Dane statystyczne i ich prezentacja, średnia, mediana, dominanta, rozstęp, wariancja i odchylenie standardowe.
22 definicjiDiagram pudełkowy (boxplot) wizualizuje: minimum, $Q_1$, medianę, $Q_3$, maksimum (five-number summary).
Konstrukcja: pudełko od $Q_1$ do $Q_3$ (zawiera środkowe 50% danych); linia w środku = mediana; wąsy do min/max lub 1,5×IQR.
Punkty poza wąsami: wartości odstające (outliers).
Skośność: mediana bliżej $Q_1$ → skośność prawostronka; bliżej $Q_3$ → lewostronna.
Dane: 2, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 30. $Q_1=6$, $Me=9$, $Q_3=13{,}5$. Wartość 30 → outlier (>$Q_3+1{,}5\cdot7{,}5=24{,}75$).
Boxplot szybko ujawnia asymetrię i wartości odstające — jeden rzut oka na rozkład.
Średnia arytmetyczna: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ — wrażliwa na wartości odstające.
Mediana $Me$: środkowa wartość w uporządkowanym ciągu — odporna na odstające.
Moda $Mo$: wartość najczęstsza — może nie być jedyna lub może nie istnieć.
Dla symetrycznych rozkładów: $\bar{x} = Me = Mo$.
Rozkład lewostronnie skośny: $Mo > Me > \bar{x}$; prawostronnie: $Mo \lt Me \lt \bar{x}$.
Dane: 2, 3, 3, 5, 7, 100: $\bar{x}=20$, $Me=4$, $Mo=3$. Outlier 100 "zawyża" średnią — mediana lepiej opisuje typową wartość.
Zarobki → użyj mediany (Bill Gates wchodzi do baru i średnia zarobków gwałtownie rośnie).
Rozstęp: $R = x_{max} - x_{min}$ — najprostsza miara rozproszenia.
Kwartyle: $Q_1$ (25%), $Q_2 = Me$ (mediana, 50%), $Q_3$ (75%).
Rozstęp ćwiartkowy: $IQR = Q_3 - Q_1$ — odporna miara rozproszenia.
Wyznaczanie kwartyli: uporządkuj dane, podziel na cztery równe ćwiartki.
Wartości odstające (outliers): $x \lt Q_1 - 1{,}5\cdot IQR$ lub $x > Q_3 + 1{,}5\cdot IQR$.
Dane: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12. $Q_1=4$, $Q_2=7$, $Q_3=10$. $IQR=6$. $R=10$.
$IQR$ jest odporny na wartości odstające; rozstęp — bardzo wrażliwy.
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$$
Sumujemy wszystkie dane i dzielimy przez ich liczbę. Każde wystąpienie liczy się osobno — dla ocen $5,5,5,2$ mamy $n=4$, więc $\bar{x}=\frac{17}{4}=4{,}25$.
$$\text{suma}=\bar{x}\cdot n$$
Jeśli średnia trzech liczb wynosi $10$, ich suma to $30$. To bardzo częsty krok w zadaniach.
Słupkowy — porównywanie wielkości. Kołowy — udział części w całości; pełne koło to $360^\circ$, więc:
$$\text{procent}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot100\%$$
Wycinek o kącie $90^\circ$ odpowiada $25\%$ całości.
Dołożenie liczby większej od dotychczasowej średniej podnosi ją, mniejszej — obniża. Liczba równa średniej nic nie zmienia.
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad 0\le P(A)\le 1$$
Zdarzenie niemożliwe ma $P=0$ (np. wyrzucenie $7$ na kostce), pewne $P=1$.
Średnia bywa myląca przy wartościach skrajnych — jedna bardzo duża liczba potrafi ją znacząco zawyżyć. Przy odczycie z diagramu zawsze sprawdź, czy oś zaczyna się od zera; przesunięta skala wyolbrzymia różnice.
Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich liczbę: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$.
Średnia liczb $2,4,6$ to $\frac{2+4+6}{3}=4$.
Jeśli średnia $n$ liczb wynosi $\bar{x}$, to ich suma równa się $n\cdot\bar{x}$.
Średnią liczymy np. dla ocen, temperatur czy wyników pomiarów.
Dane przedstawiamy na diagramach słupkowych, kołowych oraz wykresach liniowych.
Wysokość słupka odpowiada wartości — ułatwia porównywanie kategorii.
Cały okrąg to $100\%$ (czyli $360^\circ$); wielkość wycinka odpowiada udziałowi danej części.
Najlepiej pokazuje zmiany wielkości w czasie.
Diagramy słupkowe, kołowe i wykresy liniowe służą do przedstawiania danych.
Cały okrąg to $100\%$ (czyli $360^\circ$); wycinek odpowiada udziałowi danej części.
Z diagramów odczytujemy wartości i porównujemy kategorie.
Zwracaj uwagę na skalę osi — może nie zaczynać się od zera.
Te same dane można przedstawić tak, by sugerowały różne wnioski.
Ucięta oś, nierówne skale lub dobór okresu mogą wprowadzać w błąd.
Warto sprawdzać źródło danych, wielkość próby i sposób prezentacji.
Średnia arytmetyczna:
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$
Mediana — wartość środkowa w uporządkowanym zestawie. Przy parzystej liczbie danych to średnia dwóch wyrazów środkowych.
Dominanta (moda) — wartość występująca najczęściej.
$$\bar{x}_w=\frac{\sum w_ix_i}{\sum w_i}$$
Stosujemy, gdy dane mają różną istotność (np. oceny o różnych wagach).
Wariancja i odchylenie standardowe:
$$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,\qquad \sigma=\sqrt{\sigma^2}$$
Odchylenie standardowe mówi, jak bardzo dane są rozproszone wokół średniej. Ma tę samą jednostkę co dane; wariancja — jednostkę kwadratową.
Rozstęp to różnica między największą a najmniejszą wartością.
Dane $2,4,4,6$: $\bar{x}=4$; odchylenia $-2,0,0,2$; $\sigma=\sqrt{\frac{4+0+0+4}{4}}=\sqrt{2}\approx1{,}41$.
Przed wyznaczeniem mediany dane trzeba uporządkować. Suma samych odchyleń od średniej zawsze wynosi zero — dlatego podnosimy je do kwadratu. Mediana bywa lepszą miarą niż średnia, gdy w danych są wartości skrajne.
Różnica między największą a najmniejszą wartością.
Średnia kwadratów odchyleń od średniej: $\sigma^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2$.
$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$ — mierzy typowe odchylenie od średniej.
Porównywanie rozproszenia danych o tej samej średniej.
Wartość środkowa uporządkowanego zbioru; dla parzystej liczby danych to średnia dwóch środkowych.
Wartość występująca najczęściej.
Dzielą uporządkowane dane na sto równych części; mediana to centyl $50$.
Opisują położenie danych, odporne na wartości skrajne (mediana).
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$.
Suma danych to $n\cdot\bar{x}$.
Średnia jest czuła na wartości skrajne.
Średnia $2,4,9$ to $5$.
$\bar{x}=\frac{w_1 x_1+\ldots+w_n x_n}{w_1+\ldots+w_n}$.
$w_i$ to znaczenie (waga) danej wartości.
Średnia ważona ocen, gdzie sprawdziany mają większą wagę.
Przy równych wagach średnia ważona równa się arytmetycznej.
Średnia, mediana, dominanta opisują typową wartość.
Rozstęp, wariancja $\sigma^2$, odchylenie standardowe $\sigma$.
$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2}$.
Mniejsze odchylenie oznacza dane bardziej skupione wokół średniej.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.