Zadanie 2 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2021 – arkusz z rozwiązaniami

Krok 1. Odczyt z wykresu. Funkcja przyjmuje wartość $1$ na całych przedziałach, a „wgłębienia" są wyśrodkowane w punktach $-3\pi,\,-\pi,\,\pi,\,3\pi$, czyli tam, gdzie $\cos x=-1$. Najmniejsza wartość to około $\frac13$.

Krok 2. Sprawdzenie wzoru C. Rozpatrzmy $f(x)=\frac{|\cos x|-2}{\cos x-2}$.

Gdy $\cos x\ge 0$, to $|\cos x|=\cos x$, więc

$$f(x)=\frac{\cos x-2}{\cos x-2}=1.$$

Gdy $\cos x\lt 0$, to $|\cos x|=-\cos x$, więc

$$f(x)=\frac{-\cos x-2}{\cos x-2}.$$

Krok 3. Minimum. Dla $\cos x=-1$ (czyli $x=\pi+2k\pi$):

$$f(x)=\frac{1-2}{-1-2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}.$$

To dokładnie zgadza się z wykresem: wartość $1$ tam, gdzie $\cos x\ge0$, oraz wgłębienie sięgające $\frac13$ w punktach $x=\pm\pi,\pm3\pi$.

Uwaga: mianownik $\cos x-2$ nigdy nie jest zerem, bo $\cos x\le 1\lt 2$, więc funkcja jest określona dla każdego $x$.

Odpowiedź: C