Interpretacja geometryczna układu równań liniowych

Współczynniki przy $y$ są przeciwne, więc najszybciej dodać równania stronami:

$$(x+y)+(x-y)=7+1 \quad\Rightarrow\quad 2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Podstawiamy $x=4$ do pierwszego równania:

$$4+y=7 \quad\Rightarrow\quad y=3$$

Sprawdzenie w obu równaniach: $4+3=7$ ✔ oraz $4-3=1$ ✔

Odpowiedź: B. $x=4$, $y=3$.

Krok 1. Pierwsze równanie już podaje $y$, więc wstawiamy je do drugiego:

$$3x+(2x-1)=9$$

Krok 2 — redukujemy wyrazy podobne:

$$5x-1=9 \quad\Rightarrow\quad 5x=10 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3 — wracamy po $y$:

$$y=2\cdot2-1=3$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $3\cdot2+3=9$ ✔

Odpowiedź: $x=2$, $y=3$.

1. Dodajemy równania stronami: $2x=10 \Rightarrow x=5$.
2. $y=7-5=2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B i D spełniają tylko pierwsze równanie; C — tylko pierwsze ($4-3\ne3$).

Krok 1. Przy $y$ stoją już współczynniki przeciwne ($+3$ i $-3$), więc dodajemy równania stronami:

$$6x=18 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 2 — podstawiamy do pierwszego równania:

$$2\cdot3+3y=12 \quad\Rightarrow\quad 3y=6 \quad\Rightarrow\quad y=2$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $4\cdot3-3\cdot2=12-6=6$ ✔

Odpowiedź: $x=3$, $y=2$.

1. Z pierwszego: $y=5-2x$.
2. $3x-2(5-2x)=4 \Rightarrow 7x-10=4 \Rightarrow x=2$, $y=1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B i C spełniają tylko pierwsze równanie — zawsze sprawdzaj oba.

Drugie równanie to pierwsze pomnożone przez $2$ — obie proste to ta sama prosta.

$$2x+2y=8 \quad\Longleftrightarrow\quad x+y=4$$

Każdy punkt tej prostej spełnia oba równania, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele. Taki układ nazywamy nieoznaczonym.

Jak to rozpoznać rachunkowo: po odjęciu równań otrzymamy tożsamość $0=0$.

Odpowiedź: C.

1. Podstawiamy $y$: $4x-2(2x-1)=2 \Rightarrow 2=2$ — tożsamość.
2. Oba równania opisują tę samą prostą, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? D — układ równań liniowych nigdy nie ma dokładnie dwóch rozwiązań.

Ta sama suma $x+y$ nie może być jednocześnie równa $3$ i $5$.

Odejmując równania stronami, otrzymujemy sprzeczność:

$$0=2$$

Geometrycznie: obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy, ale różne wyrazy wolne — są równoległe i różne, więc nie mają punktu wspólnego. Taki układ nazywamy sprzecznym.

Odpowiedź: A.

1. Proste $y=-x+3$ i $y=-x-1$ mają ten sam współczynnik kierunkowy $-1$ i różne wyrazy wolne.
2. Są więc równoległe i różne — układ jest sprzeczny.

Odpowiedź: B

Krok 1 — dobieramy mnożnik. Aby współczynniki przy $y$ były przeciwne, mnożymy pierwsze równanie przez $2$:

$$6x+4y=32$$

Krok 2 — dodajemy do drugiego równania:

$$(6x+4y)+(5x-4y)=32+(-10) \quad\Rightarrow\quad 11x=22 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3 — wyznaczamy $y$:

$$3\cdot2+2y=16 \quad\Rightarrow\quad 2y=10 \quad\Rightarrow\quad y=5$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $5\cdot2-4\cdot5=10-20=-10$ ✔

Odpowiedź: $x=2$, $y=5$.

1. Brak rozwiązań ⇔ proste równoległe i różne: $1\cdot a-2\cdot2=0 \Rightarrow a=4$.
2. Dla $a=4$: drugie równanie to $x+2y=\tfrac12$, a pierwsze $x+2y=4$ — sprzeczność ✓.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — dla $a=2$ proste się przecinają (współczynniki nie są proporcjonalne).

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ będzie większą, a $y$ mniejszą liczbą.

$$\begin{cases} x+y=30 \\ x-y=8 \end{cases}$$

Krok 2 — dodajemy równania stronami:

$$2x=38 \quad\Rightarrow\quad x=19$$

Krok 3 — wyznaczamy drugą liczbę:

$$19+y=30 \quad\Rightarrow\quad y=11$$

Sprawdzenie: $19+11=30$ ✔ oraz $19-11=8$ ✔

Odpowiedź: liczby to $19$ i $11$.

1. Łącznie: $x+y=1500$.
2. Zostało: w pierwszym $0{,}8x$, w drugim $0{,}9y$; w drugim o $350$ mniej: $0{,}9y=0{,}8x-350$.
3. (Rozwiązanie: $x=1000$, $y=500$; sprawdzenie: $800-450=350$ ✓.)

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — porównano ilości sprzedane, a nie pozostałe; C — zamienione procenty; D — „o 350 mniej” zapisane jak „więcej”.

W punkcie przecięcia obie proste mają tę samą wartość $y$, więc przyrównujemy prawe strony:

$$2x+1=-x+7$$

Porządkujemy równanie:

$$3x=6 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Obliczamy $y$:

$$y=2\cdot2+1=5$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $-2+7=5$ ✔

Odpowiedź: D. $(2,\,5)$.

1. $d$ — cena długopisu, $z$ — zeszytu: $\begin{cases}3d+2z=17\\ 2d+5z=26\end{cases}$
2. Mnożymy: pierwsze przez $2$, drugie przez $3$: $6d+4z=34$, $6d+15z=78$.
3. Odejmujemy: $11z=44 \Rightarrow z=4$; $3d=17-8 \Rightarrow d=3$.

Odpowiedź: długopis $3$ zł, zeszyt $4$ zł

Krok 1 — oznaczenia. Niech $z$ to cena zeszytu, a $d$ cena długopisu:

$$\begin{cases} 3z+2d=18 \\ 2z+5d=23 \end{cases}$$

Krok 2 — mnożymy tak, aby wyeliminować $z$. Pierwsze przez $2$, drugie przez $3$:

$$\begin{cases} 6z+4d=36 \\ 6z+15d=69 \end{cases}$$

Krok 3 — odejmujemy stronami (znika $z$):

$$11d=33 \quad\Rightarrow\quad d=3$$

Krok 4 — cena zeszytu. Podstawiamy $d=3$ do pierwszego równania:

$$3z+2\cdot3=18 \quad\Rightarrow\quad 3z=12 \quad\Rightarrow\quad z=4$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $2\cdot4+5\cdot3=8+15=23$ ✔

Odpowiedź: zeszyt kosztuje $4$ zł, a długopis $3$ zł.

1. $\begin{cases}a+b=40\\ a-b=8\end{cases} \Rightarrow 2a=48$, $a=24$, $b=16$.
2. 1. Większa liczba to $24$ — prawda.
3. 2. Iloczyn: $24\cdot16=384\ne400$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Krok 1 — oznaczenia. Niech $ch$ to liczba chłopców, a $dz$ liczba dziewcząt:

$$\begin{cases} ch+dz=28 \\ dz=ch+4 \end{cases}$$

Krok 2 — podstawiamy drugie równanie do pierwszego:

$$ch+(ch+4)=28 \quad\Rightarrow\quad 2ch+4=28 \quad\Rightarrow\quad 2ch=24 \quad\Rightarrow\quad ch=12$$

Krok 3 — liczba dziewcząt:

$$dz=12+4=16$$

Sprawdzenie: $12+16=28$ ✔, a różnica $16-12=4$ ✔

Kontrola sensu: obie liczby są całkowite i dodatnie, więc wynik ma sens.

Odpowiedź: $12$ chłopców i $16$ dziewcząt.

1. $n$ — bilety normalne, $u$ — ulgowe: $\begin{cases}n+u=200\\ 40n+25u=6800\end{cases}$
2. $u=200-n$: $40n+5000-25n=6800 \Rightarrow 15n=1800 \Rightarrow n=120$, $u=80$.
3. Sprawdzenie: $4800+2000=6800$ ✓.

Odpowiedź: $120$ normalnych i $80$ ulgowych

Aby oba równania opisywały tę samą prostą, drugie musi być pierwszym pomnożonym przez tę samą liczbę.

Lewa strona drugiego równania to lewa strona pierwszego pomnożona przez $2$:

$$2x+2y=2(x+y)$$

Zatem prawa strona też musi być pomnożona przez $2$:

$$m=2\cdot5=10$$

Dla porównania: przy każdym innym $m$ proste są równoległe i różne, więc układ jest sprzeczny.

Odpowiedź: B. $m=10$.

1. $v$ — prędkość (km/h), $t$ — czas (h): $\begin{cases}v\cdot t=240\\ (v+20)(t-1)=240\end{cases}$
2. Rozwijamy drugie: $vt-v+20t-20=240 \Rightarrow 240-v+20t-20=240 \Rightarrow v=20t-20$.
3. Podstawiamy do $vt=240$: $(20t-20)t=240 \Rightarrow t^2-t-12=0 \Rightarrow (t-4)(t+3)=0$.
4. $t\gt 0$, więc $t=4$ h i $v=60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$. Sprawdzenie: $80\cdot3=240$ ✓.

Odpowiedź: $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Krok 1 — pozbywamy się ułamków. Mnożymy pierwsze równanie przez $6$ (wspólny mianownik):

$$3x+2y=24$$

Krok 2 — z drugiego równania wyznaczamy $x$:

$$x=y+2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$3(y+2)+2y=24 \quad\Rightarrow\quad 3y+6+2y=24 \quad\Rightarrow\quad 5y=18 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{18}{5}$$

Krok 4 — wyznaczamy $x$:

$$x=\frac{18}{5}+2=\frac{28}{5}$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $\frac{28}{5}-\frac{18}{5}=\frac{10}{5}=2$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{28}{5}=5{,}6$, $y=\frac{18}{5}=3{,}6$.

Rozwiązaniem układu jest punkt wspólny prostych. Brak rozwiązań oznacza brak punktu wspólnego, a to zdarza się tylko dla prostych równoległych i różnych.

Pełne zestawienie:

• jedno rozwiązanie — proste przecinają się (układ oznaczony)
• brak rozwiązań — proste równoległe różne (układ sprzeczny)
• nieskończenie wiele — proste pokrywają się (układ nieoznaczony)

Odpowiedź: A.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $v$ to prędkość własna motorówki, a $p$ prędkość prądu.

Z prądem prędkości się dodają, pod prąd — odejmują:

$$\begin{cases} (v+p)\cdot2=30 \\ (v-p)\cdot3=30 \end{cases}$$

Krok 2 — upraszczamy oba równania:

$$\begin{cases} v+p=15 \\ v-p=10 \end{cases}$$

Krok 3 — dodajemy stronami:

$$2v=25 \quad\Rightarrow\quad v=12{,}5$$

Krok 4 — prędkość prądu:

$$12{,}5+p=15 \quad\Rightarrow\quad p=2{,}5$$

Sprawdzenie: z prądem $15$ km/h przez $2$ h to $30$ km ✔, pod prąd $10$ km/h przez $3$ h to $30$ km ✔

Odpowiedź: prędkość własna $12{,}5$ km/h, prędkość prądu $2{,}5$ km/h.

Krok 1 — podstawiamy oba punkty do wzoru prostej:

$$\begin{cases} 5=a+b \\ 11=3a+b \end{cases}$$

Krok 2 — odejmujemy pierwsze od drugiego (znika $b$):

$$6=2a \quad\Rightarrow\quad a=3$$

Krok 3 — wyznaczamy $b$:

$$5=3+b \quad\Rightarrow\quad b=2$$

Sprawdzenie dla punktu $B$: $3\cdot3+2=11$ ✔

Odpowiedź: $a=3$, $b=2$, czyli prosta ma równanie $y=3x+2$.

Metoda 1 — rozwiązanie układu. Z pierwszego równania $y=2x-1$. Podstawiamy:

$$x+2(2x-1)=8 \quad\Rightarrow\quad 5x-2=8 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Stąd $y=2\cdot2-1=3$.

Metoda 2 — sprawdzenie odpowiedzi. Dla $x=2$, $y=3$: $2\cdot2-3=1$ ✔ oraz $2+2\cdot3=8$ ✔

Uwaga: para musi spełniać oba równania. Odpowiedź A spełnia pierwsze ($2-1=1$), ale nie drugie ($1+2=3\neq8$).

Odpowiedź: C. $x=2$, $y=3$.

Krok 1 — układamy układ:

$$\begin{cases} 4x+3y=97 \\ 2x+5y=87 \end{cases}$$

Krok 2 — mnożymy drugie równanie przez $2$, aby zrównać współczynniki przy $x$:

$$4x+10y=174$$

Krok 3 — odejmujemy od niego pierwsze równanie (znika $x$):

$$(4x+10y)-(4x+3y)=174-97 \quad\Rightarrow\quad 7y=77 \quad\Rightarrow\quad y=11$$

Krok 4 — cena biletu normalnego:

$$4x+3\cdot11=97 \quad\Rightarrow\quad 4x=97-33=64 \quad\Rightarrow\quad x=16$$

Sprawdzenie w drugim równaniu: $2\cdot16+5\cdot11=32+55=87$ ✔

Odpowiedź: bilet normalny kosztuje $16$ zł, a ulgowy $11$ zł.

Krok 1 — przekształcamy drugie równanie do postaci kierunkowej:

$$2y=x+6 \quad\Rightarrow\quad y=\frac12 x+3$$

Krok 2 — porównujemy z pierwszym równaniem. Oba opisują dokładnie tę samą prostą.

Wniosek: układ ma nieskończenie wiele rozwiązań — jest nieoznaczony. Rozwiązaniem jest każda para postaci:

$$\left(x,\ \tfrac12 x+3\right) \qquad \text{dla dowolnego } x\in\mathbb{R}$$

Interpretacja geometryczna: proste się pokrywają, więc mają nieskończenie wiele punktów wspólnych.

Odpowiedź: nieskończenie wiele rozwiązań; proste pokrywają się.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $a$ to dłuższy, a $b$ krótszy bok:

$$\begin{cases} 2a+2b=34 \\ a=b+5 \end{cases}$$

Krok 2 — upraszczamy pierwsze równanie (dzielimy przez $2$):

$$a+b=17$$

Krok 3 — podstawiamy $a=b+5$:

$$(b+5)+b=17 \quad\Rightarrow\quad 2b=12 \quad\Rightarrow\quad b=6$$

Krok 4 — drugi bok:

$$a=6+5=11$$

Krok 5 — pole:

$$P=11\cdot6=66$$

Sprawdzenie obwodu: $2\cdot11+2\cdot6=22+12=34$ cm ✔

Odpowiedź: boki $11$ cm i $6$ cm, pole $66$ cm$^2$.

Krok 1 — bilans objętości:

$$x+y=12$$

Krok 2 — bilans zawartości owoców. Liczymy „czyste owoce” w każdym składniku:

$$0{,}2x+0{,}5y=0{,}3\cdot12=3{,}6$$

Krok 3 — z pierwszego równania $y=12-x$, podstawiamy:

$$0{,}2x+0{,}5(12-x)=3{,}6$$

$$0{,}2x+6-0{,}5x=3{,}6 \quad\Rightarrow\quad -0{,}3x=-2{,}4 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Krok 4 — druga objętość:

$$y=12-8=4$$

Sprawdzenie zawartości: $0{,}2\cdot8+0{,}5\cdot4=1{,}6+2=3{,}6$ litra owoców, czyli $\frac{3{,}6}{12}=30\%$ ✔

Kontrola sensu: wynik $30\%$ leży między $20\%$ a $50\%$, bliżej dolnej wartości — i rzeczywiście słabszego soku wzięliśmy więcej.

Odpowiedź: $8$ litrów soku $20\%$ i $4$ litry soku $50\%$.

Rozwiązanie

Proste są równoległe (ten sam współczynnik kierunkowy) i malejące (ujemny), o wyrazach wolnych $3$ i $-1$. Pasuje $y=-\tfrac32x+3$ oraz $y=-\tfrac32x-1$.

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Prosta malejąca: $y=-x+2$ (wyraz wolny $2$). Prosta rosnąca: $y=2x-1$ (wyraz wolny $-1$). Sprawdzenie: $-x+2=2x-1\Rightarrow x=1,\ y=1$.

Odpowiedź: D