Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Liczba $\sqrt[3]{-27}+\sqrt[5]{-1}$ jest równa
Liczba $\dfrac{\sqrt[3]{50}\cdot\sqrt[3]{-15}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{3}}$ jest równa
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad a^0=1 \ (a\neq0)$$
Ujemny wykładnik daje ułamek, a nie liczbę ujemną: $3^{-2}=\frac19$, a nie $-9$. Dla ułamka w podstawie działa to jak odwrócenie: $\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32$.
$$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},\qquad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
Przykłady: $16^{\frac12}=4$, $8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=4$, $\left(\frac14\right)^{-\frac12}=4^{\frac12}=2$.
Praktyczna sztuczka: zamień podstawę na potęgę liczby pierwszej. $8^{\frac23}=(2^3)^{\frac23}=2^2=4$ liczy się szybciej niż przez pierwiastek.
$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$
Dodawanie i odejmowanie nie rozdziela się pod pierwiastkiem: $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$, ale $\sqrt{25}=5$.
Szukamy największego kwadratu ukrytego w liczbie:
$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2,\qquad \sqrt{18}=3\sqrt2,\qquad \sqrt{32}=4\sqrt2$$
Po sprowadzeniu do tego samego pierwiastka można dodawać: $5\sqrt2+3\sqrt2=8\sqrt2$.
Istnieją także dla liczb ujemnych: $\sqrt[3]{-27}=-3$, bo $(-3)^3=-27$. Pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.
Pojedynczy pierwiastek — mnożymy przez niego licznik i mianownik:
$$\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$
Suma lub różnica — mnożymy przez sprzężenie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:
$$\frac{4}{\sqrt5-1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{5-1}=\sqrt5+1$$
Zapis $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie $a$ — dla $a=-3$ mamy $\sqrt{9}=3$. Pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, dlatego równanie $x^2=9$ ma dwa rozwiązania, ale $\sqrt9$ oznacza tylko $3$.
Rozszerzamy ułamek przez pierwiastek lub przez wyrażenie sprzężone.
Przykład: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$, $\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Liczba $\sqrt{72}-\sqrt{8}$ jest równa
Liczba $\sqrt[3]{-\dfrac{54}{125}}\cdot\sqrt[3]{4}$ jest równa
Po usunięciu niewymierności z mianownika liczba $\dfrac{6}{\sqrt3}$ ma postać
Liczba $\sqrt{5\cdot\sqrt[3]{5}}$ jest równa
Uporządkuj rosnąco liczby $a=\sqrt[3]{3}$, $b=\sqrt{2}$, $c=\sqrt[6]{10}$.
Oblicz $8^{\frac23}$.
Ile wynosi $16^{\frac12}$?
Uprość $\sqrt{50}+\sqrt{18}$.
Usuń niewymierność z mianownika: $\frac{6}{\sqrt3}$.
Ile wynosi $\sqrt[3]{-27}$?
Usuń niewymierność z mianownika: $\frac{4}{\sqrt5-1}$.
Oblicz $\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac12}$.
Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{81}+27^{\frac13}-\log_2 16$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.