Reguła mnożenia i dodawania, silnia, permutacje, wariacje i kombinacje — kiedy którego pojęcia użyć.
11 definicjiSilnia: $n!=1\cdot2\cdot3\cdots n$; $0!=1$; $1!=1$.
Permutacja: liczba porządków $n$ różnych elementów: $P_n=n!$
Permutacja $k$-elementowa (wariacja bez powtórzeń): $V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ — wybieramy $k$ z $n$ i ustawiamy w kolejności.
Permutacje z powtórzeniami: $n$ elementów, gdzie $n_1$ jednakich, $n_2$ jednakich,…: $P=\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}$
Np. litery słowa ROWER: $\frac{5!}{2!}=60$ (R powtarza się 2 razy).
Ile różnych 3-cyfrowych kodów z cyfr $\{1,2,3,4,5\}$ bez powtórzeń? $V_5^3=\frac{5!}{2!}=60$.
Ile ustawień liter słowa MATEMATYKA? $\frac{10!}{3!\cdot2!\cdot2!}=75600$ (M×3, A×2, T×2).
Kolejność MA znaczenie → permutacje/wariacje. Wzór: ile jest kodów PIN? $10^4$ z powtórzeniami, $10\cdot9\cdot8\cdot7=5040$ bez.
$\binom{n}{k}=C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — liczba sposobów wyboru $k$ elementów z $n$, gdy kolejność NIE ma znaczenia.
Czytamy: „$n$ nad $k$" lub „$n$ po $k$".
Własności: $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$; $\binom{n}{1}=n$; $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
Wzór Pascala: $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ (trójkąt Pascala).
Kombinacje z powtórzeniami: $\overline{C}_n^k=\binom{n+k-1}{k}$.
Komisja 3-osobowa z 7 kandydatów: $\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\cdot4!}=35$ sposobów.
Loto 6/49: $\binom{49}{6}=13\,983\,816$ — tyle kombinacji (prawdopodobieństwo: $\approx1\text{ do }14$ mln).
Kombinacje vs permutacje: {A,B,C} i {B,C,A} to TA SAMA kombinacja, ale RÓŻNE permutacje. Klucz: „czy kolejność ma znaczenie?"
$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$
$k$-ty wyraz (licząc od $k=0$): $W_k=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.
Trójkąt Pascala podaje współczynniki: wiersz $n$ to $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$.
Wzory szczególne: $(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$; dla $x=1$: $2^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$.
Suma modułów naprzemiennych: $(1-1)^n=0$ → $\sum(-1)^k\binom{n}{k}=0$.
$(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$; współczynnik przy $x^2$: $\binom{4}{2}\cdot1^2\cdot2^2=6\cdot4=24$.
$99^3=(100-1)^3=10^6-3\cdot10^4+3\cdot10^2-1=970299$.
Wyraz ogólny: $\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ — potęgi sumują się do $n$. Szukasz wyrazu z $x^m$: ustaw wykładnik $x$ = $m$ i wyznacz $k$.
Permutacje (kolejność ma znaczenie, bez powtórzeń): $P_n = n!$
Wariacje z powtórzeniami: $W_n^k = n^k$
Wariacje bez powtórzeń: $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
Kombinacje (kolejność nie ma znaczenia): $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Ile słów z liter A,B,C,D? $P_4 = 24$. Ile 2-literowych? $V_4^2 = 12$. Ile par? $\binom{4}{2}=6$.
PIN 4-cyfrowy (0-9): $10^4 = 10000$ możliwości.
Pytanie kluczowe: czy kolejność ma znaczenie? (tak → wariacja/permutacja; nie → kombinacja).
Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:
$$n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Mając $3$ koszulki i $4$ pary spodni, ubierzemy się na $3\cdot4=12$ sposobów.
Mnożymy, gdy wybieramy jedno i drugie (koszulkę i spodnie).
Dodajemy, gdy wybieramy jedno albo drugie — na przykład deser: albo jedno z $3$ ciast, albo jeden z $2$ lodów, czyli $3+2=5$ możliwości.
Wystarczy przeczytać treść i znaleźć spójnik.
Kody trzycyfrowe z cyfr $1$–$9$ z powtórzeniami: $9\cdot9\cdot9=729$.
Liczby dwucyfrowe z cyfr $1,2,3,4$ bez powtórzeń: $4\cdot3=12$ — na drugiej pozycji zostaje o jedną możliwość mniej.
W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem. Liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach jest więc:
$$9\cdot9\cdot8=648$$
Pierwsza pozycja: $9$ możliwości (bez zera). Druga: znowu $9$, bo zero wraca do gry, ale jedna cyfra jest zużyta. Trzecia: $8$.
Szukając liczb trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach, zaczynamy od końca:
$$5\cdot8\cdot8=320$$
Ostatnia cyfra: $5$ możliwości (nieparzyste). Pierwsza: $8$ (bez zera i bez cyfry użytej na końcu). Środkowa: $8$. Gdybyśmy zaczęli od przodu, trzeba by rozbijać zadanie na przypadki.
$$n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1$$
Cztery książki ustawimy na $4!=24$ sposoby.
$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$
Wzór działa tylko wtedy, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.
Przy dwóch kostkach wszystkich wyników jest $6\cdot6=36$. Suma większa od $9$ zdarza się w $6$ przypadkach, więc $P=\frac{6}{36}=\frac16$.
Wyniki $(1,6)$ i $(6,1)$ liczymy osobno — inaczej nie wszystkie zdarzenia byłyby jednakowo prawdopodobne i wzór klasyczny przestałby działać.
Nie dodawaj, gdy trzeba mnożyć. Pilnuj zakazu zera na pierwszej pozycji. I sprawdzaj, czy w zadaniu elementy mogą się powtarzać.
Reguła mnożenia: jeśli wybór składa się z $k$ niezależnych kroków, liczby możliwości mnożymy. Reguła dodawania: jeśli wybór to jeden z rozłącznych przypadków, liczby możliwości dodajemy.
$$P_n=n! \qquad\text{— permutacje (ustawienie wszystkich } n \text{ elementów)}$$
$$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!} \qquad\text{— wariacje bez powtórzeń}$$
$$\overline{V}_n^k=n^k \qquad\text{— wariacje z powtórzeniami}$$
$$C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \qquad\text{— kombinacje}$$
Zadaj dwa pytania:
Przykład: „delegacja 3-osobowa z 5 osób” — kolejność nieistotna, więc $\binom53=10$. „Przewodniczący, zastępca, sekretarz z 5 osób” — kolejność istotna, więc $5\cdot4\cdot3=60$.
$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},\qquad \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$$
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$
Współczynniki tworzą kolejne wiersze trójkąta Pascala. Suma wykładników w każdym składniku zawsze wynosi $n$ — to szybki test poprawności.
Przyjmujemy $0!=1$. Mylenie kombinacji z wariacjami to najczęstszy błąd — zawsze zacznij od pytania o kolejność.
Permutacja to uporządkowanie wszystkich elementów zbioru.
$P_n=n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$; przyjmujemy $0!=1$.
$5$ osób ustawimy w rzędzie na $5!=120$ sposobów.
Gdy elementy się powtarzają, dzielimy przez silnie liczności powtórzeń.
$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — liczba $k$-elementowych kombinacji.
$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ oraz $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.
Kolejne wiersze to współczynniki dwumianu.
Reguła mnożenia (etapy „i") i dodawania (rozłączne „albo").
$P_n=n!$, wariacje bez powtórzeń $\frac{n!}{(n-k)!}$.
$\binom{n}{k}$ — wybór bez uwzględnienia kolejności.
Ustal, czy kolejność ma znaczenie i czy elementy się powtarzają.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.