Definicja logarytmu, warunki istnienia, podstawowe własności i zastosowania logarytmów.
10 definicji$$\log_a b=c \iff a^c=b$$
przy założeniach $a>0$, $a\ne1$, $b>0$. Logarytm odpowiada na pytanie: do której potęgi podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę.
$$\log_a1=0,\qquad \log_aa=1,\qquad a^{\log_ab}=b$$
$$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay$$
$$\log_ax^k=k\log_ax$$
Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie, dzielenie na odejmowanie, a potęgowanie na mnożenie — to czyni go głównym narzędziem przy równaniach wykładniczych.
$$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca},\qquad \log_ab=\frac{1}{\log_ba}$$
Przykład: $\log_832=\frac{\log_232}{\log_28}=\frac{5}{3}$.
$\log x$ to logarytm dziesiętny (podstawa $10$), a $\ln x$ — naturalny (podstawa $e\approx2{,}718$).
Nie istnieje wzór na $\log_a(x+y)$. W równaniach logarytmicznych zawsze zaczynaj od wyznaczenia dziedziny — argument musi być dodatni, co zwykle eliminuje część formalnie otrzymanych rozwiązań.
$$f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1$$
Dziedzina: $\mathbb{R}$. Zbiór wartości: $(0,+\infty)$ — funkcja nigdy nie przyjmuje wartości $0$ ani ujemnych. Zawsze przechodzi przez punkt $(0,1)$, a oś $OX$ jest asymptotą poziomą.
Dla $a>1$ rośnie, dla $0\lt a\lt 1$ maleje.
$$f(x)=\log_ax$$
Jest funkcją odwrotną do wykładniczej — jej wykres to odbicie wykresu $a^x$ względem prostej $y=x$. Dziedzina: $(0,+\infty)$, zbiór wartości: $\mathbb{R}$, przechodzi przez $(1,0)$, oś $OY$ jest asymptotą pionową.
Podstawowa metoda: sprowadzenie obu stron do tej samej podstawy.
$$a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$$
Przykład: $2^x=32=2^5$, więc $x=5$.
Równania typu $a^{2x}+pa^x+q=0$ sprowadzamy do kwadratowego, podstawiając $t=a^x>0$.
Przykład: $4^x-5\cdot2^x+4=0$, podstawiamy $t=2^x$: $t^2-5t+4=0$, skąd $t=1$ lub $t=4$, czyli $x=0$ lub $x=2$.
Kierunek zależy od podstawy: dla $a>1$ zostaje bez zmian, dla $0\lt a\lt 1$ odwraca się.
Po podstawieniu odrzuć rozwiązania $t\le0$ — funkcja wykładnicza takich wartości nie przyjmuje. W równaniach logarytmicznych zawsze zacznij od dziedziny.
$$\log_a b=c \iff a^c=b \qquad (a>0,\ a\neq1,\ b>0)$$
Logarytm to wykładnik, do którego podnosimy podstawę.
$$\log_a 1=0,\qquad \log_a a=1$$
$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y \quad\text{(iloczyn → suma)}$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y \quad\text{(iloraz → różnica)}$$
$$\log_a x^n=n\log_a x \quad\text{(potęga → mnożnik)}$$
$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$
Pozwala sprowadzić dowolny logarytm do wygodnej podstawy. Wniosek: $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$, więc $\log_a b\cdot\log_b a=1$.
Trudne logarytmy często upraszczają się dopiero po połączeniu: $\log_2 48-\log_2 3=\log_2 16=4$, choć każdy z osobna nie jest „ładny".
$\log_a x^n=n\log_a x$ to nie to samo co $(\log_a x)^n$ — wykładnik schodzi przed logarytm. Logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich.
$$f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\neq1$$
Dziedzina to $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0,+\infty)$. Dla $a>1$ funkcja rośnie, dla $0\lt a\lt 1$ maleje. Zawsze przechodzi przez $(0,\ 1)$, a osią $OX$ ($y=0$) jest asymptota pozioma.
$$f(x)=\log_a x,\qquad a>0,\ a\neq1$$
Dziedzina to $(0,+\infty)$, zbiór wartości $\mathbb{R}$. Przechodzi przez $(1,\ 0)$, asymptota pionowa to oś $OY$ ($x=0$).
$\log_a x$ jest funkcją odwrotną do $a^x$. Ich wykresy są symetryczne względem prostej $y=x$, a punkty charakterystyczne zamienione: $(0,1)$ i $(1,0)$.
Dodanie stałej do funkcji ($a^x+q$) przesuwa wykres w pionie — asymptota pozioma przechodzi na $y=q$. Zmiana argumentu ($\log_a(x-p)$) przesuwa w poziomie i zmienia dziedzinę oraz asymptotę pionową.
Model wzrostu wykładniczego opisuje procent składany $K(t)=K_0(1+p)^t$, rozpad promieniotwórczy i wzrost populacji.
Funkcja wykładnicza nigdy nie jest ujemna ani zerowa. Logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich — zawsze wyznacz dziedzinę.
$y=a\cdot b^x$ modeluje wzrost lub rozpad (np. procent składany, rozpad promieniotwórczy).
$\log_a b=c$ oznacza $a^c=b$. Skale logarytmiczne to m.in. pH i decybele.
$K_n=K_0(1+p)^n$, gdzie $p$ to oprocentowanie, a $n$ liczba okresów.
Wzrost populacji, odsetki bankowe, natężenie dźwięku.
$y=\log_a x$ ma dziedzinę $x>0$ i asymptotę pionową $x=0$.
$y=\log_a(x-p)+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$; asymptota to $x=p$.
Dla $a>1$ funkcja rosnąca, dla $0\lt a\lt 1$ malejąca.
Logarytmiczna jest odwrotna do wykładniczej o tej samej podstawie.
Sprowadzamy do wspólnej podstawy: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ daje $f(x)=g(x)$.
Korzystamy z definicji i dziedziny: $\log_a x=b$ oznacza $x=a^b$, przy $x>0$.
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.
W logarytmie argument i podstawa muszą być dodatnie, podstawa $\neq1$.
Na skali logarytmicznej równym odstępom odpowiada mnożenie przez stały czynnik.
Współrzędną wyznacza $\log_{10} x$.
Skala pH, poziom dźwięku w decybelach, skala Richtera.
Pozwala przedstawić bardzo duży zakres wartości na jednym wykresie.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.