Definicje i własności kwadratu, prostokąta, równoległoboku, rombu, trapezu i deltoidu oraz wielokątów foremnych.
9 definicji$$P_{\text{prostokąt}}=a\cdot b,\qquad P_{\text{kwadrat}}=a^2$$
$$P_{\text{równoległobok}}=a\cdot h,\qquad P_{\text{trójkąt}}=\frac{1}{2}a\cdot h$$
$$P_{\text{trapez}}=\frac{a+b}{2}\cdot h,\qquad P_{\text{romb}}=\frac{e\cdot f}{2}$$
Wysokość musi odpowiadać tej samej podstawie, którą wybraliśmy. W jednym trójkącie są trzy pary podstawa–wysokość i każda daje ten sam wynik pola.
Trójkąt o podstawie $8$ i wysokości $5$: $P=\frac12\cdot8\cdot5=20$.
Trapez o podstawach $10$ i $6$ oraz wysokości $4$: $P=\frac{16}{2}\cdot4=32$.
Romb o przekątnych $6$ i $8$: $P=\frac{48}{2}=24$.
W równoległoboku $h$ to wysokość, a nie długość drugiego boku. W trójkącie rozwartokątnym wysokość może padać poza trójkąt — to nadal poprawna wysokość, opuszczamy ją wtedy na przedłużenie boku.
Obwód to długość linii dookoła figury — mierzymy ją w centymetrach, metrach, kilometrach. Pole to wielkość powierzchni wewnątrz figury — mierzymy je w jednostkach kwadratowych: cm$^2$, m$^2$.
Dobre skojarzenie: obwód to długość płotu wokół działki, a pole to ilość trawy w środku.
$$O_{\text{kwadratu}}=4a,\qquad P_{\text{kwadratu}}=a\cdot a$$
$$O_{\text{prostokąta}}=2a+2b=2(a+b),\qquad P_{\text{prostokąta}}=a\cdot b$$
Prostokąt $9$ cm na $4$ cm: obwód $2(9+4)=26$ cm, pole $9\cdot4=36$ cm$^2$.
Znając obwód kwadratu, bok znajdujemy dzieleniem: $a=O:4$. Znając pole prostokąta i jeden bok, drugi bok to $b=P:a$.
Przelicznik jednostek pola jest kwadratem przelicznika długości:
Figurę o dziwnym kształcie dzielimy na prostokąty i dodajemy ich pola — albo uzupełniamy do dużego prostokąta i odejmujemy to, czego brakuje.
Przy obwodzie figury złożonej z kilku sklejonych kwadratów pamiętaj: boki stykowe leżą wewnątrz i nie liczą się do obwodu.
Spośród wszystkich prostokątów o tym samym obwodzie największe pole ma kwadrat. Przy obwodzie $20$ cm prostokąt $7\times3$ ma pole $21$ cm$^2$, a kwadrat o boku $5$ — aż $25$ cm$^2$.
Dwa najczęstsze błędy: podanie pola tam, gdzie pytano o obwód (i odwrotnie), oraz przeliczanie jednostek pola tak jak długości — $1$ m$^2$ to $10\,000$ cm$^2$, a nie $100$.
Przyległe dopełniają się do $180^\circ$. Wierzchołkowe są równe.
Przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe. Powstają wtedy tylko dwie różne miary — np. $58^\circ$ i $122^\circ$.
$$S=(n-2)\cdot180^\circ$$
Bierze się stąd, że $n$-kąt dzielimy przekątnymi z jednego wierzchołka na $n-2$ trójkąty.
Trójkąt $180^\circ$, czworokąt $360^\circ$, pięciokąt $540^\circ$, sześciokąt $720^\circ$.
$$\text{kąt wewnętrzny}=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n},\qquad \text{kąt zewnętrzny}=\frac{360^\circ}{n}$$
Suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$ — to często szybsza droga do wyniku.
Jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Dla trójkąta $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku to $110^\circ=50^\circ+60^\circ$.
$$\frac{n(n-3)}{2}$$
Z każdego wierzchołka prowadzimy $n-3$ przekątne (pomijamy siebie i dwóch sąsiadów), a dzielimy przez $2$, bo każdą liczylibyśmy dwukrotnie.
Symetralna odcinka: tym samym rozwarciem cyrkla (większym niż połowa odcinka) kreślimy łuki z obu końców i łączymy punkty ich przecięcia. Działa, bo te punkty są jednakowo oddalone od obu końców.
Dwusieczna kąta: z wierzchołka zakreślamy łuk przecinający ramiona, a następnie z obu punktów przecięcia — łuki tej samej długości. Prosta przez wierzchołek i punkt przecięcia łuków dzieli kąt na pół.
Symetralna dotyczy odcinka, dwusieczna — kąta; mylenie tych nazw to najczęstsza pomyłka. Przy zadaniach z kątami zawsze warto sprawdzić na końcu, czy suma się zgadza.
Prostokąt ma cztery kąty proste. Przeciwległe boki są równe i równoległe.
Kwadrat to prostokąt, którego wszystkie boki są równe — ma $4$ równe boki i $4$ kąty proste.
Obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$: $2\cdot(a+b)$. Obwód kwadratu o boku $a$: $4\cdot a$.
Pole prostokąta: $P=a\cdot b$. Pole kwadratu: $P=a\cdot a=a^2$.
Do czworokątów należą m.in. kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez. Każdy ma cztery boki i cztery kąty.
Suma miar kątów wewnętrznych każdego czworokąta wynosi $360^\circ$.
W równoległoboku przeciwległe boki są równe i równoległe, a przekątne dzielą się na połowy. W prostokącie przekątne mają równą długość.
Trapez ma dokładnie jedną parę boków równoległych, zwanych podstawami.
Pole prostokąta o bokach $a$ i $b$: $a\cdot b$. Pole kwadratu o boku $a$: $a^2$.
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$ gdzie $a$ to podstawa, a $h$ wysokość.
Pole równoległoboku: $a\cdot h$. Pole rombu: $\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$.
$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$ gdzie $a,b$ to podstawy.
Czworokąt wypukły ma wszystkie kąty wewnętrzne mniejsze od $180^\circ$, a jego przekątne leżą wewnątrz figury.
Wynosi $360^\circ$.
Równoległobok, prostokąt, romb, kwadrat i trapez — każdy ma własne własności boków i przekątnych.
Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty i zsumować ich pola.
Pole prostokąta $a\cdot b$, kwadratu $a^2$.
Równoległobok $a\cdot h$; romb $\frac{1}{2}d_1 d_2$.
$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$.
Dzielimy przekątną na dwa trójkąty i sumujemy ich pola.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.