Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$$\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\cos 2\alpha.$$

Dla $\alpha=165^\circ$ otrzymujemy

$$\cos^{2}165^\circ-\sin^{2}165^\circ=\cos 330^\circ.$$

Kąt $330^\circ$ leży w IV ćwiartce, gdzie cosinus jest dodatni, a jego kąt odniesienia to $360^\circ-330^\circ=30^\circ$:

$$\cos 330^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Odpowiedź: D

Krok 1. Odczyt z wykresu. Funkcja przyjmuje wartość $1$ na całych przedziałach, a „wgłębienia" są wyśrodkowane w punktach $-3\pi,\,-\pi,\,\pi,\,3\pi$, czyli tam, gdzie $\cos x=-1$. Najmniejsza wartość to około $\frac13$.

Krok 2. Sprawdzenie wzoru C. Rozpatrzmy $f(x)=\frac{|\cos x|-2}{\cos x-2}$.

Gdy $\cos x\ge 0$, to $|\cos x|=\cos x$, więc

$$f(x)=\frac{\cos x-2}{\cos x-2}=1.$$

Gdy $\cos x<0$, to $|\cos x|=-\cos x$, więc

$$f(x)=\frac{-\cos x-2}{\cos x-2}.$$

Krok 3. Minimum. Dla $\cos x=-1$ (czyli $x=\pi+2k\pi$):

$$f(x)=\frac{1-2}{-1-2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}.$$

To dokładnie zgadza się z wykresem: wartość $1$ tam, gdzie $\cos x\ge0$, oraz wgłębienie sięgające $\frac13$ w punktach $x=\pm\pi,\pm3\pi$.

Uwaga: mianownik $\cos x-2$ nigdy nie jest zerem, bo $\cos x\le 1<2$, więc funkcja jest określona dla każdego $x$.

Odpowiedź: C

Stosujemy uzupełnienie do kwadratu, dodając i odejmując $18x^{2}$:

$$x^{4}+81=x^{4}+18x^{2}+81-18x^{2}=\left(x^{2}+9\right)^{2}-18x^{2}.$$

Zauważmy, że $18x^{2}=\left(3\sqrt{2}\,x\right)^{2}$, więc możemy użyć wzoru na różnicę kwadratów:

$$x^{4}+81=\left(x^{2}+9\right)^{2}-\left(3\sqrt{2}\,x\right)^{2}=\left(x^{2}+9-3\sqrt{2}\,x\right)\left(x^{2}+9+3\sqrt{2}\,x\right).$$

Zatem $W(x)$ jest podzielny przez $x^{2}-3\sqrt{2}\,x+9$.

Dlaczego nie pozostałe: $W(3)=81+81=162\neq0$, więc $x-3$ odpada; $x^{2}+9$ nie jest dzielnikiem, bo $\left(x^{2}+9\right)^{2}-18x^{2}$ nie dzieli się przez $x^{2}+9$; wariant D ma wyraz wolny $-9$, a w rozkładzie występuje $+9$.

Odpowiedź: C

Przekształcamy równanie do postaci

$$|x-4|=-3x.$$

Krok 1. Warunek konieczny. Wartość bezwzględna jest nieujemna, więc musi być $-3x\ge 0$, czyli $x\le 0$.

Krok 2. Opuszczenie wartości bezwzględnej. Skoro $x\le 0$, to $x-4<0$, zatem $|x-4|=4-x$:

$$4-x=-3x\ \Longrightarrow\ 4=-2x\ \Longrightarrow\ x=-2.$$

Krok 3. Sprawdzenie. $x=-2$ spełnia warunek $x\le0$. Podstawiamy do równania wyjściowego:

$$3\cdot(-2)+|-2-4|=-6+6=0.$$

Równanie ma dokładnie jeden pierwiastek.

Odpowiedź: B

Krok 1. Rozwinięcie licznika.

$$(3n+2)^2=9n^2+12n+4,\qquad (1-2n)^2=4n^2-4n+1.$$

$$(3n+2)^2-(1-2n)^2=9n^2+12n+4-4n^2+4n-1=5n^2+16n+3.$$

Krok 2. Rozwinięcie mianownika.

$$(2n-1)^2=4n^2-4n+1.$$

Krok 3. Granica. Licznik i mianownik są wielomianami stopnia drugiego, więc dzielimy oba przez $n^2$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{5+\frac{16}{n}+\frac{3}{n^2}}{4-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}=\frac{5}{4}.$$

Krok 4. Rozwinięcie dziesiętne.

$$\frac{5}{4}=1{,}25.$$

Cyfra jedności to $1$, a pierwsze dwie cyfry po przecinku to $2$ i $5$.

Odpowiedź: 1 2 5

Krok 1. Rozbicie liczby 18. Ponieważ $18=2\cdot 3^{2}$, korzystamy z własności logarytmu iloczynu i potęgi:

$$c=\log_{2}18=\log_{2}\left(2\cdot 3^{2}\right)=\log_{2}2+\log_{2}3^{2}=1+2\log_{2}3.$$

Krok 2. Wyznaczenie $\log_{2}3$.

$$2\log_{2}3=c-1\ \Longrightarrow\ \log_{2}3=\frac{c-1}{2}.$$

Krok 3. Przejście do $\log_{3}4$. Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy oraz $4=2^{2}$:

$$\log_{3}4=\log_{3}2^{2}=2\log_{3}2=\frac{2}{\log_{2}3}.$$

Krok 4. Podstawienie.

$$\log_{3}4=\frac{2}{\frac{c-1}{2}}=\frac{4}{c-1},$$

co należało wykazać. $\blacksquare$

Uwaga: $\log_{2}3>0$, więc $c=1+2\log_{2}3>1$ i mianownik $c-1$ jest różny od zera.

Krok 1. Dziedzina. Mianowniki nie mogą być zerami, więc $x\neq 1$ oraz $x\neq 0$.

Krok 2. Przeniesienie na jedną stronę.

$$\frac{2x-1}{1-x}-\frac{2+2x}{5x}\le 0.$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika $5x(1-x)$:

$$\frac{5x(2x-1)-(2+2x)(1-x)}{5x(1-x)}\le 0.$$

Krok 3. Uproszczenie licznika.

$$5x(2x-1)=10x^{2}-5x,\qquad (2+2x)(1-x)=2-2x^{2}.$$

$$10x^{2}-5x-\left(2-2x^{2}\right)=12x^{2}-5x-2=(3x-2)(4x+1).$$

Krok 4. Postać iloczynowa. Ponieważ $5x(1-x)=-5x(x-1)$, nierówność

$$\frac{(3x-2)(4x+1)}{-5x(x-1)}\le 0$$

jest równoważna (po pomnożeniu przez $-5$, co odwraca znak)

$$(3x-2)(4x+1)\cdot x\cdot(x-1)\ge 0,\qquad x\neq0,\ x\neq1.$$

Krok 5. Analiza znaku. Miejsca zerowe: $-\frac14,\ 0,\ \frac23,\ 1$. Współczynnik wiodący iloczynu jest dodatni ($3\cdot4=12$), więc znaki od prawej to $+,\,-,\,+,\,-,\,+$.

Iloczyn jest nieujemny na $\left(-\infty,-\frac14\right\rangle\cup\left(0,\frac23\right\rangle\cup(1,+\infty)$ — punkty $0$ i $1$ wykluczamy jako spoza dziedziny, a $-\frac14$ i $\frac23$ włączamy, bo nierówność jest nieostra.

Kontrola punktami: dla $x=-1$: $-1{,}5\le 0$ ✓; dla $x=0{,}5$: $0\le 1{,}2$ ✓; dla $x=2$: $-3\le 0{,}6$ ✓. Dla $x=0{,}8$: $3\le 0{,}9$ — fałsz, zgodnie z wykluczeniem przedziału $\left(\frac23,1\right)$.

Odpowiedź: $x\in\left(-\infty,-\frac{1}{4}\right\rangle\cup\left(0,\frac{2}{3}\right\rangle\cup(1,+\infty)$