór wszystkich wartości ($y$).

Odpowiedź: B. argumentów funkcji.

Podstawiamy kolejne argumenty:

$$f(0)=0^2-4=-4$$

$$f(3)=3^2-4=9-4=5$$

$$f(-3)=(-3)^2-4=9-4=5$$

Uwaga na nawias: $(-3)^2=9$, a nie $-9$ — podnosimy do kwadratu całą liczbę ujemną.

Obserwacja: $f(3)=f(-3)$, bo funkcja zależy tylko od $x^2$. Jej wykres jest symetryczny względem osi OY.

Odpowiedź: $f(0)=-4$, $f(3)=5$, $f(-3)=5$.

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x)=0$:

$$2x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Na wykresie: to punkt przecięcia z osią $OX$, czyli $(2,\ 0)$.

Odpowiedź: $x=2$.

Tym razem znamy wartość, a szukamy argumentu — układamy równanie $f(x)=9$:

$$2x+1=9$$

Rozwiązujemy:

$$2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Sprawdzenie: $f(4)=2\cdot4+1=9$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero — wykres przecina wtedy oś $OX$.

Odpowiedź: C. oś $OX$.

Mianownik ułamka nie może być zerem, więc wykluczamy argumenty spełniające:

$$x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Zatem dziedziną jest zbiór:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$

Pułapka ze znakiem: w mianowniku stoi $x-3$, więc wykluczamy $3$, a nie $-3$.

Odpowiedź: B.

$$x^2-9=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+3)=0$$

$$x=3 \quad\text{lub}\quad x=-3$$

Odpowiedź: $x=-3$ oraz $x=3$.

Pierwiastek kwadratowy jest określony tylko dla liczb nieujemnych, więc żądamy:

$$x-2\ge 0$$

Rozwiązujemy nierówność:

$$x\ge 2$$

Dziedzina to przedział:

$$D=\langle 2,\,+\infty)$$

Uwaga: nierówność jest nieostra, bo $\sqrt{0}=0$ jest poprawną wartością — liczba $2$ należy do dziedziny.

Odpowiedź: $D=\langle 2,\,+\infty)$.

Oś $OY$ odpowiada $x=0$, więc rzędna punktu przecięcia to $f(0)$.

Odpowiedź: A. $f(0)$.

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero:

$$f(x)=0 \quad\Rightarrow\quad 4x-12=0$$

Rozwiązujemy:

$$4x=12 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Interpretacja geometryczna: wykres przecina oś OX w punkcie $(3,\,0)$.

Odpowiedź: miejsce zerowe to $x=3$.

$$f(0)=3\cdot0+6=6$$

Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0,\ 6)$.

Odpowiedź: $f(0)=6$, punkt $(0,\ 6)$.

Funkcja przypisuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość.

W przypadku D jednej liczbie odpowiada nieskończenie wiele liczb większych — na przykład liczbie $2$ odpowiadają $3$, $4$, $5$ i tak dalej. To narusza definicję funkcji.

Pozostałe przypadki są funkcjami: uczeń ma jedną datę urodzenia, liczba jeden kwadrat, a miasto jedną liczbę mieszkańców.

Uwaga: funkcja może przypisać tę samą wartość różnym argumentom — to dozwolone. Zabronione jest tylko dwie wartości dla jednego argumentu.

Odpowiedź: D.

Analiza monotoniczności. Funkcja rośnie do $x=5$, potem maleje — więc w $x=5$ osiąga wartość największą (maksimum).

Zasada: maksimum lokalne jest tam, gdzie funkcja przechodzi z rosnącej w malejącą.

Odpowiedź: maksimum w $x=5$.

Analiza przebiegu. Idąc od lewej krawędzi dziedziny, wartości rosną aż do $x=1$, a potem zaczynają maleć.

Punkt $x=1$ jest więc szczytem wykresu — na lewo od niego wartości są mniejsze (bo funkcja dopiero rosła), a na prawo również mniejsze (bo zaczęła maleć).

Wniosek: wartość największa jest osiągana dla $x=1$ i wynosi $f(1)$.

Gdzie jest wartość najmniejsza: na jednym z końców dziedziny — trzeba porównać $f(-3)$ z $f(5)$, bo z samej monotoniczności tego nie rozstrzygniemy.

Odpowiedź: wartość największa dla $x=1$.

Wartość $f(x)>0$ oznacza, że punkt wykresu leży powyżej osi $OX$.

Analogicznie: $f(x)<0$ — poniżej osi.

Odpowiedź: D. powyżej osi $OX$.

O monotoniczności funkcji liniowej decyduje współczynnik kierunkowy $a$:

$$a>0 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad a<0 \Rightarrow \text{malejąca},\qquad a=0 \Rightarrow \text{stała}$$

Tutaj $a=-2<0$, więc funkcja maleje w całej dziedzinie.

Sprawdzenie liczbowe: $f(0)=6$, $f(1)=4$, $f(2)=2$ — wartości faktycznie spadają.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — rozwiązujemy nierówność $f(x)<0$:

$$x^2-4<0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+2)<0$$

Krok 2 — miejsca zerowe $-2$ i $2$, parabola w górę:

$$-2

Interpretacja: między miejscami zerowymi wykres paraboli jest poniżej osi $OX$.

Odpowiedź: $x\in(-2,\ 2)$.

Krok 1 — szukamy zależności. Porównujemy argumenty z wartościami:

$$3=3\cdot1,\quad 6=3\cdot2,\quad 9=3\cdot3,\quad 12=3\cdot4$$

Każda wartość jest trzykrotnością argumentu.

Krok 2 — wzór funkcji:

$$f(x)=3x$$

Krok 3 — obliczamy $f(10)$:

$$f(10)=3\cdot10=30$$

Kontrola: wzór musi pasować do wszystkich par z tabeli, nie tylko do pierwszej. Tu pasuje do każdej.

Odpowiedź: $f(x)=3x$ oraz $f(10)=30$.

Funkcja stała ma zawsze tę samą wartość — nie rośnie ani nie maleje.

Wykres: pozioma prosta $y=3$.

Odpowiedź: B. ani rosnąca, ani malejąca.

Punkt należy do wykresu, gdy jego współrzędne spełniają wzór funkcji. Sprawdzamy kolejno:

$$f(2)=2^2-1=3 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (2,\,3) \text{ należy}$$

$$f(1)=1^2-1=0 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (1,\,1) \text{ nie należy}$$

$$f(0)=0^2-1=-1 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (0,\,1) \text{ nie należy}$$

Odpowiedź: B. $(2,\,3)$.

Kwadrat jest nieujemny, a wartość $0$ jest osiągana dla $x=0$:

$$ZW=\langle0,\ +\infty)$$

Uwaga: nawias kątowy przy $0$ — zero należy do zbioru wartości.

Odpowiedź: A. $\langle0,+\infty)$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Rozwiązujemy $f(x)=0$:

$$x^2-9=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{ lub } \ x=-3$$

Krok 2 — gdzie wartości są ujemne. Parabola ma ramiona skierowane w górę ($a=1>0$), więc leży pod osią OX pomiędzy miejscami zerowymi:

$$f(x)<0 \iff x\in(-3,\,3)$$

Sprawdzenie: $f(0)=-9<0$ — punkt $0$ leży w tym przedziale ✔, a $f(4)=16-9=7>0$ — punkt $4$ leży poza nim ✔

Odpowiedź: miejsca zerowe $x=-3$ i $x=3$; wartości ujemne dla $x\in(-3,\,3)$.

Analiza znaku:

• $x<-1$: $f(x)>0$ (dodatnia),
• $x=-1$: $f(x)=0$,
• $-1
• $x=4$: $f(x)=0$,
• $x>4$: $f(x)>0$ (dodatnia).

Interpretacja. To typowy przebieg paraboli o ramionach w górę — ujemna między miejscami zerowymi, dodatnia poza nimi.

Odpowiedź: dodatnia na $(-\infty,-1)\cup(4,+\infty)$, ujemna na $(-1,\ 4)$.

Wykluczamy argumenty zerujące mianownik:

$$x^2-4=0$$

Rozkładamy na czynniki:

$$(x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-2$$

Zatem dziedziną jest:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$$

Uwaga: licznik nie ma tu żadnego znaczenia — dziedzinę ogranicza wyłącznie mianownik. Trzeba też wykluczyć obie liczby, nie tylko jedną.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$.

Dziedzina: $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ (mianownik niezerowy).

Monotoniczność: dla współczynnika dodatniego funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów $(-\infty,0)$ i $(0,+\infty)$.

Uwaga: nie jest malejąca „w całości" — między gałęziami hiperboli jest przerwa (asymptota $x=0$).

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$, malejąca w każdym przedziale.

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny:

$$x^2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^2+2\ge 2$$

Najmniejsza wartość $2$ jest osiągana dla $x=0$, więc należy do zbioru wartości — dlatego przedział jest domknięty od lewej.

Różnica między C a D: odpowiedź D wyklucza liczbę $2$, a przecież $f(0)=2$.

Odpowiedź: C. $ZW=\langle 2,\,+\infty)$.

Minimum lokalne to „dolina" — funkcja najpierw maleje, potem rośnie:

$$\text{malejąca} \to \text{minimum} \to \text{rosnąca}$$

Odpowiedź: C. malejącej w rosnącą.

Punkt $A=(1,\,4)$. Obliczamy wartość funkcji dla $x=1$:

$$f(1)=3\cdot1+1=4$$

Wynik zgadza się z drugą współrzędną punktu, więc $A$ należy do wykresu.

Punkt $B=(-2,\,-5)$. Obliczamy wartość dla $x=-2$:

$$f(-2)=3\cdot(-2)+1=-6+1=-5$$

Również się zgadza, więc $B$ także należy do wykresu.

Wniosek dodatkowy: oba punkty leżą na tej samej prostej — można to wykorzystać do jej narysowania, bo dwa punkty wyznaczają prostą.

Odpowiedź: oba punkty należą do wykresu.

Krok 1 — parabola o ramionach w dół (współczynnik przy $x^2$ ujemny), więc ma maksimum w wierzchołku.

Krok 2 — wierzchołek. Dla $f(x)=-x^2+4$ wierzchołek jest w $x=0$:

$$f(0)=4$$

Krok 3 — wniosek. Wartość największa to $4$, osiągana w $x=0$.

Zbiór wartości: $(-\infty,\ 4\rangle$.

Odpowiedź: max $4$ w $x=0$.

Na osi OY pierwsza współrzędna jest zawsze równa zeru, więc punkt przecięcia ma postać $(0,\,y)$, gdzie $y$ to wartość funkcji dla argumentu $0$:

$$y=f(0)$$

Nie mylić z miejscem zerowym — to punkt przecięcia z osią OX, gdzie $f(x)=0$. Są to dwie różne rzeczy.

Przykład: dla $f(x)=2x+6$ wykres przecina OY w $(0,\,6)$, a OX w $(-3,\,0)$.

Odpowiedź: A.

Mianownik nie może być zerem:

$$x-4\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq4$$

Odpowiedź: A. $\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Obliczamy reszty:

$$7=3\cdot2+1 \quad\Rightarrow\quad f(7)=1$$

$$9=3\cdot3+0 \quad\Rightarrow\quad f(9)=0$$

$$11=3\cdot3+2 \quad\Rightarrow\quad f(11)=2$$

Zbiór wartości. Reszta z dzielenia przez $3$ jest zawsze mniejsza od $3$ i nieujemna, więc możliwe wyniki to:

$$ZW=\{0,\,1,\,2\}$$

Ciekawostka: ta funkcja przypisuje tę samą wartość nieskończenie wielu argumentom (np. $f(3)=f(6)=f(9)=0$) — to całkowicie zgodne z definicją funkcji.

Odpowiedź: $f(7)=1$, $f(9)=0$, $f(11)=2$; $ZW=\{0,\,1,\,2\}$.

Krok 1 — miejsce zerowe:

$$-2x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 2 — przecięcie z osią $OY$:

$$f(0)=6 \quad\Rightarrow\quad (0,\ 6)$$

Krok 3 — monotoniczność. Współczynnik kierunkowy $-2<0$, więc funkcja jest malejąca.

Krok 4 — gdzie dodatnia. Funkcja maleje i zeruje się w $x=3$, więc jest dodatnia dla mniejszych argumentów:

$$f(x)>0 \iff x<3$$

Odpowiedź: miejsce zerowe $3$, punkt $(0,6)$, malejąca, dodatnia dla $x\in(-\infty,\ 3)$.

Krok 1 — wzór funkcji. Niech $x$ oznacza liczbę godzin:

$$K(x)=15+4x$$

Krok 2 — koszt za $5$ godzin:

$$K(5)=15+4\cdot5=15+20=35\ \text{zł}$$

Krok 3 — na ile godzin wystarczy $51$ zł. Rozwiązujemy równanie $K(x)=51$:

$$15+4x=51 \quad\Rightarrow\quad 4x=36 \quad\Rightarrow\quad x=9$$

Sprawdzenie: $15+4\cdot9=15+36=51$ zł ✔

Uwaga na dziedzinę: liczba godzin nie może być ujemna, więc sensowna dziedzina to $x\ge 0$.

Odpowiedź: $K(x)=15+4x$; za $5$ godzin zapłacimy $35$ zł; $51$ zł wystarczy na $9$ godzin.

Krok 1 — miejsca zerowe:

$$x^2-2x-3=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{lub}\ x=-1$$

Krok 2 — pierwsza współrzędna wierzchołka:

$$x_w=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 3 — druga współrzędna:

$$f(1)=1-2-3=-4$$

Krok 4 — zbiór wartości. Ramiona w górę, wierzchołek najniżej:

$$ZW=\langle-4,\ +\infty)$$

Kontrola. Wierzchołek leży w środku między miejscami zerowymi: $\frac{-1+3}{2}=1$ ✔

Odpowiedź: miejsca zerowe $-1$ i $3$, wierzchołek $(1,\ -4)$, $ZW=\langle-4,+\infty)$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik:

$$x-2=0 \ \text{ lub } \ x+5=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-5$$

Postać iloczynowa jest tu bardzo wygodna — miejsca zerowe odczytujemy niemal wprost, pamiętając o zmianie znaku.

Krok 2 — przecięcie z osią OY. Podstawiamy $x=0$:

$$f(0)=(0-2)(0+5)=(-2)\cdot5=-10$$

Punkt przecięcia to $(0,\,-10)$.

Odpowiedź: miejsca zerowe $x=2$ i $x=-5$; wykres przecina oś OY w punkcie $(0,\,-10)$.

Krok 1 — $x\to+\infty$. Dzieląc $12$ przez coraz większe liczby, otrzymujemy wartości coraz bliższe zeru:

$$f(x)\to0^+$$

Wykres zbliża się do asymptoty poziomej $y=0$.

Krok 2 — $x\to0^+$. Dzieląc $12$ przez coraz mniejsze dodatnie liczby, wartości rosną nieograniczenie:

$$f(x)\to+\infty$$

Wykres „ucieka" wzdłuż asymptoty pionowej $x=0$.

Interpretacja. Te dwie asymptoty ($x=0$ i $y=0$) charakteryzują każdą hiperbolę $\frac{a}{x}$ — proporcjonalność odwrotna oznacza, że iloczyn $x\cdot f(x)=12$ jest stały.

Odpowiedź: dla $x\to+\infty$ wartości dążą do $0$; dla $x\to0^+$ rosną do $+\infty$.

Krok 1 — dziedzina. Mianownik nie może być zerem:

$$x-1\neq 0 \quad\Rightarrow\quad x\neq 1,\qquad D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$$

Krok 2 — obliczamy $f(4)$:

$$f(4)=\frac{4+3}{4-1}=\frac{7}{3}$$

Krok 3 — miejsce zerowe. Ułamek jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy licznik jest zerem (przy niezerowym mianowniku):

$$x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3$$

Sprawdzenie dziedziny: $-3\neq 1$, więc argument jest dopuszczalny ✔

Sprawdzenie wartości: $f(-3)=\frac{-3+3}{-3-1}=\frac{0}{-4}=0$ ✔

Częsty błąd: przyrównywanie do zera całego ułamka razem z mianownikiem. Mianownik zeruje dziedzinę, a nie wartość.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$, $f(4)=\frac73$, miejsce zerowe $x=-3$.

Krok 1 — definicja. Funkcja jest różnowartościowa, gdy różnym argumentom odpowiadają różne wartości. Aby obalić, wystarczy jeden kontrprzykład.

Krok 2 — kontrprzykład:

$$f(2)=4,\qquad f(-2)=4$$

Dwa różne argumenty ($2$ i $-2$) dają tę samą wartość ($4$), więc funkcja nie jest różnowartościowa. $\qquad ∎$

Krok 3 — interpretacja graficzna. Parabola jest symetryczna względem osi $OY$, więc pozioma prosta $y=4$ przecina wykres w dwóch punktach: $(-2,\ 4)$ i $(2,\ 4)$. To „test poziomej prostej" — jeśli jakaś pozioma prosta przecina wykres więcej niż raz, funkcja nie jest różnowartościowa.

Uwaga. Gdyby ograniczyć dziedzinę do $\langle0,+\infty)$, funkcja stałaby się różnowartościowa — różnowartościowość zależy od dziedziny.

Wniosek: $f(2)=f(-2)=4$ przy $2\neq-2$ dowodzi, że $f(x)=x^2$ nie jest różnowartościowa.

Rozwijamy lewą stronę:

$$m^2 + 4m + 4 < m$$

$$m^2 + 3m + 4 < 0$$

Wyróżnik: $\Delta = 9 - 16 = -7 < 0$

Ponieważ $\Delta < 0$ i współczynnik przy $m^2$ jest dodatni ($a=1>0$), trójmian $m^2+3m+4$ jest zawsze dodatni.

Nierówność $m^2+3m+4 < 0$ nie ma rozwiązań.

Zbiór rozwiązań: $\emptyset$ (brak rozwiązań).

1. Dziedzina: $[-4, 4)$ — od $-4$ do $4$ (bez 4, bo ostatni przedział to $(2,4)$ — otwarty z prawej).

2. Zbiór wartości:

• Na $[-4,-2]$: $f(x)=x+5$; $f(-4)=1$, $f(-2)=3$. Wartości: $[1,3]$.
• Na $(-2,2]$: $f(x)=3$. Wartości: $\{3\}$.
• Na $(2,4)$: $f(x)=-3x+9$; $f(2^+)=3$, $f(4^-)=-3$. Wartości: $(-3,3)$.

Zbiór wartości: $(-3,3]$.

3. Argumenty, dla których $f(x)>0$:

• Na $[-4,-2]$: $x+5>0 \Rightarrow x>-5$ — cały odcinek: $[-4,-2]$.
• Na $(-2,2]$: $f(x)=3>0$ — cały odcinek: $(-2,2]$.
• Na $(2,4)$: $-3x+9>0 \Rightarrow x<3$ — przedział $(2,3)$.

Odpowiedź: $[-4,3)$.

4. Równanie $f(x)=3$:

• Na $[-4,-2]$: $x+5=3 \Rightarrow x=-2$ — punkt $\{-2\}$.
• Na $(-2,2]$: $f(x)=3$ dla całego przedziału $(-2,2]$.

Odpowiedź: $[-2,2]$.

Postać kanoniczna: $f(x) = a(x-p)^2+q$ z wierzchołkiem $(p,q)=(3,6)$:

$$f(x) = a(x-3)^2 + 6$$

Podstawiamy punkt $(0,3)$:

$$f(0) = a(0-3)^2 + 6 = 9a + 6 = 3$$

$$9a = -3 \Rightarrow a = -\frac{1}{3}$$

$$\boxed{f(x) = -\frac{1}{3}(x-3)^2 + 6}$$

Oś symetrii paraboli w postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ to prosta $x=p$.

Wierzchołek ma $p=3$, więc oś symetrii to $x=3$.

$$g(x) = f(x)-3 = -\tfrac{1}{3}(x-3)^2+6-3 = -\tfrac{1}{3}(x-3)^2+3$$

Miejsca zerowe: $g(x)=0$:

$$-\tfrac{1}{3}(x-3)^2+3=0 \Rightarrow (x-3)^2=9 \Rightarrow x-3=\pm3$$

$$x_1=0, \quad x_2=6$$

$$x_1+x_2 = \mathbf{6}$$

Alternatywnie: dla $g(x)=a(x-p)^2+q$ suma pierwiastków $= 2p = 2\cdot3=6$.

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ nie ma miejsca zerowego tylko gdy $a = 0$ (jest funkcją stałą różną od zera).

Warunek: $3-m=0 \Rightarrow m=3$.

Sprawdzenie: dla $m=3$: $f(x)=-4 \neq 0$ dla żadnego $x$. ✓

Oznaczenia: krawędzie z wierzchołka $A$: $AE=4$, $AB=x$, $AD=y$.

Warunek: $4 + x + y = 15$, więc $y = 11 - x$.

Dziedzina: $x > 0$ i $y = 11-x > 0$, więc $x \in (0, 11)$.

Pole całkowite:

$$S(x) = 2(AE \cdot AB + AB \cdot AD + AE \cdot AD) = 2(4x + xy + 4y)$$

Podstawiamy $y = 11-x$:

$$S(x) = 2\bigl(4x + x(11-x) + 4(11-x)\bigr) = 2\bigl(4x + 11x - x^2 + 44 - 4x\bigr)$$

$$S(x) = 2(-x^2 + 11x + 44) = -2x^2 + 22x + 88$$

Maksimum: Parabola otwarta w dół, wierzchołek w $x = -\frac{22}{2\cdot(-2)} = \frac{22}{4} = 5{,}5$.

Ponieważ $5{,}5 \in (0,11)$, maksimum osiągane dla $\boxed{x = 5{,}5}$.

Sprawdzenie: $y = 11-5{,}5 = 5{,}5$. Prostopadłościan o krawędziach $4$, $5{,}5$, $5{,}5$.