Długość okręgu. Liczba pi

Krok 1. Zapisanie wzorów na obwód koła.
Standardowo obwód koła obliczamy ze wzoru \(Obw=2πr\). W tym zadaniu skorzystamy z jednej z odmian tego wzoru, bo operować będziemy na długościach średnicy, a nie długości promienia. Skoro każdy promień ma długość \(2r\), to wzór na obwód koła możemy zapisać jako \(Obw=πd\) (gdzie \(d\) to długość średnicy).

Podstawmy zatem do tego wzoru poszczególne długości średnic. Suma obwodów kół o średnicach \(a\) oraz \(b\) będzie równa:
$$Obw_{a+b}=πa+πb=π(a+b)$$

Suma obwodu koła o średnicy \(c\) będzie równa:
$$Obw_{c}=πc$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Jedną z własności trójkątów jest to, że suma długości dwóch krótszych boków musi być większa od długości najdłuższego boku (w przeciwnym wypadku nie da się stworzyć trójkąta). Możemy więc powiedzieć, że z własności trójkątów wynika, że \(a+b\gt c\). To właśnie dlatego \(π(a+b)\) jest większe od \(πc\), co należało udowodnić.

Przyjmując przybliżenie \(n\approx3,14\) możemy zapisać, że:
$$n\lt2π-1$$ $$n\lt2\cdot3,14-1$$ $$n\lt6,28-1$$ $$n\lt5,28$$

Największą liczbą naturalną spełniającą tę nierówność jest \(5\).

Aby rozwiązać to zadanie wystarczy podstawić pod wartość \(x\) przybliżoną wartość \(π=3,14\) i sprawdzić w ten sposób która nierówność jest prawdziwa.

Odp. A.
\(|3,14+1|=|4,14|=4,14\)
Odrzucamy tę odpowiedź, bo \(4,14\lt5\)

Odp. B.
\(|3,14-1|=|2,14|=2,14\)
Odrzucamy tę odpowiedź, bo \(2,14\gt2\)

Odp. C.
\(|3,14+\frac{2}{3}|\approx|3,14+0,67|=|3,81|=3,81\)
To prawidłowa odpowiedź, bo \(3,81\le4\)

Odp. D.
\(|3,14-\frac{1}{3}|\approx|3,14-0,33|=|2,81|=2,81\)
Odrzucamy tę odpowiedź, bo \(2,81\le3\)