Logarytm i jego własności

Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść $2$, aby otrzymać $32$:

$$2^5=32 \quad\Rightarrow\quad \log_2 32=5$$

Odpowiedź: B.

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność:

$$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac19$$

Uwaga: ujemny wykładnik nie daje wyniku ujemnego — daje ułamek.

Odpowiedź: B. $\frac19$.

Szukamy wykładnika: $2^?=8$. Ponieważ $2^3=8$:

$$\log_2 8=3$$

Odpowiedź: B. $3$.

Metoda 1 — osobno:

$$\log_3 9=2,\qquad \log_3 27=3 \quad\Rightarrow\quad 2+3=5$$

Metoda 2 — logarytm iloczynu:

$$\log_3 9+\log_3 27=\log_3(9\cdot27)=\log_3 243=5$$

Odpowiedź: $5$.

Wykładnik wymierny $\frac{m}{n}$ oznacza pierwiastek stopnia $n$ podniesiony do potęgi $m$:

$$8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4$$

Szybciej: $8=2^3$, więc $(2^3)^{\frac23}=2^2=4$.

Odpowiedź: $4$.

Szukamy $x$ takiego, że $3^x=81$. Ponieważ $81=3^4$:

$$\log_3 81=4$$

Odpowiedź: $4$.

1. $32=2^5$, więc $\log_2 32=5$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — podzielenie $32:2$; logarytm to wykładnik, a nie iloraz.

Pierwsza potęga:

$$8^{\frac23}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$$

Szybciej: $8=2^3$, więc $(2^3)^{\frac23}=2^2=4$.

Druga potęga — ujemny wykładnik to odwrotność:

$$16^{-\frac12}=\frac{1}{16^{\frac12}}=\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac14$$

Odpowiedź: $4$ oraz $\frac14$.

Szukamy wykładnika: do której potęgi podnieść $3$, aby otrzymać $81$?

$$3^4=81 \quad\Rightarrow\quad \log_3 81=4$$

Odpowiedź: $4$.

Ponieważ $a^0=1$ dla każdego $a$:

$$\log_a 1=0$$

Odpowiedź: A. $0$.

1. $\log_3 81-\log_3 3=\log_3\dfrac{81}{3}=\log_3 27$.
2. $27=3^3$, więc wynik to $3$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — odjęte argumenty; D — policzone tylko $\log_3 81$.

Szukamy największego kwadratu w liczbie $50$:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2$$

Odpowiedź: C. $5\sqrt2\approx7{,}07$.

Wykładnik $\frac12$ to pierwiastek kwadratowy:

$$16^{\frac12}=\sqrt{16}=4$$

Pułapka: odpowiedź A ($8$) to wynik dzielenia $16:2$ — potęgowanie to inne działanie.

Odpowiedź: C. $4$.

$$\log_5 5=1 \quad (\text{bo } 5^1=5)$$

$$\log_7 1=0 \quad (\text{bo } 7^0=1)$$

Odpowiedź: $1$ oraz $0$.

1. Szukamy $c$: $9^c=3$. Ponieważ $9=3^2$, to $3^{2c}=3^1$, więc $c=\dfrac12$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D to $\log_3 9$ — odwrócona rola podstawy i argumentu.

Mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt3$:

$$\frac{6}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$

Odpowiedź: $2\sqrt3$.

Sposób 1 — osobno:

$$\log_2 8=3,\qquad \log_2 4=2,\qquad 3+2=5$$

Sposób 2 — wzór na logarytm iloczynu:

$$\log_2(8\cdot4)=\log_2 32=5$$

Odpowiedź: $5$.

Krok 1 — zapisujemy jako potęgę dwójki:

$$\frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4}$$

Krok 2 — logarytm:

$$\log_2 2^{-4}=-4$$

Odpowiedź: $-4$.

1. Podstawa i argument jako potęgi dwójki: $\sqrt2=2^{\frac12}$, $8=2^3$.
2. $\left(2^{\frac12}\right)^c=2^3 \Rightarrow \dfrac c2=3 \Rightarrow c=6$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pomnożone zamiast podzielone wykładniki ($3\cdot\tfrac12$).

Mnożymy przez sprzężenie mianownika, czyli $\sqrt5+\sqrt3$:

$$\frac{2}{\sqrt5-\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2}$$

$$=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{5-3}=\frac{2(\sqrt5+\sqrt3)}{2}=\sqrt5+\sqrt3$$

Odpowiedź: $\sqrt5+\sqrt3$.

Klucz: sprzężenie zmienia tylko znak między pierwiastkami — dzięki temu w mianowniku powstaje różnica kwadratów bez pierwiastków.

Wykładnik $-1$ oznacza odwrotność ułamka:

$$\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32$$

Odpowiedź: A. $\frac32$.

$$\log_a x+\log_a y=\log_a(xy)$$

Odpowiedź: C. $\log(xy)$.

1. $\log_4 2-\log_4 32=\log_4\dfrac{2}{32}=\log_4\dfrac1{16}$.
2. $\dfrac1{16}=4^{-2}$, więc wynik to $-2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — logarytm liczby ujemnej nie istnieje; B — zgubiony znak.

Ujemny wykładnik odwraca ułamek:

$$\left(\frac23\right)^{-2}=\left(\frac32\right)^2=\frac94$$

Odpowiedź: D. Wynik jest dodatni — ujemny wykładnik nie zmienia znaku.

Krok 1 — upraszczamy każdy pierwiastek:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

Krok 2 — dodajemy (ten sam pierwiastek $\sqrt2$):

$$5\sqrt2+3\sqrt2=8\sqrt2$$

Odpowiedź: $8\sqrt2$.

Sposób 1 — wzór na sumę:

$$\log_2 4+\log_2 8=\log_2(4\cdot8)=\log_2 32=5$$

Sposób 2 — osobno: $\log_2 4=2$, $\log_2 8=3$, razem $5$ ✔

Odpowiedź: $5$.

1. $2\log_3 6=\log_3 36$.
2. $\log_3 36-\log_3 4=\log_3 9=2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — $2\log_3 6$ potraktowane jak $\log_3 12$; C — odjęte argumenty $36-4$.

Sprowadzamy do wspólnej podstawy $2$:

$$\log_8 32=\frac{\log_2 32}{\log_2 8}=\frac{5}{3}$$

Odpowiedź: $\frac53$.

Uwaga: w liczniku jest logarytm argumentu, w mianowniku — podstawy. Odwrócenie to najczęstszy błąd.

Korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:

$$\log_5 100-\log_5 4=\log_5\frac{100}{4}=\log_5 25=2$$

Dlaczego tak: pojedyncze logarytmy nie są liczbami całkowitymi, ale ich iloraz już tak.

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — wzór na różnicę logarytmów:

$$\log_3 18-\log_3 2=\log_3\frac{18}{2}=\log_3 9$$

Krok 2 — obliczamy:

$$\log_3 9=2$$

Odpowiedź: $2$.

1. Z definicji: $x^2=49$.
2. Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od $1$, więc $x=7$ (liczba $-7$ odpada).

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pominięty warunek $x\gt 0$ dla podstawy; D — pomylona rola podstawy i argumentu.

$\sqrt{16}=4$ — liczba całkowita, więc wymierna.

$0{,}(6)=\frac23$ — ułamek okresowy zawsze da się zapisać jako iloraz liczb całkowitych.

$\frac{22}{7}$ — z definicji wymierna (to tylko przybliżenie liczby $\pi$, nie sama $\pi$).

$\sqrt7$ — nie da się zapisać jako iloraz liczb całkowitych, bo $7$ nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Odpowiedź: niewymierna jest tylko $\sqrt7$.

Każda liczba do potęgi zerowej daje $1$:

$$a^0=1 \quad\Rightarrow\quad \log_a 1=0$$

Warto też pamiętać: $\log_a a=1$.

Odpowiedź: D. $0$.

Wzór na logarytm potęgi:

$$\log_a x^n=n\log_a x$$

Odpowiedź: D. $n\log_a x$.

1. 1. $\log_2 12-\log_2 3=\log_2 4=2$ — prawda.
2. 2. $\log_5 10+\log_5 2{,}5=\log_5(10\cdot 2{,}5)=\log_5 25$, a nie $\log_5 12{,}5$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Przyjmijmy cenę początkową $100$ (dowolna wartość da ten sam wynik procentowy).

Krok 1 — podwyżka:

$$100\cdot1{,}2=120$$

Krok 2 — obniżka, liczona od nowej ceny:

$$120\cdot0{,}8=96$$

Krok 3 — porównanie:

$$\frac{96-100}{100}=-0{,}04=-4\%$$

Odpowiedź: cena spadła o $4\%$.

Ogólnie: $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$ — procenty liczone od różnych podstaw się nie znoszą.

Mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt3$:

$$\frac{6}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$

Odpowiedź: $2\sqrt3$.

$$\log_2 8^3=3\log_2 8=3\cdot3=9$$

Sprawdzenie: $8^3=512=2^9$, więc $\log_2 512=9$ ✔

Odpowiedź: $9$.

1. $40=8\cdot5$, więc $\log_2 40=\log_2 8+\log_2 5$.
2. $\log_2 8=3$, zatem $\log_2 40=3+a$.

Odpowiedź: $3+a$

Ponieważ $a^0=1$ dla każdego $a>0$, $a\ne1$:

$$\log_a 1=0$$

Odpowiedź: A. Warto też pamiętać, że $\log_a a=1$.

Pierwiastek nieparzystego stopnia istnieje także dla liczb ujemnych:

$$(-3)^3=-27 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{-27}=-3$$

Dla porównania: $\sqrt{-27}$ nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych, bo stopień jest parzysty.

Odpowiedź: B. $-3$.

$1000=10^3$, więc:

$$\log_{10} 1000=3$$

Uwaga: logarytm o podstawie $10$ nazywamy dziesiętnym i piszemy krótko $\log 1000=3$.

Odpowiedź: B. $3$.

1. Rozkładamy argument: $72=8\cdot9=2^3\cdot3^2$.
2. $\log_a 72=\log_a 2^3+\log_a 3^2=3\log_a 2+2\log_a 3$.
3. $=3\cdot0{,}3+2\cdot0{,}5=0{,}9+1=1{,}9$.

Odpowiedź: $1{,}9$

Wskazówka: Rozkład na czynniki pierwsze to klucz do każdego logarytmu „z danymi”.

$$\sqrt2\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6$$

$$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}=6$$

Odpowiedź: w obu przypadkach $6$.

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy — podstawy „skracają się jak ogniwa łańcucha”:

$$\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$$

$$\log_2 5\cdot\log_5 32=\log_2 32=5$$

Odpowiedź: $5$.

Krok 1 — łączymy w jeden logarytm iloczynu:

$$\log_2\left(3\cdot\frac{4}{3}\cdot2\right)$$

Krok 2 — upraszczamy iloczyn:

$$3\cdot\frac{4}{3}\cdot2=4\cdot2=8$$

Krok 3 — obliczamy:

$$\log_2 8=3$$

Odpowiedź: $3$.

Liczymy każdy składnik osobno:

$$\log_2 8=3 \qquad (2^3=8)$$

$$\log_3 \tfrac19=-2 \qquad (3^{-2}=\tfrac19)$$

$$\log_5 1=0$$

Suma:

$$3+(-2)-0=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — nawias (dodajemy wykładniki):

$$2^{3-5}=2^{-2}$$

Krok 2 — potęga potęgi (mnożymy wykładniki):

$$\left(2^{-2}\right)^2=2^{-4}=\frac{1}{16}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{16}$.

Z definicji logarytmu:

$$\log_2 x=5 \iff x=2^5=32$$

Odpowiedź: $x=32$.

Licznik — przy mnożeniu wykładniki dodajemy:

$$2^7\cdot2^{-3}=2^{7-3}=2^4$$

Dzielenie — wykładniki odejmujemy:

$$\frac{2^4}{2^2}=2^{2}=4$$

Odpowiedź: $2^2=4$.

Szukamy wykładnika dla podstawy $10$:

$$10^{-2}=\frac{1}{100}=0{,}01 \quad\Rightarrow\quad \log_{10} 0{,}01=-2$$

Reguła: logarytm liczby mniejszej od $1$ (przy podstawie $>1$) jest ujemny.

Odpowiedź: C. $-2$.

Szukamy $x$: $4^x=2$. Ponieważ $4^{1/2}=\sqrt4=2$:

$$\log_4 2=\frac12$$

Odpowiedź: A. $\frac12$.

Krok 1 — uprość każdy pierwiastek:

$$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3$$

$$\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt3$$

Krok 2 — dodaj wyrazy podobne:

$$2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3$$

Wniosek: $\sqrt{12}+\sqrt{27}=5\sqrt3$. ∎

Uwaga: nie wolno napisać $\sqrt{12}+\sqrt{27}=\sqrt{39}$ — pierwiastek sumy nie równa się sumie pierwiastków.

Krok 1 — obliczamy każdy logarytm:

$$\log_3 27=3 \quad (\text{bo } 3^3=27)$$

$$\log_3\frac19=-2 \quad (\text{bo } 3^{-2}=\tfrac19)$$

Krok 2 — dodajemy:

$$3+(-2)=1$$

Sprawdzenie wzorem: $\log_3\left(27\cdot\frac19\right)=\log_3 3=1$ ✔

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — zamieniamy na postać wykładniczą:

$$x+1=3^2=9$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x=8$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę. Argument musi być dodatni: $x+1=9>0$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

$$\frac13=0{,}333\ldots=0{,}(3)$$

Odpowiedź: B. Każda liczba wymierna ma rozwinięcie skończone albo nieskończone okresowe. Rozwinięcie nieskończone nieokresowe mają wyłącznie liczby niewymierne, np. $\pi$ czy $\sqrt2$.

Wzór na logarytm potęgi — wykładnik wychodzi przed logarytm:

$$\log_a x^n=n\log_a x$$

Sprawdzenie dla $a=2$, $x=4$: $\log_2 64=6$ oraz $3\log_2 4=3\cdot2=6$ ✔

Odpowiedź: A. $3\log_a x$.

Wzór na logarytm potęgi „w drugą stronę”:

$$2\log_5 3=\log_5 3^2=\log_5 9$$

Odpowiedź: C. $\log_5 9$.

Kapitał po $n$ latach: $K_n=5000\cdot1{,}03^n$.

Po 3 latach:

$$5000\cdot1{,}0927\approx5463{,}50\ \text{zł} \quad<5500$$

Po 4 latach:

$$5000\cdot1{,}1255\approx5627{,}50\ \text{zł} \quad>5500$$

Odpowiedź: po $4$ latach.

Mnożymy przez sprzężenie mianownika, czyli $\sqrt5+1$:

$$\frac{4}{\sqrt5-1}\cdot\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5+1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{(\sqrt5)^2-1^2}$$

Mianownik upraszcza się ze wzoru na różnicę kwadratów:

$$=\frac{4(\sqrt5+1)}{5-1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{4}=\sqrt5+1$$

Odpowiedź: $\sqrt5+1\approx3{,}24$.

$\log 8$ — potęga dwójki:

$$\log 8=\log 2^3=3\log 2\approx3\cdot0{,}301=0{,}903$$

$\log 5$ — sprytnie przez $\frac{10}{2}$:

$$\log 5=\log\frac{10}{2}=\log 10-\log 2\approx1-0{,}301=0{,}699$$

Metoda. Trudne logarytmy sprowadzamy do znanych, korzystając z własności działań.

Odpowiedź: $\log 8\approx0{,}903$, $\log 5\approx0{,}699$.

$$\sqrt[3]{-27}=-3 \qquad ((-3)^3=-27)$$

$$\sqrt{81}=9$$

$$-3+9=6$$

Odpowiedź: $6$.

Różnica: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, kwadratowy nie.

Krok 1 — ujemny wykładnik oznacza odwrotność podstawy:

$$\left(\frac14\right)^{-\frac12}=4^{\frac12}$$

Krok 2 — wykładnik $\frac12$ to pierwiastek kwadratowy:

$$4^{\frac12}=\sqrt4=2$$

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — dziedzina. Oba argumenty dodatnie: $x>0$ oraz $x-2>0$, czyli $x>2$.

Krok 2 — łączymy logarytmy:

$$\log_2\bigl(x(x-2)\bigr)=3$$

Krok 3 — postać wykładnicza:

$$x(x-2)=2^3=8 \quad\Rightarrow\quad x^2-2x-8=0$$

Krok 4 — rozwiązujemy: $\Delta=4+32=36$, $x=\frac{2\pm6}{2}$, więc $x=4$ lub $x=-2$.

Krok 5 — odrzucamy $x=-2$ (poza dziedziną $x>2$).

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — zapis zależności:

$$x=0{,}4y,\qquad y=1{,}5z$$

Krok 2 — podstawienie:

$$x=0{,}4\cdot1{,}5z=0{,}6z$$

Odpowiedź: $x$ stanowi $60\%$ liczby $z$.

Uwaga: procenty mnożymy, a nie dodajemy — $40\%+150\%$ nie ma tu sensu.

Krok 1 — dziedzina: $x>0$.

Krok 2 — przechodzimy na postać wykładniczą. Zapis $\log_2 x=5$ oznacza $x=2^5$:

$$x=32$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $32>0$ ✔

Odpowiedź: $x=32$.

Krok 1 — łączymy w logarytm iloczynu:

$$\log_6 4+\log_6 9=\log_6(4\cdot9)=\log_6 36$$

Krok 2 — obliczamy ($36=6^2$):

$$\log_6 36=2$$

Ładne rozwiązanie. Choć $\log_6 4$ i $\log_6 9$ osobno nie są „ładne”, ich suma jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — rozbijamy logarytm iloczynu:

$$\log_2(4a)=\log_2 4+\log_2 a$$

Krok 2 — obliczamy składniki:

$$\log_2 4=2,\qquad \log_2 a=3\ \text{(z założenia)}$$

Krok 3 — suma:

$$\log_2(4a)=2+3=5$$ ∎

Sprawdzenie liczbowe: z $\log_2 a=3$ wynika $a=8$, więc $4a=32$, a $\log_2 32=5$. ✔

Liczymy każdy składnik osobno.

Pierwiastek:

$$\sqrt{81}=9$$

Potęga wymierna (pierwiastek sześcienny):

$$27^{\frac13}=\sqrt[3]{27}=3$$

Logarytm:

$$\log_2 16=4 \quad (\text{bo } 2^4=16)$$

Składamy:

$$9+3-4=8$$

Odpowiedź: $8$.

Krok 1 — wzór na zamianę podstawy. Zapiszmy oba logarytmy w podstawie $a$:

$$\log_b a=\frac{\log_a a}{\log_a b}=\frac{1}{\log_a b}$$

Krok 2 — mnożymy:

$$\log_a b\cdot\log_b a=\log_a b\cdot\frac{1}{\log_a b}=1 \qquad ∎$$

Wniosek. Logarytmy o „zamienionych” podstawie i argumencie są swoimi odwrotnościami.

Sprawdzenie: $\log_2 8\cdot\log_8 2=3\cdot\frac13=1$ ✔

Rozwiązanie

$\log_8 4-\log_8 32=\log_8\tfrac{4}{32}=\log_8\tfrac18=\log_8 8^{-1}=-1$.

Odpowiedź: B

Krok 1. Zastosowanie wzoru na różnicę logarytmów.
Korzystając z własności działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$\log_{8}4-\log_{8}32=\log_{8}\left(\frac{4}{32}\right)=\log_{8}\left(\frac{1}{8}\right)$$

Krok 2. Obliczenie wartości logarytmu.
Musimy jeszcze obliczyć wartość otrzymanego logarytmu. Mówiąc bardziej obrazowo, szukamy potęgi, do której należy podnieść \(8\), aby otrzymać \(\frac{1}{8}\), a skoro \(8^{-1}=\frac{1}{8}\), to w takim razie \(\log_{8}(\frac{1}{8})=-1\)

$\log_{8}4+\log_{8}32-\log_{8}2=\log_{8}\dfrac{4\cdot 32}{2}=\log_{8}64=2$ (bo $8^{2}=64$).

Odpowiedź: B.

$\log_{8}\sqrt[5]{2}=\log_{8}2^{\frac{1}{5}}=\dfrac{1}{5}\log_{8}2$. Ponieważ $8=2^{3}$, to $\log_{8}2=\dfrac{1}{3}$.

Zatem $\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{15}$.

Odpowiedź: A.

$2\log_{3}2=\log_{3}2^{2}=\log_{3}4$, zatem $\log_{3}108-\log_{3}4=\log_{3}\dfrac{108}{4}=\log_{3}27=3$.

Odpowiedź: A.

Rozwiązanie

$\log_{\sqrt3}9=\log_{3^{1/2}}3^2=\dfrac{2}{1/2}=4$.

Odpowiedź: C

Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:

$$log_{\sqrt{3}}9=x \quad\Longleftrightarrow\quad (\sqrt{3})^x=9$$

Wiedząc, że \(\sqrt{3}=3^\frac{1}{2}\) oraz \(9=3^2\), otrzymamy:
$$\left(3^\frac{1}{2}\right)^x=3^2 \\
3^{\frac{1}{2}x}=3^2 \\
\frac{1}{2}x=2 \\
x=4$$