Definicje: Podzielność, NWD i NWW

Cechy podzielności

• przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
• przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
• przez 4 — liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez $4$
• przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
• przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
• przez 10 — ostatnia cyfra to $0$

Podzielność przez $6$ to podzielność przez $2$ i przez $3$ jednocześnie.

Liczby pierwsze i złożone

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona.

Pierwsze liczby pierwsze: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$.

NWD i NWW

Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze, a następnie:

$$\mathrm{NWD}\ \text{— iloczyn wspólnych czynników w } \textbf{najniższych}\ \text{potęgach}$$

$$\mathrm{NWW}\ \text{— iloczyn wszystkich czynników w } \textbf{najwyższych}\ \text{potęgach}$$

Przykład: $24=2^3\cdot3$, $36=2^2\cdot3^2$, więc $\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$, $\mathrm{NWW}=2^3\cdot3^2=72$.

Zawsze zachodzi: $\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$.

Zastosowania

NWD służy do skracania ułamków, NWW — do sprowadzania do wspólnego mianownika.

Na co uważać

Do NWD wchodzą tylko czynniki wspólne. Dla $8=2^3$ i $9=3^2$ nie ma wspólnych czynników, więc $\mathrm{NWD}=1$ — liczby są względnie pierwsze.

Cechy podzielności

• przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
• przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
• przez 4 — dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$
• przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
• przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
• przez 10 — ostatnia cyfra to $0$

Przykład: $171$ dzieli się przez $3$, bo $1+7+1=9$. Nie trzeba wykonywać dzielenia.

Podzielność przez liczbę złożoną

Liczba dzieli się przez $6$, gdy dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $3$. Podobnie przez $15$ — gdy przez $3$ i przez $5$. Warunek musi zachodzić dla obu czynników naraz.

Liczby pierwsze i złożone

Pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie. Złożona ma ich więcej.

Liczby pierwsze do $20$: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.

Dwa fakty warte zapamiętania: liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona (ma tylko jeden dzielnik), a $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

Rozkład na czynniki pierwsze

Dzielimy kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze, aż dojdziemy do jedynki:

$$60=2^2\cdot3\cdot5,\qquad 84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad 126=2\cdot3^2\cdot7$$

NWD — największy wspólny dzielnik

Z rozkładów bierzemy czynniki wspólne w najniższych potęgach.

$$24=2^3\cdot3,\quad 36=2^2\cdot3^2 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$$

NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność

Bierzemy wszystkie czynniki w najwyższych potęgach.

$$6=2\cdot3,\quad 8=2^3 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWW}=2^3\cdot3=24$$

Kiedy NWD, a kiedy NWW

• NWD — gdy coś dzielimy na równe części: paczki, grupy, kawałki materiału
• NWW — gdy coś powtarza się cyklicznie i szukamy spotkania: autobusy, drzewa i lampy, obiegi

Przydatna zależność

$$\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$$

Dla $30$ i $45$: $15\cdot90=1350=30\cdot45$ ✔ Pozwala szybko policzyć NWW, gdy znamy już NWD.

Liczby względnie pierwsze

Gdy $\mathrm{NWD}=1$, liczby nie mają wspólnego czynnika — jak $15$ i $28$. Ich NWW jest wtedy równe iloczynowi.

Na co uważać

Nie myl NWD z NWW — pierwsze jest zawsze mniejsze lub równe obu liczbom, drugie zawsze większe lub równe. Jeśli wynik nie mieści się w tych granicach, gdzieś jest błąd.

Dzielnik i wielokrotność

Liczba $d$ jest dzielnikiem $n$, gdy $n:d$ daje wynik całkowity bez reszty. Wtedy $n$ nazywamy wielokrotnością $d$.

Przykład: $3$ jest dzielnikiem $12$, a $12$ jest wielokrotnością $3$. To dwie strony tej samej relacji.

Jak wypisać wszystkie dzielniki

Szukamy parami, zaczynając od $1$:

$$24=1\cdot24=2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6$$

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$

Kończymy, gdy czynniki zaczynają się mijać. Ta metoda gwarantuje, że nic nie zostanie pominięte.

Cechy podzielności

• przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
• przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
• przez 4 — dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$
• przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
• przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
• przez 10 — ostatnia cyfra to $0$

Przykład: $6543$ — suma cyfr to $18$, więc liczba dzieli się przez $9$ (a tym samym przez $3$).

Liczby pierwsze i złożone

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Pierwsze z nich to $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$.

Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona — ma tylko jeden dzielnik. Liczba $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

Rozkład na czynniki pierwsze

Dzielimy przez kolejne liczby pierwsze, aż dojdziemy do $1$:

$$60=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5$$

W rozkładzie wszystkie czynniki muszą być pierwsze — zapis $60=4\cdot15$ to jeszcze nie rozkład na czynniki pierwsze.

NWD i NWW

NWD to największy wspólny dzielnik, NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność.

Dla $12$ i $18$: wspólne dzielniki to $1,2,3,6$, więc NWD$=6$. Wspólne wielokrotności to $36,72,\dots$, więc NWW$=36$.

Praktyczna zależność:

$$\text{NWD}(a,b)\cdot\text{NWW}(a,b)=a\cdot b$$

Sprawdzenie: $6\cdot36=216=12\cdot18$ ✔ Znając jedno, łatwo obliczyć drugie.

Gdzie się to przydaje

NWD skraca ułamki do postaci nieskracalnej. NWW służy do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i do zadań o „spotykających się” cyklach — np. dwa autobusy odjeżdżające co $12$ i co $18$ minut spotkają się po $36$ minutach.

Na co uważać

Nie myl dzielnika z wielokrotnością (dzielników jest skończenie wiele, wielokrotności nieskończenie). Nie zaliczaj $1$ do liczb pierwszych. I pamiętaj, że każda liczba jest dzielnikiem samej siebie.

Podstawowe cechy

Przez $2$ (ostatnia cyfra parzysta), $5$ (cyfra $0$ lub $5$), $10$ (cyfra $0$).

Przez 3 i 9

Gdy suma cyfr jest podzielna przez $3$ (odpowiednio przez $9$).

Przez 4 i 25

Gdy liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez $4$ (odpowiednio $25$).

Zastosowanie

Ułatwia rozkład na czynniki i skracanie ułamków.