Granica ciągu i funkcji, ciągłość, asymptoty, pochodna funkcji i jej interpretacja, monotoniczność i ekstrema.
21 definicjiDefinicja Heinego: $\lim_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow$ dla każdego ciągu $x_n\to a$ (z $x_n\neq a$) mamy $f(x_n)\to L$.
Definicja Cauchy'ego: $\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0$: $0\lt |x-a|\lt \delta\Rightarrow|f(x)-L|\lt \varepsilon$.
Techniki dla $\frac{0}{0}$: upraszczaj algebrycznie (faktoryzacja, wzory WSM), mnóż przez sprzężenie.
Dla $\frac{\infty}{\infty}$: dziel przez najwyższą potęgę $x$.
Ważne granice: $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$; $\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$; $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$.
$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=4$.
$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+1/x^2}{1-5/x^2}=3$.
Forma $\frac{0}{0}$ to niedookreślona — NIE wynika z niej wartość. Zawsze próbuj uprościć. $\frac{k}{0}$ ($k\neq0$) → $\pm\infty$ lub brak granicy.
Pionowa: $x=a$ gdy $\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty$
Pozioma: $y=g$ gdy $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=g$
Ukośna: $y=mx+b$ gdy $m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$, $b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-mx]$ (oba skończone)
Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem ukośnej z $m=0$.
Funkcja może przecinać asymptotę poziomą (w skończonym miejscu), ale nie pionową.
$f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$: asymptota ukośna $y=x$ ($m=1, b=0$), pionowa $x=0$.
Szukaj asymptoty ukośnej tylko gdy stopień licznika = stopień mianownika + 1.
$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Pochodna mierzy chwilowe tempo zmian funkcji. Geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$.
Równanie stycznej: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.
$$(c)'=0,\qquad (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac1x$$
$$(f\pm g)'=f'\pm g'$$
$$(fg)'=f'g+fg'$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$$
$$\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Pochodna drogi po czasie to prędkość, pochodna prędkości — przyspieszenie.
Sam warunek $f'(x_0)=0$ nie wystarcza — dla $f(x)=x^3$ mamy $f'(0)=0$, ale ekstremum nie ma (brak zmiany znaku). Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych. Przy funkcji złożonej łatwo pominąć „pochodną wnętrza”. Szukając wartości najmniejszej i największej na przedziale domkniętym, sprawdź także końce przedziału.
Pochodna mówi, jak nachylona jest styczna do wykresu — a więc czy funkcja rośnie, czy maleje:
Punkty, w których $f^{\prime}(x)=0$ lub pochodna nie istnieje, nazywamy krytycznymi. Tylko tam może wystąpić ekstremum lokalne.
Samo zerowanie pochodnej nie wystarcza. Ekstremum jest wtedy, gdy pochodna dodatkowo zmienia znak:
Klasyczny kontrprzykład: dla $f(x)=x^3$ mamy $f^{\prime}(x)=3x^2$, więc $f^{\prime}(0)=0$, ale pochodna jest dodatnia po obu stronach zera. Funkcja cały czas rośnie — ekstremum nie ma, jest tam punkt przegięcia.
Zbadajmy $f(x)=x^3-3x$. Pochodna:
$$f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$
Miejsca zerowe pochodnej: $x=-1$ i $x=1$. Znak pochodnej: dodatni dla $x\lt -1$, ujemny na $(-1,\,1)$, dodatni dla $x>1$.
Zatem w $x=-1$ jest maksimum lokalne $f(-1)=2$, a w $x=1$ minimum lokalne $f(1)=-2$.
Oprócz ekstremów lokalnych sprawdzamy zawsze końce przedziału — wartość największa może być właśnie tam.
Nie myl miejsca zerowego funkcji ($f(x)=0$) z miejscem zerowym pochodnej ($f^{\prime}(x)=0$) — to zupełnie różne rzeczy. Pamiętaj też, że wnioski o monotoniczności formułujemy dla przedziałów, a nie dla pojedynczych punktów.
Szukamy wartości największej lub najmniejszej pewnej wielkości — największego pola, najmniejszego kosztu, najkrótszej drogi — przy podanym warunku.
Prostokąt ma obwód $40$. Skoro $2a+2b=40$, to $b=20-a$, a pole wynosi:
$$P(a)=a(20-a)=-a^2+20a,\qquad a\in(0,\,20)$$
Pochodna $P^{\prime}(a)=-2a+20$ zeruje się dla $a=10$ i zmienia znak z $+$ na $-$, więc jest to maksimum:
$$P(10)=10\cdot10=100$$
Wniosek ogólny: spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma zawsze kwadrat.
Suma dwóch liczb dodatnich wynosi $12$. Iloczyn to $f(x)=x(12-x)=12x-x^2$. Pochodna $12-2x$ zeruje się dla $x=6$, więc obie liczby równe $6$ dają największy iloczyn $36$.
Walec o ustalonej objętości $V$ ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej, gdy:
$$h=2r$$
czyli gdy wysokość równa się średnicy podstawy.
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym zawsze osiąga wartość największą i najmniejszą. Dlatego przy przedziale domkniętym oprócz punktów krytycznych sprawdzamy też jego końce.
Największy błąd to pominięcie dziedziny — wzór matematyczny dopuszcza wartości bez sensu fizycznego, np. ujemny bok. Drugi błąd to zatrzymanie się na wartości zmiennej: zadanie zwykle pyta o pole, koszt lub wymiary, więc na końcu trzeba wrócić do treści i policzyć to, o co naprawdę pytano.
Granica $\lim_{x\to x_0}f(x)$ opisuje, do jakiej wartości zbliżają się wartości funkcji, gdy argument zbliża się do $x_0$. Sama wartość $f(x_0)$ nie ma tu znaczenia — funkcja nie musi być nawet w tym punkcie określona.
Dla wielomianów i innych funkcji ciągłych granicę liczymy przez zwykłe podstawienie:
$$\lim_{x\to 2}(3x+1)=7$$
Gdy podstawienie daje $\frac00$, trzeba przekształcić wyrażenie:
Przykład: $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$. Skracanie jest dozwolone, bo $x$ tylko dąży do $3$, nigdy nie jest mu równe.
Porównujemy stopnie licznika i mianownika:
Przykład: $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+5}{x^2-1}=3$.
Granica obustronna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie jednostronne istnieją i są równe. Dla $f(x)=\frac1x$ mamy $\lim_{x\to0^{+}}=+\infty$, a $\lim_{x\to0^{-}}=-\infty$, więc granica w zerze nie istnieje.
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$
Wymaga trzech rzeczy naraz: istnienia $f(x_0)$, istnienia granicy i ich równości.
Asymptota pozioma i ukośna wykluczają się wzajemnie.
Zerowanie mianownika samo w sobie nie gwarantuje asymptoty pionowej — jeśli licznik też się zeruje, może dojść do skrócenia i powstanie tylko „dziura” w wykresie (nieciągłość usuwalna). Zawsze sprawdzaj licznik.
Znak pochodnej mówi, jak zachowuje się funkcja:
Zerowanie się pochodnej to za mało. Ekstremum jest tam, gdzie pochodna zmienia znak:
Kontrprzykład: $f(x)=x^3$ ma $f'(0)=0$, ale pochodna $3x^2$ jest dodatnia po obu stronach zera — nie ma tam ekstremum, tylko punkt przegięcia.
Porównujemy wartości funkcji w punktach krytycznych oraz na końcach przedziału. Ekstremum globalne może wypaść na brzegu, gdzie pochodna wcale nie musi się zerować.
Przykład: $f(x)=x^2-4x+1$ na $\langle0,\,3\rangle$. Punkt krytyczny $x=2$, a wartości to $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f(3)=-2$. Najmniejsza $-3$, największa $1$.
Kroki czwarty i siódmy są równie ważne jak rachunek — najwięcej punktów przepada na pominiętej dziedzinie i na odpowiedzi „obok pytania”.
Z kwadratu o boku $12$ wycinamy rogi o boku $x$ i zaginamy. Wtedy $V(x)=x(12-2x)^2$ dla $x\in(0,\,6)$. Pochodna $12(x-2)(x-6)$ zeruje się w $x=2$ (drugi pierwiastek odpada — poza dziedziną). Maksymalna objętość to $128$.
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Pochodna w punkcie to współczynnik kierunkowy stycznej — to jej interpretacja geometryczna.
Dziedzina z sensu zadania potrafi odrzucić pierwiastek, który formalnie wychodzi z rachunku. Sprawdzaj też, czy wynik jest sensowny fizycznie: ujemny bok albo objętość większa od materiału wyjściowego sygnalizują błąd.
$$(f+g)'=f'+g',\qquad (cf)'=cf'$$
$$(fg)'=f'g+fg' \quad\text{(iloczyn)}$$
Pochodna sumy to suma pochodnych, ale pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych — trzeba użyć pełnego wzoru.
$$\bigl[f(g(x))\bigr]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Pochodna funkcji zewnętrznej (w punkcie funkcji wewnętrznej) razy pochodna funkcji wewnętrznej. Najczęstszy błąd to pominięcie tego drugiego czynnika.
$$\bigl[(2x+1)^3\bigr]'=3(2x+1)^2\cdot2=6(2x+1)^2$$
$$\bigl[\sin(3x)\bigr]'=\cos(3x)\cdot3=3\cos(3x)$$
$$\bigl[(x^2+1)^5\bigr]'=5(x^2+1)^4\cdot2x=10x(x^2+1)^4$$
$\left(\sin^2 x\right)'=2\sin x\cos x$ — to funkcja złożona ($u^2$ z $u=\sin x$), nie mylić z pochodną iloczynu.
Dla prostych iloczynów (np. $(x+1)(x-3)$) często szybciej wymnożyć i różniczkować wyraz po wyrazie niż stosować wzór na iloczyn.
W regule łańcuchowej nie zapomnij o pochodnej „wnętrza". Rozróżniaj $\cos(x^2)$ (funkcja złożona) od $\cos^2 x$ (kwadrat funkcji).
Granica lewostronna $\lim_{x\to x_0^-}$ i prawostronna $\lim_{x\to x_0^+}$ opisują zachowanie funkcji z jednej strony punktu.
Granica (dwustronna) istnieje, gdy obie jednostronne są równe.
Dla $f(x)=\frac{1}{x}$ granice jednostronne w $0$ to $-\infty$ i $+\infty$ — różne.
Dla funkcji ciągłej granice jednostronne równają się $f(x_0)$.
Granica niewłaściwa to $+\infty$ lub $-\infty$, gdy funkcja rośnie lub maleje nieograniczenie.
Jeśli $\lim_{x\to x_0} f(x)=\pm\infty$, to prosta $x=x_0$ jest asymptotą pionową.
$\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty$.
Rozważamy też $\lim_{x\to\infty} f(x)$ — asymptoty poziome.
Dla funkcji ciągłej $\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$.
Wyrażenia typu $\frac{0}{0}$ przekształcamy (skracamy, rozkładamy na czynniki).
$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$.
Dla ilorazów wielomianów decyduje stosunek najwyższych potęg.
$f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie.
$(x^n)'=nx^{n-1}$, pochodna sumy to suma pochodnych.
$f'(x)>0$ — funkcja rosnąca, $f'(x)\lt 0$ — malejąca.
W ekstremum $f'(x_0)=0$ i pochodna zmienia znak.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.