MATEMATIX

Regulamin korzystania ze strony internetowej

Obowiązuje od: 3 sierpnia 2025 r.
Podmiot prowadzący: AMKBIT Grzegorz Klekiel, ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330  ·  REGON: 021 344 565  ·  tel. +48 455 405 228  ·  e-mail: firma@amkbit.pl
Start › Klasy › Klasa 1 LO › Planimetria — zagadnienia uzupełniające

Planimetria — zagadnienia uzupełniające

Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Planimetria — zagadnienia uzupełniające (klasa 1 LO)

Kąty

Twierdzenia o kątach: przyległych, wierzchołkowych, wpisanych i środkowych.

Trójkąty

Twierdzenia sinusów i cosinusów, cechy przystawania i podobieństwa.

Pola

Wzory na pola i stosunek pól figur podobnych ($k^2$).

Okrąg

Styczna prostopadła do promienia; kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.

∑Wzory 1

Planimetria — kąt wpisany (klasa 1 LO)
$$\gamma=\frac{1}{2}\alpha$$

Co robi: kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Wniosek: kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.

🧩Quizy 1

▶Planimetria — powtórzenie8 pyt. średni

✍Zadania 36

Zadanie nr 1

Pole trójkąta o podstawie $6$ i wysokości $4$ to:

A $24$
B $12$
C $10$
D $18$
Zadanie nr 2

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne $5$ i $12$. Oblicz przeciwprostokątną.

Zadanie nr PR20.1

Wykaż, że środkowa trójkąta dzieli go na dwa trójkąty o równych polach.

Zadanie nr 3

Kąt wpisany oparty na średnicy ma miarę:

A $45^\circ$
B $60^\circ$
C $90^\circ$
D $180^\circ$
Zadanie nr PR20.2

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość równą połowie przeciwprostokątnej.

Zadanie nr 4

Oblicz pole koła o promieniu $5$.

Zadanie nr PR20.3

Punkty $M$ i $N$ są środkami boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$. Wykaż, że $MN\parallel AB$ i $|MN|=\frac12|AB|$.

Zadanie nr 5

Figury podobne mają skalę $k=3$. Jaki jest stosunek ich pól?

Zadanie nr PR20.4

Wykaż, że w każdym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków.

Zadanie nr 6

W trójkącie kąty są $40^\circ$ i $75^\circ$. Oblicz trzeci.

Zadanie nr PR20.5

W trapezie $ABCD$ ($AB\parallel CD$) dwusieczne kątów $DAB$ i $ADC$ przecinają się w punkcie $P$. Wykaż, że kąt $APD$ jest prosty.

Zadanie nr 7

Pole trójkąta $b=8$, $h=5$?

Zadanie nr PR20.6

Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta równobocznego o boku $a$. Wykaż, że suma odległości punktu $P$ od boków trójkąta jest równa wysokości tego trójkąta.

Zadanie nr 8

Przeciwprostokątna trójkąta $6,8$?

Zadanie nr PR20.7

Dany jest prostokąt $ABCD$ i dowolny punkt $P$ płaszczyzny. Wykaż, że $|PA|^2+|PC|^2=|PB|^2+|PD|^2$.

Zadanie nr 9

Kąt oparty na średnicy ma:

A $45^\circ$
B $60^\circ$
C $90^\circ$
D $120^\circ$
Zadanie nr PR20.8

Dwa okręgi przecinają się w punktach $A$ i $B$. Odcinki $AC$ i $AD$ są średnicami tych okręgów. Wykaż, że punkty $C$, $B$, $D$ leżą na jednej prostej.

Zadanie nr 10

Pole koła $r=6$?

Zadanie nr PR20.9

Pole trójkąta $ABC$ jest równe $P$. Punkty $K$, $L$, $M$ leżą odpowiednio na bokach $AB$, $BC$, $CA$, przy czym $|AK|:|KB|=|BL|:|LC|=|CM|:|MA|=1:2$. Oblicz pole trójkąta $KLM$.

Zadanie nr 11

Figury podobne, skala $k=4$. Stosunek pól?

Zadanie nr PR20.10

W trapezie $ABCD$ o podstawach $|AB|=a$ i $|CD|=b$ punkty $E$ i $F$ są środkami ramion $AD$ i $BC$. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\frac35$. Oblicz stosunek $a:b$.

Zadanie nr 12

Trzeci kąt trójkąta o kątach $55^\circ$ i $65^\circ$?

Zadanie nr 13

Twierdzenie cosinusów dla $a=b=1$, $\gamma=60^\circ$ — oblicz $c$.

Zadanie nr 14

Pole trójkąta o bokach $3,4$ i kącie prostym między nimi?

Zadanie nr 15

Obwód koła o promieniu $7$?

Zadanie nr 16

Suma kątów czworokąta:

A $180^\circ$
B $360^\circ$
C $270^\circ$
D $540^\circ$
Zadanie nr 17

Pole trójkąta z tw. sinusów: $a=4$, $b=6$, $\gamma=30^\circ$?

Zadanie nr 18

Przekątna kwadratu o boku $3$?

Zadanie nr 19

Wysokość trójkąta równobocznego o boku $4$?

Zadanie nr 20

Trójkąt o bokach $5,5,6$ — oblicz pole (wysokość do podstawy $6$).

Zadanie nr 18 · Matura 2016
Z odcinków o długościach: \(5,\;2a+1,\;a-1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że:
A \(a=6\)
B \(a=4\)
C \(a=3\)
D \(a=2\)
Zadanie nr 17 · Matura 2015
Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma \(7cm\), a drugi ma \(2cm\). Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość:
A \(12cm\)
B \(9cm\)
C \(6cm\)
D \(3cm\)
Zadanie nr 28 · Matura 2015
Dany jest kwadrat \(ABCD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Punkty \(K\) i \(M\) są środkami odcinków - odpowiednio - \(AE\) i \(EC\). Punkty \(L\) i \(N\) leżą na przekątnej \(BD\) tak, że \(|BL|=\frac{1}{3}|BE|\) i \(|DN|=\frac{1}{3}|DE|\) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta \(KLMN\) do pola kwadratu \(ABCD\) jest równy \(1:3\).



Matematyka jest prosta
Zadanie nr 21 · Matura 2014
Na planie miasta, narysowanym w skali \(1:20\;000\), park jest prostokątem o bokach \(2cm\) i \(5cm\). Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię:
A \(20\;000m^2\)
B \(40\;000m^2\)
C \(200\;000m^2\)
D \(400\;000m^2\)
Zadanie nr 17 · Matura 2011
Obwód prostokąta jest równy \(28\). Stosunek długości jego boków jest równy \(3:4\). Dłuższy bok tego prostokąta jest równy:
A \(14\)
B \(8\)
C \(7\)
D \(6\)
Zadanie nr 19 · Matura 2010
Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa:



Matematyka jest prosta
A \(3200cm^2\)
B \(6400cm^2\)
C \(1600cm^2\)
D \(800cm^2\)
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas